余角、补角、对顶角的概念和习题答案
七年级数学上册余角、补角、对顶角配套练习及答案
6.3 余角、补角、对顶角（二）一、基础训练1．如果两个角是对顶角，那么这两个角一定________________． 2．如图，其中共有________对对顶角．3．如图，直线AB 、CD 相交于O ，且∠AOC ＋∠BOD =120 º，则∠AOC 的度数为 ． 4．如图，直线AB 和CD 相交于O ，∠AOE = 90 º ，那么图中∠DOE 与∠COA 的关系是 ． 二、典型例题例1 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，∠DOE =30 º，求∠AOC 的度数．分析 欲求∠AOC ，根据对顶角相等只需先求出∠BOD ，而利用角平分线的定义 容易求得∠BOD ．例2 如图，直线AB 与CD 相交于点O ，∠BOE =90°，∠COE =30°，求∠AOD 的度数．分析 欲求∠AOD ，根据对顶角相等只需先求∠BOC ，而∠BOC 即为 ∠BOE 的∠COE 和．例3 如图，两条直线AB 与CD 相交于O ，OE 平分∠AOD ，且∠EOF =90°，∠BOC =30°，求∠COF 的度数．分析 因为∠AOB 为平角，欲求∠COF 只需先求∠AOF ，又∠EOF =90°， 故应先求∠AOE ，而利用对顶角相等及角平分线可容易求得∠AOE ．三、拓展提升如图，已知直线AB 、CD 、EF 交于点O ，∠BOC =∠AOC ． （1）图中∠AOE 的补角有 ；图中的对顶角共有 对； （2）若∠AOE ：∠AOD =1：3，求∠BOF 、∠DOF 的度数．分析 首先通过∠BOC =∠AOC 可知AB 、CD 相交所组成的四个角均是直角，然后根据∠AOE ：∠AOD =1：3，可设∠AOE 为x °，∠AOD 为3x °，建立方程来解决．本题在找对顶角时还要注意按顺序，做到不重复也不遗漏．B ADCOE A BC EDGF H（第2题图）ABCDO（第3题图）（第4题图）ABDOCE AOBCDE F FABEDOC四、课后作业1．图中共有 对对顶角．2．∠1和∠2互余，∠2和∠3是对顶角，且∠1=63°，则∠3=_____． 3．如图,∠AOB =90°,直线CD 过点O ,且∠AOC =50°, 则∠DOB = °． 4．如图，射线OB 的反向延长线表示的方位是 ．5．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 是射线，OD 是∠BOE 的角平分线，且∠DOE =35°，则∠AOC = °．6．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠COE ，∠DOB =40°,求∠DOE ．7．如图，直线AB 、CD 相交于点O ,OE 是∠AOD 的平分线，∠FOC =90 º，∠1=54º,求∠2与∠3的度数．8．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，已知∠AOC =80 º，OE 把∠BOD 分成两个角，且∠BOE ：∠EOD =2：3，求∠EOD 的度数．9．如图，直线AB 、CD 、EF 相交于同一点O ，而且∠BOC =∠AOC ，∠ DOF =21∠BOE ，求∠EOC 的度数．（第1题图）30OB东北西（第4题图）ED BOAC （第5题图）ABCD OEA OB CF DE 132 C OBDE A ABDCE FO6.3余角、补角、对顶角（二） 一、基础训练 1．相等 2.4 3.60 4.互与 二、典型例题例1.∵OE 平分∠BOD ，∴∠BOD =2∠DOE =60°，∵∠BOD 与∠AOC 是对顶角，∴∠AOC =∠BOD =60°例2．∵∠BOE =90°，∠COE =30°，∴∠BOC =∠BOE +∠COE =120°，∵∠AOD 与∠BOC 是对顶角，∴∠AOD =∠BOC =120°例3．∵∠AOD 与∠BOC 是对顶角，∴∠AOD =∠BOC =30°，∵OE 平分∠AOD ，∴∠AOE =21∠AOD =15°，∴∠AOF =∠EOF -∠AOE =75°，∴∠COF =180°-∠AOF -∠BOC =75°. 三、拓展提升（1）∠BOE 、∠AOF ；6（2）∠BOF =22.5°、∠DOF =67.5° 四、课后作业 1.2 2.27 3.140 4.南偏西30° 5.35 6.100°7.∠2=36°、∠3=72° 8.48° 9.30°。
第12讲 角及余角、补角、对顶角(9大考点)(解析版)
第12讲角及余角、补角、对顶角（9大考点）考点考向一、角的相关概念1）角的定义：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边，构成角的两个基本条件：一是角的顶点，二是角的边．角的另一种定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的．如图4-3-7所示，∠BAC可以看成是以A为端点的射线，从AB的位置绕点A旋转到AC的位置而成的图形．如图4-3-8所示，射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角；如图4-3-9所示，射线OA绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角.2）角的分类：小于平角的角可按大小分成三类：当一个角等于平角的一半时，这个角叫直角；大于零度角小于直角的角叫锐角（0°<锐角<90°）；大于直角而小于平角的角叫钝角（90°<钝角<180°）．1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°．3）角的表示方法：角用几何符号“∠”表示，角的表示方法可归纳为以下三种：(1)用三个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，记作∠AOB或∠BOA，其中，O是角的顶点，写在中间；A和B分别是角的两边上的一点，写在两边，可以交换位置．(2)用一个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，可记作∠O．用这种方法表示角的前提是以这个点作顶点的角只有一个，否则不能用这种方法表示，如图4-3-4所示，∠AOC就不能记作∠O．因为此时以O为顶点的角不止一个，容易混淆．(3)用数字或小写希腊字母来表示，用这种方法表示角时，要在靠近顶点处加上弧线，注上阿拉伯数字或小写希腊字母α、β、γ等．如图4-3-4所示，∠AOB记作∠l，∠BOC记作∠2；如图4-3-5所示，∠AOB记作∠β，∠BOC记作∠α．4）度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器量角时要注意：(1)对中（顶点对中心）；(2)重合（一边与刻度尺上的零度线重合） (3)读数（读出另一边所在线的刻度数）．5）角的换算：在量角器上看到，把一个平角180等分，每一份就是1°的角．1°的160为1分，记作“1′”，即l°＝60′.1′的160为1秒，记作“1″”，即1″＝60″．二、角的比较1）角的比较方法(1)度量法：如图4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2．(2)叠合法：比较∠ABC与∠DEF的大小，先让顶点B、E重合，再让边BA和边ED重合，使另一边EF和BC落在BA(DE)的同侧．如果EF和BC也重合(如图4-4-5(1)所示），那∠DEF 等于∠ABC．记作∠DEF＝∠ABC;如果EF落在∠ABC的外部(如图4-4-5(2)所示），那么∠DEF 大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC;如果EF落在∠ABC的内部(如图4-4-5(3)所示），那么∠DEF 小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC.提示：叠合法可归纳为“先重合，再比较”.2）角的和、差由图4-4-7(1)、(2)，已知∠1，∠2，图4-4-7(3)中，∠ABC＝∠1+∠2；图4-4-7(4)中，∠GEF＝∠DEG-∠1．3）角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．如图4-4-9所示，射线OC 是∠BOA 的平分线，则∠BOC ＝∠COA ＝21∠BOA ,∠BOA ＝2∠BOC ＝2∠COA . 4）方向的表示○1方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角。
余角、补角、对顶角(1)
其理由是___等__角__的__补__角__相__等__．
课堂小结
两角间的 数量关系
对应图形
互余
1 2 90
互补
1 2 180 (1 180 2)
性质 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等
45°
30°
(90－n) °
动手操作
➢请你借助直角三角板，在原图上画出∠1所有的余角。
（1）图中有哪几对互余的角?
A
1与2； 1与3
（2）猜想:图中∠2、∠3的大小有什么关系？
2
O3
2=3
（3）你的猜想正确吗?
B （4）你能用一句话概括以上规律吗?
同角的余角相等。
思考：如果两个角相等，它们的余角相等吗？
∠1是∠2的余角，还可以说 ∠2是∠1的余角语言：
因为∠α+∠β=90°,
所以∠α与∠β互余．
反之：因为∠α与∠β互余，
所以∠α+∠β=90°
即∠α＝90°－∠β， 或∠β＝90°－∠α．
课堂互学
填写下面的表格
∠α的度数 500
450
600
n0 (0＜n＜90)
∠α的余角 40°
6.3.1 余角、补角
观察思考
如图所示，∠α与∠β 的度数之间有怎样的关系？
α
β
旋转上面这块三角板， ∠α、∠β 有怎样的变化？ ∠α + ∠β有怎样的变化？
∠α＋∠β＝90°
概念生成
余角的概念
如果两个角的和等于 一个直角 ，就说这两个角互为余角， 简称互余，即其中的一个角是另外一个角的余角.
余角、补角、对顶角(通用版)(含答案)
余角、补角、对顶角（通用版）试卷简介:考查学生对余角、补角、对顶角的定义以及对同角（或等角）的余角相等、同角（或等角）的补角相等、对顶角相等的掌握情况，并利用这些进行简单的计算.一、单选题(共16道，每道6分)1.如图，∠1，∠2是对顶角的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：对顶角的定义2.下列语句正确的是( )A.若两个角不是对顶角，则这两个角不相等B.若两角相等，则这两个角是对顶角C.若两个角是对顶角，则这两个角相等D.以上判断都不对答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：对顶角相等3.下面四个图形中，∠1=∠2一定成立的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：对顶角相等4.如果一个角的补角是120°，那么这个角的余角是( )A.130°B.60°C.30°D.20°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角的定义5.如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角是( )A.130°B.140°C.150°D.160°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角的定义6.已知∠1与∠2互余，且∠1=35°，则∠2的补角的度数为( )A.145°B.115°C.135°D.125°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角的定义7.如图，∠AOB=15°，∠AOC=90°，点B，O，D在同一直线上，则∠COD的度数为( )A.75°B.15°C.105°D.165°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角的定义8.如图，OC⊥AB，∠COD=45°，则图中互为补角的角共有( )A.1对B.2对C.3对D.4对答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角的定义9.如图，OA⊥OB，OC⊥OD，则( )A.∠AOC=∠AODB.∠AOC=∠BODC.∠AOD=∠BODD.以上结论都不对答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：余角的定义10.如果∠α和∠β互余，则下列式子中：①180°-∠β；②∠α+2∠β；③90°+∠α；④2∠α+∠β．能表示∠β补角的有( )A.①③B.①④C.①③④D.①②③④答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角的定义11.如图，∠AOC=∠BOD=90°，若∠AOB=150°，则∠DOC的度数为( )A.30°B.40°C.50°D.60°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：余角的定义12.如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=110°，则∠BOD的度数是( )A.25°B.35°C.45°D.55°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：对顶角相等13.如图，∠COD为平角，AO⊥OE，，则∠EOD的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平角的定义14.如图，已知AB⊥CD，垂足为点O，EF过点O，则图中∠FOB与∠EOD的关系是( )A.∠FOB+∠EOD=180°B.∠FOB+∠EOD=90°C.∠FOB=∠EODD.无法确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角的定义15.若∠α与∠β互余，∠β与∠γ互余，则∠α与∠γ的关系是( )A.互余B.互补C.相等D.不确定答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角的定义16.如果∠A与∠B互补，∠B与∠C互余，则∠A与∠C的关系是( )A.互余B.互补C.∠A-∠C=90°D.∠A-∠C=180°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角的定义。
6.3余角、补角和对顶角
A．2个B．3个C．4个D．6个
A．20°B．40°C．50°D．60°
A．B．C．D．
A．B．C．D．
2、相交线
（1）相交线的定义
