高中数学专题讲义-直线与圆相交

【例1】 直线323y x =+与圆心为D 的圆33cos 13sin x y θ
θ
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩[)()02πθ∈，交与A 、B 两
点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为（ ） A ．7π6 B ．5π4 C ．4π3
D ．5π
3
【例2】 若()2,1P -为圆()2
2125x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程
为 ．
【例3】 直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A 、B 两点，则AB =________．
【例4】 已知P 是圆22:(5)(5)16O x y -+-=上的一点，关于点(5,0)A 的对称点是Q ，将
半径OP 绕圆心O 依逆时针方向旋转90到OR ，求RQ 的最值．
【例5】 直线3y kx =+与圆()()2
2
324x y -+-=相交于M ，N 两点，若23MN ≥，则
k 的取值范围是
A ．304⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦， B ．[)
304⎛
⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦，∪， C ．3333⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦，
D ．205⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，
【例6】 直线21ax by +=与圆221x y +=相交于A ，B 两点（其中,a b 是实数），且AOB
∆是直角三角形（O 是坐标原点），则点(),P a b 与点()0,1之间距离的最大值为
典例分析
板块四.直线与圆相交
（ ）
A ．21+
B ．2
C ．2
D ．21-
【例7】 直线20x y ++=截圆224x y +=所得劣弧所对圆心角为（ ）
A ．
π6 B ．π3 C ．π2 D ．2π3
【例8】 圆224x y +=被直线
3230x y +-=截得的劣弧所对的圆心角的大小
为 ．
【例9】 已知直线(:22
l y k x =+()0k ≠与圆O ：2
24x
y +=相交于A ，B 两点，O 为坐
标原点，AOB ∆的面积为S ．
⑴试将S 表示为k 的函数()S k ，并求出它的义域；⑵求S 的最大值，并求出此时的k 值．
【例10】 经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所
在直线方程为（ ）
A ．50x y --=
B ．50x y -+=
C ．50x y ++=
D ．50x y +-=
【例11】 某圆拱桥的水面跨度是20m ，拱高为4m ，现有一船宽9m ，在水面以上部分高3m ，
故通行无阻．近日水位暴涨了1.5m ，为此，必须加重船载，降低船身．当船身至少应降低 m 时，船才能通过桥洞．（结果精确到0.01m ）
【例12】 过点()2,0P 与圆22230x y y ++-=相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直
线方程是_________．
【例13】 若直线220(,0)ax by a b -+=>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则
11
a b
+的最小值为____________．
【例14】 直线2x =被圆
2
24x a y -+=（）所截得的弦长等于，则a 的为 ．
【例15】 若过定点(10)M -，且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分
有交点，则k 的取值范围是（ ）
A ．0k <<
B ．0k <<
C ．0k <<
D ．05k <<
【例16】 已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740()l m x m y m m +++--=∈R ．
⑴证明直线l 与圆相交；
⑵求直线l 被圆C 截得的弦长最小时，求直线l 的方程．
【例17】 已知圆C 的圆心与点(21)P -，关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C
相交于A B ，两点，且||6AB =，则圆C 的方程为 ．
【例18】 求过直线370x y +-=与已知圆222230x y x y ++--=的交点，且在两坐标轴上的
四个截距之和为8-的圆的方程．
【例19】 已知圆()()2
2
:1225C x y -+-=及直线()():21174()l m x m y m m +++=+∈R
⑴证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交；
⑵求直线l 与圆C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程．
【例20】 已知圆C ：()2219x y -+=内有一点(22)P ，，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两
点．
⑴当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；
⑵当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程； ⑶当直线l 的倾斜角为45︒时，求弦AB 的长．
【例21】 已知点11()A x y ，、22()B x y ，12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点，O
是坐标原点，向量OA 、OB 满足OA OB OA OB +=-．设圆C 的方程为221212()()0x y x x x y y y +-+-+=．
⑴证明：线段AB 是圆C 的直径；
⑵当圆C 的圆心到直线20x y -=时，求p 的值．
【例22】 已知两圆22420x y x y +-+=和22240x y y +--=的交点分别为A B 、，
⑴ 求直线AB 的方程及线段AB 的长；
⑵ 求经过A B 、两点，且圆心在直线241x y +=上的圆的方程．
【例23】 已知cos sin a b c αα+=，cos sin a b c ββ+=，(0,π,)ab k k αβ≠-≠∈Z ，求证：
2
2
2
2
cos
2c a b αβ
-=+．
【例24】 求过直线240x y ++=和圆222410x y x y ++-+=的交点，且满足下列条件之一的圆的方程．
⑴ 过原点； ⑵ 有最小面积．
【例25】 直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A B 、两点，OA OB 、的长分别是关于x 的方
程2144(2)0x x AB -++=的两个根()OA OB <，P 为直线l 上异于A B 、两点之间的一动点． 且//PQ OB 交OA 于点Q ．
⑴ 求直线AB l 斜率的大小；
⑵ 若1
3
PAQ OQPB S S ∆=四时，请你确定P 点在AB 上的位置，并求出线段PQ 的长；
⑶ 在y 轴上是否存在点M ，使MPQ ∆为等腰直角三角形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
【例26】 已知圆2260x y x y m ++-+=与直线:230l x y +-=相交于P 、Q 两点，O 为原点，
且OP OQ ⊥，求实数m 的值．
【例27】 直线经过点332P ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭，被圆2225x y +=截得的弦长为8，求此弦所在直线方程．
【例28】 过点(1,2)P 的直线将圆22450x y x +--=分成两个弓形，当这两个弓形面积之差
最大时，这条直线的方程为（ ）
A ． 1x =
B ． 2y =
C ． 1y x =+
D ． 230x y -+=
【例29】 过点(1,的直线l 将圆22(2)4x y -+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小
时，直线l 的斜率k = ．
【例30】 已知圆22:2440C x y x y +-+-=，问最否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得
的弦AB 为直径的圆过原点，若存在，写出直线方程；若不存在，说明理由．
【例31】 已知直线0ax by c ++=与圆O ：221x y +=相交于A 、B 两点，且||AB =，则
OA OB ⋅= ．
【例32】 已知直线:(21)(1)74l m x m y m +++=+，圆22:(1)(2)25C x y -+-=，则m 为任意
实数时，l 与C 是否必相交？若必相交，求出相交的弦长的最小值及此时m 的值；
若不一定相交，则举一个反例．
【例33】 已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且被直线y x =截得的弦长为求圆C 的方程．
【例34】 直线l 与圆22240x y x y a ++-+=(3)a <相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为
()01，
，则直线l 的方程为 ．
【例35】 已知圆的方程为22680x y x y +--=．设该圆过点(35)，的最长弦和最短弦分别为
AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【例36】 直线230x y -+=与圆224x y +=相交弦中点M 与点(1,2)N 的距离为_______．
【例37】 若过定点(1,0)M -且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分
有交点，则k 的取值范围是_________．
【例38】 如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率
的取值范围是________．。