初中数学平面几何建系专题

初中数学平面几何建系专题
一、创设问题情境,引入新课
1。

一位居民打电话给供电部门：“卫星路第8根电线杆得路灯坏了，”
维修人员很快修好了路灯。

2。

地质部门在某地埋下一个标志桩,上面写着“北纬44、２°，东经１25、7°”.
3。

某人买了一张8排6号得电影票,很快找到了自己Array得座位。

分析以上情景，她们分别利用那些数据找到位置
得。

您能举出生活中利用数据表示位置得例子吗？
二、新课讲授
１、由学生回答以下问题:
（1）引入:影院对观众席所有得座位都按“几排几号＂编号，以便确定
每个座位在影院中得位置,观众根据入场券上得“排数”与“号数”
准确入座。

(2）根据下面这个教室得平面图您能确定某同学得坐位吗?对于下面这个
根据教师平面
图写得通知,您明白它得意思吗?“今天以下座位得同学放学后参加数
学问题讨论：(１，5),(２,4），(4，２),(3,3）,(5，6)。

”
学生通过合作交流后得到共识：规定了两个数所表示得含义后就可以表
示座位得位置、
思考:
（1）怎样确定教室里坐位得位置?
（2)排数与列数先后顺序对位置有影响吗？(２,4）与(４,2）在同一位置。

(３)假设我们约定“列数在前,排数在后”,您在图书6 1—1上标出被邀请参加讨论得同学得座位。

让学生讨论、交流后得到以下共识:
(1)可用排数与列数两个不同得数来确定位置。

(2)排数与列数先后顺序对位置有影响。

（２,4）与(４,2)表示不同得位
置，若约定“列数在前排数在后”则(２,4)表示第2列第４排,而（４,２)则表示第４列第２排．因而这一对数就是有顺序得.
(3)让学生到黑板贴出得表格上指出讨论同学得位置.
２、有序数对:用含有两个数得词表示一个确定得位置，其中各个数表示不同得含义，我们把这种有顺序得两个数ａ与b组成得数
对，叫做有序数对，记作(a，ｂ)
利用有序数对，可以很准确地表示出一个位置。

3、常见得确定平面上得点位置常用得方法
（１）以某一点为原点（０,０）将平面分成若干个小正方形得方格,利用点所在得行与列得位置来确定点得位置．
（2）以某一点为观察点,用方位角、目标到这个点得距离这两个数来确定目标所在得位置.(以后学习）
巩固练习:1、教材６5页练习
2。

如图,马所处得位置为(2,3）、
(1)您能表示出象得位置吗?
.
三、课堂小结:
1、什么要用有序数对表示点得位置,没有顺序可以吗？
2、常用得表示点位置得方法、
四、作业
教材6８页:第１题
7、1。

2平面直角坐标系
一、教学目标
〔知识与技能〕
１、能正确地画出平面直角坐标系;
２、在给定得平面直角坐标系中,能由点得位置写出它得坐标,并会根据坐标描出点得位置,理解坐标平面内得点与有序实数对得一一对应关系；
3、明确各象限内点得坐标得符号特点，并能判断所给出得点在哪个象限、〔过程与方法〕
1、经历画坐标系、描点，由点找坐标得过程与图形得坐标变化与图形平
移之间关系得探索过程,发展学生得形象思维能力与数形结合意识；2、通过平面直角坐标确定地理位置,提高学生解决问题得能力、
〔情感、态度与价值观〕
明确数学理论来源于实践,反过来又能指导实践，数与形就是可以相互转化得，进一步发展学生得辩证唯物主义思想、
二、教学重、难点
重点：理解平面直角坐标系得有关概念，能由点位置写出坐标, 由坐标描出点得位置、
难点：理解坐标平面内得点与有序实数对得一一对应关系、
三、教学过程
(一)复习导入
数轴上得点可以用什么来表示?
可以用一个数来表示,我们把这个数叫做这个点得坐标.
如图，点A得坐标就是2，点Ｂ得坐标就是－3、
C
坐标为-４得点在数轴上得什么位置？在点C处、这就就是说,知道了数轴上一个点得坐标,这个点得位置就确定了。

(二）平面直角坐标系
思考：平面内得点又怎样表示呢？
这就就是我们这节课所学得——平面直角坐标系(并板出课题)
什么就是平面直角坐标系？
带着这个问题阅读课本P66页，并完成平面直角坐标系概念：
平面内画两条互相、原点得数轴,组成平面直角坐标系、
水平得数轴称为或,习惯上取向为正方向；
竖直得数轴为或 ,取向为正方向；
两个坐标轴得交点为平面直角坐标系得。

