位置矢量位移速度加速度
位置矢量位移速度加速度
洛伦兹力和安培力是电磁学中的基本力，它们分别描述磁场对运动电荷和电流的作用。这两种力的计算需要用到位置 矢量、位移、速度和加速度等概念。
电磁波的传播
电磁波是电磁场的一种传播形式，其传播速度与介质中的光速相同。电磁波的传播可以用位置矢量、位 移、速度和加速度等概念来描述和分析。
在光学中的应用
数值模拟
利用计算机模拟技术，对物体运动过程进行数值模拟和分 析，探究位置矢量位移速度加速度等概念的变化规律。
02 位置矢量与位移
位置矢量的定义和性质
位置矢量
描述物体在空间中位置的物理量 ，用从坐标原点到物体所在点的 矢量表示。
性质
位置矢量具有大小和方向，大小 表示物体距离坐标原点的远近， 方向表示物体相对于坐标原点的 方位。
加速度
曲线运动中物体的加速度是指物体在运动过程中速度随时间 的变化率。加速度也是矢量，既有大小又有方向。在求解曲 线运动中的加速度时，需要用到微分运算和矢量运算的法则 。
曲线运动中的位置矢量、位移、速度和加速度的综合应用
01
运动轨迹的描述
通过位置矢量和位移可以描述物体在曲线运动中的轨迹。结合速度和加
03 速度与加速度
速度的定义和计算
速度是描述物体运动快慢的物理量，定 义为位移与发生这个位移所用时间的比 值。在国际单位制中，速度的单位是米
每秒（m/s）。
瞬时速度是指物体在某一时刻或经过某 一位置时的速度，它反映了物体在运动 过程中某一时刻或某一位置的运动快慢
程度。
平均速度是指物体在某段时间内位移与 时间的比值，它反映了物体在这段时间
在现代科学和工程领域，对于物体运动状态的精确描述和控制是许多研究和应用的 基础。
深入研究位置矢量位移速度加速度等概念，有助于更好地理解物体运动的本质和规 律，为相关领域的研究和应用提供理论支持。
大学物理第四版
韩晓红信息学院北楼A203教务处网络教学——用户名：1234密码：1234课程搜索：大学物理II课程搜索大学物理11第一章质点运动学3/31教学基本要求位置矢量位移加速度等描述质点运动及运动一掌握位置矢量、位移、加速度等描述质点运动及运动变化的物理量. 理解这些物理量的矢量性、瞬时性和相对性.二理解运动方程的物理意义及作用. 掌握运用运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速度的方法，以及已知质点运动的加速度和初始条件求速度、运动方程的方法.三能计算质点在平面内运动时的速度和加速度，以及质点作圆周运动时的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度.四理解伽利略速度变换式, 并会用它求简单的质点相对运动问题.运动的绝对性和相对性一参考系、坐标系、物理模型1、运动的绝对性和相对性①运动是绝对的：任何物体任何时刻都在不停地运动着②运动又是相对的：运动的描述是相对其他物体而言的2、参考系为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系.选取的参考系不同对物体运动情况的描述不同这就选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不同，这就是运动描述的相对性.4、物理模型——质点质点没有大小和形状，只具有全部质量的一点。
可将物体简化为质点的两种情况可以将物体简化为质点的两种情况：物体不变形，不作转动(此时物体上各点的速度及加速度都相同，物体上任一点可以代表所有点的运动)物体本身线度和它活动范围相比小得很多(此时物体的变形及转动显得并不重要)。
描述物体运动的基础：选择合适的参考系确定物体的运动性质建立恰当的坐标系定量描述物体的运动提出准确的物理模型突出问题中最基本的运动规律位移的物理意义注意简称速度r r d vv v=Δ=x v v ΔΔli li t t t d lim 0Δ→Δv j ty i t t t vΔ+Δ=→Δ→Δ00lim lim v vsr d d =当时,0→Δt d s v v 当质点做曲线运动时 质点在某一点的速度方向就td e t=v ,质点在某点的速度方向就加速度a v位矢rv位移r vΔ速度v v注矢量性：四个量都是矢量，有大小和方向意加减运算遵循平行四边形法则avrv v v某一时刻的瞬时量瞬时性：rvΔ不同时刻不同过程量相对性：不同参照系中，同一质点运动描述不同不同坐标系中，具体表达形式不同质点运动学两类基本问题一由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度；二已知质点的加速度以及初始速度和初始位置, 可求质点速度及其运动方程.v v 求导求导v )(t a )(t r 积分积分()t v 运动状态运动状态变化2at +=υυ02运动学方程BlαAvA Blαv21υυ+12x x −=υ2υ=12t t −。
大 学 物 理 质点运动学
dr
dx
i
dy
j 3i 8tj (m/s)
dt dt dt
（3）由加速度的定义得
a
d
8 j (m/s2 )
dt
x
22
例2: 一质点沿半径为1 m的圆周运动，它通过的弧长 s按s＝t＋2t2的规律变化。问它在2 s末的速率、法向 加速度和切向加速度各是多少？
解 （1）由速率定义，有 ds 1 4t dt
小球的切向加速度量值 a，法向加速度量值an和轨道
的曲率半径 。
解：由图可知
a
g sin
gy
a g
gt
2 0
g 2t 2
g2t
02 g2t 2
an θ
x= 0
θ
a
y=gt
an
g cos
gx
g
an
g0 02 g2t 2
2
2 x
2 y
(02
g 2t 2 )3 / 2
an
an
g0
21
§1.4 运动学中的两类问题
r
Ｃ
Ｂ
r
r2
Ｏ
位置矢量的增量 ◆位矢增量的模 ◆位矢模的增量
r r2 r1 | r|| r2 r1 | r | r2 | | r1 |
位移在直角坐标系中的表示式
r
xi
yj
zk
9
路程 s t 时间内质点在空间内实际运行的路径距离。
注意
• s与 r的区别
s为标量, r为矢量
s r
d
s
dr
将t ＝2代入上式，得2 s末的速率为
＝1＋4×2＝9 (m·s-1)
（2）法向加速度的大小 （3）切向加速度的大小
大学物理1.2 质点的位移、速度和加速度
y
A r r1 r2
y
B
yB yA
A r r1 r2
xA xB x A
B
yB yA
o
x
o
xB
x
把 由始点 A 指向终点 B 的有向线段 r 称为点 A 到 B 的位移矢量 , 简称位移. r r2 r1
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化,
1.2 质点的位移、速度和加速度
一、 位移 （反映物体位置的变化）
位移 位矢 r 在t 时间内的增量
O
P
r (t )
s
r
Q