两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
【练习】
1（2006•河南）两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（）A．一定有一个锐角B．一定有一个钝角
C．一定有一个直角D．一定有一个不是钝角
3（2011•柳州）如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（）
A．∠2和∠3B．∠1和∠3C．∠1和∠4D．∠1和∠2
4（2009•南平）如图，某同学在课桌上随意将一块三角板的直角叠放在直尺上，则∠1+∠2的度数是（）
A．45°B．60°C．90°D．180°。
七上平面图形的认识(一) 第3节 余角、补角、对顶角练习 含答案 全面
第3节余角、补角、对顶角一、填空题1．如图．直线AB、CD相交于点O，∠1＝50°，则∠2＝_______°．2．下列说法：①对顶角的角平分线在同一条直线上；②相等的角是对顶角；③一个角的邻补角只有一个；④补角即为邻补角，其中正确的有_______．3．如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠AOC，若∠AOD＝50°，则∠BOE＝______．4．如图，直线AB、EF相交于点D，∠ADC＝90°，∠1的对顶角是_______；∠2的余角有_______．5．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，且∠AOC＝∠AOD－80°，则∠AOE ＝______°．二、选择题6．下列叙述中，是对顶角的是( )A．两条直线相交所成的角B．有公共顶点且方向相反的两个角C．两条直线相交所成的角，且有一个公共顶点没有公共边D．有公共顶点并且相等的两个角7．如图，∠1和∠2是对顶角的图形有( )A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，则∠BOD的度数等于( )A．30°B．35°C．20°D．40°9．下面4个命题中正确的是( )A．相等的两个角是对顶角B．和等于90°的两个角互为余角C．如果∠1＋∠2＋∠3＝180°，那么∠1，∠2，∠3互为补角D．一个角的补角一定大于这个角10．如图，直线AB、CD、OE相交于一点O，那么构成的对顶角有( ) A．2对B．3对C．4对D．6对三、解答题11．如图，若∠1：∠2＝2；7，求各角的度数．12．如图，AB、CD相交于O，OF是∠AOD的平分线，∠AOC＝30°，求∠AOF的度数．13．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝70°，OE把∠BOD分成两部分，∠BOE：∠EOD＝2：3，试求∠EOD的度数．14．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOC＝90°，OG平分∠AOE，∠FOD＝28°，求∠AOG的度数．15．请根据所学知识，解答下列问题：(1)下表反映的是n(n为大于或等于2的正整数)条直线相交于一点时，对顶角的数量情况，填写下表：(2)请根据上表中反映出来的规律，猜想m与n、p与n之间的关系式．(3)2011条直线相交于一点时，有多少个小于平角的角，有多少对对顶角？参考答案1．502．①3．115°4．∠BDF，∠1，∠BDF5．1556．C7．A8．B9．B 10．A11．∠1＝40°，∠2＝140°，∠3＝40°，∠4＝140°12．75°13．42°14．59°15．(1)第4行：24，12；第5行：25，40，20(2)p＝n2－n，m＝2p＝2(n2－n)＝2n2－2n(3)有8084220个小于平角的角，有4042110对对顶角。
七年级数学上册数学 6.3余角、补角、对顶角(三大题型)(解析版)
6.3余角、补角、对顶角分层练习考察题型一余角、补角的概念1．下列图中，1∠和2∠互为邻补角的是()A．B．C．D．【详解】解：根据邻补角的定义可知：只有选项D中1∠互为邻补角．∠和2故本题选：D．2．A∠的补角为12512︒'，则它的余角为()A．5418︒'B．3512︒'D．以上都不对︒'C．3548【详解】解：18012512，∠=︒-︒'A︒-∠=︒-︒-︒'=︒'-︒=︒'．A∴∠的余角为9090(18012512)12512903512A故本题选：B．3．如果一个角的补角是这个角余角的2.5倍，那么这个角的度数是()A．30︒B．60︒C．90︒D．120︒【详解】解：设这个角的度数为x，则它的余角为：90x︒-，︒-，补角为：180x由题意可得：180 2.5(90)x x︒-=︒-，解得：30x=︒．故本题选：A．4．如图，90∠的大小为()∠=︒，则BOCAOC BODAOD∠=∠=︒，126A．36︒B．44︒C．54︒D．63︒【详解】解：90AOC ∠=︒ ，126AOD ∠=︒，36COD AOD AOC ∴∠=∠-∠=︒，90BOD ∠=︒ ，BOC BOD COD ∴∠=∠-∠9036=︒-︒54=︒．故本题选：C ．5．如果互补的两个角有一条公共边，那么这两个角的平分线所成的角是()A ．一定是直角B ．一定是锐角C ．锐角或钝角D ．直角或锐角【详解】解： 两角互补，∴两角之和为180度，如图，有两种情况：，∴互补的两个角的平分线所成的角可能为直角也可能为锐角．故本题选：D ．6．已知α∠是锐角，α∠与β∠互补，α∠与γ∠互余，则βγ∠-∠的度数为()A ．180︒B ．90︒C ．45︒D ．无法确定【详解】解：α∠ 是锐角，α∠与β∠互补，α∠与γ∠互余，180αβ∴∠+∠=︒，90αγ∠+∠=︒，180βα∴∠=︒-∠，90γα∠=︒-∠，180(90)90βγαα∴∠-∠=︒-∠-︒-∠=︒．故本题选：B ．7．如图，直线AB 和CD 相交于点O ，OB 平分DOE ∠，90EOF ∠=︒．若AOF α∠=，COF β∠=，则以下等式一定成立的是()A ．290a β+=︒B ．290a β+=︒C ．45a β+=︒D ．2180a β+=︒【详解】解：OB 平分DOE ∠，DOB EOB ∴∠=∠，又90EOF ∠=︒ ，180AOF EOF BOE ∠+∠+∠=︒，90AOF BOE ∴∠+∠=︒，AOF α∠= ，COF β∠=，90COE β∴∠=︒-，90BOE α∠=︒-，2180COE BOE COD ∠+∠=∠=︒ ，902(90)180βα∴︒-+︒-=︒，即290αβ+=︒．故本题选：A ．8．下列说法中，错误的是()A ．互余且相等的两个角各是45︒B ．一个角的余角一定小于这个角的补角C ．如果123∠+∠=∠，那么1∠的余角与2∠的余角的和等于3∠的余角D ．如果123∠+∠=∠，那么1∠的余角与2∠的余角的和等于3∠的补角【详解】解： 互余的两个角的和为90︒，∴互余且相等的两个角各是45︒，故A 正确；设一个角为α，则其余角为90α︒-，补角为180α︒-，∴180(90)90αα︒--︒-=︒，∴一个角的余角一定小于这个角的补角，故B 正确；1∠ 的余角和2∠的余角分别为901︒-∠，90︒-∠2，且123∠+∠=∠，901902180(12)1803∴︒-∠+︒-∠=︒-∠+∠=︒-∠，那么如果123∠+∠=∠，那么1∠的余角与2∠的余角的和等于3∠的补角，故C 错误，D 正确．故本题选：C ．9．如图，已知A ，O ，B 三点在同一直线上，且OC 平分BOD ∠，OE 平分AOD ∠，下列结论：①BOC ∠与AOE ∠互余；②BOE ∠与EOD ∠互补；③180AOD BOE EOD ∠+∠=∠+︒；④2AOC BOC EOD ∠-∠=∠．其中正确的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【详解】解：OC 平分BOD ∠，OE 平分AOD ∠，12BOC DOC BOD ∴∠=∠=∠，12AOE DOE AOD ∠=∠=∠，180BOC AOE ∠+∠=︒ ，90BOC AOE ∴∠+∠=︒，180BOE EOD ∠+∠=︒，BOC ∴∠与AOE ∠互余，BOE ∠与EOD ∠互补，故①②正确；180AOD BOE BOE AOE EOD EOD ∴∠+∠=∠+∠+∠=∠+︒，故③正确；2AOC BOC AOC COD AOD EOD ∴∠-∠=∠-∠=∠=，故④正确．故本题选：D ．考察题型二余角、补角的性质1．下列结论：①互补且相等的两个角都是45︒；②同角的余角相等；③若123180∠+∠+∠=︒，则1∠，2∠，3∠互为补角；④锐角的补角是钝角；⑤锐角的补角比其余角大80︒．其中正确的个数为()A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【详解】解：①互补且相等的两个角都是90︒，原说法错误；②同角的余角相等，原说法正确；③如果两个角的和等于180︒，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角，顾互为补角是指两个角之间的关系，原说法错误；④锐角的补角是钝角，原说法正确；⑤锐角的补角比其余角大90︒，原说法错误；综上，正确的有2个，故A 正确．故本题选：A ．2．下列推理错误的是()A ．因为12180∠+∠=︒，13∠=∠，所以23180∠+∠=︒B ．因为1290∠+∠=︒，2390∠+∠=︒，所以13∠=∠C ．因为12180∠+∠=︒，23180∠+∠=︒，所以13∠=∠D ．因为1290∠+∠=︒，所以1245∠=∠=︒【详解】解：A ．A ．12180∠+∠=︒，13∠=∠，由等量代换可得：23180∠+∠=︒，正确；B ．1290∠+∠=︒，2390∠+∠=︒，由等角的余角相等可得：13∠=∠，正确；C ．12180∠+∠=︒，23180∠+∠=︒，由等角的补角相等可得：13∠=∠，正确；D ．1∠与2∠不一定相等，由1290∠+∠=︒，不能推出1245∠=∠=︒，故错误．故本题选：D ．3．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中α∠与β∠一定相等的是()A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④【详解】解：图①，由“同角的余角相等”可得：αβ∠=∠；图②，135α∠=︒，120β∠=︒；图③，由“等角的补角相等”可得：αβ∠=∠；图④，1809090αβ∠+∠=︒-︒=︒，互余；综上，α∠与β∠一定相等的是图①和图③．故本题选：B ．4．如图，90AOB COD EOF ∠=∠=∠=︒，则1∠，2∠，3∠之间的数量关系为()A ．12390∠+∠+∠=︒B ．12390∠+∠-∠=︒C ．23190∠+∠-∠=︒D ．12390∠-∠+∠=︒【详解】解：390BOC DOB BOC ∠+∠=∠+∠=︒ ，3BOD ∴∠=∠，190EOD ∠+∠=︒ ，2190BOD ∴∠-∠+∠=︒，32190∴∠-∠+∠=︒，故本题选：D ．5．如图，已知12∠=∠，34∠=∠，1902BOD AOB ∠=∠=︒．下列判断：①射线OF 是BOE ∠的角平分线；②BOC ∠是DOE ∠的补角；③AOC ∠的余角只有COD ∠；④DOE ∠的余角有BOE ∠和COD ∠；⑤COD BOE ∠=∠．其中正确的有()A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【详解】解： 12∠=∠，∴射线OF 是BOE ∠的角平分线，故①说法正确；34∠=∠，BOC ∠是4∠的补角，∴BOC ∠是DOE ∠的补角，故②说法正确；34∠=∠，1902BOD AOB ∠=∠=︒，∴COD BOE ∠=∠，故⑤说法正确；AOC ∠的余角有COD ∠和BOE ∠，故③说法错误；DOE ∠的余角有BOE ∠和COD ∠，故④说法正确；综上，正确的有4个．故本题选：B ．6．如图，O 是直线AB 上一点，OE 平分AOB ∠，90COD ∠=︒．则图中互余的角、互补的角各有()对．A ．3，3B ．4，7C ．4，4D ．4，5【详解】解：OE 平分AOB ∠，90AOE BOE ∴∠=∠=︒，90COD ∠=︒，∴互余的角有AOC ∠和COE ∠，AOC ∠和BOD ∠，COE ∠和DOE ∠，DOE ∠和BOD ∠共4对， 由“等角的补角相等”可得：AOC ∠=DOE ∠，COE ∠=BOD ∠，∴互补的角有AOC ∠和BOC ∠，DOE ∠和BOC ∠，COE ∠和AOD ∠，BOD ∠和AOD ∠，AOE ∠和BOE ∠，AOE ∠和COD ∠，COD ∠和BOE ∠共7对．故本题选：B ．考察题型三对顶角1．泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是()A ．同角的余角相等B ．同角的补角相等C ．等角的余角相等D ．等角的补角相等【详解】解：论证“对顶角相等”使用的依据是：同角的补角相等．故本题选：B ．2．如图，1∠和2∠是对顶角的是()A ．B ．C ．D ．【详解】解：A ．1∠与2∠的两边不是互为反向延长线，不是对顶角；B ．1∠与2∠没有公共顶点，且两边不是互为反向延长线，不是对顶角；C ．1∠与2∠的两边互为反向延长线，且有公共顶点，是对顶角；D ．1∠与2∠的两边不是互为反向延长线，不是对顶角．故本题选：C ．3．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，若AOD ∠减少2618'︒，则(BOC ∠)A ．减少2618'︒B ．增大15342'︒C ．不变D ．增大2618'︒【详解】解：由“两直线相交，对顶角相等”可知：AOD BOC ∠=∠，∴若AOD ∠减少2618'︒，则BOC ∠减少2618︒'．故本题选：A ．4．如图，已知直线AB 和CD 相交于点O ，COE ∠是直角，OF 平分AOE ∠，34COF ∠=︒，则BOD ∠的度数为()A ．22︒B ．34︒C ．56︒D ．72︒【详解】解：COE ∠ 是直角，34COF ∠=︒，903456EOF ∴∠=︒-︒=︒，OF 平分AOE ∠，56AOF EOF ∴∠=∠=︒，563422AOC ∴∠=︒-︒=︒，22BOD AOC ∴∠=∠=︒．故本题选：A ．5．如图，直线AB 、CD 、EF 相交，若15180∠+∠=︒，图中与1∠相等的角有()A．1个B．2个C．3个D．4个【详解】解：15180∠+∠=︒，∠+∠=︒，65180∴∠=∠，16∠=∠，68∴∠=∠，18又13，∠=∠∠相等的角有3个．∴图中与1故本题选：C．6．如图，直线AB、CD相交于点O，90∠=∠=︒．AOE COF（1）DOE∠的余角是（填写所有符合要求的角）．（2）若70∠的度数．∠=︒，求BOFDOE（3）若DOE BOD∠的度数．∠=∠，求EOC【详解】解：（1）90，AOE∠=︒∴∠=︒，90EOB∠互余，∴∠与DOBDOE∠=∠，AOC DOB∠互余，∴∠与EODAOC，∠=︒COF90∴∠=︒，DOF90∠余角，DOE∴∠与EOF∴DOE ∠的余角是BOD ∠、EOF ∠、AOC ∠，故本题答案为：BOD ∠、EOF ∠、AOC ∠；（2）70DOE ∠=︒ ，DOE ∠与DOB ∠互余，20DOB ∴∠=︒，2090110BOF BOD FOD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）90EOB ∠=︒ ，DOE BOD ∠=∠，45BOD ∴∠=︒，45AOC ∴∠=︒，9045135EOC ∴∠=︒+︒=︒．1．已知AOB ∠与BOC ∠互为补角，OD 平分BOC ∠．（1）如图①，若80AOB ∠=︒，则BOC ∠=︒，AOD ∠=︒；（2）如图②，若140AOB ∠=︒，求AOD ∠的度数；（3）若AOB n ∠=︒，直接写出AOD ∠的度数（用含n 的代数式表示），及相应的n 的取值范围．。