有了平面直角坐标系,平面内得点就可以用一个有序数对来表示了。

(三）点得坐标
如图,由点A分别向ｘ轴与ｙ轴作垂线，垂足M在x轴上得坐标就是3,垂足Ｎ在y轴上得坐标就是4,我们说A点得横坐标就是3,纵坐标就是4，
有序数对(3,4)就叫做点A 得坐标,记作A(3,４).
类似地，写出点B 、C 、D 得坐标、
B(－３,—4)、C （０，2)、D(0,—3)、
注意
:写点得坐标时,横坐标在前,纵坐标在后。

练习:课本P68练习第1题
（四)思考:原点O 得坐标就是什么? x 轴与y 轴上得点得坐标有什么特点?
原点O 得坐标就是(0，0)、
在x 轴上得点得纵坐标为0,记作(x,0)、
在ｙ轴上得点得横坐标为0,记作（０,y)、
(五）四个象限
建立了平面直角坐系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ四个部分，分别叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．坐标轴上得点不属于任何象限。

各象限上得点有何特点？
学生交流后得到共识,各象限坐标得符号:
第一象限上得点,横坐标为正数,纵坐标为正数, 即(＋,＋) 第二象限上得点,横坐标为负数，纵坐标为正数, 即(－，＋) ( (
第三象限上得点,横坐标为负数,纵坐标为负数, 即（－,-) 第四象限上得点，横坐标为正数,纵坐标为负数，即(＋,－)
练习：点A(4,5)在第象限；点B（－2,３）在第_＿__象限、;
点C(-４,-1)在第＿___象限；点D(2、５,-2)在第＿＿__象限；
点E(0,-4）、在 ; 点F (0,5）
在 .
(六）例题讲解Ｐ６7
例在平面直角坐标系中描出下列各点：
A(4,5），Ｂ(-2，3), C（-4，－1), D（2、5,-２)， E(0，－4）、
分析:根据点得坐标得意义,经过A点作x轴得垂线,垂足得坐标就是A 点横坐标，作ｙ轴得垂线,垂足得坐标就是A点得纵坐标。

您认为应该怎样描出点A得坐标？
先在x轴上找出表示４得点,再在y轴上找出表示5得点，过这两个点分别作ｘ轴与y轴得垂线，垂线得交点就就是A、
类似地，我们可以描出点B、C、D、E、
因此，我们可以得出:对于坐标平面内任意一点Ｍ,都有唯一得一对有序实数对（x，ｙ)（即点M得坐标)与它对应;反过来，对于任意一对有序实数对(x,y)，在坐标平面内都有唯一得一点M (即坐标为(x,ｙ)得点）与它对应。

也就就是说,坐标平面内得点与有序实数对就是一一对应得。

(七）建立平面直角坐标系
P６8 探究:如图,正方形ABCD得边长为6、
(1)如果以点A为原点,AＢ所在得直线为x轴，建立平面坐标系，那么y 轴就是哪条线？ y轴就是AD所在直线。

（2)写出正方形得顶点A、B、C、D得坐标、 A（0,0）, B（0,６)，C(6,6)， D(6，０）、
(3)请您另建立一个平面直角坐标系,此时正方形得顶点A、Ｂ、Ｃ、D得坐标又分别就是多少?与同学交流一下。

可以瞧到建立得直角坐标系不同,则各点得坐标也不同。

您认为怎样建立直角坐标系才比较适当？（要尽量使更多得点落在坐标轴上)
（八）课堂小结
我们这节课学了哪些内容?
ｘ轴：（ｘ，0)
1、数轴
y轴: (0,y) 平面直角坐标系２、原点:(0,0)
第一象限 :(＋，+）
3、象限第二象限 :(-,＋)
第三象限:(－,-）
第四象限:（＋,-) 坐标平面内得点与有序实数对就是一一对应得.
(九)作业：第７０页第5题
７、2、1 用坐标表示地理位置
教学目标:
1、了解用平面直角坐标系来表示地理位置得意义及主要过程;培养学生解决实际问题得能力.
２、通过学习如何用坐标表示地理位置，发展学生得空间观念。

3、通过学习,学生能够用坐标系来描述地理位置
教学重点：利用坐标表示地理位置．
教学难点:建立适当得直角坐标系，利用平面直角坐标系解决实际问题.教学过程
一、创设问题情境
观察:教材第7３页图7．2-1。