r (t t ) 说明 (1) r是矢量， s 是标量，且大小一般不等 Δr r s r 位矢增量的大小与Δr ( r )位矢大小的增量的区别 (2) 分清
A
r (t )
o
dt
x
三、 加速度
1. 速度增量 v v (t t ) v (t )
v (t )
B
v (t t )
A
2 . 平均加速度
v a t
r (t )
r (t t )
3. 瞬时加速度
a lim v t dv dt
dr dt v
r
r
0
t dr (6i 16t j )dt 0
r0 8k
2 r 6t i 8t j 8k
1.4 用自然坐标表示平面曲线运动中 的速度和加速度
一、 速度
s s (t t ) s (t ) r s r lim ( ) v lim t 0 s t t 0 t r s ( lim )( lim ) t 0 s t 0 t r ds ds τ ( lim ) t 0 s dt dt
三个矢量和计算公式
三个矢量和计算公式在物理学和工程学中，矢量是一种具有大小和方向的物理量。
矢量可以用来表示力、速度、位移和其他物理量，因此在许多领域都有重要的应用。
在本文中，我们将讨论三个常见的矢量和计算公式，它们分别是位移矢量、速度矢量和加速度矢量。
位移矢量是描述物体从一个位置移动到另一个位置的矢量。
它的大小等于物体从初始位置到最终位置的距离，方向则是从初始位置指向最终位置的方向。
位移矢量通常用符号Δr表示，它的计算公式为：Δr = r2 r1。
其中，Δr表示位移矢量，r2表示物体的最终位置，r1表示物体的初始位置。
这个公式告诉我们，位移矢量的大小等于物体从初始位置到最终位置的距离，方向则是从初始位置指向最终位置的方向。
速度矢量是描述物体在单位时间内移动的距离和方向的矢量。
它的大小等于物体在单位时间内移动的距离，方向则是物体在单位时间内移动的方向。
速度矢量通常用符号v表示，它的计算公式为：v = Δr / Δt。
其中，v表示速度矢量，Δr表示位移矢量，Δt表示时间间隔。
这个公式告诉我们，速度矢量的大小等于物体在单位时间内移动的距离，方向则是物体在单位时间内移动的方向。
加速度矢量是描述物体在单位时间内速度改变的矢量。
它的大小等于物体在单位时间内速度改变的大小，方向则是速度改变的方向。
加速度矢量通常用符号a表示，它的计算公式为：a = Δv / Δt。
其中，a表示加速度矢量，Δv表示速度改变的矢量，Δt表示时间间隔。
这个公式告诉我们，加速度矢量的大小等于物体在单位时间内速度改变的大小，方向则是速度改变的方向。
这三个矢量和计算公式在物理学和工程学中有着广泛的应用。
它们可以用来描述物体的运动状态，帮助我们理解物体的运动规律。
通过计算位移矢量、速度矢量和加速度矢量，我们可以预测物体的运动轨迹，分析物体的运动规律，从而为工程设计和科学研究提供重要的参考依据。
除此之外，这三个矢量和计算公式还可以应用于许多实际场景中。
比如，在汽车行驶过程中，我们可以利用位移矢量和速度矢量来描述汽车的运动状态，通过计算加速度矢量来评估汽车的加速性能。
大 学 物 理 教 案第1章 质点运动学
1三、坐标系为了定量描述物体的运动，还需要在参考系上建立适当的几何框架即坐标系。
常用的有直角坐标系、极坐标系、自然坐标系、球坐标系等。
四、物理模型——质点实际物体都有大小和形状，一般说来，运动情况很复杂，但是，如果物体的大小和形状在所研究的问题中不起作用或作用很小，就可以忽略其大小和形状，而把它抽象为一个只有质量的几何点—质点。
应用质点模型的条件为：（1）当物体运动的空间范围r 远大于物体自身线度l 时； （2）物体只作平动时。
§1.2 位置矢量 位移 速度 加速度一、描述质点运动的物理量1、位置矢量由坐标原点引向考察点的矢量，简称位矢，用r 表示。
在直角坐标系中为 r = x i + y j + z k ，r 222z y x ++=；r 的方向余弦是r xcos =α， r ycos =β，rzcos =γ。
在平面极坐标系中在自然坐标系中 r = r (s )。
运动方程描写质点的位置随时间变化的函数关系式称为运动方程。
记为x = x (t )，y = y (t )，z = z (t ) r = r (t )， s = s (t )。
例1: 如质点作圆周运动时，有 x = cos r t ω，y =sin r t ω消去时间t ，就得轨道方程 222x y r +=。
2、位移和路程位移r ∆r = r r 0，vYx rt ω 0y 例1-1 图(1)定义:12rrr-=∆，注意：（1）增量的模r∆与模的增量r∆不是同一个量；（2）位移在直角坐标系中的表示式为=∆r xi∆+y∆j+z∆k。
路程s∆：t∆时间内质点在空间内实际运行的路径距离位移和路程的比较与联系：（1）不同处..r;.r.absc s⎧⎪∆--⎪⎨∆--⎪⎪∆≠∆⎩矢量与标量,仅由始未位置决定与轨道形状无关与轨道形状及往返次数有关;在一般情况下（2）联系在t∆→0时，d=r d s,但仍然d d r≠r。
3、速度平均速度trv∆∆=与平均速率tsv∆∆=（1）、在一般情况下平均速度大小不等于平均速率vv≠.（2）、v在直角坐标系中的表示式x y zt t t∆∆∆∆∆∆=++v i j k瞬时速度dlimt dtr rvt∆∆∆→==v v与瞬时速率dlimdts svt t∆∆∆→==的关系：（1）、瞬时速度大小d dd dSvt t===rv，等于瞬时速率dtdsv=。
动力学中的矢量分析与运动学方程
动力学中的矢量分析与运动学方程动力学是研究物体运动的力学分支，而矢量分析和运动学方程是动力学中的两个重要概念。
本文将探讨它们的关系和应用。
一、矢量分析在动力学中的应用矢量分析是研究矢量在空间中运动和变化的数学方法。
在动力学中，我们常常需要分析物体的位移、速度和加速度等矢量量，而矢量分析提供了一种有效的工具。
首先，我们来看位移矢量。
位移矢量是描述物体从一个位置到另一个位置的矢量，它的大小等于两个位置之间的直线距离，方向则是从起始位置指向结束位置。
通过矢量分析，我们可以计算出物体在某一时刻的位移，从而了解其位置的变化。
其次，速度矢量是描述物体运动快慢和方向的矢量，它等于位移矢量除以时间间隔。
通过矢量分析，我们可以计算出物体在某一时刻的速度，从而了解其运动状态。
最后，加速度矢量是描述物体运动变化率的矢量，它等于速度矢量的变化率。
通过矢量分析，我们可以计算出物体在某一时刻的加速度，从而了解其运动的加速度变化情况。
总之，矢量分析在动力学中的应用非常广泛，通过对位移、速度和加速度等矢量量的分析，我们可以深入理解物体的运动规律和变化情况。
二、运动学方程的推导和应用运动学方程是描述物体运动规律的数学方程。
在动力学中，我们常常需要通过运动学方程来研究物体的运动状态和变化。
首先，我们来看匀速直线运动的运动学方程。
对于匀速直线运动，物体的位移随时间的变化是线性的，即位移与时间成正比。
因此，我们可以得到匀速直线运动的位移公式：位移等于速度乘以时间。