七年级数学上册余角、补角、对顶角配套练习及答案
6.3 余角、补角、对顶角（一）一、基础训练1．如果两个锐角的和是 ，则这两个角互为余角，如果两个角的和是 ，则这两个角互为补角．2．若∠α=50º，则它的余角是 ，它的补角是 ． 3．如图，∠ACB =∠CDB =90º，图中∠ACD 的余角有 个． 4．若∠1与∠2互余，∠3和∠2互余，则∠1与∠3的关系是 ，其理由是 ． 5．如果∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180 º，则∠1与∠3的关系是________，其理由是 ． 二、典型例题例1 已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角． 分析 本题我们可以设这个角为x °，通过建立方程来解决．例2 如图，∠AOC 和∠BOD 都是直角，且∠DOC =28º，求∠AOB 的度数．分析 欲求∠AOB ，我们就要找到它与已知角∠AOC 、∠BOD 和∠DOC 之间的关系，通过观察不难发现两个直角的和比∠AOB 多了一个∠DOC．例3 如图所示，已知点A 、O 、B 在一条直线上，∠AOC =∠BOC =∠EOF =90°． （1）指出 ∠COE 的余角；（2）指出 ∠AOE 的补角；（3）指出∠COF 的补角． 分析 运用余角、补角的概念及特征，即可准确地找出（1）、（2）小题 的答案；但寻找∠COF 的补角则要利用等角的余角相等，将其转化为∠AOE ．三、拓展提升如图，O 是直线AB 上的一点，OM 是∠AOC 的角平分线，ON 是∠BOC 的角平分线． （1）图中互余的角有几对？ （2）图中互补的角有几对？分析 本题首先是要知道OM 与ON 组成的是一个直角，其次是在找的时候要注意同角（或等角）的余角（或补角）是相等的．ABDNMCBOAAO B F CEAOBC D四、课后作业1．32°28′的余角为 ，137°45′的补角是 ． 2．若∠1与∠2互余，∠1=（6x +8）º,∠2=(4x -8)º,则∠1= ，∠23．一个锐角的补角比这个角的余角大 °．4．已知互余两个角的差是30º，则这两个角的度数分别是5．如图，∠AOB 为直角，∠COD 为平角，若OC 平分∠AOB ，则 ∠BOD =____________°．6．如图，O 是直线BD 上一点，∠BOC =36º，∠AOB =108º， 则与∠AOB 互补的角有 ．7．如图，∠AOC =∠BOD =90º，∠AOD =130º，求∠BOC 的度数．8．已知一个角的余角比它的补角的49还少5º，求这个角．9．如图，已知：∠AOB =∠DOE =90°，∠1=56°，求∠3的度数．10．如图，AOB 为一条直线，∠COD 是直角，且∠1＋∠2=90 º．（1）请写出图中相等的角，并说明理由；（2）请分别写出图中互余的角和互补的角．DCBAOBEAD132CB ODCA（第6题图）A B O EC D 216.3 余角、补角、对顶角（一）一、基础训练1．90°，180°2.40°，130°3.24.∠1=∠3，同角的余角相等5.∠1=∠3，同角的补角相等二、典型例题例1.设这个角为x°，则180-x=3(90-x)，解得x=45.答：这个角是45°.例2.∵∠AOC为直角，∴∠COD+∠AOD=90，∵∠DOC=28°，∴∠AOD=62°，∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=90°+ 62°=152°.例3.（1）∠AOE、∠COF；（2）∠EOB；（3）∠FOB、∠EOB.三、拓展提升（1）4对；（2）5对.四、课后作业1.57°32′，42°15′2.62°，28°3.90°4.30°，60°5.135°6.∠AOD、∠AOC7.50°8.27°9.56°10.（1）∠1=∠AOC，∠BOE=∠BOC；（2）互余的角有∠1与∠2、∠1与∠AOC；互补的角有：∠1与∠BOE、∠1与∠BOC、∠AOC与∠BOE、∠AOC与∠BOC、∠AOD与∠26.3 余角、补角、对顶角（二）一、基础训练1．如果两个角是对顶角，那么这两个角一定________________．2．如图，其中共有________对对顶角．3．如图，直线AB、CD相交于O，且∠AOC＋∠BOD=120º，则∠AOC的度数为．4．如图，直线AB和CD相交于O，∠AOE=90º，那么图中∠DOE与∠COA的关系是．二、典型例题例1如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠DOE=30º，求∠AOC的度数．分析欲求∠AOC，根据对顶角相等只需先求出∠BOD，而利用角平分线的定义 BA DC O EA B CE DGFH（第2题图）ABCDO（第3题图）（第4题图）容易求得∠BOD ．例2 如图，直线AB 与CD 相交于点O ，∠BOE =90°，∠COE =30°，求∠AOD 的度数． 分析 欲求∠AOD ，根据对顶角相等只需先求∠BOC ，而∠BOC 即为 ∠BOE 的∠COE 和．例3 如图，两条直线AB 与CD 相交于O ，OE 平分∠AOD ，且∠EOF =90°，∠BOC =30°，求∠COF 的度数．分析 因为∠AOB 为平角，欲求∠COF 只需先求∠AOF ，又∠EOF =90°， 故应先求∠AOE ，而利用对顶角相等及角平分线可容易求得∠AOE ．三、拓展提升如图，已知直线AB 、CD 、EF 交于点O ，∠BOC =∠AOC ． （1）图中∠AOE 的补角有 ；图中的对顶角共有 对； （2）若∠AOE ：∠AOD =1：3，求∠BOF 、∠DOF 的度数．分析 首先通过∠BOC =∠AOC 可知AB 、CD 相交所组成的四个角均是直角，然后根据∠AOE ：∠AOD =1：3，可设∠AOE 为x °，∠AOD 为3x °，建立方程来解决．本题在找对顶角时还要注意按顺序，做到不重复也不遗漏．四、课后作业1．图中共有 对对顶角．2．∠1和∠2互余，∠2和∠3是对顶角，且∠1=63°，则∠3=_____． 3．如图,∠AOB =90°,直线CD 过点O ,且∠AOC =50°, 则∠DOB = °． 4．如图，射线OB 的反向延长线表示的方位是 ．5．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 是射线，OD 是∠BOE 的角平分线，且∠DOE =35°，则∠AOC = °．6．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠COE ，∠DOB =40°,求∠DOE ．ABDOCEAOBCDE F（第1题图）30︒OB东北西（第4题图）ED BOAC （第5题图）COBD E A FA BEDOC7．如图，直线AB 、CD 相交于点O ,OE 是∠AOD 的平分线，∠FOC =90 º，∠1=54º,求∠2与∠3的度数．8．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，已知∠AOC =80 º，OE 把∠BOD 分成两个角，且∠BOE ：∠EOD =2：3，求∠EOD 的度数．9．如图，直线AB 、CD 、EF 相交于同一点O ，而且∠BOC =∠AOC ，∠ DOF =21∠BOE ，求∠EOC 的度数．6.3余角、补角、对顶角（二） 一、基础训练 1．相等 2.4 3.60 4.互与 二、典型例题例1.∵OE 平分∠BOD ，∴∠BOD =2∠DOE =60°，∵∠BOD 与∠AOC 是对顶角，∴∠AOC =∠BOD =60°例2．∵∠BOE =90°，∠COE =30°，∴∠BOC =∠BOE +∠COE =120°，∵∠AOD 与∠BOC 是对顶角，∴∠AOD =∠BOC =120°例3．∵∠AOD 与∠BOC 是对顶角，∴∠AOD =∠BOC =30°，∵OE 平分∠AOD ，∴∠AOE =21∠ABCD OEA OB CF DE 132 ABDCE FOAOD=15°，∴∠AOF=∠EOF -∠AOE=75°，∴∠COF=180°-∠AOF -∠BOC=75°.三、拓展提升（1）∠BOE、∠AOF；6（2）∠BOF=22.5°、∠DOF=67.5°四、课后作业1.22.273.1404.南偏西30°5.356.100°7.∠2=36°、∠3=72°8.48°9.30°。
对顶角余角和补角的定义
对顶角余角和补角的定义
顶角、余角和补角是在几何学和三角学中常见的概念。
顶角指的是两条直线相交时，形成的相对的两个角，这两个角的顶点是同一个点。
余角是指一个角的补角，即与该角相加为90度的角。
而补角则是两个角的和为90度的角。
从几何学的角度来看，顶角是指两条直线相交时形成的相对的两个角，它们共享一个公共顶点。
例如，在一个三角形中，顶角通常指的是三角形的顶点所对的角。
余角是指一个角的补角，也就是与该角相加为90度的角。
例如，如果一个角的度数是x度，那么它的余角就是90度减去x度。
补角是指两个角的和为90度的角。
例如，如果一个角的度数是x度，那么它的补角就是90度减去x度。
从三角学的角度来看，顶角、余角和补角也有特定的定义。
在三角函数中，余角是指角A的余角是90度减去角A的度数。
补角是指两个角的和为90度的角，例如，如果角A的度数是x度，那么角A的补角就是90度减去x度。
这些概念在解题和推导三角函数的过程中经常被用到。
总的来说，顶角、余角和补角是几何学和三角学中非常基础和
重要的概念，它们帮助我们理解角的关系，解决各种几何和三角学问题。
通过理解这些概念，我们能更好地应用它们解决实际问题，并且在数学推导和证明中起到重要的作用。
七上平面图形的认识(一) 6.3 余角、补角、对顶角(2)练习 含答案 全面
第2课时余角、补角、对顶角(2)1．下列说法正确的是( )．A．互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角B．互余的两个角一定都是锐角C．平角就是一条直线D．若∠A+∠B+∠C=1800．则∠A、∠B、∠C三角互补2．以下四个句子：①有公共顶点的两个角是对顶角；②相等的两个角是对顶角；③互为对顶角的两个锐角的余角相等；④只有锐角才有余角．其中正确的说法有( )．A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，直线AB与CD相交于点O．已知∠AOC=900，图中∠1与∠2的关系是( )．A．∠1+∠2=1800B．∠1+∠2=900C．∠1=∠2 D．无法确定4．如图，点A、O、B在一条直线上，∠1是锐角．则∠l的余角是( )．A．12∠2-∠1 B．12∠2-32∠1C．12(∠2一∠1) D．∠1+∠25．如图，∠1=150，∠AOC= 900，点B、O、D在一条直线上．则∠3的度数是( )．A．750B．1050C．150 D．1650 6．如果∠1，∠2互余，∠1，∠3互补，∠2，∠3的和等于周角的13，那么∠1，∠2，∠3的度数分别为( )．A．750，150，1050B．750，150，1200 C．500，350，1300 D．700．150，1050 7．已知∠a=500，那么它的余角与补角的和的度数等于________。
8．如图，图中的对顶角有________对．9．如图．直线AB、CD相交于点O，∠AOC=340，∠DOE=560．(1) ∠BOD=________0，∠BOC=________0，∠AOE=________0.(2)写出下列各对角的关系：∠BOD与∠EOD________；∠BOD与∠AOC________；∠BOD与∠AOD________；∠AOC与∠DOE________．10．如图，如果∠AOC与∠BOC互为余角，OD、OE分别是∠AOC与∠BOC的角平分线，那么∠DOE=________0．11．如图，直线MN、PQ、ST都经过点O，若∠1=230．∠3=580，求∠2的度数．12．如图，已知直线AB、CD相交于点O．如果∠FOC=900, ∠l=1000，∠2=300，求∠3，∠4，∠5，∠6的度数．13．同一个平面内，3条不同的直线两两相交，最多能构成的对顶角有( )．A．4对B．5对C．6对D．7对14．么l与么2互为补角，且么1>么2，那么么2的余角不可能等于( )．A．900-∠2 B．∠1-900 C．12(∠1-∠2) D．∠1-2∠215．∠a与∠β互余，把∠β绕其顶点顺时针旋转900后，∠β+∠a=________．16．把一根筷子一头放在水里，一头露在外面，我们发现它变弯了，它真的变弯了吗?其实没有，这只是光的折射现象，即光从空气射入水中，光线的传播方向发生了改变．如图，一束光OA射入水中，在水中的传播路径为OB，则∠1和∠2之间的大小关系是________．17．已知∠a是∠β的2倍，∠a的补角的3倍与∠β的补角相等，求∠a，∠β的度数．18．按下面方法折线，然后回答问题：(1) ∠2是多少度的角，为什么?(2) ∠1与∠3有何关系，为什么?19．如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个人球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多少次反射)，那么该球最后将落入的球袋是( )．A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋20．已知∠a，∠β，∠γ中有两个锐角、一个钝角，其数值已确定，在计算115(∠a+∠β+∠γ)的值时，三位同学得到三种不同的答案：230，240，250，又知其中一定有一个是正确的答案，那么∠a+∠β+∠γ的度数为________0．21．如图，点D、E在BC上，∠BDF和∠AEG都是直角，且∠1=∠2，请探究∠3与∠4的关系，并说明理由．22．如图，∠BEF+∠DGF=∠F，求∠AEF+∠F+∠FGC的度数．23．已知∠1=300，则∠1的补角度数是( )．A．1600 B. 1500C．700D．60024．如果∠a和∠β互补，且∠a>∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①900-∠β；②∠a=900；③12(∠a+∠β)；④12(∠a-∠β)．正确的有( )．A．4个 B. 3个C．2个D．1个参考答案1．B 2．B 3．B 4．C 5．B 6．A7．1708．29．(1)34 146 90(2)互余相等互补互余10．4511．∠2=1800-∠POT-∠1=1800-∠3-∠1=97012．∠3=1800-∠1-∠2=500，∠4=∠FOC-∠3=400，∠5=1800-∠FOC=900，∠6=∠3=500．13．C 14．D 15．900l 6．∠1>∠217．设∠β=x，则∠a=2x．根据题意，得3(1800-2x)=1800-x，x=720，所以∠a=1440，∠β=720．18．(1)900．根据折叠过程可以知道∠2的一部分等于∠1，另一部分等于∠3．(2)互余．理由同(1)．19．B20．34521．∠3=∠4．22．因为∠AEF=1800-∠BEF，∠FGC=1800-∠DGF，所以∠AEF+∠FGC=3600-(∠BEF+∠DGF)=3600-∠F．所以∠AEF+∠F+∠FGC=3600．23. B24. B。
