数学建模台阶问题

台阶设计中的建模分析

一．问题的提出

台阶，楼梯是我们日常生活中常见的，天天行走的建筑结构，良好的台阶设计不仅可以节省上楼时间，也可最大限度的减少体力消耗。然而，不合理的设计会使人们上楼时既费时又费力，甚至还会发生危险。所以我们不禁要问，怎样设计台阶长度宽度比才能达到最优呢？(下文主要针对上楼过程给出讨论，下楼的讨论在最后涉及)

作为解决问题的第一步，我们首先来证明这个最佳设计的存在性，下面两张图为两种不同类型的台阶

保持总高度，台阶宽度，体力消耗一定时令台阶高度h充分小，则台阶数目会充分大，最终上楼时间t趋于无穷。因此我们是不会去登此楼梯的。再令h充分大，而人腿运动能力是有限的，由于每一步做功的增加势必会造成登楼时间的集聚增长，这种h我们同样无法接受。由于各种状态的连续变化，我们就可以断定，存在这样一个h，使得t最小。同理，台阶长度r很小时，人无法站稳，r充分大时，时间t趋于无穷。所以我们便有充足理由相信最优的r，h皆存在。分析到这里只是依赖于感性的认识与几何的直观，下面我们将用数学的观点给出尽可能合理的解答。

二．问题的分析

符号表示：

M 人体质量

g 重力加速度

l 人的小腿长度

v 人的正常行走速度

F 上楼过程中腿部力量

H 楼梯总体高度

h 台阶高度

r 台阶长度

P 人体登上高度H的楼梯时最舒适的输出功率

C 人的脚长

要细致而全面的分析此问题，可以将人登楼的全过程分解处理，将上楼的每一步设为一个单元，那么可以粗略的绘制出人体运动过程的简图。并考虑到上楼是个非常复杂的人体动力学过程，为了抓住主要矛盾并简化问题，一些人为的假设将是必要的。

模型的假设：1，人每走一步脚的前端接触到B点。

2，人的所有重量可以看成质点并集中在O（与集中在N是等价的），其他部位没有重量

3，每一步迈出同样的距离（台阶宽），并且连续前进。

4，人体上升的力量全部来自支撑腿的力F，F与h有关且在h取定的情况下F 大小不变且始终保持ON方向。

5，上台阶过程做功只在DN段，并且人总是以所谓最舒适的感觉（P恒定）上楼。

6，台阶宽度大于等于脚长

运动的分解：可以将登上台阶看为两个运动过程

1.（由M到N）人若想登上台阶，向前倾斜重心将是第一步，毕竟人是前进的。要在D点发力，将M点移动到N点将是合理的。而且此过程与人在平地行走时的状态非常接近（这里将它们等同看待，速度也为v，v的方向近似水平）。为了简化计算，可以令此段做功充分小从而可以忽略（因为我们的主要矛盾是上楼，此段做功的变化也是相当于平地上走5米与10米的区别，而这种差别在正常人看来是微乎其微的）

2.（N点竖直向上达到直立并回到初始状态）在此过程中所做的功为F的贡献（这里腿部的屈申很类似课堂上铅球投掷模型中球的出手过程，因为当时的主要矛盾为球的初速度，所以可以将其近似看做线性关系，然而此时的重点是这个屈申过程，因此假设与模型机理自然不同）。随后根据生物课所学知识，可以知道，人腿的运动都是靠肌肉细胞的伸缩变化产生伸缩力的（伸缩方向只能沿腿的方向），因此这里可以将所有肌肉的发力等效看为一个力，方向总是沿着腿的方向，大小恒定（实际上F要随着角度的变化而变化，为了简化问题可以将其设为恒定）。由于考虑到人在2过程上升时做的功实际为非保守力所做功（并不是w=mgh），一个很简单的直观，就是同样登上两米的高度我们分10步与分2步腿部做功一定不同。造成这种差异的根源在于腿的承重能力与发力方向角度的大小(也就是说台阶越高，我们所做的额外功越多)。所以要去用数学的观点度量所谓“腿部做功”这个概念，假设4将是必要的。其次我们要去度量所谓“舒适”与“疲劳”的概念。通常，在短距离内造成我们疲劳的主要原因实际为腿的运动强度过高，即功率P 过大。这就使我们度量“舒适”成为可能。

三．数据的获得

行走速度v的测算：首先所谓“正常速度”就是一个模糊概念，但又是客观存在的，为了尽可能得到人正常行走时的速度并要求误差尽量的小，所以这里采用多次测量的方法。并且需要亲自进行实验。恰好家附近的楼门口的地面由方砖铺成，每块砖为正方形，边长为0.48米。这就为距离的测定提供了方便。用最大自控能力以正常速度行走，规定走过五块砖时开始记时并规定这点为距离零点（为了将加速段去掉）。最终得到11组数据

距离(米) 时间（秒）

1 2.4 2.03

2 2.88 2.42

3 3.36 2.78

4 3.84 3.22

5 4.32 3.57

6 4.8 3.97

7 5.28 4.47

8 5.76 4.81

9 6.24 5.19

10 6.72 5.53

11 7.2 6.05

在matlab中进行拟合得到下图。一次多项式为y=0.012909+0.83186x所以算得自己的正常行走速度为1.202m/s

体重53公斤，小腿长0.47米，脚长0.26米，都是可以精确测量的。唯有功率P未知，但由于我们假定它的大小不变，所以在随后的模型求解中可以根据关系式将其反解出。

四．模型的建立

由假设台阶总数即为（有分数出现时如则可近似看为取每一小段时间的倍。这种误差是可以被忽略的）

设那么过程一的时间为且满足关系代入可得过程一的总时间为

过程二的总时间为

其中为h,l,F,p的函数由于我们假设了M,N点有近似相同的高度。那么是与x 无关的函数。若令总时间

最小，一定要求x最小。所以可得。我们得到结论台阶宽度应设计为近似脚长的宽度。由此，我们得到如下A图所示。并据此讨论h的变化

由于我们先假设F大小恒定。若F能带动人体上移，必要求Fy至少等于mg，那么在最省力的情况下，我们取 .此时我们已将F分解。因此N点运动到S点过程中要求F所做的功只需对Fx Fy分别求功即可。

我们将运动过程细致分析并放大为B图

当台阶高为h时Fy方向上的做功：设NNm的长度为变量m，当Nm由N运动到S时。M由0→h变化。计算得

用微元分析，当m变化△m时。

其中S（△m）为Om竖制直方向上运动距离。

对m积分

2，当台阶高为h时Fx方向上的做功：

微元分析，增加△m，我们得到

两边同除△m，并令△m→0。因此

其中S（m）为PmOm的长度。对m积分