其次，对于匀加速直线运动，物体的加速度是恒定的，位移随时间的变化是二次函数关系。
通过对位移、速度和加速度的分析，我们可以得到匀加速直线运动的运动学方程：位移等于初速度乘以时间加上加速度乘以时间的平方的一半。
最后，对于曲线运动，物体的运动轨迹是曲线形状的。
通过对曲线的参数方程进行分析，我们可以得到曲线运动的运动学方程。
总之，运动学方程是描述物体运动规律的重要工具，通过对位移、速度和加速度等物理量的分析，我们可以推导出各种运动情况下的运动学方程，从而深入理解物体的运动规律。
位矢
(1)质点运动的二维坐标表示
r
r(t )
x(t)i
y(t) j
Δ r r2-r1 i yj
v
dr
dx
i
dy
j
dt dt dt
a
dv dt
d
2
r
dt 2
d2x dt 2
i
d2 y dt 2
j
(2)质点运动的自然坐标表示
刻的速度和加速度。求解这类问题的基本方法是微分
法。 第二类问题：已知质点的加速度（或速度）随时间的
变化规律和初始条件，求质点在任意时刻的速度和运
动方程，求解这类问题的基本方法是积分法。
5 .牛顿运动定律
第一定律可认为是惯性参考系的定义,掌握要点: 惯性、运动状态改变的原因--力。 第二定律是在惯性参考系中力的瞬时作用规律,掌握 要点:质量是F惯 m性a定 d量P表述,力P是产m生v 加速度的原因。
F=F0+k x 的作用,其中F0、k均为常量，且B在x=0处的速度为v0, 求B的速度与坐标间的关系。
思路： 加速度是位置的函数a=a(x):
即a=(F0 / m) +(k/m)x,
a dv dv dx v dv , dt dx dt dx
0x
adx
v
v0
vdv
(3)力是速度的函数F=F(v):一质量为m的轮船C在停靠码头之
an at , t 1s
（2）
s
0tvdt
1
0
3tdt
1.5
m
课后练习题
1 .一电子在电场中运动,其运动方程为:
大学物理I期末总复习
）
A.A比B的动量增量少
B.A与B的动量增量为零
C.A比B的动量增量大
D.A与B的动量增量相等
冲量等于动量增 量
B
吊车地板给物体的冲量，是支持力，所以加速度 a=10+2=12m/s^2
D
所谓冲量即动量增量，0-2*10=|-20|
A
所谓冲量即动量增量，0-2*5=|-10|
C
0.01*900=9, 240/60=4,4*9=36
dt
4
a d 2x 40 2cos(40 ) 2.79 102 m s2
dt 2
4
例2.简谐振动方程 x Acos（t ） ，求 t T （T为周期）时，物体的速
3.简谐振动的动力学、运动学的表达式。运动方程 x Acos(t )
4.振幅、角频率和初相三个量可以完全确定一个简谐振动，称为简谐振 动的特征量。
5.相位（t ）是决定简谐振动的物体任一时刻运动状态的物理量。
6.对于给定的振动系统，周期（频率）由振动系统本身的性质决定，而振幅
和初相则由初始条件决定。
6.作用力和反作用力同时产生，任何一方不能孤立地存在。作用力和 反作用力分别作用在两个物体上，其效果不能相互抵消。 7.牛顿第二定律是牛顿力学的核心，只适用于质点的运动，所表示的 合外力和加速度之间的关系是瞬时对应的关系。 8.冲量是表征力对时间累积效应的物理量，功是表征力对空间累积效 应的物理量。 9.冲量的方向一般并不与动量的方向相同，而与动量增量的方向相同。 10.只有外力才对系统的动量变化有贡献，而系统的内力是不能改变 整个系统的动量的。
二、作业及练习题复习
1. 已知质点运动学方程，求轨迹方程、速度、加速度和判断运动情况等。
加速度求位置矢量的公式
加速度求位置矢量的公式
加速度、位移公式是什么
vt=v0+at
(t2-v02)=2as
s=vOt+at2/2
s=(vO+vt)t/2
s2-s1=aT2
加速度相关公式
1、平均速度：V平=s/t（定义式），有用推论Vt2-Vo2=2as
2、中间时刻速度：Vt/2=V平=Vt+Vo)/2
3、末速度：Vt=Vo+at
4、位移：s=V平t=Vot+at2/2=Vt/2t
6、加速度：a=Vt-Vo)/t{以Vo为正方向，a与Vo同向加速南a>0;反向则a<0}
7、实验用推论：△s=aT2{△s为连续相邻相等时间D内位移之差}
位移计算公式
物体在某一段时间内，如果由初位置移到末位置，则由初位置到末位置的有向线段叫做位移。
它的大小是运动物体初位置到末位置的直线距离：方向是
1
从初位置指向末位置。
位移只与物体运动的始末位置有关，而与运动的轨迹无关。
如果质点在运动过程中经过
一段时间后回到原处，那么，路程不为零而位移则为零。
△X=X2-X1（未位置减初位置）要注意的是位移是直线距离，不是路程。
匀变速运动的
位移公式：x=v0t+1/2at2。
匀变速运动速度与位移的推论：X=Vot+2at2。
注：v0指初速度指末速度。
2。
位移、速度、加速度
1-1-2
２、速度 Velocity 瞬时速度、简称速度： v = lim t→0 r/ t = dr/dt 速度方向为所在点轨迹的切线方向，并 指向质点前进的一方 在直角坐标系中 v = dx/dt i + dy/dt j + dz/dt k 速度分量 vx = dx/dt , vy = dy/dt , vz = dz/dt 速度的大小： | v | = ( vx2 + vy2 + vz2 )1/2
1-1-2
v(t) P Q ρ no dθ
v(t+dt)
O vdθ v(t) v(t+dt) dv dv
1-1-2
dv = dv to + vd no 所以 vdt =ρd 故 d /dt = v /ρ 将上式两边除以dt可得质点在P点的加速度 a = dv/dt = dv/dt to + vd /dt no = dv/dt to + v2/ρ no dv/dt 为沿切向分量，故称为质点的切 向加速度 at ，其值等于速率的变化率，它 表示速度变化的快慢。
例1-2 有一质点沿x轴作直线运动为 x(t) = 4.5t2 - 2t3 (SI)，试求: (1)第2秒内的平均速度 v， (2)第2秒末的速度 v， (3)第2秒内经过的路程s 及平均速率 v， (4)第2秒末的加速度 a 。 解:(1) vx = x/ t = [ x(2)- x(1)]/( 2 - 1 ) = (4.5×22－2×23 )－(4.5－2) = - 0.5 m /s v = - 0.5 i m /s
1-1-2
1-1-2
vx = 9t - 6t2 (4) 加速度 ax = dvx/dt = 9 - 12t |t=2 = 9 - 12×2 = - 15 ( m/s2 ) 因为加速度与速度方向相同， 所以质点在２秒末作加速运动。
1-2 位置矢量 位移 速度 加速度
第1章 质点运动学
第2节
r 位矢 的方向余弦
cos x r
cos y r
cos z r
运动方程
rv(t)
v x(t)i
y(t)
v j
v z(t)k
x x(t)