七上平面图形的认识(一) 第4课时 余角、补角、对顶角(1)练习 含答案 全面
第4课时余角、补角、对顶角(1)【基础巩固】1．已知∠A＝75°，则∠A的余角的度数是_______．2．已知一个角的余角等于42°35'，则它的补角等于_______．3．(1)因为∠1和∠2互余，所以∠1＋∠2＝_______（或∠1＝_______－∠2）；(2)因为∠1和∠2互补，所以∠1＋∠2＝_______（或∠1＝_______－∠2）．4．如果∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，则∠1与∠3的关系为_______，其理由是_______．如果∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，则∠1与∠3的关系为_______，其理由是_______．5．如果∠a＝60°，那么∠a的余角的度数是( )A．30°B．60°C．90°D．120°6．如图，点O在直线PQ上，OA是∠QOB的平分线，OC是∠POB的平分线，那么下列说法错误的是( )A．∠AOB与∠POC互余B．∠POC与∠QOA互余C．∠POC与∠QOB互补D．∠AOP与∠AOB互补7．如图，点O在直线AB上，且OC⊥OD，若∠COA＝36°，则∠DOB的大小为( ) A．36°B．54°C．64°D．72°8．已知∠AOB＝3∠BOC，若∠BOC＝30°，则∠AOC等于( )A．120°B．120°或60°C．30°D．30°或90°9．互为补角的两个角( )A．都是锐角B．都是钝角C．都是直角D．是两个直角或一个锐角和一个钝角10．一个角的余角与它的补角互补，则这个角的度数为( )A．30°B．60°C．45°D．90°11．一个角的余角一定比它本身大吗？一个角的补角一定比它本身大吗？一个角的补角一定比它的余角大吗？如果成立，请说明大多少；如果不一定，请举反例说明．12．如图，O是直线AB上一点，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD，图中与∠DOE 互余的角有哪些？与∠DOE互补的角有哪些？13．如图，AOB为一条直线，∠1＋∠2＝90°，∠COD是直角．(1)请写出图中相等的角，并说明理由．(2)请分别写出图中互余的角和互补的角．【拓展提优】14．判断：(1) 90°的角叫余角，180°的角叫补角．( )(2)如果∠1＋∠2＋∠3＝180°，那么∠1、∠2与∠3互补．( )(3)如果两个角相等，则它们的补角相等．( )(4)如果∠α>∠β，那么∠α的补角比∠θ的补角大．( )15．如果一个角的余角是35°16'16"，那么它的补角是_______；如果一个角是它的余角的一半，那么这个角是_______．16．若互余的两个角有一条公共边，则这两个角的角平分线所组成的角( ) A．等于45°B．小于45°C．小于或等于45°D．大于或等于45°17．如图，直线l1与l2相交于点O，OM⊥l1，若∠α＝44°，则∠β等于( ) A．56°B．46°C．45°D．44°18．如图，∠BOA＝∠COD＝90°，∠AOC：∠BOC＝1：5，则∠BOD等于( ) A．105°B．112.5°C．135°D．157.5°19．一个角的补角比它的余角的2倍还多10°，求这个角的度数．20．(1)在如图①所示的2×2正方形网格中，连接AB、AC、AD，测量并计算∠1 ＋∠2 ＋∠3是多少度．(2)在如图②所示的3×3正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5是多少度？(3)猜想在n×n正方形网格中，按上述方法得到角的度数的和是多少？（n为正整数）21．如图，点A、O、B在一条直线上，若∠1是锐角，则∠1的余角是( )A．12∠2－∠1B．12∠2－32∠1C．12（∠2－∠1）D．13（∠2－∠1）22．如图，在直线AB上取一点O，在AB同侧引射线OC、OD、OE、OF，使∠COE和∠BOE互余，射线OF和OD分别平分∠COE和∠BOE．试探究∠AOF＋∠BOD与∠DOF 的关系，并说明理由．参考答案【基础巩固】1.15°2.132°35'3.(1)90°90°(2)180°180°4．相等同角的余角相等相等同角的补角相等5．A6．C7．B8．B9．D10．C11．一个角的余角不一定比本身大，如60°的余角就比本身小；一个角的补角也不一定比它本身大，如120°的补角比本身小；一个角的补角一定比它的余角大，大90°．12．与∠DOE互余的角：∠FOE，∠DOB，∠BCC；与∠DOE互补的角：∠FOB，∠ECC 13．(1)∠1＝∠AOC，∠BOE＝∠BOC．理由略(2)互余的角：∠1与∠2，∠AOC与∠2；互补的角：∠1与∠BOE，∠1与∠BOC，∠AOC与∠BOC，∠AOC与∠BOE【拓展提优】14.（1)×(2)×(3)√(4)×15. 125°16'16" 30°16.C17.B18.D19.10°20.(1)135°(2)225°(3)(2n－1)×45°21. C22.∠COE＋∠BOE＝90°，∠DOF＝45°，∠AOF＋∠BOD＝135°，从而∠AOF ＋∠BOD＝3∠DOF.。
余角、补角、对顶角的相关计算(人教版)(含答案)
余角、补角、对顶角的相关计算（人教版）一、单选题(共15道，每道6分)1.如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角是( )A.130°B.140°C.150°D.160°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角的定义2.已知∠1与∠2互余，且∠1=35°，则∠2的补角的度数为( )A.145°B.115°C.135°D.125°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角的定义3.若∠α是它的余角的2倍，则∠α=( )A.30°B.45°C.60°D.120°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：余角4.若∠α和∠β互余，则下列式子：①180°-∠β；②∠α+2∠β；③90°+∠α；④2∠α+∠β．其中能表示∠β补角的有( )A.①③B.①④C.①③④D.①②③④答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角5.如图，已知AB⊥CD，垂足为点O，EF过点O，则图中∠FOB与∠EOD的关系是( )A.∠FOB+∠EOD=180°B.∠FOB+∠EOD=90°C.∠FOB=∠EODD.无法确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角的定义6.如图，∠AOB=15°，∠AOC=90°，点B，O，D在同一直线上，则∠COD的度数为( )A.75°B.15°C.105°D.165°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角的定义7.如图，OA⊥OB，OC⊥OD，则( )A.∠AOC=∠AODB.∠AOC=∠BODC.∠AOD=∠BODD.以上结论都不对答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：余角的定义8.如图，∠AOC=∠BOD=90°，若∠AOB=150°，则∠DOC的度数为( )A.30°B.40°C.50°D.60°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：余角的定义9.如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=110°，则∠BOD的度数是( )A.25°B.35°C.45°D.55°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：对顶角相等10.如图所示，∠AOC=90°，∠COB=α，OD平分∠AOB，则∠COD的度数为( )A. B.C.45°-αD.90°-α答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线定义11.如图，∠COD为平角，AO⊥OE，∠DOE=∠AOC，则∠DOE的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则下列结论错误的是( )A.∠A=∠BCDB.∠A与∠ACD互余C.∠A与∠BCD互余D.∠B=∠ACD答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：同角或等角的余角相等13.如图，OC⊥AB，∠COD=45°，则图中互为补角的角共有( )A.1对B.2对C.3对D.4对答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角14.若∠α与∠β互余，∠β与∠γ互余，则∠α与∠γ的关系是( )A.互余B.互补C.相等D.不确定答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角的定义15.如果∠A与∠B互补，∠B与∠C互余，则∠A与∠C的关系是( )A.互余B.互补C.∠A-∠C=90°D.∠A-∠C=180°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角的定义。
平行线与相交线测试题及答案
26. 已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D、G，且∠1=∠2，猜想∠BDE与∠C有怎样的大小关系？试说明理由.
27. 如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在C、D之间有一点P，如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化.若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？
12.三条直线两两相交，最少有_____个交点，最多有______个交点.
13.观察图7中角的位置关系，∠1和∠2是______角，∠3和∠1是_____角，∠1 和∠4是_______角，∠3和∠4是_____角，∠3和∠5是______角.
图7图8图9
14.如图8，已知AB∥CD，∠1=70°则∠2=_______，∠3=______，∠4=_______.
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.如图6，O是正六边形ABCDEF的中心，下列图形:△OCD，△ODE，△OEF， △OAF， △OAB，其中可由△OBC平移得到的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题（每小题3分，共30分）
11. 命题“垂直于同一直线的两直线平行”的题设是 ____________， 结论是__________.
24. 如图，E在直线DF上，B为直线AC上，若∠AGB=∠EHF，∠C=∠D，试判断∠A与∠F的关系，并说明理由.
25.如图，在方格中平移三角形ABC，使点A移到点M，点B，C应移动到什么位置?再将A由点M移到点N?分别画出两次平移后的三角形.如果直接把三角形ABC 平移，使A点移到点N，它和前面先移到M后移到N的位置相同吗?
七年级数学上册知识讲义-6.3认识余角、补角、对顶角-苏科版
初中数学认识余角、补角、对顶角精讲精练【考点精讲】1. 互为余角与互为补角（1）概念：若，则称、互为余角；若则称、互为补角。
（2）记法的余角记作；的补角记作。
2. 余角（补角）的性质同角或等角的余（补）角相等。
3. 对顶角：如下图中，我们把叫做对顶角，也是对顶角。
OADBC4. 对顶角的性质：对顶角相等。
【典例精析】例题1 如图所示，O是直线AB上的一点，，平分，平分，则图中互为补角的对数有（）A. 6对B. 7对C. 8对D. 9对思路导航：是直线AB上的一点，，又，，平分，，，，。
答案：互补的角有：，，，，，共8对。
答案选C。
点评：本题涉及互补的角较多，根据题意计算有关角的度数，再根据互为补角的定义，按照一定的顺序来写，做到既不重复又不遗漏。
例题2 一个角的补角与它的余角的2倍的差是平角的，请你求出这个角的度数。
思路导航：可以直接设元（题中问什么就设什么，直接求出结果），也可以间接设元（先求出这个角，再求出它的余角），然后列方程求解。
答案：设这个角的度数为，则它的补角、余角分别为，（），根据题意得，解得，所以这个角的度数为60度。
点评：有关余角和补角的计算题目，常设未知数，根据题意列方程求解。
所设的未知数不同，所得到的方程也不同。
例题3 如图，直线AB、CD交于O点，且∠BOC=80°，OE平分∠BOC，OF为OE的反向延长线。
D（1）求∠2和∠3的度数；（2）OF平分∠AOD吗？为什么？思路导航：（1）根据邻补角的定义，即可求得∠2的度数，根据角平分线的定义和平角的定义即可求得∠3的度数；（2）根据OF分得∠AOD的两部分角的度数即可说明。
答案：（1）∵∠BOC+∠2=180°，∠BOC=80°，∴∠2=180°－80°=100°；∵OE是∠BOC的角平分线，∴∠1=40°。
∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠3=180°－∠1－∠2=180°－40°－100°=40°。
8第二章余角,补角,对顶角
第二章余角，补角，对顶角和平行的判定和性质一、定义：1、余角：如果两个角的和是90度，那么这两个角互为余角。
2、补角：如果两个角的和是180度，那么这两个角互为补角。
3、对顶角：如果两个角的两边互为反向延长线，那么这样的两个角叫对顶角二、性质定理：1、同角的余角或补角相等。
2、 对顶角相等。
三、解题方法：一般的，利用性质定理，结合三角形内角和定理，平角性质等，建立所求未知角的方程，即可解得所求角度。
