人教版高中数学必修一1.3函数的基本性质(函数的单调性)第一课时

互动 探究
题型四 根据函数的单调性求参数的取值范围
【探究1】 若函数y＝ax＋5是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的 取值范围是________． 答案 (－∞，0)
【探究2】 已知函数y＝x2＋2ax＋3在区间(－∞，1]上是减函数，则 实数a的取值范围是________． 解析 函数y＝x2＋2ax＋3的图象开口向上，对称轴为x＝ －a，要使其在区间(－∞，1]上是减函数，则－a≥1，即a≤－1. 答案 (－∞，－1]
【探究 3】 分别作出函数 f(x)＝－ －22xx＋ ＋53， ，xx≤ >11， 和 g(x)＝
－2x＋5，x≤1， －2x＋7，x>1
的图象，并根据其图象的变化趋势判断
它们在(－∞，＋∞)上的单调性．
解 函数f(x)的图象如图(1)所示，由其图象可知f(x)在(－∞， ＋∞)上是减函数； 函数g(x)的图象如图(2)所示，由其图象可知g(x)在(－∞， ＋∞)上既不是增函数，也不是减函数．
题型三 用单调性解不等式
【例3】 已知函数y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且 f(1－a)<f(2a－1)，求实数a的取值范围．
解
－1<1－a<1， 由题知－1<2a－1<1，
1－a>2a－1，
解得 0<a<23，即所求 a 的取值
范围是0，23.
规律方法 利用函数的单调性解不等式的方法
课堂小结
1．对函数单调性的理解
(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函 数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调 性．
(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，
因此定义中的x1，x2有以下几个特征：一是任意
性
，即
任
意
取
x
，
1
x2
，“
来自百度文库
任意
”二
字绝
不能
丢掉
，
证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二
(2)函数y＝|x|在区间[－2，－1]上( )
A．递减
B．递增
C．先减后增
D．先增后减
解析 (1)二次函数f(x)的图象开口向上，对称轴为x＝－1，故其单 调减区间是(－∞，－1)．
(2)函数y＝|x|的单减区间是(－∞，0)，又[－2，－1]⊆
(－∞，0)，所以函数y＝|x|在区间[－2，－1]上递减．
当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可 以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱 掉，列出关于未知量的不等式(组)，然后求解， 此时注意函数的定义域．
【训练 3】 已知函数 f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则 满足 f(x)<f12的实数 x 的取值范围是________． 解析 由题意得－ x<112≤，x≤1， 解得－1≤x<12. 答案 －1，12
4．若函数f(x)是R上的减函数，且f(a－1)>f(2a)，则a的取 值范围是________． 解析 由条件可知a－1<2a，解得a>－1. 答案 (－1，＋∞)
5．证明f(x)＝x2＋x在(0，＋∞)上是增函数．
证明 设 x1>x2>0，则 f(x1)－f(x2)＝x21＋x1－x22－x2 ＝(x1－x2)(x1＋x2)＋(x1－x2)＝(x1－x2)(x1＋x2＋1)， 因为 x1>x2>0，所以 x1－x2>0，x1＋x2＋1>0，所以 f(x1)－ f(x2)>0， 即 f(x1)>f(x2)，所以 f(x)＝x2＋x 在(0，＋∞)上是增函数．
(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外， 还要注意衔接点的函数值的大小关系．
课堂达标
1．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )
A．y＝2x＋1
B．y＝x2＋1
C．y＝3－x
D．y＝x2＋2x＋1
解析 函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数．
答案 C
2．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是( )
提示 (1)× 由函数单调性的定义可知，要证明一个函数是增 函数，需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大，函数 值也越大，而不是个别的自变量． (2)× 不能改为“存在两个自变量的值 x1、x2”． (3)× 反例：f(x)＝xx， －x4∈，x1∈，22]，，3.