分量式 y y(t)
z z(t)
从中消去参数 t 得轨迹方程
f (x, y, z) 0
第1章 质点运动学
ay
v j
v azk
加速度大小
ax
dvx dt
d2x dt 2
ay
dvy dt
d2 y dt 2
a ax2 ay2 az2
第1章 质点运动学
az
dvz dt
d2z dt 2
第2节
大学物理学(第4版) 13
讨论 vv v 吗？
vv vv(t t) vv(t)
大学物理学(第4版) 2
y
r P
o
x
z
yP
y(t)
r(t)
o
x(t)
z(t)
x
z
第2节
大学物理学(第4版) 3
二、位移
y
rv1 A
r rv2
B
y
yB yA
rv1 A
r rv2
B
yB yA
o
x
o
xA
xB x
xB xA
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化,
把B 的由位始移点矢A量指,向简终称点位B移的. 有向rv线段rv2rr称v1 为点 A 到
物理学中的矢量位移速度与加速度
物理学中的矢量位移速度与加速度物理学中的矢量位移、速度与加速度物理学是一门研究物质的运动规律和属性的科学。
在物理学中，矢量位移、速度和加速度是三个重要的概念，它们有着密切的联系。
本文将深入剖析这三个概念的定义、计算以及它们之间的关系。
一、矢量位移矢量位移是一个物体从初始位置移动到最终位置的直线距离的有向量表示。
用符号Δr表示，Δr = r2 - r1，其中r2表示物体的最终位置矢量，r1表示物体的初始位置矢量。
二、速度速度是描述物体运动变化率的物理量，它是位移关于时间的导数。
速度的定义是v = Δr / Δt，其中Δr表示位移矢量，Δt表示时间变化的量。
速度是一个矢量量，它既有大小，又有方向。
在国际单位制中，速度单位为米每秒（m/s）。
三、加速度加速度是描述物体速度变化率的物理量，它是速度关于时间的导数。
加速度的定义是a = Δv / Δt，其中Δv表示速度矢量的变化量，Δt表示时间变化的量。
加速度也是一个矢量量，它既有大小，又有方向。
在国际单位制中，加速度单位为米每秒平方（m/s²）。
通过分析位移、速度和加速度的定义，我们可以看出它们之间的关系。
速度是位移的导数，表示单位时间内物体位置的变化率。
而加速度是速度的导数，表示单位时间内速度的变化率。
因此，加速度也可以看作是位移关于时间的二阶导数。
在一维运动中，我们可以用函数的导数来计算速度和加速度。
对于位移函数x(t)，我们可以通过求导得到速度函数v(t)，再次求导得到加速度函数a(t)。
在多维运动中，我们可以将位移、速度和加速度分别看作是矢量的分量，对每个方向进行独立计算。
除了函数法，我们还可以通过图像法来分析位移、速度和加速度之间的关系。
通过绘制位移-时间、速度-时间、加速度-时间的图像，我们可以直观地了解它们的变化规律。
需要特别注意的是，位移、速度和加速度的方向是相对于某个参考点或参考系统而言的。
选择合适的参考点和参考系对于矢量的描述非常重要。
大学物理：第一章 质点运动学-位矢、速度和加速度
7
2) 质点
2)质点 在某些问题中，物体形状 和大小可忽略，可看成一个只有 质量、没有大小和形状的点。
2.质点位置和运动描述
1)质点的位置和位置矢量
它的位置还可以用从参考点O到 质点所在位置的有向线段来表示
质点的
位矢
位置矢量 r op 矢径
坐标系中，质点P的位置
由三个坐标 x、y、z 确定
z
z
质点P
第2节
位移和速度
Displacement and Velocity
§1.2 位移和速度 1. 位移
1.位移
位置的变化 r p1p2
位移 矢量
r r (t t) r (t)
大小 r ：P1P2间直线距离
方向：由 P1 P2
注意 r r r(t t) r(t)
路程 一般
S
S
： P1Pr2，间但曲d线S距离d，r 标量
r r(t)
质点在空间运动时，位置 矢量和坐标均随时间变化
x x(t)
质点运动方程
或
y
y (t )
它们给出任一时刻质点位 置，表示质点的运动规律
z z(t)
f (x, y, z) 0 运动方程，联立消去t 质点轨道方程
y f (x) 轨道是直线的称为直线运动 轨道是曲线的称为曲线运动
11
P1 r s
r (t)
P2
r
O r (t t)
13
2.速度
运动路径
表示质点运动快慢和方向的物理量
1）平均速度
r
P(t1)
r
v r
大小：
t
O
t 方向：r 方向
Q(t2 )
瞬时速度的方向就是
物理公式位移与速度的关系
物理公式位移与速度的关系在物理学中，位移和速度是两个重要的概念，它们之间存在着紧密的关系。
在本文中，我们将探讨物体的位移与速度之间的数学关系，并介绍相关的物理公式。
在物理学中，位移表示一个物体在某一段时间内发生的位置变化。
它是一个矢量量，即具有大小和方向。
位移通常用符号Δx表示，表示物体从初始位置到最终位置的位置变化。
而速度则表示物体在单位时间内位移的变化情况，是一个矢量量，也具有大小和方向。
速度通常用符号v表示，表示物体的位移与时间的比值，即速度等于位移与时间的比值。
速度可以分为瞬时速度和平均速度两种。
瞬时速度是在某一瞬间的瞬时位移与时间的比值，可以用微分来表示。
平均速度是在一段时间内的总位移与时间的比值，可以用Δx/Δt来表示。
下面，我们将介绍位移和速度之间的数学关系，以及与之相关的物理公式。
1. 速度的定义：速度v等于位移Δx与时间Δt的比值，即v = Δx/Δt。
这是速度的基本定义公式。
2. 速度的平均值：在一段时间内，速度的平均值等于总位移Δx与总时间Δt的比值，即v平均= Δx/Δt。
3. 速度的瞬时值：在某一瞬间，速度的瞬时值等于瞬时位移Δx与极短时间Δt的比值，即v瞬时= Δx/Δt。
4. 位移-时间关系：当速度恒定时，位移Δx等于速度v乘以时间Δt，即Δx = vΔt。
这个公式表示了速度恒定情况下位移与时间的线性关系。
5. 加速度的定义：加速度a等于速度的变化率，即a = Δv/Δt。
加速度是一个矢量量，表示速度的变化情况。
6. 位移-时间关系的推导：当速度不恒定时，我们可以通过加速度来描述位移与时间的关系。
根据定义可以得到Δv = aΔt，将其代入Δx =vΔt中，得到Δx = (v + (aΔt/2))Δt。
这个公式表示了位移与速度、加速度、时间的关系，当加速度不为零时，位移与速度之间存在二次函数关系。
通过以上的物理公式和分析，我们可以得知，位移和速度之间的关系是密切相关的。
质点运动学——精选推荐