四、概念：同位角，内错角，同旁内角五、两直线平行的判定定理：1.同位角相等，两直线平行2.内错角相等，两直线平行3.同旁内角互补，两直线平行4.如果两直线都平行于另一条直线，那么两直线也平行（推论）六、两直线平行的性质定理：1. 两直线平行，同位角相等2. 两直线平行，内错角相等3. 两直线平行，同旁内角互补例题1.已知∠α是它的余角的2倍，则∠α＝________.2.互为补角的两个角的度数之比为2∶7,则这两个角分别是________.3.如果一个角的余角和它的补角互补，那么这个角的度数为________4.如果两个角互为补角，以下说法不正确的是（）A．不可能都是锐角 B. 不可能都是钝角C. 不可能都是直角D. 可能都是直角5.2条直线相交 3条直线相交于一点 4条直线相交于一点n条直线相交于一点，对顶角有____对对顶角有____对对顶角有_____对对顶角有_______对(用含n的式子表示)6．如图所示，直线AB与CD相交于O点，A B⊥EO，则∠EOD与∠AOC的关系是（ ）A 对顶角B互补的角C互余的角D相等的角7．如图，直线a，b，c两两相交，∠1=2∠3，∠2=60度，求∠4.8．如图,∠A=50°,∠1＝∠2,则∠ACD等于___________9. 下列四个图形中,存在对顶角的是10. 一个角的余角比它的补角的还少12°，请求出这个角.11. 如图16,A、O、B在一条直线上,OC是射线,OE平分∠AOC, OF平分∠BOC.求∠EOF12. 如图，，求∠CAE的度数．课堂练习：1、若∠AOB=65015’，则它的余角是_________，它的补角是________．2、若∠α与∠β是对顶角，且∠α+∠β=1200 ，则∠α= ，∠β=3、如图：已知：，则4、一个角的补角等于这个角的余角的4倍，这个角是________．5．如图，CB⊥AB，∠CBA与∠CBD的度数比是5:1，则∠DBA＝________度，∠CBD 的补角是_________度.6．如图2，AC⊥BC，CD⊥AB，∠A的余角有______个，与∠A相等的角有_______个.7、 两条直线被第三条直线所截，则（ ）． A．同位角必相等 B．内错角必相等C．同旁内角必互补 D．同位角不一定相等8、如图，与是对顶角的为（ ）9、命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等。
余角、补角、对顶角
余角、补角、对顶角一、考点讲解：1．余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角．2．补角：如果两个角的和是平角，那．么称这两个角互为补角．3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．4．互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90°，则∠1、∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠2=90○．②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3= 90○，则∠2= ∠3．5．互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○则∠A、∠B互补，反过来，若∠A、∠B互补，则∠A+∠B＝180○．②同角或等角的补角相等．如果∠A ＋∠C=18 0○，∠A+∠B=18 0°，则∠B=∠C．6．对顶角的性质：对顶角相等．二、经典考题剖析：【考题1－1】已知：∠A= 30○，则∠A的补角是________度．解：150○点拨：此题考查了互为补角的性质．【考题1－2】如图l－2－1，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF 平分∠AOE，∠1＝15○30’，则下列结论中不正确的是（）A．∠2 =45○B．∠1=∠3C．∠AOD与∠1互为补角D．∠1的余角等于75○30′解：D 点拨：此题考查了互为余角，互为补角和对顶角之间的综合运用知识．三、针对性训练：1．_______的余角相等，_______的补角相等．2．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63○，∠3=__3．下列说法中正确的是（ ）A ．两个互补的角中必有一个是钝角B ．一个角的补角一定比这个角大C ．互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角D ．相等的角一定互余4．轮船航行到C 处测得小岛A 的方向为北偏东32○，那么从A 处观测到C 处的方向为（ ）A ．南偏西32○B ．东偏南32○C ．南偏西58○D ．东偏南58○5．若∠l=2∠2，且∠1+∠2=90○则∠1=___，∠2=___．6．一个角的余角比它的补角的九分之二多1°，求这个角的度数．7．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠3=153○，∠l=_8．如图 l －2－2，AB ⊥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB 互余的角有（ ）A ．0个B ．l 个C ．2个D ．3个9．如果一个角的补角是150○ ，那么这个角的余角是____________10．已知∠A 和∠B 互余，∠A 与∠C 互补，∠B 与∠C 的和等于周角的13 ，求∠A+∠B+∠C 的度数．11．如图如图1―2―3，已知∠AOC 与∠B 都是直角，∠BOC=59○．（1）求∠AOD 的度数；（2）求∠AOB 和∠DOC 的度数；（3）∠A OB 与∠DOC 有何大小关系；（4）若不知道∠BOC 的具体度数，其他条件不变，这种关系仍然成立吗？。
(完整版)余角、补角、对顶角的概念和习题答案
余角和补角和对顶角余角: 如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。
/A + /C=90 °/A= 90 ° /C , /C 的余角=90 ° /C 即:/A 的余角=90 ° /A补角: 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角.其中一个角叫做另一个角的补角/A + /C=180 °/A= 180 ° /C , /C 的补角=180 ° /C 即:/A 的补角=180 ° /A 对顶角:一个角的两边分别是另一个角的反向延长线，这两个角是对顶角。
两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。
两条直线相交，构成两对对顶角。
对顶角相等.对顶角与对顶角相等.对顶角是对两个具有特殊位置的角的名称对顶角相等反映的是两个角间的大小关系。
补角的性质:同角的补角相等。
比如：/ A+ /B=180 °/A+ /C=180 :则:/ C= /B。
等角的补角相等。
比如：/ A+ /B=180 °/D+ /C=180 °/A= /D 贝U:/ C= /B。
余角的性质:同角的余角相等。
比如：/ A+ /B=90 °/A+/C=90。
，则：/ C= /Bo等角的余角相等。
比如：/ A+ /B=90 °/D+/C=90 °/A= ZD 贝U:/C= /Bo注意:①钝角没有余角;②互为余角、补角是两个角之间的关系。
如/ A+ /B+ /C=90。
，不能说ZA、/B、/C 互余；同样：如/ A+ /B+/C=180。
，不能说/A、/B、/C互为补角;③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。
只要它们的度数之和等于90 ° 或180 °，就一定互为余角或补角。
余角、补角、对顶角(提升训练)(解析版)
6.3 余角、补角、对顶角【提升训练】一、单选题1．如图所示，直线AB ，CD 交于点O ，射线OM 平分AOC ∠．若38AOM ∠=︒，则BOC ∠等于（ ）A ．104︒B ．144︒C ．106︒D ．136︒【答案】A【分析】 根据2∠=∠AOC AOM 计算AOC ∠的度数，利用平角的定义计算即可．【详解】∵OM 平分AOC ∠，38AOM ∠=︒，223876AOC AOM ∴∠=∠=⨯︒=︒，180********BO C AO C ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故选：A ．【点睛】本题考查了角的平分线，平角的定义，熟记角的定义，平角的定义是解题的关键．2．阅读下列语句：（1）延长射线OM ；（2）平角是一条射线；（3）线段、射线都是直线的一部分；（4）锐角一定小于它的余角；（5）大于直角且小于平角的角是钝角；（6）一个锐角的补角与这个锐角的余角的差是90︒；（7）相等的两个角是对顶角；（8）若180A B C ∠+∠+∠=︒，则这三个角互补；（9）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直．其中正确的说法有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C利用对顶角，邻补角，直线，射线，线段，角的概念，余角和补角等知识点逐项进行分析即可作出判断．【详解】解：（1）射线有起点，终点在无穷远处，无法延长，故（1）错误；（2）角的定义是具有公共点的两条射线组成的图形．故（2）错误；（3）在直线上画两点，两点之间的部分就是一条线段，在直线上画一点，这点把直线分成两部分，这两部分就是两个相反方向的射线．所以线段和射线都是直线的一部分．故（3）正确；（4）两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角．如45°+45°=90°，故（4）错误；（5）根据钝角的定义可知，大于直角而小于平角的角叫做钝角，故（5）正确；（6）因为补角=180°-这个角，而余角=90°-这个角，故（6）项正确；（7）相等的两个角有很多情况如是两条直线平行时，同位角相等等，故（7）错误；（8）两个角的和等于180°就说这两个角互为补角，故（8）错误；（9）根据角平分线的性质，互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，故（9）正确．所以（3）（5）（6）（9）正确．故选：C．【点睛】此题主要考查学生对对顶角，邻补角，直线，射线，线段，角的概念，余角和补角等知识点的理解和掌握，此题难度不大，但涉及到的知识点较多，过于琐碎，很容易混淆．3．将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中锐角∵α与∵β相等的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据余角和补角的概念解答．A 、∵α与∵β互余，不一定相等；B 、∵α=∵β；C 、∵α=∵β，但∵α与∵β都是钝角；D 、∵∵α=90°-45°=45°，∵β=90°-30°=60°，∵∵α≠∵β；故选：B ．【点睛】本题考查的是余角和补角，掌握余角和补角的概念是解题的关键．4．已知一个角是30°，那么这个角的补角的度数是（ ）A ．120°B ．150°C ．60°D ．30°【答案】B【分析】根据互补的两角之和为180°即可得出这个角的补角．【详解】解：这个角的补角18030150=︒-︒=︒．故答案为：B ．【点睛】本题考查了补角的知识，属于基础题，掌握互补的两角之和为180°是关键．5．如图，90AOB ∠=︒，AOC ∠为AOB ∠外的一个锐角，且40AOC ∠=︒，射线OM 平分BOC ∠，ON 平分AOC ∠，则MON ∠的度数为（ ）．A ．45︒B ．65︒C ．50︒D ．25︒【答案】A根据题意，先求得∵COB的值；OM平分∵BOC，ON平分∵AOC，则可求得∵AOM、∵AON的值；∵MON=∵AOM+∵AON，计算得出结果．【详解】∵∵AOB=90°，且∵AOC=40°，∵∵COB=∵AOB+∵AOC=90°+40°=130°，∵OM平分∵BOC，∵∵BOM=12∵BOC=65°，∵∵AOM=∵AOB-∵BOM=25°，∵ON平分∵AOC，∵∵AON=12∵AOC=20°，∵∵MON=∵AOM+∵AON=45°．∵∵MON的度数是45°．故选：A．【点睛】本题考查了余角的计算，角的计算，角平分线的定义．首先确立各角之间的关系，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化是解题的关键．6．将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∵α 与∵β 互余的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可．【详解】解：A、∵α与∵β不互余，故本选项错误；B、∵α与∵β不互余，故本选项错误；C、∵α与∵β互余，故本选项正确；D、∵α与∵β不互余，∵α和∵β互补，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了余角和补角的应用，掌握余角和补角的定义是解题的关键．7．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中∵α与∵β互余的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解．【详解】A、图中∵α+∵β＝180°﹣90°＝90°，∵α与∵β互余，故本选项正确；B、图中∵α＝∵β，不一定互余，故本选项错误；C、图中∵α+∵β＝180°﹣45°+180°﹣45°＝270°，不是互余关系，故本选项错误；D、图中∵α+∵β＝180°，互为补角，故本选项错误．故选：A．【点睛】此题考查余角和补角，熟记概念与性质是解题的关键．8．若一个角的补角等于它的余角的3倍，则这个角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°【答案】C【分析】根据互补的两角之和为180°，互余的两角之和为90°，利用方程思想求解即可．【详解】解：设这个角为x，则余角为90°-x，补角为180°-x，由题意得180°-x=3（90°-x），解得：x=45．故选：C．【点睛】本题考查了余角和补角的知识，属于基础题，掌握互补的两角之和为180°，互余的两角之和为90°是关键．9．若将一副三角板按如图所示的不同方式摆放，则图中∵a与∵β相等的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】A选项，由图形可得两角互余，不合题意；B选项，由图形可分别求出∵α与∵β的度数，即可做出判断；C 选项，由图形可分别求出∵α与∵β的度数，即可做出判断；D选项，由图形得出两角的关系，即可做出判断．【详解】解：A、由图形得：∵α+∵β＝90°，不合题意；B、由图形得：∵β＝45°，∵α＝90°﹣45°＝45°，符合题意；C、由图形得：∵α＝90°﹣45°＝45°，∵β＝90°﹣30°＝60°，不合题意；D、由图形得：90°﹣∵β＝60°﹣∵α，即∵α+30°＝∵β，不合题意．