整式的乘法与因式分解数学活动
人教版八年级数学第十四章《整式的乘法与因式分解》教案
第十四章整式的乘法与因式分解1.了解幂的意义,并学会简单的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法的运算,能根据幂的各种运算性质解决数学问题和简单的实际问题.2.了解零指数幂的意义;探索整式乘除法的法则,会进行简单的乘除法运算.3.要求学生说出平方差公式和完全平方式的特点,能正确地利用平方差公式和完全平方式进行多项式的乘法.4.了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系,从中体会事物之间可以相互转化的思想,学会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过两次)进行因式分解(指数是正整数).让学生主动参与到一些探索过程中来,逐步形成独立思考、主动探索的习惯,培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的能力.通过本章中一些生活实例的学习,体会数学与生活之间的密切联系,在一定程度上了解数学的应用价值,提高学生学习的兴趣.本章是整式的加减的后续学习,首先,从幂的运算开始入手,逐步展开整式的乘除法运算;接着,在整式的乘法中提炼出两种特殊的乘法运算,即两个乘法公式;最后,从整式乘法的逆过程出发,引入因式分解的相关知识.本章主要有如下特点:1.注重知识形成的探索过程,让学生在探索过程中领悟知识,在领悟的过程中建构体系,从而更好地实现知识体系的更新和知识的正向迁移.2.知识内容的呈现方式力求与学生已有的知识结构相联系,同时兼顾学生的思维水平和心理特征.3.让学生掌握基本的数学事实与数学活动经验,减轻不必要的记忆负担.4.注意从生活中选取素材,给学生提供一些交流、讨论的空间,让学生从中体会数学的应用价值,逐步养成谈数学、想数学、做数学的良好习惯.5.教材的安排、例题的讲解与习题的处理都给教师留有较大的余地与足够的空间,教师能根据各地学生的实际情况,充分发挥自己的教学主动性和积极性,创造性地进行教学.【重点】1.理解和掌握幂的运算性质.2.掌握整式的乘除运算方法,理解乘法公式,能对多项式进行因式分解.【难点】1.整式的乘除运算.2.利用乘法公式进行计算,利用提公因式法和因式分解法对多项式进行因式分解.1.幂的运算是整式乘除的基础,在教学幂的运算性质时,要让学生经历探索的过程,通过特例计算,自己概括出有关运算法则,理解并掌握这些法则,并能用来进行简单的计算.要注意留给学生探索与交流的空间,让学生在自己的实践中获得运算法则.在教学中要注意渗透化归的思想.对于整式的乘除法要让学生通过适当的尝试,获得一些直接体验,体验单项式与单项式相乘的运算规律,在此基础上总结出整式乘除法的一些运算法则,对于一些法则的获得要注意结合图形,让学生体会特点,从而加深对知识的理解和掌握.2.对于乘法公式的教学,要留出更多的时间和空间让学生自主探索,发现规律,体验乘法公式的来源,理解公式的意义和作用,降低对公式的记忆要求.教学时可以让学生直接计算较为简单的情况,在此基础上指出这一乘法结果的普遍性.教师要注意从已有的整式乘法的知识中提炼出这一乘法公式,让学生明确公式来源于整式的乘法,又应用于整式乘法的辩证性.3.对于因式分解这部分内容,要注意留给学生讨论的时间,引导学生进行归纳、概括.注意教给学生因式分解的方法和步骤,强化提公因式法和公式法的结构特点,让学生在不断练习中得以巩固和提高.总之,在本章的教学中,教师要创造性地使用教材,充分发挥自己在教学中的组织、引导、合作的作用,通过创设一定的问题情境,帮助学生在做一做、探索、交流与讨论中,主动地去获取知识.本章的教学中,教师不要人为地增加学生的记忆负担,提高对学生的要求,也不要人为地补充一些繁、难、偏、旧的内容,根据学生的具体情况,可以在某些具体问题上,让一部分学有余力的学生得到更好的发展,体现教材的弹性.14.1整式的乘法1.了解幂的意义,并学会简单的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法的运算.2.从幂的运算入手,逐步展开整式的乘法,要了解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则,会进行简单的整式乘法的计算.3.通过计算,提高学生独立思考、主动探索的能力.1.在推理的过程中,让学生学会类比的方法,培养学生的观察、抽象、概括的能力.2.在观察的过程中,让学生掌握整式乘法的一些计算方法,并能运用这些方法进行计算.1.让学生体验从特殊到一般的过程,能自己在实践中总结概括法则.2.培养学生学习数学的积极性,让学生树立热爱数学的情感.【重点】1.同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法法则.2.整式的乘法法则.【难点】1.能正确进行同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法计算.2.整式的乘法的一些计算.14.1.1同底数幂的乘法1.理解同底数幂的乘法法则.2.能运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题.1.在进一步体会幂的意义时,发展推理能力和有条理的表达能力.2.通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用,使学生初步理解特殊到一般,一般到特殊的认知规律.体会科学的思想方法,激发学生探索创新的精神.【重点】正确理解同底数幂的乘法法则.【难点】正确理解和应用同底数幂的乘法法则.【教师准备】多媒体课件(1,2,3).【学生准备】复习幂的意义.导入一:复习a n的意义:a n表示n个a相乘,我们把这种运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂;a叫做底数,n是指数.提出问题:一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算,它工作103秒可进行多少次运算?【师】能否用我们学过的知识来解决这个问题呢?【生】运算次数=运算速度×工作时间,所以计算机工作103秒可进行的运算次数为:1015×103.【师】1015×103如何计算呢?【生】根据乘方的意义可知:1015×103=(10× (10)15个10×(10×10×10)=(10×10× (10)18个10=1018.【师】很好,通过观察大家可以发现1015,103这两个因数是同底数幂的形式,所以我们把像1015×103的运算叫做同底数幂的乘法,根据实际需要,我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法.[设计意图]首先让学生回忆幂的一些知识,然后根据教材中的问题1让学生列式、观察并计算出结果,从而导入到本节课的学习之中.导入二:“盘古开天辟地”的故事:公元前一百万年,没有天没有地,整个宇宙是混沌的一团,突然间窜出来一个巨人,他的名字叫盘古,他手握一把巨斧,用力一劈,把混沌的宇宙劈成两半,上面是天,下面是地,从此宇宙有了天地之分,盘古完成了这样一个壮举,累死了,他的左眼变成了太阳,右眼变成了月亮,毛发变成了森林和草原,骨头变成了高山和高原,肌肉变成了平原与谷地,血液变成了河流.【师】盘古的左眼变成了太阳,那么太阳离我们多远呢?光的速度为3×105千米/秒,太阳光照射到地球大约需要5×102秒,你能计算出地球距离太阳大约有多远吗?