第1章质点运动学基本要求1.掌握描述质点运动的基本物理量 位置矢量㊁位移㊁速度和加速度等概念及其主要性质(矢量性㊁瞬时性和相对性)㊂2.理解运动方程和轨道方程的意义,能应用直线运动方程和运动叠加原理求解简单的质点运动学问题㊂(1)已知质点运动方程,求质点的位移㊁速度和加速度等物理量;(2)已知速度或加速度及初始条件,求质点的运动方程;(3)熟练掌握匀变速直线运动㊁抛体运动的规律㊂3.掌握圆周运动中角速度㊁角加速度㊁切向加速度和法向加速度等概念㊂基本概念和基本规律1.质点在所研究的问题中,物体的大小和形状可忽略不计时,我们把它看作只具有质量而无大小㊁形状的理想物体,称为质点㊂质点是物理学中物体的理想模型㊂2.位置矢量(或矢径)r在直角坐标系中点P的位置矢量(如图1.2.1所示)表示为r=x i+y j+z k位置矢量的大小为r=|r|=x2+y2+z2位置矢量的方向用方向余弦表示为c o sα=x r,c o sβ=y r,c o sγ=z r在二维运动中(如图1.2.2所示)r=x i+y jr=|r|=x2+y2θ=a r c t a n y x式中θ是r与x轴正向间夹角㊂Ң2大学物理学习指导图 1.2.1图 1.2.23.位移位移是描述质点在t ~t +Δt 时间内位置矢量变化的物理量(如图1.2.3所示)㊂质点在Δt 内由P 1到P 2的位移等于同一时间内位置矢量的增量Δr:图 1.2.3Δr =r 2-r 1=(x 2-x 1)i +(y 2-y 1)j +(z 2-z 1)k 位移的大小|Δr |=(x 2-x 1)2+(y2-y 1)2+(z 2-z 1)2位移的方向:c o s α=Δx |Δr |, c o s β=Δy |Δr |, c o s γ=Δz |Δr | 注意:①位移Δr 与位置矢量r 的物理意义不同,r 与时刻t 对应,Δr 与Δt 对应;②|Δr |ʂΔr =r 2-r 1,Δr =x 22+y 22+z 22-x 21+y21+z 21;③位移与参照系的选择有关,具有相对性;④直线运动中的位移Δx =x 2-x 1,Δx 的正负表示位移的方向沿x 轴的正向或负向㊂4.速度速度是描述质点的位置随时间变化快慢和方向的物理量㊂(1)平均速度췍-=Δr Δt =Δx Δt i +Δy Δt j +Δz Δtk =v -x i +v -y j +v -z k 췍-称为质点在t ~t +Δt 这段时间内的平均速度㊂(2)瞬时速度췍=d r d t =d x d t i +d y d t j +dz d tk =v x i +v yj +v z k 췍称为质点在时刻t 的瞬时速度,简称速度㊂注意:①v =|췍|=v 2x +v 2y +v 2z =d x d æèçöø÷t 2+d y d æèçöø÷t 2+d z d æèçöø÷t 2ʂd r d t;②直线运动中v =d x d t,v 的正负表示速度的方向沿x轴正向㊁负向㊂(3)平均速率v -=Δs Δt式中Δs 是质点在t ~t +Δt 时间内走过的路程,v -称质点在t ~t +Δt 时间内的平均速率㊂第1章 质点运动学Ң3(4)瞬时速率v =d s d tv 称为质点在t 时刻的瞬时速率,简称速率㊂同一瞬间的瞬时速率和瞬时速度的大小是相同的㊂5.加速度加速度是描述质点运动速度变化的物理量㊂(1)平均加速度a -=Δ췍Δt =Δv x Δt i +Δv y Δt j +Δv zΔtk a -称为质点在t ~t +Δt 这段时间内的平均加速度㊂(2)瞬时加速度a =d 췍d t =d v x d t i +d v y d t j +d v z d t k =d 2x d t 2i +d 2y d t 2j +d 2z d t2k =a x i +a yj +a z k a 称为质点在t 时刻的瞬时加速度,简称加速度㊂(3)质点作平面曲线运动时的加速度,亦可用自然坐标系中的法向加速度和切向加速度表示:法向加速度a n =v 2ρ,方向指向该处的曲率中心;切向加速度a τ=d v d t,正㊁负表示切向加速度的方向与该处速度方向 同 ㊁ 反 ㊂总加速度a =a n +a τ式中,v 为质点所在处的速率;ρ为质点所在处曲率半径㊂注意:①a 的方向是速度变化的方向,即Δ췍的极限方向,一般不代表质点的运动方向㊂②区分췍和a 概念:췍=0,a 不一定为零;췍大,a 不一定大㊂③曲线运动中a n ʂ0;直线运动中a n =0,a τ=d v d t;直线运动a 的正㊁负表示加速度的方向沿选定轴的正向㊁负向㊂6.圆周运动的角量描述设质点作圆周运动,t 时刻质点在A 点,t +Δt 时刻质点运动到B 点,如图1.2.4所示㊂则质点的运动亦可用下述角量描述㊂图 1.2.4θ为半径O A 与x 轴间夹角,θA 是质点在A 点的角位置,则Δθ=θB -θAΔθ称为质点在t ~t +Δt 内对O 点的角位移㊂ω=l i mΔt ң0ΔθΔt =d θd tω称为质点在t 时刻对O 点的瞬时角速度(简称角速度)㊂α=l i mΔt ң0ΔωΔt =d ωd tα称为质点在t 时刻对O 点的瞬时角加速度(简称角加速度)㊂Ң4大学物理学习指导角量与线量间的关系:v =R ωa n =v 2R , a τ=d v d t=R α7.运动方程r (t)质点的位置矢量r (t)(或角位置θ)随时间的变化规律称为质点的运动方程,可表示为r (t )=x (t )i +y (t )j +z (t )k 或θ=θ(t)质点的运动方程在直角坐标系中亦可用分量式表示为x =x (t )y =y (t )z =z (tìîíïïï) 运动方程反映了质点的空间位置随时间的变化过程㊂从运动方程的分量式中消去t,得到x ㊁y ㊁z 间的关系式,称为质点的轨道方程㊂8.运动叠加原理一个运动可看成几个各自独立进行的运动叠加而成,这称为运动叠加原理或运动独立性原理㊂例如,抛体运动可看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动的叠加㊂9.几种简单的运动规律(1)直线运动的规律(假设运动发生在x 轴上)匀速直线运动方程:x =x 0+v t 匀变速直线运动方程:x =x 0+v 0t +12a t 2变速直线运动方程:x =x 0+ʏt 0v d t v =v 0+ʏt 0a dt式中x 0㊁v 0分别是t=0时质点的初始位置㊁初始速度㊂(2)圆周运动的角量描述规律匀速圆周运动:θ=θ0+ωt a n =R ω2, a τ=0 匀变速圆周运动:θ=θ0+ω0t +12αt 2a n =R ω2, a τ=d vd t=Rα第1章 质点运动学Ң5 式中θ0㊁ω0分别是t=0时质点的角位置㊁初角速度㊂(3)抛体运动规律图 1.2.5抛体运动(如图1.2.5所示)方程为x =v 0c o s θ0t y =h +v0s i n θ0t -12g t 2讨论:θ0=0时为平抛运动;θ0=π2时为竖直上抛运动;θ0=-π2且v 0=0,则为自由落体运动㊂10.