知识点2 函数的单调区间
答案 (－∞，1)，(1，＋∞)
题型二 证明函数的单调性
【例 2】 证明函数 f(x)＝x＋4x在区间(2，＋∞)上是增函数． 证明 任取 x1，x2∈(2，＋∞)，且 x1<x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2－x42＝(x1－x2)＋4xx21－x2x1 ＝(x1－x2)x1xx12x－2 4. 因为 2<x1<x2，所以 x1－x2<0，x1x2>4，x1x2－4>0， 所以 f(x1)－f(x2)<0， 即 f(x1)<f(x2)．
规律方法 根据函数的图象求函数单调区间的方 法 (1)作出函数图象； (2)把函数图象向x轴作正投影； (3)图象上升对应增区间，图象下降对应减区间．
【训练 1】 函数 y＝x－1 1的单调减区间是________． 解析 y＝x－1 1的图象可由函数 y＝1x 的图象向右平移一个单位得到，如图 所示，其单调递减区间是(－∞，1)和 (1，＋∞)．
实数 a 的取值范围．
－a≥1，
解 由题意可得a<0，
解得
12＋2a×1＋3≥a×1＋1，
－3≤a≤－1，
则实数 a 的取值范围是[－3，－1]．
规律方法 已知函数的单调性求参数的关注点
(1)视参数为已知数，依据基本初等函数的单调性、 函数的图象或函数的单调性的定义，确定函数的 单调区间，与已知的单调区间比较求参数；
是有大小，通常规定x1<x2；三是属于同一个单调 区间．
(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数 值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且 f(x1)<f(x2)⇔x1<x2(x1>x2)． (4)并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在 定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这 个区间上不存在单调性．
如果函数y＝f(x)在区间D上是 ______增__函__数__或_减__函__数____，那么就说函数y＝f(x) 在 这 一 区 间 具 有 _ _ _ _(_严_格_ _的_ _)_单_调_ _性_ _ _ _ ， 区 间 D 叫 做y＝f(x)的单调区间．
【预习评价】
(1)函数f(x)＝x2＋2x－3的单调减区间是________．
所以函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．
规律方法 利用定义证明函数单调性的步骤
【训练 2】 证明函数 f(x)＝x12在(－∞，0)上是增函数． 证明 设 x1，x2 是区间(－∞，0)上任意两个实数，且 x1<x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x112－x122＝x22x－21x22x12＝x2－xx121xx222＋x1. 因为 x1<x2<0，所以 x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0， 所以 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)， 所以函数 f(x)＝x12在(－∞，0)上是增函数．
【探究 4】 已知函数 f(x)＝－ －22xx＋ ＋5a， ，xx≤ >11， 是减函数，求
实数 a 的取值范围．
解 由题意得，要使f(x)是减函数，需－2×1＋5≥－2×1＋a，即 a≤5.
【探究 5】 若函数 f(x)＝xa2x＋＋21a，x＋x>31，x≤1， 是减函数，求
(1)解析 观察图象可知，y＝f(x)的单调区间有[－5， －2]， [－2,1]，[1,3]，[3,5]．其中y＝f(x)在区间[－5，－2]， [1,3]上是增函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是减函数． 答案 [－2,1] [3,5] [－5，－2] [1,3]
(2)解 y＝－ －xx22＋ －22xx＋ ＋11， ，xx≥ <00，， 即 y＝－ －xx－ ＋1122＋ ＋22， ，xx≥ <00. ， 函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]， 单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知 f(x)＝1x，因为 f(－1)<f(2)，所以函数 f(x)是增函 数．( ) (2)增减函数定义中的“任意两个自变量的值 x1，x2”可以改 为“存在两个自变量的值 x1，x2”．( ) (3)若函数 f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数 f(x) 在区间(1,3)上为增函数．( )
A．(－∞，1)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
解析 易知函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的二 次函数，其对称轴为x＝1，所以其单调减区间是(1，＋ ∞)．
答案 B
3．若f(x)＝(2k－3)x＋2是R上的增函数，则实数k的取值 范围是________．
解析 由题意得 2k－3>0，即 k>32，故 k 的取值范围是 32，＋∞. 答案 32，＋∞
函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
学习目标
1.理解单调区间、单调性等概念，会用定义 证明函数的单调性(重点、难点). 2.会求函数的单调区间，判断单调性(重 点)．
预习教材 P27－P28，完成下面问题：
知识点 1 增函数与减函数
设函数fx的定义域为I， D⊆I，对任意x1，x2∈D
2．单调性的证明方法 证明f(x)在区间D上的单调性应按以下步骤： (1)设元：设x1，x2∈D且x1<x2； (2)作差：将函数值f(x1)与f(x2)作差； (3)变形：将上述差式(因式分解、配方等)变形； (4)判号：对上述变形的结果的正、负加以判断； (5)定论：对f(x)的单调性作出结论．其中变形为难点，变 形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式 为止，切忌变形不到位就定号．
答案 (1)(－∞，－1) (2)A
题型一 求函数的单调区间
【例1】 (1)如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象， 则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、 ________上是增函数．
(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的 图象并写出函数的单调区 间．