【生】可以列出算式:3×105×5×102=15×105×102=15ד?”.(引入课题)[设计意图]从远古到现代,让学生感受传说,极大地激发了学生的学习热情,同时相应问题的提出,也为学习同底数幂的乘法埋下了伏笔.导入三:北京奥运场馆一平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧108千克煤所产生的能量.那么105平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤?【师】你们能列式吗?(学生讨论得出108×105)【师】108,105我们称之为什么?(幂)【师】我们再来观察底数有什么特点?【生1】都是10.【生2】是一样的.【师】像这样底数相同的两个幂相乘的运算,我们把它叫做同底数幂的乘法.(揭示课题) [设计意图]利用提问题,一方面可以集中学生注意力,使之较快进入课堂学习状态,另一方面可以对学生进行爱国主义教育,增强学生的环保意识.问题1【课件1】计算下列各式:(1)25×22;(2)a3·a2;(3)5m·5n(m,n都是正整数).你发现了什么?注意观察计算前后底数和指数的关系,并能用自己的语言描述.【师】根据乘方的意义,同学们可以独立解决上述问题.【生】25×22 =(2×2×2×2×2)×(2×2)=27 =25+2.25表示5个2相乘,22表示2个2相乘,根据乘方的意义:a3·a2=(a·a·a)·(a·a)=a5=a3+2.5m.5n=(5×5× (5)m个5×(5×5× (5)n个5=5m+n.(让学生自主探索,在启发性设问的引导下发现规律,并用自己的语言叙述)【生】我们可以发现下列规律:(1)这三个式子都是底数相同的幂相乘;(2)相乘结果的底数与原来底数相同,指数是原来两个幂的指数的和.【师生共析】a m·a n表示同底数幂的乘法,根据幂的意义可得:a m·a n=(a×a×…×a)m个a ×(a×a×…×a)n个a=a m+n.于是有a m·a n=a m+n(m,n都是正整数),用语言来描述此法则即为:“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”.[知识拓展]同底数幂是具有相同底数的幂.(1)幂可以看做是代数式中的一类,是形如a n的代数式.目前,在我们研究的这类式子中,可以是任何有理数,也可以是整式,而a n中的n只能是正整数.(2)35与155不是同底数幂,因为它们的底数一个是3,一个是15,是不一样的,这说明两个幂是不是同底数幂,与它们的指数是否相同毫无关系.(3)53与515是同底数幂,因为它们的底数相同(都是5).同理,x3与x5,(a+b)2与(a+b)5也都是同底数幂.同底数幂的乘法法则的关键在于底数,底数一定要相同,并且二者是相乘关系,这样指数才能相加,否则不能运用此法则.问题2(针对导入三)1.探索108×105等于多少.(鼓励学生大胆猜想)学生可能会出现以下几种情况:①10013;②1040;③10040;④1013.[设计意图]猜想产生疑问,激发兴趣,为学生推导公式做好情感铺垫.【师】那到底谁的猜想正确呢?小组合作讨论,生回答,师板演:108× 105=(10× 10×…×10) 8个10×(10 × 10× (10)5个10=10×10×…×10 13个10=1013.即108× 105=108+5. [设计意图]师给出适当的提示后,相信学生能在已有的知识基础上,利用集体的智慧,找出猜想中的正确答案,并通过“转化”思想得出结论,也找到了正确的推理过程.2.出示问题:(学生口答,课件显示过程)a 6·a 9=(a ·a ·…·a ) 6个a·(a ·a ·…·a )9个a=a ·a ·…·a 15个a=a 15. 即a 6·a 9=a 6+9.3.观察以上两个式子,你有什么发现? 【师】这是两个特殊的式子,它们的指数分别是8,5;6,9.底数相同的两数的任何次幂相乘,都是底数不变,指数相加吗?能找到一个具有一般性,代表性的式子吗?a m ·a n 怎么计算?[设计意图]a6·a9和a m·a n的推导过程由于108·105打好了坚实的基础,所以用填空的形式简化公式的推导过程,既避免了重复教学过程,也节约时间,同时也能达到让学生经历从具体到一般的推导过程.【板书】a m·a n=a m+n(m,n都是正整数).师补充解释m,n都是正整数的原因,并请学生用自己的语言概括该结论,之后全体学生用精炼的文字概括表述.【板书】同底数幂相乘,底数不变,指数相加.[设计意图]全班学生参与活动,经历从理解法则的含义的概括到用十分准确简练的语言概括过程,从而提高学生的表达能力.问题3【课件2】(教材例1)计算:(1)x2·x5;(2)a·a6;(3)(-2)×(-2)4×(-2)3;(4)x m·x3m+1.计算a m·a n·a p后,能找到什么规律?【师】我们先来看例1,是不是可以用同底数幂的乘法法则呢?【生1】(1)(2)(4)可以直接用“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”的法则.【生2】(3)也可以,先算2个同底数幂相乘,将其结果再与第三个幂相乘,仍是同底数幂相乘,再用法则运算就可以了.【师】同学们分析得很好.请自己做一遍,每组出一名同学板演,看谁算得又准又快.【生板演】(1)解:x2·x5=x2+5=x7.(2)解:a·a6=a1+6=a7.(3)解:(-2)×(-2)4×(-2)3=(-2)5×(-2)3=(-2)8=256.(4)解:x m·x3m+1=x m+3m+1=x4m+1.【师】接下来我们来看例2.受例1中第(3)题的启发,能自己解决吗?与同伴交流一下解题方法.解法1:a m·a n·a p=(a m·a n)·a p=a m+n·a p =a m+n+p.解法2:a m·a n·a p=a m·(a n·a p)=a m·a n+p=a m+n+p.解法3:a m·a n·a p= (a×a×…×a)m个a ×(a×a×…×a)n个a×(a×a×…×a)p个a=a m+n+p.【归纳】解法1与解法2都直接应用了运算法则,同时还运用了乘法的结合律;解法3是直接应用乘方的意义.三种解法得出了同一结果,我们需要这种开拓思维的创新精神.【生】那我们就可以推断,不管是多少个幂相乘,只要是同底数幂相乘,就一定是底数不变,指数相加呢?【师】是的,能不能用符号表示出来呢?【生】a m1·a m2·a m3·…·a m n=a m1+m2+m3+…+m n.【师】(鼓励学生)那么例1中的第(3)题我们就可以直接应用法则运算了.(-2)×(-2)4×(-2)3=(-2)1+4+3=(-2)8=256.1.同底数幂的乘法的运算性质是底数不变,指数相加.应用这个性质时,应注意两点:一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质;二是运用这个性质计算时一定是底数不变,指数相加,即a m·a n=a m+n(m,n 都是正整数).2.推广:a m·a n·a p=a m+n+p.3.(课件3)注意:在应用同底数幂乘法法则时,注意以下几点:(1)底数必须相同,如23与25,(a2b2)3与(a2b2)4,(x-y)2与(x-y)5等.(2)a可以是单项式,也可以是多项式.(3)按照运算性质,只有相乘时才是底数不变,指数相加.1.计算a6×a3的结果是()A.a9B.a2C.a18D.a3解析:原式=a6+3=a9.故选A.2.下列计算正确的是()A.x·x2=x2B.x2·x2=2x2C.x2+x3=x5D.x2·x=x3解析:A.