导数零点不可求

导数零点不可求

导数是研究函数的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．用导数研究函数f (x )的单调性，往往需要解方程f ′(x )＝0. 若该方程不易求解时，如何继续解题呢？

考点一 猜出方程f ′(x )＝0的根

[典例] 设f (x )＝1＋ln x x .

(1)若函数f (x )在(a ，a ＋1)上有极值，求实数a 的取值范围；

(2)若关于x 的方程f (x )＝x 2－2x ＋k 有实数解，求实数k 的取值范围．

[解题观摩] (1)因为f ′(x )＝－ln x x 2，当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0；当x ＞1时，

f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故函数f (x )

的极大值点为x ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧

a ＜1，a ＋1＞1，

即0＜a ＜1，故所求实数a 的取值范围是(0,1)．

(2)方程f (x )＝x 2－2x ＋k 有实数解，

即f (x )－x 2＋2x ＝k 有实数解．

设g (x )＝f (x )－x 2＋2x ，

则g ′(x )＝2(1－x )－ln x x 2.

接下来，需求函数g (x )的单调区间，所以需解不等式g ′(x )≥0及g ′(x )≤0，因而需解方程g ′(x )＝0.但此方程不易求解，所以我们可以先猜后解．

因为g ′(1)＝0，且当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0，当x ＞1时，g ′(x )＜0，所以函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．

所以g (x )max ＝g (1)＝2.当x →0时，g (x )→－∞；当x →＋∞时，g (x )→－∞，

所以函数g(x)的值域是(－∞，2]，所以所求实数k的取值范围是(－∞，2]．[关键点拨]

当所求的导函数解析式中出现ln x时，常猜x＝1；当函数解析式中出现e x 时，常猜x＝0.

考点二隐零点代换

[典例]设函数f(x)＝e2x－a ln x.

(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；

(2)求证：当a＞0时，f(x)≥2a＋a ln 2 a.

[解题观摩](1)法一：f′(x)＝2e2x－a

x(x＞0)．

当a≤0时，f′(x)＞0，f′(x)没有零点．

当a＞0时，设u(x)＝e2x，v(x)＝－a

x

，

因为u(x)＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，v(x)＝－a

x

在(0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．

又因为f′(a)＞0，当b满足0＜b＜a

4且b＜1

4

时，f′(b)＜0，

所以当a＞0时，f′(x)存在唯一零点．

法二：f′(x)＝2e2x－a

x(x＞0)．

令方程f′(x)＝0，得a＝2x e2x(x＞0)．

因为函数g(x)＝2x(x＞0)，h(x)＝e2x(x＞0)均是函数值为正值的增函数，

所以由增函数的定义可证得函数u(x)＝2x e2x(x＞0)也是增函数，其值域是(0，＋∞)．

由此可得，当a≤0时，f′(x)无零点；当a＞0时，f′(x)有唯一零点．

(2)证明：由(1)可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0.

当x∈(0，x0)时，f′(x)＜0；

当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0.

所以f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，当且仅当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)．

因为2e2x0－a

x0＝0，所以f(x0)＝a

2x0

＋2ax0＋a ln2

a≥2a＋a ln

2

a(当且仅当x0＝

1

2

时

等号成立)．

所以当a＞0时，f(x)≥2a＋a ln2

a.

[关键点拨]

本题第(2)问的解题思路是求函数f(x)的最小值，因此需要求f′(x)＝0的根，

但是f′(x)＝2e2x－a

x

＝0的根无法求解．故设出f′(x)＝0的根为x0，通过证明f(x)

在(0，x0)和(x0，＋∞)上的单调性知f(x)min＝f(x0)＝a

2x0＋2ax0＋a ln2

a

，进而利用基

本不等式证得结论，其解法类似解析几何中的设而不求．考点三证——证明方程f′(x)＝0无根

[典例]已知m∈R，函数f(x)＝mx－m

x－2ln x，g(x)＝

2e

x，若∃x0∈[1，e]，

使得f(x0)＞g(x0)成立，求实数m的取值范围．

[解题观摩]因为当x＝1时，f(x)＝0，g(x)＝2e，不存在f(x0)＞g(x0)，所以

关于x的不等式f(x)＞g(x)在[1，e]上有解，即关于x的不等式2e＋2x ln x

x2－1

＜m(1＜

x≤e)有解．

设u(x)＝2e＋2x ln x

x2－1

(1＜x≤e)，