简谐振动 旋转矢量法

x
x
A1 o
o
A
A2
A A1 A2
Tt
结论
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
若两分振动同相位：
2 1 2k k 0,1, 2,L
A A1 A2
若两分振动反相位:
两分振动相互加强
2 1 (2k 1) k 0,1, 2,L
A A1 A2
两分振动相互减弱
ห้องสมุดไป่ตู้
再若 A1= A2 , 则 A= 0
其它情况 A1 A2 A A1 A2
例. 有两个同方向的简谐振动，它们 的表式如下：
x 1= 0.05cos(10t+3π/4)m x 2= 0.06cos(10t+π/4)m
(1)求它们合成振动的振幅和初相位；
(2)若另有一振动
x 3= 0.07cos(10t+φ0)m 问φ0为何值时x1+x3的振幅为最大；
tan A1 sin 1 A2 sin 2
两个同方向同频 率简谐运动合成
A1 cos1 A2 cos2 后仍为简谐运动
讨论 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
1）相位差 2 1 2kπ (k 0，1， 2, )
xx
oo
A1 A2
A
A A1 A2
T
t
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 2）相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1, )
找到谐振动的特征量，问题就解决了。
振动方程为 x 2cos(5 t 2 )
3
16-4 简谐振动的合成
一、同方向、同频率谐振动的合成
某质点同时参与两个同频率且在同一条直线上的简谐运动
x1 A1 cos t 1 令 Asin A1 sin1 A2 sin2
x2 A2 cos t 2
速度v <0
A
P
x
注意：旋转M 矢量在第 2 象限
速度v <0
A
P
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
M
速度v <0
A
P
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
M
速度v <0
A
P
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
速度v <0
M
A
P
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
速度v <0
M
PA
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
简谐振动的描述方法有多种∶代数法、曲线表 示法、旋转矢量法、复数法等等。
一、代数法
x Acos(t )
振幅 系统固有角频率 相位 初相位 其中，振幅、角频率、初相是简谐振动的特征量
二、图示法： （振动曲线）
x Acos(t 0 )
三、复数法
z Aei( t )
由欧拉公式 ei cos i sin
用旋转矢量表示相位关系
同相位
反相位
r
r
A2
A1
x
r A2
x
r A
1
2 1
r
r
A2
A1
x
例题1 ：
普通物理学教案
确定以下几种情况的初相位
解：
x0 A x0 A x0 A/ 2 正向运动
x0 A / 2 正向运动
0 / 4 2 / 3
作参考圆
例题2 ：
普通物理学教案
两振子 x10 A / 2 ， x20 A / 2 都指向平衡位置运动。请判定它们的相位差。
解： 判定两振动之间的相位差，是一个在实 际工作中经常遇到的问题。
用旋转矢量法
由图可见
2 1
例题3 ：
谐振子从 A/ 2 的位置过渡到 A 的位置， 最短历时是多少?
首先考查从 A/ 2 到 A 的相位差
从旋转矢量图上可以得出
2
1
0
(
3
)
3
由匀速运动的等时性 t T
2
所以，渡越时间为
0
3
A = 5 (m);
(rad/s)
x 5cos(t 3) (m)
例题5 ：
普通物理学教案
某振子x-t 图和v-t 图如下，写出振子的 运动学方程。
解： 由x - t 图，A = 2， x0 = -A / 2，向平衡位置移动
4
3 或 2
3
x-t 图上ω或T 信息不明确， 再看v-t 图 vmax 10m/s 由速度幅 vmax A ， vmax / A 5s-1
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P
A
x
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P
A
x
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
sin2 (2 1)
y
2） 2 1 π
y A2 x A1
3）2 1 π 2
x A2
o A1
x2 A12
y2 A22
1
x A1 cost
y
A2
cos(t
π) 2
A2 y
o A1 x
用 旋 转 矢 量 描 绘 振 动 合 成 图
两
相
互 垂 直 同 频 率 不 同 相
简 谐 运 动 的 合 成 图
t T 1 T 2 6
例题4： 简谐振动的振动曲线，写出其振动表达式．
x Acos(t 0 )
A = 5 (m); T = 2 (s),
2 (rad/s)
T
x Acos(t 0 ) t = 0 时： cos0 x0 / A 1/ 2,
0
3
初速度方向指向平衡位置，
v0 A sin 0 0,
速度v 0
A
M Px
一、二象限的旋转矢量对应的简谐振动速度沿负向 三、四象限的旋转矢量对应的简谐振动速度沿正向
相
对于沿 x 轴振动的两个同频率的简谐振动：
位
x1 A1 cos(t 1), x2 A2 cos(t 2 ),
差 两者的相位差（即初相差）可能有下列四种情况：
(1) 2 1 0, 称同相; (2) 2 1 , 称反相; (3) 2 1 0, 称振动2超前,振动1落后; (4) 1 2 0, 称振动1超前,振动2落后.