底数不变,指数相加,故A错误;B.底数不变,指数相加,故B错误;C.不是同底数幂的乘法,指数不能相加,故C错误;D.底数不变,指数相加,故D正确.故选D.3.计算(-a)3·(-a)2的正确结果是()A.a5B.-a5C.a6D.-a6解析:原式=(-a)3+2=(-a)5=-a5.故选B.4.计算.(1)(-5)×(-5)2×(-5)3;(2)(-a)·(-a)3;(3)-a3·(-a)2;(4)(a-b)2·(a-b)3;(5)(a+1)2·(1+a)·(a+1)3.解析:利用同底数幂乘法法则进行计算,底数不同的利用互为相反数的奇偶次幂的性质进行转化.解:(1)(-5)×(-5)2×(-5)3=(-5)6=56.(2)(-a)·(-a)3=(-a)4=a4.(3)-a3·(-a)2=-a3·a2=-a5.(4)(a-b)2·(a-b)3=(a-b)5.(5)(a+1)2·(1+a)·(a+1)3=(a+1)6.14.1.1同底数幂的乘法1.法则2.公式例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第96页练习.【选做题】教材第104页习题14.1第9,10题.二、课后作业【基础巩固】1.计算(-x2)·x3的结果是()A.x5B.-x5C.x6D.-x62.下列计算正确的是()A.a3·a2=a6B.b4·b4=2b4C.x5+x5=x10D.y7·y=y83.下列运算正确的是()A.a5·a5=2a5B.a5+a5=a10C.a5·a5=2a10D.a5·a5=a104.a2014可以写成()A.a2010+a4B.a2010·a4C.a2014·aD.a2007·a20075.下列运算错误的是()A.(-a)(-a)=(-a)2B.-32·(-3)4=(-3)6C.(-a)3·(-a)2=(-a)5D.(-a)3·(-a)3=a6【能力提升】6.设a m=8,a n=16,则a m+n等于()A.24B.32C.64D.1287.下列各式成立的是()A.(x-y)2=-(y-x)2B.(x-y)n=-(y-x)n(n为正整数)C.(x-y)2(y-x)2=-(x-y)4D.(x-y)3(y-x)3=-(x-y)6【拓展探究】8.阅读材料:求1+2+22+23+24+…+22013的值.解:设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013,将等式两边同时乘以2得:2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014,将下式减去上式得2S-S=22014-1,即S=22014-1,即1+2+22+23+24+…+22013=22014-1.请你仿照此法计算:(1)1+2+22+23+24+ (210)(2)1+3+32+33+34+…+3n(其中n为正整数).【答案与解析】1.B(解析:(-x2)·x3=-x2+3=-x5.故选B.)2.D(解析:A.应为a3·a2=a5,故本选项错误;B.应为b4·b4=b8,故本选项错误;C.应为x5+x5=2x5,故本选项错误;D.y7·y=y8,正确.故选D.)3.D(解析:A.应为a5·a5=a10,故本选项错误;B.应为a5+a5=2a5,故本选项错误;C.应为a5·a5=a10,故本选项错误;D.a5·a5=a10,正确.故选D.)4.B(解析:A.a2010+a4不能进行计算;B.a2010·a4 =a2014;C.a2014·a=a2015;D.a2007·a2007=a4014,故选B.)5.B(解析:A.(-a)(-a)=(-a)2,故本选项正确;B.-32·(-3)4=-32·34=-36,故本选项错误;C.(-a)3·(-a)2=(-a)3+2=(-a)5,故本选项正确;D.(-a)3·(-a)3=(-a)3+3=(-a)6=a6,故本选项正确.故选B.)6.D(解析:∵a m=8,a n=16,∴a m+n=a m·a n=8×16=128.故选D.)7.D(解析:A.(x-y)2=(y-x)2,故本选项错误;B.(x-y)n=-(y-x)n(n为奇数),故本选项错误;C.(x-y)2(y-x)2=(x-y)4,故本选项错误;D.(x-y)3(y-x)3=-(x-y)6,故本选项正确.故选D.)8.解:(1)设S=1+2+22+23+24+…+210,将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+210+211,将两式相减得2S-S=211-1,即S=211-1,则1+2+22+23+24+…+210=211-1.(2)设S=1+3+32+33+34+…+3n①,两边同(3n+1-1),则1+3+32+33+34+…时乘以3得3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1②,②-①得3S-S=3n+1-1,即S=12(3n+1-1).+3n=12在教学中教师通过实际问题创设情境,导入新课,激发了学生学习数学的兴趣,通过学生的自主探索,让学生经历观察——类比——抽象——概括等过程,归纳出同底数幂的乘法法则,提高了学生的自主意识和自我解题的能力.在归纳出同底数幂的乘法法则之后,教师通过例1、例2的学习,让学生加深了对同底数幂的乘法法则的理解.整个过程学生对知识的接受和理解较好,突出了学生的主体地位和教师的主导作用,学生学得开心,知识掌握较好.因为本节课的内容较简单,所以在习题的设计上,教师可增加些难度,让学生通过变式训练,使学生的能力得到进一步的提高.另外,对于法则的概括和理解要尽量让学生自己去独立完善,教师要少说,多讲评.教学中要适当增加难度,增加变式训练,如法则的逆应用和底数为负数的习题.法则的逆应用要重点让学生掌握,以提高学生解决问题的能力.同时,一定要让学生分清幂的底数,明确只要在同底数幂相乘的时候才能用法则进行计算,否则不行.另外,对于法则的概括以及延伸的a m·a n·a p=a m+n+p,一定要让学生尽量发挥小组合作的能力,发现计算方法,从而总结出规律.教学过程能让学生独立完成的,教师绝不包办代替,把课堂应尽量还给学生.练习(教材第96页)解:(1)原式=b5+1=b6.(2)原式=-121+2+3=-126=164.(3)原式=a2+6=a8.(4)原式=y2n+n+1=y3n+1.题型1一般的同底数幂的乘法问题计算:(1)x2·x3;(2)(-2)4·(-2)3;(3)(a-1)4·(a-1)2.〔解析〕(1)可以直接得到x5;(2)中将(-2)看作相同的底数,由法则可得(-2)7;(3)中将(a-1)看作一个整体作为相同的底数.解:(1)x2·x3=x5.(2)(-2)4·(-2)3=(-2)7 =-27.(3)(a-1)4·(a-1)2=(a-1)6.题型2间接运用同底数幂的乘法法则计算:(1)-t3·(-t)4·(-t)5;(2)(z-y)3·(z-y)·(y-z)2.〔解析〕虽然底数不同,但仅仅只有符号之差,如z-y与y-z,可以先把底数变为相同的底数,再用法则计算.解:(1)-t3·(-t)4·(-t)5 =-t3·t4·(-t5)=t3·t4·t5=t12.(2)(z-y)3·(z-y)·(y-z)2=(z-y)3·(z-y)·(z-y)2=(z-y)6.〔方法提示〕对于不能直接运用同底数幂乘法法则的问题,通常先将题目中各项进行转化,化为同底数幂再运用法则计算,此过程中注意符号的确定.题型3同底数幂乘法法则的逆用计算:(-2)2007+(-2)2008.