故选B．【点睛】本题主要考查余角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握余角的性质.10．如图，O是直线AB上一点，OD平分∵BOC，OE平分∵AOC，则下列说法错误的是（）A ．∵DOE 为直角B ．∵DOC 和∵AOE 互余 C ．∵AOD 和∵DOC 互补D ．∵AOE 和∵BOC 互补【答案】D【分析】 根据角平分线的性质，可得∵BOD ＝∵COD ，∵COE ＝∵AOE ，再根据余角和补角的定义求解即可．【详解】解：∵OD 平分∵BOC ，OE 平分∵AOC ，∵∵BOD ＝∵COD ＝12∵BOC ，∵AOE ＝∵COE ＝12∵AOC ， ∵∵AOC+∵COB ＝180°，∵∵COE+∵COD ＝90°，A 、∵DOE 为直角，说法正确；B 、∵DOC 和∵AOE 互余，说法正确；C 、∵AOD 和∵DOC 互补，说法正确；D 、∵AOE 和∵BOC 互补，说法错误；故选D ．【点睛】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是理解余角和补角的定义，掌握角平分线的性质． 11．如图，已知AOB ∠，以点O 为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA ，OB 于点E ，F ，再以点E 为圆心，以EF 长为半径画弧，交弧①于点D ，画射线.OD 若26AOB ∠=，则BOD ∠的补角的度数为( )A ．38B ．52C ．128D ．154【答案】C根据作一个角等于一直角的作法即可得出结论．【详解】由题意可得：26AOB AOD ∠=∠=，262652BOD ∴∠=+=，BOD ∴∠的补角的度数18052128=-=，故选C ．【点睛】本题考查的是余角与补角，熟知作一个角等于已知角的步骤是解答此题的关键．12．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∵α与∵β一定相等的图形个数共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】 根据直角三角板可得第一个图形∵α+∵β=90°；根据余角和补角的性质可得第二个图形、第四个图形中∵α=∵β，第三个图形∵α和∵β互补．【详解】根据角的和差关系可得第一个图形∵α+∵β=90°∵根据同角的余角相等可得第二个图形∵α=∵β∵第三个图形∵α和∵β互补，根据等角的补角相等可得第四个图形∵α=∵β∵因此∵α=∵β的图形个数共有2个，故选B∵【点睛】此题主要考查了余角和补角，关键是掌握余角和补角的性质：等角的补角相等．等角的余角相等． 13．一个角的补角比这个角的余角3倍还多10°，则这个角的度数为（ ）A ．140°B ．130°C ．50°D ．40°【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°，互为补角的两个角的和等于180°，列出方程，然后解方程即可．【详解】设这个角为α，则它的余角为90°-α，补角为180°-α∵根据题意得，180°-α=3∵90°-α∵+10°∵180°-α=270°-3α+10°∵解得α=50°∵故选C∵【点睛】本题考查了互为余角与补角的性质，表示出这个角的余角与补角然后列出方程是解题的关键．14．如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∵AOC＝130°，则∵BOD等于（）A．30°B．45°C．50°D．60°【答案】C【分析】根据题意，将∵AOC分解为∵AOB∵∵BOC，而∵AOB∵90°，故可求出∵BOC的度数，而∵BOD∵∵COD∵∵BOC，而∵COD∵90°，故可得到答案.【详解】∵∵AOC∵∵AOB∵∵BOC∵130°∵∵AOB∵90°∵∵∵BOC∵130°∵90°∵40°∵∵∵BOD∵∵COD∵∵BOC∵∵COD∵90°∵∵∵BOD∵90°∵40°∵50°，故答案选C.【点睛】本题主要考查角的运用，注意结合图形，发现角与角之间的关系，利用公共角的作用．15．已用点A、B、C、D、E的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A ．∵AOB ＝130°B ．∵AOB ＝∵DOEC ．∵DOC 与∵BOE 互补D ．∵AOB 与∵COD 互余【答案】C【分析】 由题意得出∵AOB=50°∵∵DOE=40°∵∵DOC=50°∵∵BOE=130°，得出∵DOC+∵BOE=180°即可．【详解】解：∵∵AOB=50°∵∵DOE=40°∵∵DOC=50°∵∵BOE=130°∵∵∵DOC+∵BOE=180°∵故选C∵【点睛】本题考查了余角和补角；根据题意得出各个角的度数是关键．16．如果1∠与2∠互补，2∠与3∠互余，则1∠与3∠的关系是∵ ∵A ．13∠=∠B ．11803∠=-∠C ．1903∠=+∠D ．以上都不对 【答案】C【分析】根据∵1与∵2互补，∵2与∵3互余，先把∵1∵∵3都用∵2来表示，再进行运算．【详解】∵∵1+∵2=180°∵∵1=180°-∵2又∵∵2+∵3=90°∵∵3=90°-∵2∵∵1-∵3=90°，即∵1=90°+∵3∵故选C∵【点睛】此题主要记住互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180度．17．有下列四种说法：∵锐角的补角一定是钝角；∵一个角的补角一定大于这个角；∵如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；∵锐角和钝角互补．其中正确的是（∵A．∵∵B．∵∵C．∵∵∵D．∵∵∵∵【答案】B【分析】要判断两角的关系，可根据：两角互余，和为90°，互补和为180°，对各个选项一一判断即可．【详解】设一个角为∵α，则与它互补的角为∵β=180°-∵α.∵当∵α为锐角时，∵α∵90°∵∵∵β∵90°∵∵∵β为钝角，∵正确；∵同理，若∵α为钝角，则它的补角∵β为锐角，∵β∵∵α∵∵不正确；∵设∵α+∵β=180°∵∵γ+∵β=180°∵∵∵α=∵γ∵∵正确；∵30°的角与120°的角满足一个是锐角一个是钝角，但是不互补，故∵不正确.故只有∵∵成立.故选B.【点睛】本题主要考查补角的定义及性质.熟练掌握补角的定义和性质进行判断是解题的关键.18．一副三角板按如图所示的方式摆放，且∵1比∵2大50°，则∵2的度数为（）A．20°B．50°C．70°D．30°【答案】A【解析】【分析】根据余角、补角的定义进行计算即可得．【详解】根据图示可知∵1+∵2=90°∵根据题意可知∵1=∵2+50°∵所以∵2=∵90°-50°∵÷2=20°∵故答案为20°.【点睛】本题考查了余角的概念，互为余角的两角和为90度，解题的关键在于准确从图中找出两角之间的数量关系，做出判断.19．已知：如图∵∵AOB∵∵COD∵90°∵则∵1与∵2的关系是()A．互余B．互补C．相等D．无法确定【答案】B【分析】根据周角等于360°列式计算即可得解．【详解】∵∵AOB=∵COD=90°∵∵l+∵AOB+∵DOC+∵2=360°∵∵∵1+90°+90°+∵2=360°∵∵∵l+∵2=180°∵即∵1与∵2互补∵故选B∵【点睛】本题考查了余角和补角，根据周角等于360°求出∵1与∵2的和是解题的关键．20．下列说法中，正确的是（）∵射线AB和射线BA是同一条射线；∵若AB=BC，则点B为线段AC的中点；∵同角的补角相等；∵点C在线段AB上，M∵N分别是线段AC∵CB的中点．若MN=5，则线段AB=10∵A．∵∵B．∵∵C．∵∵D．∵∵【答案】D【解析】∵射线AB 和射线BA 不是同一条射线，错误；∵若AB=BC ，点B 在线段AC 上时，则点B 为线段AC 的中点，错误；∵同角 的补角相等，正确；∵点C 在线段AB 上，M∵N 分别是线段AC∵CB 的中点．若MN=5，则线段AB=10，正确，故选D∵【点睛】本题考查了直线、射线、线段；两点间的距离；余角和补角等知识，注意基本概念的掌握是解题的关键．21．如图,将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中a ∠与β∠互余的是（ ∵A ．图∵B ．图∵C ．图∵D ．图∵【答案】A【详解】 分析：根据平角的定义∵同角的余角相等∵等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解．详解∵图∵∵∵α+∵β=180°∵90°∵互余∵图∵∵根据同角的余角相等∵∵α=∵β∵图∵∵根据等角的补角相等∵α=∵β∵图∵∵∵α+∵β=180°∵互补．故选A∵点睛：本题考查了余角和补角∵是基础题∵熟记概念与性质是解题的关键．22．如果α∠和β∠互补，且α∠＞β∠，则下列表示β∠的余角的式子中：∵90-β∠；∵-90α∠ ；∵180-α∠；∵12(α∠)β-∠，正确的是（ ） A ．∵∵∵∵B ．∵∵∵C ．∵∵∵D ．∵∵【答案】B【详解】 解：∵∵α与∵β互补，∵∵β=180°﹣∵α，∵α=180°﹣∵β，∵90°﹣∵β表示∵β的余角，∵∵正确；∵α﹣90°=180°﹣∵β﹣90°=90°﹣∵β，∵∵正确；180°﹣∵α=∵β，∵∵错误；1 2（∵α﹣∵β）=12（180°﹣∵β﹣∵β）=90°﹣∵β，∵∵正确；故选B．【点睛】本题考查了对余角和补角的理解和运用，注意：∵α与∵β互补，得出∵β=180°﹣∵α，∵α=180°﹣∵β；∵β的余角是90°﹣∵β，题目较好，难度不大．23．下列说法正确的有()．∵对顶角相等；∵相等的角是对顶角；∵若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；∵若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【详解】解：∵对顶角要符合两直线相交构成的没有公共边的两个相对的角是对顶角，但相等的角不一定是对顶角；∵例如30°与30°的角不一定是对顶角，但这两个角一定相等，故∵∵错误；正确的有∵∵两个．故选B．24．如图，将两块三角板的直角顶点重合后叠放在一起，若∵1=40°，则∵2的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°【答案】C【详解】如图：∵∵1+∵BOC=90°∵∵2+∵BOC=90°∵∵∵2=∵1=40°.故选∵C.25．如果两个角互为补角，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（∵∵A．42°∵138°或40°∵130°;B．42°∵138°;C．30°∵150°;D．以上答案都不对【答案】B【解析】解：设一个角为x，则另一个角为4x-30，得：x+(4x-30)=180，则x=42°∵4x-30=138°∵故选B∵26．如图，按照上北下南，左西右东的规定画出方向十字线，∵AOE＝m°，∵EOF＝90°，OM、ON分别平分∵AOE和∵BOF，下面说法：∵点E位于点O的北偏西m°；∵图中互余的角有4对；∵若∵BOF＝4∵AOE，则∵DON＝54°；∵若MONn AOE BOF ，则n的倒数是23，其中正确有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【答案】B【分析】根据方位角的定义，以及角平分线的定义，分别求出所需角的度数，然后分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：∵∵AOE＝m°，∵∵EOD=90°-m°，∵点E位于点O的北偏西90°-m°；故∵错误；∵∵EOF＝90°，∵∵EOD+∵DOF＝90°，∵AOE+∵BOF=90°，∵∵AOD=∵BOD=90°，∵∵AOE+∵EOD=90°，∵DOF+∵FOB=90°，∵AOM+∵MOD=90°，∵BON+∵DON=90°，∵OM、ON分别平分∵AOE和∵BOF，∵∵AOM=∵EOM，∵BON=∵FON，∵∵EOM+∵MOD=90°，∵FON+∵DON=90°，∵图中互余的角共有8对，故∵错误；∵∵BOF＝4∵AOE，∵AOE+∵BOF=90°，∵∵BOF=72°，∵∵BON=36°，∵∵DON=90°-36°=54°；故∵正确；∵∵AOE+∵BOF=90°，∵∵MOE+∵NOF=11()904522AOE BOF，∵9045135 MON，∵1353902MONn AOE BOF，∵n的倒数是23，故∵正确；∵正确的选项有∵∵，共2个；故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，方位角的表示，以及角度的和差关系，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出图中角的关系进行判断．27．如果∵l与∵2互补，∵2为锐角，则下列表示∵2余角的式子是（）A．90°-∵1B．∵1 - 90°C．∵1 + 90°D．180°-∵1【答案】B【分析】首先根据补角的定义可得∵2=180°-∵1，再根据余角定义可得∵2余角的式子是90°-∵2，再进行等量代换即可．【详解】解：∵∵1与∵2互补，∵∵1+∵2=180°，∵∵2=180°-∵1，∵∵2余角的式子是，90°-∵2=90°-（180°-∵1）=∵1-90°，故选：B ．【点睛】本题主要考查了补角和余角，关键是掌握余角和补角的定义．28．已知A ∠与B 互补，B 与C ∠互余，若120A ∠=︒，则C ∠的度数是（ ）A ．70︒B ．60︒C ．30D ．20︒【答案】C【分析】先根据互补角的定义可得60B ∠=︒，再根据互余角的定义即可得．【详解】 A ∠与B 互补，且120A ∠=︒，18060B A ∴∠=︒-∠=︒，又B ∠与C ∠互余，9030C B ∴∠=︒-∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了互补角、互余角，熟练掌握互补角与互余角的定义是解题关键．29．一个角的余角比这个角的一半大15°，则这个角的度数为（ ）A ．70°B ．60°C ．50°D ．35°【答案】C【分析】设这个角的度数为x ，则它的余角为90x ︒-，根据题意列方程求解即可．【详解】解：设这个角的度数为x ，则它的余角为90x ︒-， 190152x x ∴︒--=︒， 解得：50x =︒，故选：C ．【点睛】本题考查余角的概念，掌握利用一元一次方程解决余角问题是解题的关键．30．一个角的余角是它的补角的25，则这个角等于 （ ） A ．60°B ．45°C ．30°D ．75°【答案】C【分析】 设这个角的度数是x°，根据余角是这个角的补角的25，即可列出方程，求得x 的值． 【详解】解：设这个角的度数是x°，根据题意得：90-x=25（180-x ）， 解得：x=30，所以，这个角等于30°故选：C ．【点睛】 本题考查了余角和补角的定义，正确列出方程，解方程是关键．二、填空题31．如图，直线AB 和直线CD 相交于点O ，50AOC ∠=︒，OE 平分BOD ∠，那么BOE ∠=_______度．