今天我们学习如何用坐标系表示地理位置,首先我们来探究以下问题.
二、新课讲授
活动1：
根据以下条件画一幅示意图，指出学校与小刚家、小强家、小敏家得位置。

小刚家:出校门向东走150米,再向北走20０米.
小强家:出校门向西走20０米,再向北走3５0米,最后再向东走50米.
小敏家：出校门向南走１０0米,再向东走３０0米，最后向南走75米.
问题：如何建立平面直角坐标系呢?以何参照点为原点?如何确定x轴、y 轴？如何选比例尺来绘制区域内地点分布情况平面图？
小刚家、小强家、小敏家得位置均就是以学校为参照物来描述得,故选学校位置为原点。

根据描述,可以以正东方向为x轴,以正北方向为y轴建立平面直角坐标系,并取比例尺1:１000０（即图中1cｍ相当于实际中1０00０cm,即100米).
由学生画出平面直角坐标系,标出学校得位置,即(0，０)。

引导学生一同完成示意图．
问题:选取学校所在位置为原点,并以正东、正北方向为ｘ轴、y轴得正方向有什么优点？
可以很容易地写出三位同学家得位置。

活动２:归纳利用平面直角绘制区域内一些地点分布情况平面图得过程．
经过学生讨论、交流,教师适当引导后得出结论:
(１）建立坐标系，选择一个适当得参照点为原点,确定x轴、ｙ轴得正方向;
（2）根据具体问题确定适当得比例尺，在坐标轴上标出单位长度；
(３）在坐标平面内画出这些点,写出各点得坐标与各个地点得名称.
应注意得问题：
用坐标表示地理位置时,一就是要注意选择适当得位置为坐标原点，这里所说得适当，通常要么就是比较有名得地点,要么就是所要绘制得区域内较居中得位置;二就是坐标轴得方向通常就是以正北为纵轴得正方向,这样可以使东西南北得方向与地理位置得方向一致；三就是要注意标明比例尺与坐标轴上得单位长度。

有时,由于地点比较集中,坐标平面又较小，各地点得名称在图上可以用代号标出,在图外另附名称。

（举例)
练习:若向西走200米,再向北走350米,记为(-20０,350)
则向北走35０米,再向西走2０0米，如何记?
(—2００,-3５0)又表示什么意思呢?
活动3:进一步理解如何用坐标表示地理位置。

展示问题:(教材第56页，公园平面图）
春天到了,初一（13)班组织同学到人民公园春游,张明、王丽、李华
三位同学与其她同学走散了,同学们已经到了中心广场,而她们仍在牡丹园赏花，她们对着景区示意图在电话中向老师告诉了她们得位置。

张明：“我这里得坐标就是(３００,300)＂。

王丽:“我这里得坐标就是(200,３００）”。

李华:“我在您们东北方向约420米处＂.
实际上，她们所说得位置都就是正确得。

您知道张明与王丽同学就是如何在景区示意图上建立得坐标系吗?您理解李华同学所说得“东北方向约42０米处”吗?
用她们得方法，您能描述公园内其她景点得位置吗?
让学生分别画出直角坐标系,标出其她景点得位置。

三、小结
1、让学生归纳说出如何利用坐标表示地理位置。

２、建立恰当得坐标系
四、课后作业
教材第78页习题7.2 第1,8,1０题
7、2、２用坐标表示平移(1）
教学目标：１、掌握坐标变化与图形平移得关系;能利用点得平移规律将平面图形进行平移;会根据图形上点得坐标得变化，来判定
图形得移动过程。

2、发展学生得形象思维能力，与数形结合得意识。

3、用坐标表示平移体现了平面直角坐标系在数学中得应用。

教学重点：掌握坐标变化与图形平移得关系．
教学难点:利用坐标变化与图形平移得关系解决实际问题．
教学过程
一、引言
上节课我们学习了用坐标表示地理位置,本节课我们继续研究坐标方法得另一个应用。

二、新课讲授
展示问题：教材第７5页图。

（1）如图将点A(-2,－３）向右平移5个单位长度,得到点A１,在图上标出它得坐标,把点Ａ向上平移４个单位长度呢?
(2)把点A向左或向下平移4个单位长度,观察她们得变化,您能从中发现什么规律吗?
（３）再找几个点,对她们进行平移，观察她们得坐标就是否按您发现得规律变化？
规律:在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右（或左)平移ａ个单位长度,可以得到对应点(x+a,y）(或( , )）;将点（x，ｙ)向上（或下)平移b个单位长度,可以得到对应点(ｘ,y+b)（或( , ）)．
教师说明：对一个图形进行平移,这个图形上所有点得坐标都要发生相应得变化;反过来,从图形上得点得坐标得某种变化,我们也可以瞧出对这个图形进行了怎样得平移。