〔解析〕若直接计算,则相当麻烦,可以运用同底数幂的逆运算,将(-2)2008化成(-2)2007×(-2),再进行计算,比较简便.解:(-2)2007+(-2)2008=(-2)2007+(-2)2007×(-2)=(-2)2007×(1-2)=(-2)2007×(-1)=22007.(2014·温州中考)计算m 6·m3的结果是()A.m18B.m9C.m3D.m2〔解析〕根据同底数幂的乘法法则,底数不变,指数相加可知m6·m3=m9.故选B.14.1.2幂的乘方1.知道幂的乘方的意义.2.会进行幂的乘方计算.1.经历探索幂的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条理的表达能力.2.了解幂的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题.通过分组探究,培养学生合作交流的意识、提高学生勇于探究数学的品质.【重点】会进行幂的乘方的运算.【难点】幂的乘方法则的总结及运用.【教师准备】预设学生学习中容易混淆的知识.【学生准备】复习同底数幂的乘法法则.导入一:(1)叙述同底数幂乘法法则,并用字母表示.(2)计算:①a2·a5·a3;②a4·a4·a4.大家已经会进行同底数幂的乘法运算:a m·a n=a m+n(m,n都是正整数),那么幂的乘方运算又应该如何进行呢?[设计意图]通过复习巩固上节课所学的同底数幂的乘法法则的内容,为探索幂的乘方做好准备.导入二:(1)有甲、乙两个球,如果甲球的半径是乙球半径的n倍,那么甲球的体积是乙球体积的多少倍?学生口答:n3倍.(2)引导学生计算:(102)3=,怎样计算?(102)3=106.方法一:(102)3=102×102×102=102+2+2=106.方法二:(102)3=(100)3=1000000=106.[设计意图]在独立思考的基础上,组织学生交流、讨论,培养学生思维的严密性,让学生体验在交流中获益的乐趣.并在此过程中,引导学生主动反思,回顾解决问题的方法,为进入新课做准备.一、法则的探究1.思考.【课件1】根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空,看看计算的结果有什么规律:(1)(32)3=32×32×32 =3();(2)(a2)3=a2·a2·a2=a();(3)(a m)3=a m·a m·a m=a()(m是正整数).【师】教师要加强引导,强调应用中的注意事项.2.小组讨论.对正整数n,你认为(a m)n等于什么?能对你的猜想给出检验过程吗?【生】小组互相探索、交流,积极思考,然后各组派代表回答,相互点评,补充得出关于幂的乘方法则.幂的乘方法则:(a m)n=a m·a m·a m·…·a mn个a m =a m+m+m+…+mn个m=a mn.字母表示:(a m)n=a mn(m,n是正整数).语言叙述:幂的乘方,底数不变,指数相乘.教师说明法则中a可以是一个具体的数,也可以是单项式或多项式.[知识拓展]理解法则注意两点:(1)在形式上,幂的乘方的底数本身就是一个幂;(2)法则可推广到[(a m)n]k=a mnk(m,n,k是正整数);(3)幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆,例如不能把(a5)2写成a7,也不能把a5·a2的计算结果写成a10;(4)幂的乘方是变乘方为乘法(底数不变,指数相乘),如(a3)2=a3×2=a6;而同底数幂的乘法是变乘法为加法(底数不变,指数相加),如a3·a2=a3+2=a5.[设计意图]在探索幂的乘方法则的过程中,学生经历了由特殊到一般的过程,让学生学会了归纳,同时培养学生的合作意识.思路二探索练习1.32表示个相乘;(32)3表示个相乘;a2表示个相乘;(a2)3表示个相乘.2.(32)3=××=(根据a m·a n=a m+n)=;(a2)3=××=(根据a m·a n=a m+n)=.引导学生观察、猜测(32)3与(a2)3的底数、指数,并用乘方的概念解答问题.3.(a m)3=××=(根据a m·a n=a m+n)=;(a m)n=××…×=(根据a m·a n=a m+n)=.通过上面的探索活动,你发现了什么?【归纳】幂的乘方,底数不变,指数相乘.(a m)n=a mn(m,n是正整数).【说明】 在此过程中教师应当鼓励学生,自己发现幂的乘方的性质特点(如底数、指数发生了怎样的变化),并运用自己的语言进行描述,然后再让学生回顾这一性质的得出过程,进一步体会幂的意义.[设计意图]学生在探索练习的指引下,自主完成有关的练习,并在练习中发现幂的乘方的法则,经历由猜测到探索的过程,从而理解法则的实际意义,在本质上认识、学习幂的乘方的来历.思路三1.x 3表示什么意义?2.如果把x 换成a 4,那么(a 4)3表示什么意义?3.怎样把a 2·a 2·a 2·a 2 =a 2+2+2+2写成比较简单的形式?4.由此你会计算(a 4)5吗?5.根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空: (1)(53)2 =53×53=5();(2)(52)3=()×( )×()=5();(3) (a 3)5 =a 3×()×( )×( )×()=a ().6.用同样的方法计算(a 3)4,(a 11)9,(b 3)n (n 为正整数).这几道题学生都不难做出,在处理这类问题时,关键是如何得出3+3+3+3=12,教师应多举几例.(a 11)9=a 11·a 11·…·a 11=a 11+11+11+…+119个11=a 99.(b 3)n =b 3·…·b 3=b 3+3+3+…+3n 个3=b 3n .教师应指出这样处理既麻烦,又容易出错,此时应让学生思考,有没有简捷的方法?引导学生认真思考,并得到:(23)2 =23×2=26;(32)3=32×3 =36;(a 11)9=a 11×9=a 99;(b 3)n =b 3×n = b 3n .观察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数,猜想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?怎样说明你的猜想是正确的?(a m )n =a m ·a m ·a m·…·a m n 个a m(乘方的意义)=a m +m +m +…+mn 个m(同底数幂的乘法) =a mn (乘法定义),即(a m )n =a mn (m ,n 是正整数).这就是幂的乘方法则.你能用语言叙述这个法则吗?幂的乘方,底数不变,指数相乘. [设计意图]通过层层导入与渗透,让学生通过类比总结出幂的乘方的计算法则,整个过程由浅入深,体现了循序渐进的原则.二、例题讲解(教材例2)计算: (1)(103)5; (2)(a 4)4; (3)(a m )2;(4)-(x 4)3.〔解析〕要充分理解幂的乘方法则,准确地运用幂的乘方法则进行计算.启发学生共同完成例题.学生在教师启发下,完成例题的问题,并进一步理解幂的乘方法则.解:(1)(103)5=103×5=1015.(2)(a4)4=a4×4=a16.(3)(a m)2=a m×2=a2m.(4)-(x4)3=-x4×3=-x12.想一想:a mn等于(a m)n(m,n是正整数)吗?学生类比同底数幂的乘法运算得出a mn=(a m)n(m,n是正整数),也就是说对于幂的乘方法则,它的逆应用同样成立.当一个幂的指数是积的形式时,就可以写成幂的乘方的形式.a20=(a4)()=(a5)()=(a2)()=(a10)().