运动的相对性由于位置矢量㊁速度和加速度的大小和方向都与参照系的选择有关,具有相对性,因此同一质点的运动对不同参照系的描述是不同的㊂设坐标系O x ᶄy ᶄz ᶄ相对于坐标系O x yz 的平动速度为u ,则位移Δr =Δr ᶄ+u Δt 速度췍=췍ᶄ+u或表示为췍A 对C =췍A 对B +췍B 对C上式称速度变换原理或速度合成定理㊂加速度a A 对C =a A 对B +a B 对C上式称加速度交换原理或加速度合成定理㊂解题指导本章的重点是深刻理解位置矢量㊁位移㊁速度和加速度等概念,注意其矢量性与相对性㊂本章习题一般分两大类:第一类是已知质点的运动方程,利用微分法求各物理量(速度㊁加速度等);第二类是已知速度或加速度及初始条件,利用积分法求运动方程㊂第二类问题和学会用速度合成定理处理运动的矢量性和相对性问题是本章的难点㊂在直线运动中,位移㊁速度和加速度的方向均在一直线上,建立坐标后,这些矢量可作为标量来处理㊂位移Δx ㊁速度v 和加速度a 的正负,表示其方向与选定坐标轴的正向一致或相反㊂应特别注意的是,中学阶段定量研究的是匀变速直线运动,加速度是常量㊂但大学物理中讨论的是具有普遍意义的运动,加速度不一定是常量,必须用高等数学中的微积分解题㊂由中学的 常量 到大学的 变量 ,这是学习的一个飞跃㊂质点运动学问题的一般解题程序为:(1)审清题意,确定研究对象,分析研究对象的运动情况㊂(2)选择适当的参照系,建立坐标系㊂(3)根据所求物理量的定义,列式并求解㊂或根据运动的特点和题设条件,列方程求解㊂Ң6大学物理学习指导(4)必要时进行分析讨论㊂ʌ例题1.1ɔ有一物体作直线运动,其运动方程为x=6t2-2t3,式中x的单位为m,t 的单位为s㊂求:(1)速度和加速度的表达式;(2)t=0,1,2,3,4s时物体的位置x㊁速度v和加速度a;(3)第2s内的平均速度;(4)最初4s内物体的位移㊁路程㊁平均速度和平均速率;(5)讨论物体的运动情况㊂ʌ解ɔ(1)物体的运动方程x=6t2-2t3速度v=d x d t=12t-6t2(m/s)加速度a=d v d t=12-12t(m/s2)(2)将t的各值代入上述三式,可得各时刻的x㊁v和a,见表1.3.1:表1.3.1t/s01234x/m0480-32v/(m/s)060-18-48a/(m/s2)120-12-24-36(3)第2s内平均速度v-1 2=x2-x1t2-t1=8-42-1=4(m/s)但这不能用下式来计算:v-1 2=v1+v22为什么不行?请读者自己思考㊂(4)位移Δx=x4-x0=-32-0=-32(m)式中负号表示位移的方向沿x轴负向㊂路程Δs是否等于位移Δx通常ΔsʂΔx,只有在直线运动中速度不改变方向的那段时间内,路程才与位移的大小相等㊂今由d x d t=12t-6t2=0得t=2s时开始速度改变方向,所以路程为Δs=Δs1+Δs2=|x2-x0|+|x4-x2|=|8-0|+|-32-8|=48(m)平均速度为v-0 4=x4-x0t4-t0=-324=-8(m/s)式中负号表示平均速度的方向沿x轴负向㊂第1章质点运动学Ң7平均速率为v-0 4=ΔsΔt=484=12(m/s)(5)由v=12t-6t2,可见t<2s,v>0;t=2s,v=0;t>2s,v<0㊂而由a=12-12t得t<1s,a>0;t=1s,a=0;t>1s,a<0㊂因此:t在0~1s内,v>0,a>0,物体作加速运动;t在1~2s内,v>0,a<0,物体作减速运动;t>2s,v<0,a<0,物体沿x轴负向作加速运动㊂应注意:a>0,并不表示物体作加速运动;a<0也不一定是减速运动㊂如何判断物体作加速还是减速运动呢?这应从a和v的方向是否一致来判断㊂a与v同号(即同方向),则为加速运动;a与v异号(即反向),则为减速运动㊂ʌ例题1.2ɔ已知质点的运动方程为x=3t,y=t2+t式中x㊁y以m计,t以s计㊂试求:(1)t=1s和2s时质点的位置矢量,并计算这1s内质点的位移和平均速度;(2)2s末质点的速度和加速度;(3)质点的轨道方程㊂ʌ解ɔ(1)质点的位置矢量为r=3t i+(t2+t)jt=1s时,r1=3i+(1+1)j=3i+2j(m)t=2s时,r2=6i+6j(m)根据位移的定义,这1s内的位移为Δr=r2-r1=(6-3)i+(6-2)j=3i+4j(m)或用位移的大小和方向表示为|Δr|=(Δx)2+(Δy)2=(6-3)2+(6-2)2=5(m)θ=a r c t a nΔyΔx=a r c t a n6-26-3=53ʎ式中θ是位移与x轴正向间夹角㊂根据平均速度的定义,这1s内的平均速度为췍-=ΔrΔt=3i+4j2-1=3i+4j(m/s)(2)根据速度的定义,可得速度的两个分量v x和v y:v x=d x d t=3(m/s)v y=d y d t=(2t+1)|t=2=2ˑ2+1=5(m/s)所以质点在2s末的速度为췍2=3i+5j(m/s)或用췍2的大小和췍2与x轴正向间夹角来表示为v2=v2x+v2y=32+52=5.83(m/s)Ң8大学物理学习指导θ=a r c t a n v y v x =a r c t a n 53=59ʎ式中θ是速度췍2与x 轴正向间夹角㊂根据加速度的定义,它的两个分量a x ㊁a y 分别为a x =d v xd t=0a y =d v y d t =2(m /s 2)所以a =a x i +a yj =2j (m /s 2)即加速度的大小为a =2m /s2,方向沿y 轴正向㊂由于加速度不随时间变化,所以本题中质点作匀加速运动㊂(3)从质点的运动方程中消去t ,即得轨道方程y =x æèçöø÷32+x 3即x 2+3x -9y =0ʌ例题1.3ɔ 一质点沿x 轴运动㊂已知加速度a =4t (S I ),t =0时,初速度v 0=0,初始位置x 0=10m ㊂试求质点的运动方程㊂ʌ解ɔ 根据加速度的定义a =d v d t,得a d t =4t d t =d v 对上式两边积分,得速度v 随时间t 的变化规律ʏt 04t d t =ʏv 0d v积分后代入上下限得v =2t2又根据速度的定义v =d xd t得d x =v d t =2t 2d t对上式两边积分后得质点的运动方程ʏxx 0d x =ʏt 02t 2d tx =x 0+23t 3将x 0=10m 代入上式得x =10+23t 2(m)本题属已知加速度及初始条件(即t =0时的x 0㊁v 0)求运动方程的问题,主要根据加速度和速度的定义,通过积分解决㊂需注意初始条件的运用和定积分的计算方法㊂ʌ例题1.4ɔ 一物体沿x 轴运动,开始时物体位于坐标原点,初速度v 0=3m /s ㊂若加第1章 质点运动学Ң9速度a =4x (S I),求:(1)物体经过x =2m 时的速度;(2)物体的运动方程㊂ʌ解ɔ (1)本题中加速度随x 而变化,所以物体作变速直线运动㊂根据加速度和速度的定义v =d x d t ,a =d v d t,得v d t =d xa d t =d v =ad xv所以v d v =a d x =4x d x两边积分:ʏvv 0v d v =ʏxx 04x dxv 2-v 20=4(x 2-x 20)将x 0=0,v 0=3m /s 及x =2m 代入上式得v =v 20+4x 2=32+4ˑ22=5(m /s ) (2)再根据速度的定义得d x =v d t =v 20+4x 2d t 所以ʏx 0d xv 20+4x 2=ʏt 0d t由积分公式ʏd x a 2+x2=l n (x +a 2+x 2),将上式积分,则有12l n (2x +v 20+4x 2)|x0=t2x +v 20+4x2v 0=e2t化简后得运动方程x =v 04(e 2t -e -2t )=34(e 2t -e -2t )(m )图 1.3.1需注意:通常解题时应先用文字式运算,求得结果的文字表达式后,再代入数据进行计算,得出最后的结果㊂ʌ例题1.5ɔ 如图1.3.1所示,在离水面高度h 的岸边上,有人用绳子拉船靠岸㊂船位于离岸的水平距离s 处㊂当人以v 0的匀速率收绳时,试求船的速度和加速度㊂ʌ解ɔ 本题要求췍和a ,但船的运动方程未知,因此须先根据已知条件,建立坐标后写出船的运动方程,然后根据定义求췍和a ㊂以人的收绳点为坐标原点,建立坐标系如图1.3.1所Ң10大学物理学习指导示,则船的位置矢量即运动方程为r =x i -h j式中h 是常量,x 随时间而变㊂根据速度和加速度的定义得췍=d r d t =d xd ti a =d 2r d t 2=d 2xd t2i 根据题意,人的收绳速率为v 0=-d r d t =-d d t x 2+h 2=-x x 2+h 2d x dt 这里因r =|r |随时间减小,所以d r d t<0,而v 0>0㊂由上式得v x =d x d t =-v 0x 2+h 2x所以船的速度为췍=-v 0s 2+h 2si 而a x =d v x d t =d d t -v 0x 2+h 2æèçöø÷x =d d x -v 0x 2+h 2æèçöø÷xd x dt =-h 2v 20x 3所以船的加速度为a =-h 2v 20x3i当船在x =s 处的速度和加速度为췍=-v 0s 2+h 2si a =-h 2v 20s3i讨论:(1)췍和a 的方向均沿x 轴负向,所以船向岸边作加速运动㊂(2)由a 的表达式,h 和v 0不变,s 随时间减小,|a |随时间增大,所以船作变加速运动㊂(3)船的速率v >v 0(人的收绳速率),这是严格按速度的定义求得的㊂显然v 不等于v 0在水平方向的分量㊂图 1.3.2ʌ例题1.6ɔ 一石子从倾角为α=30ʎ的斜面上的O 点抛出㊂已知初速度v 0=9.8m /s ,췍0与水平面的夹角θ=30ʎ,如图1.3.2所示㊂若忽略空气阻力,试求:(1)石子落到斜面上的B 点离O 点的距离l ;(2)石子所到达的最大高度;(3)t =1.5s 时石子的速度㊁切向加速度和法向加速度㊂ʌ解ɔ (1)石子的运动可看作水平方向的匀速直线运动和竖直方向的加速度为g 的匀变速直线运动的叠加㊂今以O 点为原点,建立坐标如图,则石子的加速度分量为。
加速运动中的速度、位移和加速度计算
加速运动中的速度、位移和加速度计算1.定义：速度是描述物体运动快慢的物理量，等于物体在单位时间内通过的路程。
2.计算公式：v = s/t，其中v表示速度，s表示路程，t表示时间。
（1）匀速直线运动：速度保持不变。
（2）变速直线运动：速度不断变化。
（3）曲线运动：速度方向时刻变化。
1.定义：位移是描述物体位置变化的物理量，等于物体从初位置到末位置的有向线段。
2.计算公式：Δx = x_f - x_i，其中Δx表示位移，x_f表示末位置，x_i表示初位置。
3.性质：位移是矢量，有大小和方向。
4.定义：加速度是描述物体速度变化快慢的物理量，等于物体速度变化量与时间变化量的比值。
5.计算公式：a = Δv/Δt，其中a表示加速度，Δv表示速度变化量，Δt 表示时间变化量。
6.性质：加速度是矢量，有大小和方向。
四、加速运动1.定义：加速运动是指物体在运动过程中速度不断增加的运动。
（1）匀加速运动：加速度保持不变。
（2）变加速运动：加速度不断变化。
五、计算方法1.运用公式：在已知条件的情况下，运用速度、位移和加速度的计算公式进行计算。
2.画图解：根据物体运动的实际情况，画出速度-时间图、位移-时间图或加速度-时间图，通过图象分析解决问题。
3.运用牛顿运动定律：在涉及外力作用的情况下，运用牛顿运动定律分析物体受力情况，从而解决问题。
六、注意事项1.在计算过程中，注意单位的转换，确保各物理量单位一致。
2.分析物体运动时，注意区分匀速、变速和曲线运动的特点。
3.在解决实际问题时，结合物体运动的实际情况，选择合适的计算方法。
习题及方法：1.习题：一物体做匀速直线运动，速度为2m/s，运动了5秒，求物体通过的路程。
方法：根据速度公式v = s/t，代入已知条件，得到s = v t = 2m/s 5s = 10m。
2.习题：一辆汽车从静止开始加速，加速度为0.5m/s^2，运动了10秒，求汽车的速度。
方法：根据加速度公式a = Δv/Δt，代入已知条件，得到Δv = aΔt = 0.5m/s^210s = 5m/s。
《大学物理》上册复习资料
胤熙说明：本资料纯属个人总结，只是提供给大家一些复习方面，题目均来自课件如有不足望谅解。
（若要打印，打印时请删去此行）第一章质点运动学1.描述运动的主要物理量位置矢量：位移矢量：速度矢量：加速度矢量：速度的大小：加速度的大小：2.平面曲线运动的描述切向加速度：法相加速度：（圆周运动半径为R，则a n= ）3.圆周运动的角量描述角位置：角速度：角加速度：圆周运动的运动方程：4.匀角加速运动角量间的关系ω= θ=5.角量与线量间的关系ΔS= V= a t= a n=6.运动的相对性速度相加原理: 加速度相加关系:7. 以初速度v0由地面竖直向上抛出一个质量为m 的小球，若上抛小球受到与其瞬时速率成正比的空气阻力，求小球能升达的最大高度是多大？8.一飞轮以n=1500r/min的转速转动，受到制动而均匀地减速，经t=50s后静止。
（1）求角加速度β和从制动开始到静止时飞轮的转数N为多少？(2）求制动开始t=25s时飞轮的角速度ω(3）设飞轮的半径R=1m时，求t=25s时，飞轮边缘上一点的速度、切向加速度和法向加速度9.一带蓬卡车高h=2m，它停在马路上时雨点可落在车内到达蓬后沿前方d=1m处，当它以15 km/h 速率沿平直马路行驶时，雨滴恰好不能落入车内，求雨滴相对地面的速度及雨滴相对车的速度。
x x 'yy 'z z 'O O 'S S 'u∙P ),,(),,(z y x z y x '''第二章 牛顿运动定律 1.经典力学的时空观（1） （2） （3） 2.伽利略变换 (Galilean transformation ) （1）伽利略坐标变换X ’= Y ’= Z ’= t ’=(2)伽利略速度变换V ’= （3）加速度变换关系 a ’=3.光滑桌面上放置一固定圆环，半径为R ，一物体贴着环带内侧运动，如图所示。
物体与环带间的滑动摩擦系数为μ。
大学物理运动学第一章第二节 位失 速度 加速度课件
et
当质点做曲线运动时, 质点在某一点的速度方向就是沿该 点曲线的切线方向.