【答案】25【分析】根据对顶角相等求得∵BOD =∵AOC =50°，再根据角平分线的定义即可求解．【详解】解：∵∵AOC =50°，∵∵BOD =∵AOC =50°，∵OE 平分∵BOD ，∵∵BOE =12∵BOD =25°，故答案为：25．【点睛】本题考查对顶角相等、角平分线的定义，熟练掌握对顶角相等和角平分线的定义是解答的关键．32．如图直线AB、CD相交于点O，∵DOB=∵DOE，OF平分∵AOE，若∵AOC=36°，则∵EOF=________．【答案】54°【分析】根据角平分线的定义可得∵EOF=∵AOF，根据平角的定义可得∵EOF+∵DOE=90°，根据对顶角相等可得∵BOD的度数，根据角的和差关系即可得答案．【详解】∵OF平分∵AOE，∵∵EOF=∵AOF，∵∵DOB=∵DOE，∵BOE+∵AOE=180°，∵2∵EOF+2∵DOE=180°，∵∵EOF+∵DOE=90°，∵∵AOC=∵DOB=36°，∵∵EOF=90°-∵DOE=90°-∵DOB=90°-36°=54°，故答案为：54°【点睛】本题考查对顶角的定义、角平分线的定义及平角的定义，熟练掌握定义是解题关键．33．我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，…（1）10条直线交于一点，对顶角有____对．（2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有_______对．【答案】90 n（n﹣1）【分析】（1）仔细观察计算对顶角的式子，发现式子不变的部分及变的部分的规律，求出本题结论；（2）利用（1）中规律，用字母表示数得出答案即可．【详解】解：（1）如图∵两条直线交于一点，图中共有()4244-⨯=2对对顶角；如图∵三条直线交于一点，图中共有()6264-⨯=6对对顶角；如图∵四条直线交于一点，图中共有()8284-⨯=12对对顶角；…； 按这样的规律，10条直线交于一点，那么对顶角共有：()202204-⨯=90， 故答案为：90； （2）由（1）得：n （n ≥2）条直线交于一点，对顶角有：()2224n n -⨯=n （n ﹣1）． 故答案为：n （n ﹣1）．【点睛】 此题主要考查了对顶角以及图形变化规律，本题是一个探索规律型的题目，解决时注意观察每对数之间的关系．这是中考中经常出现的问题．34．如图，AB 和CD 交于点O ，则AOC ∠的邻补角是___；AOC ∠的对顶角是___；若40AOC ∠=︒，则BOD ∠=___，AOD ∠=___，BOC ∠=___．【答案】AOD ∠和BOC ∠ BOD ∠ 40° 140° 140°【分析】根据邻补角定义可得AOD ∠和BOC ∠，根据对顶角定义可得BOD ∠，利用对顶角性质可求40BOD AOC ∠=∠=︒，利用邻补角性质可求140AOD ∠=︒，利用对顶角性质可求140BO C AO D ∠=∠=︒即可．【详解】解：AB 和CD 交于点O ，则AOC ∠的邻补角是AOD ∠和BOC ∠；AOC ∠的对顶角是BOD ∠，40AOC ∠=︒，40BOD AOC ∴∠=∠=︒，180********AO D AO C ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，140BO C AO D ∴∠=∠=︒．故答案为：AOD ∠和BOC ∠；BOD ∠；40︒；140︒；140︒．【点睛】本题考查邻补角的定义与性质，对顶角定义与性质，掌握邻补角的定义与性质，对顶角定义与性质是解题关键．35．如图，某海域有三个小岛A ，B ，O ，在小岛O 处观测到小岛A 在它北偏东62°的方向上，观测到小岛B 在它南偏东38°12＇的方向上，则∵AOB 的补角的度数是_____．【答案】100°12′．【分析】根据已知条件可直接确定∵AOB 的度数，再根据补角的定义即可求解．【详解】解：∵OA 是表示北偏东62°方向的一条射线，OB 是表示南偏东38°12′方向的一条射线，∵∵AOB =180°-62°-38°12′=79°48′，∵∵AOB 的补角的度数是180°-79°48′=100°12′．故答案是：100°12′．【点睛】本题考查了余角和补角、方向角及其计算，基础性较强．三、解答题36．如图，已知直线AB，CD相交于点O，射线OE把∵AOC分成两部分．（1）写出图中∵AOC的对顶角，∵COE的补角是；（2）已知∵AOC＝60°，且∵COE：∵AOE＝1：2，求∵DOE的度数．【答案】（1）∵BOD，∵DOE；（2）160°【分析】（1）分析图形，根据对顶角和补角的定义可以求出答案；（2）先设∵COE＝x求得∵COE和∵AOE的度数，再根据邻补角的定义求得∵AOD的度数，然后将∵AOE与∵AOD的度数相加即可．【详解】解：（1）由图形可知，∵AOC的对顶角是∵BOD，∵COE的补角是∵DOE；（2）设∵COE＝x，则∵AOE＝2x，∵∵AOC＝60°，∵x+2x＝60，解得x＝20，即∵COE＝20°，∵AOE＝40°，∵∵AOC+∵AOD＝180°，∵∵AOD＝120°，∵∵DOE＝∵AOE+∵AOD＝40°+120°＝160°．【点睛】本题考查角的运算，解题的关键是正确找出图中的角的等量关系，本题属于基础题型．37．如图1，将一副三角板的直角顶点C叠放在一起．（观察分析）（1）若35DCE ∠=︒，则ACB =∠____________；若150ACB ∠=︒，则DCE ∠=__________． （猜想探究）（2）请你猜想ACB ∠与DCE ∠有何关系，并说明理由；（拓展应用）（3）如图2，若将两个同样的三角尺60︒锐角的顶点A 重合在一起，请你猜想DAB ∠与CAE ∠有何关系，并说明理由．【答案】（1）145︒，30；（2）180ACB DCE ∠+∠=︒，理由见解析；（3）120DAB EAC ∠+∠=︒，理由见解析【分析】试题分析：（1）本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出∵ACB ，∵DCE 的度数；（2）根据前个小问题的结论猜想∵ACB 与∵DCE 的大小关系，结合前问的解决思路得出证明．（3）根据（1）（2）解决思路确定∵DAB 与∵CAE 的大小并证明．【详解】解：（1）∵90ACD ∠=︒，35DCE ∠=︒，∵903555ACE ∠=︒-︒=︒，∵90BCE ∠=︒，∵5590145ACB ACE BCE ∠=∠+∠=︒+︒=︒；∵90BCE ∠=︒，150ACB ∠=︒，∵1509060ACE ∠=︒-︒=︒，∵90ACD ∠=︒，∵906030DCE ∠=︒-︒=︒，故答案为：145︒，30；（2）180ACB DCE ∠+∠=︒，理由：∵90ACE ECD ∠+∠=︒，90ECD DCB ∠+∠=︒，∵180ACE ECD ECD DCB ∠+∠+∠+∠=︒，∵ACE ECD DCB ACB ∠+∠+∠=∠，∵180ACB ECD ∠+∠︒=；（3）120DAB EAC ∠+∠=︒，理由：∵60DAE EAC ∠+∠=︒，60EAC CAB ∠+∠=︒，∵120DAE EAC EAC CAB ∠+∠+∠+∠=︒，∵DAE EAC CAB DAB ∠+∠+∠=∠，∵120DAB EAC ∠+∠=︒．【点睛】考查角的计算，角的和差，余角和补角，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键．38．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分BOC ∠，90COF ∠=︒．（1）若64BOE ∠=︒，求AOF ∠的度数；（请完成下列解答过程）解：（1）因为OE 平分BOC ∠，所以2__________BOC ∠=∠=︒．所以180__________AOC ∠=︒-∠=︒，又因为90COF ∠=︒，所以____________AOF COF ∠=∠-∠=︒；（2）若BOD BOE ∠=∠，求AOF ∠度数．（请仿照（1）写出解答过程）【答案】（1）,128,,52,,38BOE BOC AOC ；（2）30.︒【分析】（1）由角平分线的含义求解,BOC ∠ 再利用平角的含义求解,AOC ∠ 再利用角的和差关系求解,AOF ∠ 即可得到答案；（2）由OE 平分BOC ∠，可得,COE BOE ∠=∠ 结合BOD BOE ∠=∠，180,COD ∠=︒可得118060,3BOD ∠=⨯︒=︒ 再利用,AOC BOD ∠=∠ 可得60,AOC ∠=︒ 从而可得答案． 【详解】解：（1）因为OE 平分BOC ∠，所以2128BOC BOE ∠=∠=︒．所以18052AOC BOC ∠=︒-∠=︒，又因为90COF ∠=︒，所以38AOF COF AOC ∠=∠-∠=︒；故答案为：,128,,52,,38.BOE BOC AOC（2）因为OE 平分BOC ∠，所以：,COE BOE ∠=∠又因为：BOD BOE ∠=∠，180,COD ∠=︒ 所以118060,3BOD ∠=⨯︒=︒ 因为,AOC BOD ∠=∠所以60,AOC ∠=︒因为90,COF ∠=︒所以30.AOF COF AOC ∠=∠-∠=︒【点睛】本题考查的是角平分线的含义，角的和差关系，对顶角的性质，平角的含义，掌握以上知识是解题的关键． 39．如图1，点O 是直线AB 上一点，120BOC ∠=︒，OD 平分AOC ∠．（1）求COD ∠的度数；请你补全下列解题过程：∵点O 为直线AB 上一点，∵AOB ∠=___________；∵120BOC ∠=︒，∵AOC ∠=___________；∵OD 平分AOC ∠， ∵12COD AOC ∠=∠（ ） ∵COD ∠=___________．（2）在（1）条件下如图2，若OE 是BOC ∠内部一条射线，满足:3:1COE BOE ∠∠=，求DOE ∠的度数．【答案】(1) 180°、60°、角平分线的定义、30°；（2）120°．【分析】（1）根据平角和角平分线的定义求解，根据解题步骤填上适当的数．（2）根据补角的定义解答即可．【详解】解：（1）∵O 是直线AB 上一点∵∵AOB =180°．∵∵BOC =120°∵∵AOC =∵AOB -∵BOC =60°．∵OD 平分∵AOC ∵12COD AOC ∠=∠（角平分线的定义） ∵COD ∠=30°．故答案为180°、60°、角平分线的定义、30°．（2）∵120COE OE ∠+∠=︒ ，且:3:1COE BOE ∠∠=∵4120BOE ∠=︒∵30BOE ∠=︒∵90COE ∠=︒∵3090120DOE DOC COE ∠=∠+∠=︒+︒=︒ ．【点睛】本题考查了角平分线和邻补角，能熟练地运用邻补角互补进行计算是解答此题的关键．40．已知，如图，O 为直线AB 上一点，∵DOE ＝90°．若∵AOC ＝130°，OD 平分∵AOC ．（1）求∵BOD 的度数；（2）通过计算说明OE是否平分∵BOC．【答案】（1）115°；（2）平分【分析】（1）根据角平分线的定义求出∵AOD的度数，再根据平角的定义求出∵BOD的度数；（2）根据角的和差求出∵COE=∵DOE-∵DOC=90°-65°=25°，∵BOE=∵BOD-∵DOE=115°-90°=25°，根据角平分线的定义即可求解．【详解】解：（1）∵OD平分∵AOC，∵AOC＝130°，∵∵AOD＝∵DOC＝12∵AOC＝12×130°＝65°，∵∵BOD＝180°－∵AOD＝180°－65°＝115°；（2）∵∵DOE＝90°，又∵∵DOC＝65°，∵∵COE＝∵DOE－∵DOC＝90°－65°＝25°，∵∵BOD＝115°，∵DOE＝90°，∵∵BOE＝∵BOD－∵DOE＝115°－90°＝25°，∵∵COE＝∵BOE，即OE平分∵BOC．【点睛】本题考查了角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，同时考查了余角和补角，角的和差．41．如图，直线AB、CD交于点O，∵AOM=90°（1）如图1，若OC平分∵AOM，求∵AOD的度数；（2）如图2，若∵BOC=4∵NOB，且OM平分∵NOC，求∵MON的度数【答案】（1）135°；（2）54°【分析】（1）根据角平分线的定义求出∵AOC=45°，然后根据邻补角的定义求解即可；（2）设∵NOB=x°，∵BOC=4x°，根据角平分线的定义表示出∵COM=∵MON=12∵CON，再根据∵BOM列出方程求解x，然后求解即可．【详解】解（1）∵∵AOM=90°，OC平分∵AOM，∵∵AOC=12∵AOM=12×90°=45°，∵∵AOC+∵AOD=180°，∵∵AOD=180°-∵AOC=180°-45°=135°，即∵AOD的度数为135°；（2）∵∵BOC=4∵NOB∵设∵NOB=x°，∵BOC=4x°，∵∵CON=∵COB-∵BON=4x°-x°=3x°，∵OM平分∵CON，∵∵COM=∵MON=12∵CON=32x°，∵∵BOM=32x+x=90°，∵x=36°，∵∵MON=32x°=32×36°=54°，即∵MON的度数为54°．【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键，（2）难点在于根据∵BOM列出方程．42．如图1，直线AB上任取一点O，过点O作射线OC（点C在直线AB上方），且∵BOC＝2∵AOC，以O 为顶点作∵MON＝90°，点M在射线OB上，点N在直线AB下方，点D是射线ON反向延长线上的一点．（1）求∵COD 的度数；（2）如图2，将∵MON 绕点O 逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），若三条射线OD 、OC 、OA ，当其中一条射线与另外两条射线所夹角的度数之比为1：2时，求∵BON 的度数．【答案】（1）∵COD=30°；（2）40°或20°或30°【分析】（1）由题意易得∵AOC+∵BOC=180°，则有∵BOC=120°，∵AOC=60°，进而问题可求解；（2）由（1）得：∵COD=30°，∵AOC=60°，然后由题意分∵当0α=︒时，∵COD∵∵AOD=30°∵60°=1∵2，不符合题意，∵若射线OD 分另外两条射线所夹角度数之比为1∵2时，∵若射线OA 分另外两条射线所夹角度数之比为1∵2时，进而根据角的和差关系进行分类求解即可．【详解】解：（1）∵点O 在直线AB 上，∵∵AOC+∵BOC=180°，∵∵BOC ＝2∵AOC ，∵∵BOC=120°，∵AOC=60°，∵∵MON=90°，点D 在射线ON 的反向延长线上，∵∵BOD=90°∵∵COD=∵BOC -∵BOD=30°；（2）由（1）得：∵COD=30°，∵AOC=60°，∵当0α=︒时，∵COD∵∵AOD=30°∵60°=1∵2，而0180α︒<<︒，∵OC 不能分另外两条射线所夹角度数之比为1∵2，∵若射线OD 分另外两条射线所夹角度数之比为1∵2时，如图所示：当∵AOD=2∵COD 时，则有2403AOD AOC ∠=∠=︒， ∵∵AOD=∵BON ，∵∵BON=40°；当∵COD=2∵AOD 时，则有1203AOD AOC ∠=∠=︒， ∵∵BON=∵AOD=20°； 若射线OA 分另外两条射线所夹角度数之比为1∵2时，如图所示：当∵AOD=2∵AOC 时，则有2120AOD AOC ∠=∠=︒，∵90210AOD α=︒+∠=︒，（不符合题意，舍去），当∵AOC=2∵AOD 时，则有∵AOD=30°，∵90120AOD α=︒+∠=︒，∵∵BON=∵AOD=30°；综上所述：若三条射线OA 、OC 、OD ，当其中一条射线分另外两条射线所夹角度数之比为1∵2时，∵BON 的度数为40°或20°或30°．