已知x m=4,x n=5,试求代数式x3m+2n的值.〔解析〕x3m+2n x3m·x2n(x m)3·(x n)2,整体代入,x m=4,x n=5即可求解.解:x3m+2n=x3m·x2n=(x m)3·(x n)2=43×52=1600.1.(a m)n=a mn(m,n都是正整数)的使用范围:幂的乘方.方法:底数不变,指数相乘.2.知识拓展:这里的底数、指数可以是数,也可以是单项式或多项式.3.幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于一个是“指数相乘”,一个是“指数相加”.1.下列运算正确的是()A.2a2+3a=5a3B.a2·a3=a6C.(a3)2=a6D.a3-a3=a解析:A.2a2+3a,不是同类项不能相加,故A选项错误;B.a2·a3=a5,故B选项错误;C.(a3)2=a6,故C选项正确;D.a3-a3=0,故D选项错误.故选C.2.下列运算中,计算结果正确的是()A.3x-2x=1B.2x+2x=x2C.x·x=x2D.(a3)2=a4解析:A.3x-2x=x,所以A选项不正确;B.2x+2x=4x,所以B选项不正确;C.x·x=x2,所以C选项正确;D.(a3)2=a6,所以D选项不正确.故选C.3.计算.(1)x n-2·x n+2;(n是大于2的整数)(2)-(x3)5;(3)[(-2)2]3;(4)[(-a)3]2.解析:(1)根据同底数幂的乘法法则求解;(2)(3)(4)根据幂的乘方的法则求解.解:(1)原式=x n-2+n+2=x2n.(2)原式=-x15.(3)原式=43=64.(4)原式=a6.14.1.2幂的乘方一、法则的探究推理过程:(a m)n=a m·a m·…·a mn个a m =a m+m+m+…+mn个m=a mn.公式:(a m)n=a mn(m,n都是正整数).法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘.二、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第97页练习.【选做题】教材第104页习题14.1第1题(1)~(4).二、课后作业【基础巩固】1.计算(-a3)2的结果是()A.a6B.-a6C.a8D.-a82.计算:(a3)2·a3=.3.若9x=3x+2,则x=.4.已知2m=3,2n=22,则22m+n=.5.若2·8m=42m,则m=.【能力提升】6.若m,n都是正整数,且a>1,则(a n)m和(a m)n是否一定相等?若一定相等,请给予证明;若不一定相等,请举出反例.7.已知a m=2,a n=3,m,n是正整数且m>n.求下列各式的值:(1)a m+1;(2)a3m+2n.【拓展探究】8.试比较35555,44444,53333三个数的大小.【答案与解析】1.A(解析:(-a3)2=a3×2=a6.故选A.)2.a9(解析:先计算幂的乘方,再计算同底数幂的乘法.所以原式=a6·a3=a9.)3.2(解析:9x=32x=3x+2,2x=2+x,解得x=2,故答案为2.)4.36(解析:∵2m=3,2n=22,∴22m+n=22m·2n=(2m)2·2n=32·22=9×4=36.)5.1(解析:∵2·8m=42m,∴2×23m=24m,∴1+3m=4m,解得m=1.)。
第十四章 整式的乘法与因式分解数学活动 教学课件(共14张PPT) 人教版八年级数学上册
（3）利用你发现的规律计算： 58×52；63×67； 752；952。
3021； 1224； 7224； 5609
分析: a+b=10
(10n+a) (10n+b)
=100n2 +(a+b)×10n+a·b
n×（n+1)×100+a·b=
100n2 +100n+a·b
∵日历中下一行与上一行数字相差7（一周7天），
不妨设4个数字为：a,a+1,a+7,a+8;
小贴士：
（a+7)(a+1)-a(a+8)=(a2+8a+7)-(a2+8a)=7.
∴ 任一个月历都满足以上规律.
方框必需框住4个数字，含有空格的 方框不合题意.
四、梳理新知，小结新课
活动1：：观察以下式子，你能写出一般规律吗？你能用 本章知识证明你的结论吗？
活动2：计算下列两个数的积，你有什么发 现？你能用本章所学知识解释这个规律吗？
活动3：观察下列展开式的系数或常数
活动4：日历上，我们可以发现其中数字满
(a+b)4=1·a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1·b4求(a+b)5展开后各项的系数； 足的规律，用所学知识对以上规律加以证明.
观察
设字母，写代数式
我们任意选择其中所示的方框部分，将
每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，
再相减，如：7×13-6×14=7,17×23-
16×24=7，发现结果都是7.
再选择两个类似的部分试试，验证规律；
初中数学整式乘法与因式分解课堂教案实例
初中数学整式乘法与因式分解课堂教案实例第一章：整式乘法概述1.1 整式的概念介绍整式的定义和基本性质通过实例让学生理解整式的组成和表示方法1.2 整式乘法的意义解释整式乘法的概念和作用强调整式乘法在数学中的应用和重要性第二章：整式乘法的法则2.1 单项式乘以单项式引导学生理解单项式乘以单项式的法则通过例题展示如何进行计算和简化2.2 单项式乘以多项式解释单项式乘以多项式的法则给出具体的例题，让学生学会如何应用该法则2.3 多项式乘以多项式介绍多项式乘以多项式的法则通过例题让学生掌握如何进行计算和简化第三章：整式乘法的应用3.1 面积和体积的计算利用整式乘法解决几何问题，如计算矩形的面积、立方体的体积等引导学生理解几何问题中的整式乘法关系3.2 物理问题的应用引入物理问题中的整式乘法，如计算物体的速度、加速度等让学生学会将物理问题转化为整式乘法问题第四章：因式分解的概念与意义4.1 因式分解的定义解释因式分解的概念和作用强调因式分解在数学中的重要性和应用价值4.2 提取公因式引导学生理解提取公因式的方法和规则通过例题展示如何提取公因式并进行简化第五章：因式分解的常用方法5.1 分解因式的方法介绍分解因式的常用方法，如提公因式法、交叉相乘法等通过例题让学生学会运用不同方法进行因式分解5.2 分组分解法解释分组分解法的概念和步骤通过例题展示如何将多项式进行分组并进行因式分解第六章：特殊整式乘法问题6.1 平方差公式介绍平方差公式的定义和应用通过例题让学生理解如何利用平方差公式进行整式乘法6.2 完全平方公式解释完全平方公式的概念和运用给出具体的例题，让学生学会如何运用完全平方公式简化乘法问题第七章：因式分解的进阶技巧7.1 公式法分解因式引导学生理解公式法分解因式的原理和方法通过例题展示如何利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解7.2 构造法分解因式解释构造法分解因式的概念和步骤通过例题让学生掌握如何运用构造法进行因式分解第八章：多项式的因式分解8.1 多项式因式分解的方法介绍多项式因式分解的常用方法，如提公因式法、交叉相乘法等通过例题让学生学会运用不同方法进行多项式的因式分解8.2 多项式的因式分解应用解决实际问题中的多项式因式分解，如解析几何中的曲线方程等引导学生理解多项式因式分解在实际问题中的应用价值第九章：因式分解的巩固练习9.1 因式分解练习题提供一系列因式分解的练习题，让学生巩固所学知识引导学生思考和解决练习题中的问题，加深对因式分解的理解9.2 因式分解竞赛题提供一些具有一定难度的因式分解竞赛题激发学生的学习兴趣和挑战精神，提高因式分解的能力第十章：总结与拓展10.1 整式乘法与因式分解的总结对整式乘法和因式分解的知识进行归纳和总结强调这两个概念在数学中的重要性和应用范围10.2 整式乘法与因式分解的拓展介绍整式乘法和因式分解在一些高级数学领域的应用激发学生的学习兴趣和进一步探索的动力重点和难点解析重点环节1：整式的概念与表示方法需要重点关注的原因：整式是整式乘法和因式分解的基础，理解整式的概念和表示方法对后续学习至关重要。