若质点在二维空间中运动,其速度为
v
dx
i
dy
j
v
dt
vx
i
dt
vy
j
y v y
若质点在三维空间中运动,其速度为
v
dx
i
dy
j
dz
k
o
dt dt dt
v
v x
x
瞬时速率：速度 v 的大小称为速率
dvx dt
d2x dt 2
ay
dv y dt
d2 y dt 2
az
dvz dt
d2z dt 2
说明 (1) 加速度反映速度的变化（大小和方向）情况。 (2) 加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一面。
通过积分求位移和速度：
a
dv dt
v(t)
v0
t
0
adt
v
dr dt
r(t)
r0
t 0
vdt
例已知质点作匀加速直线运动，加速度为a，求该质
点的运动方程。
解：已知a速 度或ddv加t 速度求d运v 动方a程d，t 采用积分法：
对于作直线运动的质点，采用标量形式
dv adt
两端积分可得到速度
v
v0
d
v
0ta
平均速度大小
v ( x )2 ( y )2
t
加速度和位移的公式
加速度和位移的公式一、加速度的概念与公式1.加速度的概念加速度是描述物体在单位时间内速度变化的物理量。
在物理学中，速度变化是指速度的变化率，而速度的变化率则是指速度的单位时间内的变化值。
因此，加速度可以理解为速度变化的速率。
2.加速度的公式加速度的公式是根据速度变化的定义推导出来的。
设t是时间，v是物体在时间t内的速度变化量，则加速度的定义可以表示为：a=Δv/Δt其中，Δv表示速度的变化量，Δt表示时间的变化量。
二、位移的概念与公式1.位移的概念位移是描述物体从一个位置到另一个位置之间的距离和方向的物理量。
在运动学中，位移是指物体从一个坐标位置变化到另一个坐标位置的矢量差。
位移的公式可以根据位移的定义来推导。
在一维直线运动中，设物体在时间t内的位移为x，其初位置为x₁，终位置为x₂，则位移的定义可以表示为：Δx=x₂-x₁其中，Δx表示位移的变化量，x₂表示终位置的坐标，x₁表示初位置的坐标。
三、加速度与位移的关系加速度与位移之间存在一定的关系。
这一关系是由运动学中的速度定理推导出来的。
1.速度定理速度定理指出，在匀加速直线运动中，物体的平均速度等于物体的初速度与末速度之和的一半。
该定理可以表示为：v=(v₁+v₂)/22.推导加速度和位移的关系公式利用速度定理公式，可以推导出加速度和位移之间的关系。
首先，在匀加速直线运动中，物体的平均速度可以表示为位移与时间的比值：v=Δx/Δt然后，代入速度定理公式，可以得到：Δx/Δt=(v₁+v₂)/2再次变形Δx=(v₁+v₂)/2*Δt根据加速度的定义（a=Δv/Δt），将速度的变化量表示为：v₂-v₁=a*Δt将上述等式代入上面的位移公式，可以得到：Δx=(v₁+v₂)/2*(v₂-v₁)/a整理得到：Δx=(v₂²-v₁²)/2a这就是加速度和位移之间的关系公式。
四、结论综上所述，加速度以及位移在物理学中具有重要的意义。
加速度是一个描述速度变化率的量，其公式为a=Δv/Δt。
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●
r y
x
y
x
三、质点位置矢量
位置坐标 P(x, y, z)
位置矢量（位矢、矢径）：r r(x, y, z)
z
z( t )
·P( t )
●
xxˆ yyˆ zzˆ
xi yj zk
x( t )
x
^xi^zOk^yr(jt )
y( t )
y
位矢 r 的大小
含义：反映在某瞬时，质点位置变化的快慢。
即速度等于位置矢量对时间的一阶导数。
含义：反映质点在某时或某位置的运动状态。
速度是一个矢量，方向沿质点轨迹切线方向
v
dr
d
( xi
yj
zk )
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt
dt
dt
dt
vxi vy j vzk
一.参考系
参考系： 用来描述物体运动而选作参考的物体
或物体系。
1.描述物体运动必须选取参考系。 2.运动学中参考系可任选，不同参考系中物体的
运动形式（如轨迹、速度等）可以不同。 3.常用参考系:
▲ 太阳参考系（太阳 ─ 恒星参考系） ▲ 地心参考系（地球 ─ 恒星参考系） ▲ 地面参考系或实验室参考系 ▲ 质心参考系…
2速度：
v dx dt
Ox t
P
x x
X
t t
3加速度：
a dv d 2x dt dt2
当速度或加速度取正值时，表示其方向为X正方向；
当速度或加速度取负值时，表示其方向为X负方向；
例1：已知一质点的运动方程为rv
2t
v i
(2
t
2
)（vj SI
制）
（1）画出质点的运动轨道。
大小：r )方向：P1
P1 P2
P2
六、 路程(标量)
质点实际运动轨迹的长度s 叫路程。
z P1 Δ s Δ r P2
r(t) r(t+Δ t )
P1 Δ r
P2
r(t)
Δr
O
y
O r(t+Δ t )
x
注意：s
r ,
但 ds
dr
；
r
r
，
d
r
dr
二. 坐标系
坐标系：固结在参考系上的一组有刻度的射线、
曲线或角度。
1.坐标系为参考系的数学抽象。
2.参考系选定后，坐标系还可任选。
不同坐标系中，运动的数学表述可以不同。
3.常用坐标系:
zz
▲ 直角坐标系（ x , y , z ）
▲ 球极坐标系（ r,θ , ） ▲ 柱坐标系（, , z ）
d2x
i
d2y
j
d2z
k
dt 2
dt 2
dt 2
ax
dvx dt
d2x dt 2
dvy dt
j
dvz
k
dt
x
Z
r1
p1
r2
v1 (t )
p2
v2
Y
v2(t t)
v1
v
a ay
dvy dt
d2y dt 2
a | a | ax2 ay2 az2
思考： 平均速度的大小＝？平 均速率
瞬时速度的大小＝？瞬 时速率
八. 加速度
平均加速度
a
v2
v1
v
瞬时加速度
a l im v dv d 2r t0 t dt dt 2
t2 t1 t
a
axi
ay
j
azk
dvx dt
i
要分清 r、r、r 等的几何意义。
r : 位置矢量大小的增量
七.速度
1 平均速度
平均速度
v
r
t
B s v
r v A
r(t t)
v
含义：反映一段时间内，质点位置变化的平均快慢。
r(t)
2 瞬时速度
瞬时速度
v lim r dr t0 t dt
B s v
r v
v
A
r(t t)
r(t)
v | v |
vx2 vy2 vz2
(dx )2 (dy )2 (dz )2
dt
dt
dt
平均速率 v s 瞬时速率
且
v
ds
t dr
| v |
dt dt
v lim s ds t0 t dt
（2）求出t 1s和t 2s时质点的位置矢量。
（3）求出1s末和2s末的速度与加速度。
解：（1）由题知： x 2t, y 2 t 2
消去t得：y 2 1 x2
4
y
轨迹为一抛物线： 2
o
22 x
(2)t 1s时，r1 2i j
t
(3)v
2sd时r， r22i42itj
r r x2 y2 z2
r 位矢 的方向余弦
cos x r
cos y r
cos z r
y
r
P
o
x
z
四、 运动函数（运动学方程）
机械运动是物体（质点）位置随时间的改变。
运动函数—— 位置坐标和时间的函数关系
r(t) x(t)i y(t) j z(t)k
第一章 质点运动学
机械运动---宏观物体的位置或自身各部份的的位置发生 变化的运动. 力学---研究物体机械运动的科学。
机械运动的基本运动形式：
1平动--- 物体上任一直线恒保持平行的运动； 2定轴转动---各点绕一固定轴作圆周运动的运动
质点--把实际物体看成只有质量而无大小形 状的力学研究对 象。 理想化的物理模型
az
dvz dt
d2z dt 2
九.质点运动学两类基本问题
一 由质点的运动方程可以求得质点在任一 时刻的位矢、速度和加速度；
二 已知质点的加速度以及初始速度和初始 位置, 可求质点速度及其运动方程 .
r(t) 求导 v(t) 求导 a(t)
积分
积分
十.特例:直线运动
1位移x : 方向由x的正负决定 P
x x(t) 从中消去参数t 得轨迹方程
或 y y(t)
f (x, y, z) 0
轨迹：
z z(t)
质点在空间连续经过 的各点连成的曲线
五、位移矢量
位移 —— 质点在一段时间内位置的改变。
z P1 Δ r P2
r(t) r(t+Δ t )
O
y
位移：
x
r
r(t
t
)
r(t
2
j
t
dt 1s时，v1
2i
2
j
r
2ti
(2
t
2
)
j
即 v1 2 2m / s 与x轴夹角为1 45o
t
2s时,
v2
2i
4j
v2 2 5m / s
a
dv
2 j
dt
与x轴夹角为 2 63o26
方向沿y轴负向
例2 如图所示, A、B 两物体由一长为 l 的刚性