速度v <0
A
M Px
注意：旋转矢量在第 1 象限
速度v <0
A
M
P
x
注意：旋转矢量在第 1 象限
速度v <0
M
A
P
x
注意：旋转矢量在第 1 象限
速度v
M
<
0
A
P
x
注意：旋转矢量在第 1 象限
M速度v < 0
A
P
x
注意：旋转矢量M在第 1 象限
速度v <0
A
P
x
注意：旋转矢M量在第 1 象限
位
差
三 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成
x A1 cos(1t 1)
y A2 cos(2t 2 )
1 0
李萨如图
2
0, π 8
,π 4
, 3π 8
,π 2
x y
ny nx
x达到最大的次数 y达到最大的次数
测量振动频率 和相位的方法
x
x Acos(t )
矢量以Ao的为端原点点在,旋x 轴转
上的投影点的运动为 简谐运动.
t t 时
o
A
t
x
x Acos(t )
对应关系
A
t
←→ 振幅 ←→ 圆频率 ←→ 初相位 ←→ 相位
用旋转矢量图画简谐运动的x t图
T 2（π 旋转矢量旋转一周所需的时间）
A
M Px
注意：旋转矢量在第 1 象限
Acos A1 cos1 A2 cos2
合振动 x x1 x2
x＝Acos cos t Asin sin t
＝Acos t
1、应用解析法
x x1 x2
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
＝A1 cos t 1 ＋A2 cos t 2
A1 cos1 A2 cos 2 cos t A1 sin1 A2 sin 2 sin t
φ0为何值时x2+x3的振幅为最小。
(式中 x 以 m计; t 以 s计)
解： (1)
A = A21 +A22 + 2A1A2 cos (φ2 φ1 )
= (0.05)2+(0.06)2+2×0.05×0.06cos(-π/2)
=0.078m
φ = arc tg
A1 sinφ1 + A2 sinφ2 A1 cosφ1 +A2 cosφ2
简谐振动的运动学函数应是复数 z 的实部
即
x Re[ Aei( t ) ]
用复数表示振动，有时在处理复杂振动过程中很方 便；最终只取实部(可观察物理量只可能是实量)。
复数法在光学、电工学等专业领域中被广泛运用
四、旋转矢量法
旋转矢量法
当t 0 时
A
o
x0 x
x0 Acos
t t 时
o
A
t
tg A1 sin1 A2 sin 2 A1 cos 1 A2 cos 2
两个同方向同频率简谐运动的合成
二、应用旋转矢量法:
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
A2
A
x x1 x2
x Acos(t )
x 0
x2 2 1
A1 x1
x
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
x A1 cos(t 1)
y A2 cos(t 2 )
质点运动轨迹 （椭圆方程）
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin2 (2
A2 y
1 )
讨论 1）2 1 0 或 2π
y A2 x A1
ox
A1
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
速度v <0
M
PA
x
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
MA
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
试利用旋转矢量法求出合振动的表达式。
解：
φA11==Aπ26=A3
= 0.1
φ2 =
π
2
A´= A1+ A3
φ3
=
5π
6
A
A = A1+ A2+ A3 = A2+ A´
A = 2A1 = 0.2
φ
=
π
2
A2 A´
A 3 φ3
φ2 φA11
o
x
x = 0.2cos(10t+π/2)m
二 两个相互垂直的同频率简谐运动的合成
= arc
tg
0.05×
0.05×(
2 2
+
0.06×
2 2
2 2
)+
0.06×
2 2
= arc tg(11) = 84048´
结束 返回
(2)
φ3
3π
4
=
2kπ
φ3
=
3π
4
+
2kπ
φ3 π4 =(2k+1)π φ3 = 54π+ 2kπ
例. 三个同方向、同频率的谐振动为 x 1= 0.1cos(10t+π/6)m x 2= 0.1cos(10t+π/2)m x 3= 0.1cos(10t+5π/6)m