整式的乘法与因式分解教案
整式的乘法与因式分解教案教案主题：整式的乘法与因式分解一、教学目标：1. 了解整式的乘法与因式分解的定义和性质；2. 掌握整式的乘法与因式分解的基本方法；3. 能够灵活运用整式的乘法与因式分解求解实际问题。
二、教学重点与难点：1. 整式的乘法的性质与运算方法；2. 整式的因式分解的基本步骤与方法。
三、教学过程：1. 导入新课：通过简单的代数表达式相加、相减等练习，引导学生思考整式的性质和运算法则。
2. 整式的乘法：a. 讲解整式的乘法的定义和性质，包括同底数相乘、同指数相乘、不同底数相乘、几个常见特殊情况的乘法性质等；b. 通过实例演示整式的乘法的具体计算方法；c. 练习：学生完成一些简单的整式乘法计算题，加深对整式乘法规则的理解。
3. 整式的因式分解：a. 讲解整式的因式分解的定义和性质，包括提取公因式、配方法、特殊公式等；b. 通过实例演示整式的因式分解的具体步骤和方法；c. 练习：学生完成一些简单的整式因式分解题，加深对整式因式分解的掌握。
4. 综合运用：a. 学生运用整式的乘法与因式分解方法，解决一些实际相关问题；b. 教师引导学生总结整式的乘法与因式分解的应用场景和意义。
四、教学方法：1. 演讲讲解：通过讲解整式的定义、性质和运算法则，引导学生理解整式的乘法与因式分解的思想与方法。
2. 实例演示：通过实例演示整式的乘法与因式分解的具体计算过程，帮助学生掌握乘法的规则和因式分解的步骤。
3. 练习操作：通过练习题目，提高学生对整式的乘法与因式分解的运用能力和问题解决能力。
4. 问题引导：通过引导学生解决实际问题，提高学生的综合运用能力和创造性思维。
五、教学评估：1. 教师通过课堂观察，评估学生的学习态度和参与度；2. 教师布置作业，评估学生对整式乘法与因式分解的掌握程度；3. 教师组织课堂小测验，评估学生对整式乘法与因式分解的运用能力和问题解决能力。
六、教学拓展：教师可以引导学生扩展整式乘法与因式分解的应用，例如多项式乘法与多项式因式分解、整式的乘法公式与因式分解等内容，拓宽学生的知识广度。
人教版初中数学八年级上册第14章整式的乘法与因式分解(教案)
2.提升运算能力：让学生掌握整式的乘法与因式分解的运算方法，培养他们准确、快速地进行数学运算的能力。
3.增强数学建模素养：引导学生将实际问题转化为数学模型，运用整式的乘法与因式分解解决生活中的问题，提高数学建模素养。
五、教学反思
在本次教学中，我采用了导入新课、新课讲授、实践活动、小组讨论和总结回顾等环节，引导学生学习整式的乘法与因式分解。通过这节课的教学，我发现以下几个方面值得反思：
1.学生对整式乘法法则的理解程度。在授课过程中，我发现部分学生对多项式乘以多项式、多项式乘以单项式的运算法则掌握不够熟练，导致在计算过程中出现错误。针对这一问题，我决定在接下来的教学中加强学生对乘法法则的练习，特别是同类项的合并和乘法分配律的运用。
4.实践活动与小组讨论的效果。在实践活动中，学生们积极参与，课堂氛围较好。但在小组讨论过程中，我发现部分学生参与度不高，讨论效果不理想。为了提高学生的参与度，我将在下次教学中尝试采取更多鼓励性和激励性的措施，如设置小组竞赛、优秀成果展示等。
5.教学方法的选择。在本节课中，我尝试采用了多种教学方法，如讲解、举例、讨论等。但课后我发现，部分学生对知识的掌握程度并不理想。针对这一问题，我将在今后的教学中进一步优化教学方法，注重启发式教学，提高学生的课堂参与度和思考能力。
4.因式分解：了解因式分解的意义，掌握提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法，解决实际问题。
5.综合运用：将整式的乘法与因式分解应用于解决实际问题，提高解题能力。
本章内容旨在使学生掌握整式的乘法与因式分解的基本方法，培养他们的逻辑思维能力和运算能力，为后续学习打下坚实基础。
八年级数学上整式的乘法与因式分解学习教案
教学目标：1.了解整式的定义和基本性质；2.学会整式的乘法运算；3.掌握整式的因式分解方法；4.能够应用所学知识解决实际问题。
教学重点：1.整式的乘法运算；2.整式的因式分解。
教学难点：整式的乘法运算和因式分解的方法运用。
教学准备：1.教案和教学课件；2.墨水笔和板书工具；3.整式的乘法与因式分解的练习题。
教学过程：Step 1: 导入新课 (5分钟)教师简要介绍整式的概念，并解释本节课的学习目标。
Step 2: 整式的定义与性质 (15分钟)1.教师通过板书的方式展示整式的定义及常见的整式形式，并解释这些形式的含义；2.教师引导学生探讨整式的性质，如整式的次数和项数、同类项、反义项等。
Step 3: 整式的乘法运算 (20分钟)1.教师通过具体实例，演示整式的乘法运算步骤；2.学生进行跟随操作，完成教师提供的练习题；3.教师提供一些习题，让学生自主尝试乘法运算，并进行交流和讨论。
Step 4: 整式的因式分解方法 (15分钟)1.教师讲解整式的因式分解方法，如公因式提取法、配方法和开口法等；2.教师通过板书和具体实例，详细解释每种因式分解方法的步骤和技巧；3.学生进行跟随操作，完成教师提供的练习题；4.教师提供一些习题，让学生自主尝试因式分解，并进行交流和讨论。
Step 5: 实际问题的解决 (20分钟)1.教师通过实际问题的引入，让学生应用所学知识解决实际问题；2.学生个别或小组合作，完成教师提供的相关问题，并展示解题过程和结果；3.教师和学生共同讨论解决问题的思路和方法。
Step 6: 总结与小结 (10分钟)教师提醒学生复习整式的定义和性质、乘法运算和因式分解方法，并强调复习的重点；教师布置相关作业，并提醒学生认真完成。
Step 7: 课堂反馈 (5分钟)教师可以进行课堂测验、提问或让学生进行自我评价，检查学生对本节课内容的理解情况。
教学延伸：1.学生可以自主进行练习和复习整式的乘法运算和因式分解方法；2.学生可以应用所学知识解决更多实际问题。
整式的乘法与因式分解全章教案
整式的乘法与因式分解全章教案第一章：整式的乘法1.1 单项式乘以单项式教学目标：了解单项式乘以单项式的运算法则。
掌握单项式乘以单项式的计算方法。
教学重点：单项式乘以单项式的运算法则。
教学难点：如何正确计算单项式乘以单项式。
教学准备：教材、黑板、投影仪。
教学过程：导入：回顾整数乘法的运算法则。
讲解：讲解单项式乘以单项式的运算法则，举例说明。
练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。
1.2 单项式乘以多项式教学目标：了解单项式乘以多项式的运算法则。
掌握单项式乘以多项式的计算方法。
教学重点：单项式乘以多项式的运算法则。
教学难点：如何正确计算单项式乘以多项式。
教学准备：教材、黑板、投影仪。
教学过程：导入：回顾整数乘法的运算法则。
讲解：讲解单项式乘以多项式的运算法则，举例说明。
练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。
第二章：因式分解2.1 提公因式法教学目标：了解提公因式法的概念。
掌握提公因式法的运用。