【点睛】本题主要考查角的和差关系及对顶角的定义，熟练掌握角的和差关系及对顶角的定义是解题的关键． 43．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OF ，OD 分别是AOE ∠，∠BOE 的平分线． （1）写出DOE ∠的补角；（2）若64BOE ∠=︒，求AOD ∠和BOF ∠的度数；（3）射线OD 与OF 之间的夹角DOF ∠等于多少度？请说明理由．【答案】（1）∵COE ，∵AOD ，∵BOC ；（2）∵AOD=148°，∵BOF=122°；（3）90°，见解析【分析】（1）根据互补的定义结合角平分线的定义确定∵DOE 的补角；（2）先根据角平分线的定义得出∵BOD 的度数，再由邻补角定义可得∵AOD=180°-∵BOD ；先根据邻补角定义可得∵AOE=180°-∵BOE ，再由角平分线的定义得出∵AOF 的度数，从而求解；（3）运用平角的定义和角平分线的定义，证明∵DOF 是90°，得直线OD 、OF 的位置关系．【详解】解：（1）由直线AB 与CD 相交于点O∵∵DOE+∵COE=180°；∵BOD+∵AOD=180°又∵OD 平分∠BOE∵∵DOE=∵BOD∵∵DOE+∵AOD=180°又∵∵AOD=∵BOC∵∵DOE+∵BOC=180°∵∵DOE 的补角为∵COE ，∵AOD ，∵BOC ；（2）因为OD 是∵BOE 的平分线，∵BOD=12∵BOE=32°， 所以∵AOD=180°-∵BOD=148°，因为∵AOE=180°-∵BOE=116°，OF 是∵AOE 的平分线，所以∵AOF=12∵AOE=58°， 所以∵BOF=180°-∵AOF=122°即∵AOD=148°，∵BOF=122°；（3）因为OF，OD分别是∵AOE，∵BOE的平分线，所以∵DOF=∵DOE+∵EOF=12∵BOE+12∵EOA=12（∵BOE+∵EOA）=12×180°=90°．【点睛】本题考查了角平分线、补角、垂线的定义以及角的计算，属于基础题型，比较简单．44．如图，O为直线AB上一点，∵AOC与∵AOD互补，OM、ON分别是∵AOC、∵AOD的平分线．（1）根据题意，补全下列说理过程：因为∵AOC与∵AOD互补，所以∵AOC+∵AOD＝180°．又因为∵AOC+∵＝180°，根据，所以∵＝∵．（2）若∵MOC＝72°，求∵AON的度数．【答案】（1）BOC；同角的补角相等；AOD；BOC；（2）∵AON=18°【分析】（1）由题意可得∵AOC+∵AOD＝180°，∵AOC+∵COB＝180°，可以根据同角的补角相等得到∵AOD＝∵COB；（2）首先根据角平分线的性质可得∵AOC＝2∵COM，∵AON＝12∵AOD，然后计算出∵AOC＝144°，进而得到∵AON＝18°．【详解】解：（1）因为∵AOC与∵AOD互补，所以∵AOC+∵AOD＝180°．又因为∵AOC+∵BOC ＝180°，根据同角的补角相等，所以∵AOD ＝∵BOC ，故答案为：BOC ；同角的补角相等；AOD ；BOC ；（2）∵OM 是∵AOC 的平分线．∵∵AOC ＝2∵MOC ＝2×72°＝144°，∵∵AOC 与∵AOD 互补，∵∵AOD ＝180°﹣144°＝36°，∵ON 是∵AOD 的平分线．∵∵AON ＝12∵AOD ＝18°． 【点睛】本题考查了补角的定义和角平分线的定义，解题关键是熟练运用相关知识建立角之间的联系．45．已知O 是直线AB 上的一点，COD ∠是直角，OE 平分BOC ∠．（1）如图a ．∵若60AOC ∠=︒，求DOE ∠的度数；∵若AOC α∠=，直接写出DOE ∠的度数．（用含α的式子表示）（2）将图a 中的COD ∠绕点O 顺时针旋转至图b 的位置，试探究DOE ∠和AOC ∠之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．【答案】（1）∵30°；∵12DOE α∠=；（2）12DOE AOC ∠=∠，见解析 【分析】（1）∵首先求得∵COB 的度数，然后根据角平分线的定义求得∵COE 的度数，再根据∵DOE=∵COD -∵COE 即可求解；∵解法与∵相同，把∵中的60°改成α即可；（2）把∵AOC 的度数作为已知量，求得∵BOC 的度数，然后根据角的平分线的定义求得∵COE 的度数，再根据∵DOE=∵COD -∵COE 求得∵DOE ，即可解决．【详解】。
北师大版七年级数学下册.1对顶角、补角和余角优质习题课件
答案：150° 点评：补角和余角的性质在计算和说理中会经常用到，它是说明 两个角相等的重要方法之一．
解：(1)∠1的对顶角是∠AOC．
(2)因为∠1＝∠2，所以∠1∶∠2∶∠3＝2∶2∶5.又∠1＋∠2＋ ∠3＝180°，设∠2＝2x°，则∠1＝2x°，∠3＝5x°，则2x＋ 2x＋5x＝180，解得x＝20.所以∠1＝40°，∠2＝40°，∠3＝ 100°，所以∠BOC＝∠2＋∠3＝140°.由对顶角相等，可得∠4 ＝∠BOC，∠AOC＝∠1，所以∠4＝140°，∠AOC＝40°.
16．如果一个角与它的余角的度数之比为1∶2，那么这个角与它的补 角的度数之比为______1∶__5____.
17．用两根木条做成如图所示的教具，AB和CD都可绕点O转动，若 ∠AOD增大30°，则∠BOC___增__大__30_°____.
18．已知一个角的余角比这个角的补角的12小 12°，求这个角的余角和补角的度 数．
(1)试再写出图中的一对邻补角； (2)邻补角一定互补吗？互补的两个角一定是邻补角 吗？为什么？
解：(1)∠AOB与∠EOB或∠AOD与∠EOD．
(2)邻补角一定互补，互补的两个角不一定是邻补角， 因为互补的角不一定有共同的顶点和公共边．
能力提升
11．平面内三条不同的直线相交最多能构成对顶角(小于平角)的对数 是( C )
思维训练
20．如图，两条笔直的街道AB、CD相交于点O，街道OE、 OF分别平分∠AOC、∠BOD，请说明街道EOF是笔直的．
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__________________________________________________余角和补角和对顶角余角：如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。
∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A 的余角=90°-∠A补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A对顶角：一个角的两边分别是另一个角的反向延长线，这两个角是对顶角。
两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。
两条直线相交,构成两对对顶角。
对顶角相等.对顶角与对顶角相等.对顶角是对两个具有特殊位置的角的名称; 对顶角相等反映的是两个角间的大小关系。
补角的性质：同角的补角相等。
比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。
等角的补角相等。
比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
余角的性质：同角的余角相等。
比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。
等角的余角相等。
比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D 则：∠C=∠B。
注意：①钝角没有余角；②互为余角、补角是两个角之间的关系。
如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角；③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。
只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。
余角与补角概念认识提示：（1）定义中的“互为”一词如何理解？如果∠1与∠2互余，那么∠1的余角是∠2 ，同样∠2的余角是∠1 ；如果∠1与∠2互补，那么∠1的补角是∠2 ，同样∠2的补角是∠1。
（2）互余、互补的两角是否一定有公共顶点或公共边？两角互余或互补，只与角的度数有关，与位置无关。
（3）∠1 + ∠2 + ∠3 = 90°（180°）,能说∠1 、∠2、∠3 互余（互补）吗？不能，互余或互补是两个角之间的数量关系。
已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A=50°，则∠C的度数是 [ D ]A．40° B．50° C．130° D．140°如果∠A的补角是它的余角的4倍，则∠A=______度．设∠A为x，则∠A的余角为90°-x，补角为180°-x，根据题意得，180°-x=4（90°-x），解得x=60°．故答案为：60．已知∠ α=50°17'，则∠α的余角和补角分别是 [ B ] A．49°43'，129°43' B．39°43'，129°43'C．39°83'，129°83' D．129°43′，39°43′两个角的比是6：4，它们的差为36°，则这两个角的关系是（）A．互余 B．相等 C．互补 D．以上都不对设一个角为6x，则另一个角为4x，则有6x-4x=36°，∴x=18°，则这两个角分别为108°，72°，而108°+72°=180° ∴这两个角的关系为互补． 故选C ．如果∠A=35°18′，那么∠A 的余角等于90°-35°18′=54°42′． 故填54°42′．已知∠1和∠2互补，∠3和∠2互余，求证：∠3= =21（∠1-∠2）．证明：由题意得：∠2+∠3=90°，∠1+∠2=180°， ∴2（∠2+∠3）=∠1+∠2，故可得：∠3=21（∠1-∠2） 如图，∠1的邻补角是[ ]A.∠BOCB.∠BOC 和∠AOFC.∠AOFD.∠BOE 和∠AOF两个角互为补角，那么这两个角大小 [ D ]A.都是锐角B.都是钝角C.一个锐角，一个钝角D.无法确定如果两个角互为补角,那么这两个角一定互为邻补角，证明此命题真——加原因如果两个角互为补角,那么这两个角一定互为邻补角,这是假命题.如果两个角互为领补角,那么这两个角一定互为补角,这是真命题.譬如说,两直线平行,同旁内角互补,但互为同旁内角的两个角一定不互为领补角.如果两个角互补,那它们是邻补角”——————为什么说这个是假命题?两条平行线切出的同旁内角也互补,但是它们不是邻补角.所以说：“如果两个角互补,那它们是邻补角”是假命题!因为邻补角是相邻的两个角互补，那么这两个角是互为邻补角，而互补的两个角有不相邻的，比如四边形的两个对角互补，则这四点共圆如果一个角是36°，那么 [ D ]．它的余角是64° B．它的补角是64° C．它的余角是144° D．它的补角是144°下列说法中：①同位角相等；②两点之间，线段最短；③如果两个角互补，那么它们是邻补角；④两个锐角的和是锐角；⑤同角或等角的补角相等．正确的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个①相等，说法错误；②②两点之间，线段最短，说法正确；③③如果两个角互补，那么它们是，说法错误；④④两个锐角的和是锐角，说法错误；⑤⑤同角或等角的补角相等，说法正确；⑥说法正确的共有2个，故选：A．⑦下列说法正确的是（）A．小于平角的角是锐角B．相等的角是对顶角C．邻补角的和等于180°D．同位角相A、小于平角的角有：锐角、直角、钝角，故本选项错误；B、对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，故本选项错误；C、邻补角的和等于180°正确，故本选项正确；D、只有两直线平行，才有同位角相等，故本选项错误．故选C．下列说法正确的是（） A．相等的角是对顶角 B．对顶角相等 C．同位角相等 D．锐角大于它的余角A、相等的角是对顶角，说法错误；B、对顶角相等，说法正确；C、同位角相等，说法错误；D、锐角大于它的余角，说法错误；故选：B．下列说法中，正确的是（）A．对顶角相等B．内错角相等C．锐角相等D．同位角相等A、对顶角相等，说法正确；B、内错角相等，说法错误，只有两直线平行时，内错角才相等；C、锐角相等，说法错误，例如30°角和20°角；D、同位角相等，说法错误，只有两直线平行时，同位角才相等；故选：A．三条直线相交于一点可以构成几对对顶角？两条直线出现 2*（2-1）=2对对顶角三条直线出现 3*（3-1）=6对对顶角四条直线出现 4*（4-1）=12对对顶角依次类推，n条直线相交于一点有n*(n-1)对对顶角三条直线相交于一点，共可组成______对对顶角．如图，单个的角是对顶角的有3对，两个角的复合角是对顶角的有3对，所以，共有对顶角3+3=6对．故答案为：6．三条直线相交与一点，能构成几对对顶角？四条呢？五条呢？N 条呢？我要方法和答案！三条直线相交与一点,6对；四条直线相交与一点，12对；五条直线相交与一点，20对； N条直线相交与一点，N(N-1)对；如果有n条直线相交于一点，有多少对对顶角？n的平方减去2条数个数2 2=2x13 6=3x24 12=4x35 20=5x4…………n n(n-1)三条直线相交于一点，对顶角最多有______对．把三条直线相交于一点，拆成三种两条直线交于一点的情况，因为两条直线相交于一点，形成两对，所以三条直线相交于一点，有3个两对，共6对两条直线相交，有一个交点。
三条直线相交，最多有多少个交点？四条直线呢？你能发现什么规律吗？这个其实就是组合问题。
因为两条线构成一个交点，所以三条线时，从三条线中取两条线，有3*2/2=3种取法，所以有3个交点。
四条线中取两条，有4*3/2=6种取法，所以有6个交点。
n条线中取两条，有n()/2种取法，所以有n()/2个交点。
邻补角是互补的角是真命题吗当然是,邻补角相加等于180度就是互补啊互补的角是邻补角是真命题还是假命题若是真命题,请举反例两个角有一条公共边,它们的另一条边互为反向延长线,具有这种关系的两个角称为互为邻补角.可以随便画两个没有公共边的角,比如1个60度,另一个120度,显然它们是互补的,但是并不是邻补角所以互补的角是邻补角这是一个假命题应该说邻补角是互补的角,这才是真命题既相邻又互补的两个角是邻补角吗两条平行线切出的也互补，但是它们不是邻补角。
所以说：“如果两个角互补，那它们是邻补角”是假命题！成互补关系的两个角互为邻补角是对还是错不对相邻的两个角互补称之为邻补角像两直线平行,同旁内角互补（这两个互补的角不相邻）、互补的两个角是邻补角用因为所以答因为两个角是邻补角所以两个角互补反过来不成立。