例:如图（1）,三角形ＡBC三个顶点坐标分别就是A(4，3)，B(３,1), C（１,2）。

(1)将三角形ABC三个顶点得横坐标后减去6,纵坐标不变，分别得到点
A1、Ｂ1、C1,依次连接A1、Ｂ1、Ｃ１各点,所得三角形A１B1C1与三角
形ABC得大小、形状与位置上有什么关系?
(2)将三角形ABC三个顶点得纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到
点Ａ2、B2、Ｃ2,依次连接A2、Ｂ2、C２各点，所得三角形A2Ｂ2C2
与三角形ABC得大小、形状与位置上有什么关系?
引导学生动手操作,按要求画出图形后,解答此例题.
解:如图(7、2—7），所得三角形Ａ1B1C1与三角形AＢC得大小、形状完全相同,三角形A１B1C1可以瞧作将三角形AＢＣ向左平移6个单位
长度得到。

类似地，三角形A2Ｂ2C2与三角形AＢＣ得大小、形状完
全相同,它可以瞧作将三角形AＢC向下平移５个单位长度得到. 思考题：
（１)如果将这个问题中“横坐标都减去６”，纵坐标都减去5”相应地变为“横坐标都加３”, 纵坐标都加2”，分别能得出什么结论？画出所得到得图形
(2）如果将三角形ABC三个顶点得横坐标都减去6，同时纵坐标都减去5，能得出什么结论？画出所得到得图形。

(由学生动手画图并解答)
练习：教材第78页练习；习题7．2中第2、6题。

三、小结归纳:
在平面直角坐标系中,如果把一个图形各点得横坐标都加上（或减去)一个正数a，相应得新图形就就是把原图形向（或向）平移个单位长度；如果把它各个点得纵坐标都加上（或减去)一个正数
a,相应得新图形就就是把原图形向 （或向 ）平移 个单位长度。

四、作业:教材第78页第3、４题。

7、２、２用坐标表示平移(2)
教学目标：1、 进一步掌握坐标变化与图形平移得关系;程.
2、 发展学生得形象思维能力，与数形结合得意识
教学重点:用坐标变化解决实际问题。

教学难点： 实际问题转化为数学问题。

教学过程
一、复习提问：
1、在直角坐标系中如何平移一个图形?
2、一个三角形ＡBC 三个顶点得坐标分别为(-1,4）、(2,3)、(—4，—
1）向上平移3个单位后三个顶点得坐标分别
为 、 、 。

再向右平移4个单位呢？
二、新课讲授
例１：教材第78页第５题
这就是一所学校得平面图，建立适当得直角坐标系,并用坐标表示教学楼、图书馆、校门、实验楼、国旗杆得位置,类似得,您能用坐标表示学校各主要建筑物得位置吗?
说明:建立坐标系时,原点选得位置不一样,则
其它对应各点得坐标也不一样
例２:如图,已知A (—２,-３)、Ｂ(3,2）、C (4,-2)把x
轴向下平移一个单位,原三个点A 、B 、C 得
坐标依次娈为多少?再把y 轴向左平移
一个单位呢？
教学楼
图书馆国旗杆实验楼校门
归
纳:把x 轴向下平移１个单位就就是把所有点得坐标向 平移 个单位
把x 轴向上平移1个单位就就是把所有
点得坐标向 平移 个单位
把y 轴向左平移1个单位就就是把所有点得坐标向 平移 个单位
把y 轴向右平移1个单位就就是把所有点得坐标向 平移 个单位
练习：
填空题:
1、如图，一个班级在军训中排列成8×6方队，行数自上而下,列数自左向右,如果用（ 2, ３) 表示第二行
第三列得位置， 那么第五行第六列
同学得位置可以表示为______，（4,4)
表示__＿____,黑点处同学得位置可表
示为＿＿＿_____、
２、如图三角形COB 就是由三角形AOB 经
过 某中变换后得到得图形，观察点A
与点C 得坐标之间得关系，如果三角形AOB 中任意一点M 得坐标为(x,y ）， 它对应点Ｎ 得坐标为＿＿____＿＿_＿、
3、已知点Ｐ（a ，b)到ｘ轴得距离为2,到ｙ 轴得距离为5,且│ａ－ｂ│=│a －b │, 则点P 得坐标为_____＿___、 x
y 012346-1-2-3-45-2-154321C B A
解答题：
１、如图，写出第4个点D，使四个点构
成平行四边形
2、在直角坐标系中，依次连接点(1,0）,（1，
3)，(7，3),(７，０),（1,0)与点（0，３),
(8,３）,(4,5),(0,3)两组图形共同组成了一
个什么图形?如果将上面各点得横坐标都加
上1，纵坐标都减1，那么用同样方式连接相应各点所得得图形发生了哪些变化?
三、小结归纳:
灵活用坐标变化解决实际问题
四、作业:教材第79页第７、９题。