教学重点：提公因式法的概念和运用。
教学难点：如何正确运用提公因式法进行因式分解。
教学准备：教材、黑板、投影仪。
教学过程：导入：回顾整式的乘法。
讲解：讲解提公因式法的概念和运用，举例说明。
练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。
2.2 公式法教学目标：了解公式法的概念。
掌握公式法的运用。
教学重点：公式法的概念和运用。
教学难点：如何正确运用公式法进行因式分解。
教学准备：教材、黑板、投影仪。
教学过程：导入：回顾整式的乘法。
讲解：讲解公式法的概念和运用，举例说明。
练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。
第六章：十字相乘法6.1 十字相乘法的原理教学目标：理解十字相乘法的原理。
掌握十字相乘法的步骤。
教学重点：十字相乘法的原理和步骤。
如何正确运用十字相乘法分解因式。
教学准备：教材、黑板、投影仪。
教学过程：导入：回顾提公因式法和公式法。
讲解：讲解十字相乘法的原理和步骤，举例说明。
练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。
整式的乘法与因式分解教案
整式的乘法与因式分解教案教案标题：整式的乘法与因式分解一、教学目标：1. 理解整式的乘法运算规则。
2. 掌握整式的乘法运算方法。
3. 能够运用整式的乘法运算解决实际问题。
4. 理解因式分解的概念与意义。
5. 掌握因式分解的方法与技巧。
6. 能够将整式进行因式分解。
二、教学重点：1. 整式的乘法运算规则。
2. 整式的乘法运算方法。
3. 因式分解的方法与技巧。
三、教学难点：1. 整式的乘法运算方法的灵活应用。
2. 复杂整式的因式分解。
四、教学准备：1. 教材：教科书、练习册。
2. 教具：黑板、彩色粉笔、投影仪。
3. 辅助教具：学生练习册、习题集。
五、教学过程：1. 导入（5分钟）引入整式的乘法概念，通过实际例子和生活中的问题，引起学生对整式乘法的兴趣与思考。
2. 知识讲解与示范（15分钟）a. 整式的乘法运算规则的讲解：包括常数与常数相乘、常数与单项式相乘、单项式与单项式相乘、多项式与多项式相乘等情况的规则。
b. 整式的乘法运算方法的示范：通过具体的例子，讲解整式的乘法运算步骤与技巧。
c. 因式分解的概念与意义的讲解：引导学生理解因式分解在简化与解决问题中的重要性。
3. 案例分析与练习（20分钟）a. 分组讨论：将学生分成小组，给每个小组分发一些整式乘法与因式分解的练习题，让学生结合所学知识进行讨论与解答。
b. 案例分析：选择一些典型的整式乘法与因式分解题目进行讲解与分析，引导学生理解解题思路与方法。
4. 拓展与应用（15分钟）a. 拓展练习：提供一些较为复杂的整式乘法与因式分解题目，让学生进行拓展练习，培养解决问题的能力。
b. 实际应用：通过一些实际问题，引导学生将整式乘法与因式分解应用于解决实际问题，培养学生的应用能力与思维能力。
5. 总结与反馈（5分钟）对整个教学内容进行总结，检查学生对整式乘法与因式分解的掌握情况，解答学生提出的问题，并给予相应的反馈与指导。
六、作业布置：布置相关的习题作业，要求学生独立完成，并检查作业的完成情况。
人教版八年级上册数学-14章《整式的乘法与因式分解》教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与整式的乘法与因式分解相关的实际问题。
-公式法：运用平方差公式、完全平方公式等进行因式分解。
-分组分解法：将多项式分组，使组内项有公因式，然后分别提取公因式并分解。
2.教学难点
（1）整式乘法的运算过程：对于多项式乘多项式的运算，学生容易在分配律的运用、合并同类项等方面出现错误。
-举例：(x+2)(x+3)，学生可能会忽略括号展开时，将每一项分别相乘，导致运算错误。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解整式的乘法与因式分解的基本概念。整式的乘法是指将两个或多个整式相乘，它是代数运算的基础，广泛应用于各种数学问题中。因式分解是将一个多项式分解成几个整式的乘积，这个过程有助于简化复杂的表达式，解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如，我们要计算(x+2)(x+3)的结果。这个案例展示了整式乘法在实际中的应用，以及如何通过因式分解简化表达式。
2.逻辑推理：培养学生运用数学原理和逻辑思维进行整式乘法与因式分解的推理能力，增强解决问题的逻辑性。
3.数学建模：使学生能够运用整式的乘法与因式分解解决实际问题，建立数学模型，提高数学应用能力。
4.数学运算：训练学生熟练进行整式乘法与因式分解的运算，提高运算速度和准确性。
5.数据分析：培养学生通过整式乘法与因式分解对数据进行处理和分析，从数学角度发现问题的能力。
新苏科版七年级数学下册《9章 整式乘法与因式分解 数学活动 拼图·公式》公开课教案_21
用“数形结合思想”再认识整式乘法与因式分解 教学设计与课后作业【教学目标】1. 理解用不同方法求同一个图形的面积可以得到或验证某些等式；2. 掌握画图与拼图的方法，通过画图与拼图活动理解图形面积与整式乘法、因式分解之间的内在联系，感受数与形的对应关系，会借助图形面积完成整式乘法或因式分解；3. 在知识的探索中，体验从特殊到一般的认识事物的方法，培养观察、归纳、概括的能力；4. 在知识的探索、运用和解决问题的过程中，体会数形结合的思想方法，发展几何直观；5. 感受数学文化美，学会和他人合作和交流，体会成功的快乐，提升学习数学的兴趣。
教学重点：准确并熟练地借助画图与拼图解决整式乘法与因式分解 教学难点：数形结合思想的渗透 教学准备：A 型纸片（边长为a 的正方形）、B 型纸片（边长为b 的正方形）、C 型纸片（长为a 、宽为b 的长方形）各若干张.教学过程：板块一、回顾从图形面积到整式乘法 【问题1】 （独立思考）设计意图：该问题选自学生练习中的常见错误，从易错点引入本课教学，激发学生对直观方式的渴求。
【问题2】如图，从整体上，正方形的面积可表示为 ，从部分上，它的面积可以表示为 ，于是可以得到整式乘法公式 。
（独立思考后同伴说说）设计意图：回顾新课中用不同方法表示同一个图形的面积，可以得到（或验证）一些有用的等式、法则、公式，为后续探究做好准备。
【问题3】我们知道，代数式(a+b)2的代数意义是a 与b 和的平方，那么它的几何意义是什么？（独立思考后同伴说说）设计意图：明确代数式的几何意义是画图解决问题的前提，引导学生该代数式认识表示边长为a+b 的正方形的面积，从而促进借助画图法求解计算结果的水到渠成。
其中，教师可在此时板演画图方法：根据图形边长先画出外部整体轮廓，再勾勒纵横线条形成组成部分，最后根据各部分面积写出整式乘法结果。
【问题4】你能说出代数式(a+b+c)2的几何意义吗? 再通过画图直接写出它的结果。
初中数学整式乘法与因式分解课堂教案实例
初中数学整式乘法与因式分解课堂教案实例一、教学目标：1. 让学生掌握整式乘法的基本运算法则，能够正确进行整式乘法运算。
2. 让学生理解因式分解的概念，掌握因式分解的基本方法，能够对简单的多项式进行因式分解。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生的数学解题技巧。
二、教学内容：1. 整式乘法的基本运算法则。
2. 因式分解的概念及基本方法。