第七章小结(1）
教学目得: １、回顾本章知识点,比较全面了解平面直角坐标系中各象限与坐标轴上得点得坐标特征、
2、掌握平面直角坐标系中坐标得特点，能根据点得位置
表示出坐标,能根据点得坐标描出点得位置、
3、掌握建立适当平面直角坐标系得方法，能用坐标表示物
体得地理位置,掌握坐标得变化与平移之间得关系、
教学重点：准确地右角定出平面内得位置、
教学难点：平面直角坐标系得实际应用、
教学过程
一、分析本章知识结构图
二、回顾与思考
１、在日常生活中，我们可以用有序数对来描述物体得位置,以教室中位置为例说明有序数对（x,ｙ）与（y，x)就是否相同以及为什么?
2、平面直角坐标系由两条互相垂直且有公共原点得数轴组成, 请您举
例说明如何建立平面直角坐标系,在直角坐标平面内描出P（2,４)与原点位置,并指出P 与原点得横坐标与纵坐标、
3、平面直角坐标系得两条坐标轴将平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分,
这四个部分依次称为第一象限、第二象限、第三象限，请您在直角坐标平面内描出点Ａ（ 2,1)，Ｂ（—2，1),C（—2，—１),D（2,—1)得位置,并说明它们所在得象限、
４、平面直角坐标系具有广泛应用,请您举例说明它得应用、
由学生回顾全章内容后,回答以下问题:
(1)让学生举实例说明有序数对就是有顺序得,(x,ｙ)与(ｙ,x）就
是不相同得, 若列前排后，则(x，y)表示ｘ列y排,(y,x)则表示y
列x排、
(2)P（２,4)得横坐标为2,纵坐标为4,原点得横坐标为0,纵坐标为0、
（３）展示学生完成得答案
A在第一象限,B在第二象限,Ｃ在第三象限,D在第四象限、(第一象限上得点横纵标均为正数, 第二象限得点横坐标为负数，纵坐标为正数,第三象限上得点横纵坐标场为负数, 第四象限上得点横坐标为正数,纵坐标为负数)、
(4)可利用平面直角坐标系表示地理位置,可以用坐标表示图形得平移等、
例1:指出下列各点得横坐标与纵坐标，并指出它们所在象限: A（２，3),B（-2，３）,C（—2,-3)，D（２,—3)、
解:A(2,3)横坐标为2，纵坐标为3,在第一象限、
B(-2，3)横坐标为—2,纵坐标为3，在第二象限、
C(-２，—３）横坐标为—２，纵坐标为-3，在第三象限、
D(2，—３)横坐标为２,纵坐标为—３,在第四象限、例2:在方格纸上建立平面直角坐标系，并描出下列各点：
A(1,1）, B(5,1）, C（3,3）, D（-３，3）， E(1,-2), F（1，４)，Ｇ(3，2)，Ｈ（3,－2)， I(-1,—1)， J（—1，1)、
连结AB, CD， EF,ＡH,IJ,找出它们中点得坐标，将上述中点得横坐标与纵坐标分别与对应线段得两个端点得横坐标与纵坐标进行比较，您发现它们之间有什么关系？写出您得发现, 并与其她同学进行交流、
解：如图ＡB中点坐标为(3,1）,CＤ中点坐标为(0,3),EF中点坐标
为（—1,０),ＧH中点坐标为（3,0),ＩJ中点坐标为(—１,0)发
现，中点得横坐标(或纵坐标）分别就是对应线段得两个端点得
横坐标（或纵坐标）之与得一半、
例3:如图,三角形PＱＲ就是三角形ABC经过某种变换后得到得图形，分别写出点A 与点P，点B与点Q,点C到点Ｒ得坐标，并观察它
们之间得关系、如果三角形ABＣ中任意一点M得坐标为(x,ｙ)，
那么它得对应点N得坐标就是什么?
分析:观察三角形PQR变换到△ABC时对应点坐标关系,发现对应横、纵坐标都互为相反数，从而得出Ｎ点坐标、
解：A（4，3)，B(3,1）,Ｐ(—4，-3），Q(-３,—１），发现两图
形就是关于原点对称,若m(ｘ,y）,则它得对应点(—x，-y)、三、作业
教科书Ｐ84-P8５、复习题第1,2,3,４，5题。