3. 典型例题解析与练习。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：整式乘法的基本运算法则，因式分解的概念及基本方法。
2. 教学难点：整式乘法的复杂运算，因式分解的技巧。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解整式乘法与因式分解的基本概念和方法。
2. 采用例题解析法，让学生通过观察、分析、归纳，掌握整式乘法与因式分解的运算规律。
3. 采用练习法，巩固学生对整式乘法与因式分解的掌握程度。
五、教学过程：1. 导入：通过复习相关基础知识，引导学生进入整式乘法与因式分解的学习。
2. 讲解：讲解整式乘法的基本运算法则，并通过示例进行演示。
讲解因式分解的概念，介绍因式分解的基本方法，如提取公因式法、十字相乘法等。
3. 例题解析：分析典型例题，引导学生运用整式乘法与因式分解的方法进行解答，让学生在解题过程中掌握相关技巧。
4. 练习：布置相关练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 通过课堂提问，检查学生对整式乘法与因式分解概念的理解程度。
2. 通过课堂练习，评估学生对整式乘法与因式分解运算技巧的掌握情况。
3. 课后作业的完成质量，以检验学生对课堂所学知识的巩固程度。
七、教学拓展：1. 邀请数学专家或优秀教师进行专题讲座，深入探讨整式乘法与因式分解的高级技巧。
2. 组织数学竞赛或小组讨论，激发学生对整式乘法与因式分解的兴趣，提高解题能力。
八、教学资源：1. 教学PPT：制作精美的教学PPT，展示整式乘法与因式分解的原理、例题及练习。
整式的乘法与因式分解教案
课题：9.1 单项式乘单项式日期_______________教学目标:1.知道“乘法交换律，乘法结合律，同底数幂的运算性质“是进行单项式乘法的依据。
2.会进行单项式乘法的运算。
3. 经历探索单项式乘单项式运算法则的过程，发展有条理思考及语言表达能力。
教学重点：单项式乘法性质的运用教学难点：单项式乘法性质的运用教学过程：可以把两个算式间划等号连接你是怎样看待这个等式的？能用数学知识解释它的正确性吗？教学目标:1、知道利用乘法分配律可以将单项式乘多项式转化成单项式乘单项式；2、会进行单项式乘多项式的运算；3、经历探索单项式乘多项式法则的过程，发展有条理的思考及语言表达能力。
教学重点：单项式乘以多项式法则。
教学难点：灵活运用单项式乘以多项式法则。
教学过程：）这两种方法求得的是同一个长方形的面积，可以把两个算式间划等号连）你是怎样看待这个等式的？能用数学知识解释它的正确性吗？课题：9.3 单项式乘多项式日期_______________教学目标:1．理解和掌握单项式与多项式乘法法则及其推导过程。
2．熟练运用法则进行单项式与多项式的乘法计算。
教学重点：单项式与多项式乘法法则。
教学难点：利用单项式与多项式相乘的法则推导本节法则。
教学过程：课题：9.4乘法公式（1）（完全平方公式）日期__________教学目标:(1) 探索并推导完全平方公式、并能运用公式进行简单的应用。
(2) 引导学生感受转化的数学思想以及知识间的内在联系。
教学重点：完全平方公式。
教学难点：正确的应用完全平方公式、进行计算。
教学过程：课题：9.4乘法公式（2）（平方差公式）日期_______________教学目标:1．会推导平方差公式，并能应用公式进行简单的计算。
2. 经历探索平方差公式的过程，发展学生的符号感和推理能力。
教学重点：认识并应用平方差公式进行简单的计算。
教学难点：平方差公式的推导，平方差公式的应用。
教学过程：课题：9.4 乘法公式(3)（完全平方与平方差公式）日期_______________教学目标:1. 使学生进一步熟练掌握乘法公式，能灵活运用进行混合运算和化简、求值。
苏科版七年级下册数学课件第9章整式乘法与因式分解数学活动拼图公式课件
著名数学家华罗庚说过： 数缺形时少直观，形少数时难入微 数形结合百般好，隔离分家万事休
长为（a+b）宽为（2a+b）
活动材料 若干块如图所示的长方形和 正方形硬纸片
活动要求 如果让我们拼一个面积为 a2 3ab 2b2 长方形，如何 拼呢？
a2 3ab 2b2
a2 3ab 2b2
(a+b) （a+2b）
活动材料 若干块如图所示的长方形和 正方形硬纸片
活动要求 任意选取卡片，拼成一个长方形，使它的面积 是 a2 4ab 3b2，并写出相应的等式。你是如何选择卡 片的？
在一个边长为a的大正方形纸片上，剪去一个边长 为b的小正方形，你能通过计算剩余部分的面积得 到 a ba b a2 b2 公式 吗？
a
a b
b
通过这节课学习你有哪些收获？
小结： 刚才，我们通过对整式乘法公式的验证，学会了运用数形
结合法解决问题。 数形结合是中学数学重要的思想方法，用处很大。希望大
一、用不同的方法表示下列图形的面积,你能得到什么 等式?
二、用不同的方法表示下列图形的面积,你能得到什么 等式?
b
c
d
a
三、用不同的方法表示下列图形的面积,你又能得到什 么等式?
c
d
a
b
四、用不同的方法表示下列图形的面积,你还能得到什
么等式?
a
b
a
b
活动材料 若干块如图所示的长方形和 正方形硬纸片
(1)利用拼图的方法分解因式： 2a2+5ab+2b2
（2）你能用卡片拼成一个面积为 a2+3ab+b2的长方形吗？
b
初中数学《整式乘法与因式分解》教案：用整式求解实际问题的应用示例
初中数学《整式乘法与因式分解》教案：用整式求解实际问题的应用示例一、教学目标1.掌握整式乘法的基本方法。
2.掌握因式分解的基本方法。
3.应用整式乘法和因式分解解决实际问题。
二、教学重点与难点1.教学重点：整式乘法的基本方法、因式分解的基本方法、应用整式乘法和因式分解解决实际问题。
2.教学难点：如何应用整式乘法和因式分解解决实际问题。
三、教学过程1.导入让学生回顾一下上一节课学到的内容：如何进行整式加减法，如何将一个整式乘以一个常数。
2.整式乘法的基本方法1）用竖式计算法说明整式的乘法。
从竖式计算法的角度，对整式的乘法进行详细说明，让学生理解整式乘法的基本方法。
2）例题：计算（x+2（x+3）。
讲解例题的解法，让学生掌握整式乘法的基本方法。
3）示范练习让学生自己完成几道题目，以巩固整式乘法的基本方法。
同时，教师也可以根据不同的题型加以引导和讲解。
3.因式分解的基本方法1）用样例说明因式分解的基本方法。
引导学生通过样例，了解如何因式分解，让学生掌握因式分解的基本方法。
2）例题：将3x²+12x分解为因式。
讲解例题的解法，让学生掌握因式分解的基本方法。
3）示范练习让学生自己完成几道题目，以巩固因式分解的基本方法。
同时，教师也可以根据不同的题型加以引导和讲解。
4.应用整式乘法和因式分解解决实际问题1）例题：一个长方形的宽是x+1，长度是x+4，其面积为（x+1）（x+4），求该长方形的周长。
讲解例题的解法，让学生掌握应用整式乘法和因式分解解决实际问题的方法。
2）示范练习让学生自己完成几道题目，以巩固应用整式乘法和因式分解解决实际问题的方法。
同时，教师也可以根据不同的题型加以引导和讲解。
四、教学总结通过本次课的学习，学生已经掌握了整式乘法与因式分解的基本方法，并且还学习了应用整式乘法和因式分解解决实际问题的方法。
教师可以通过课后习题，让学生进行巩固和总结。
同时，也可以适当引导学生发掘整式乘法和因式分解在实际中的更多运用，激发学生的兴趣。
寓教于乐：初中数学整式乘法与因式分解教案设计
寓教于乐：初中数学整式乘法与因式分解教案设计一、教学目标：1. 让学生掌握整式乘法的基本概念和方法，能够熟练地进行整式乘法运算。
2. 让学生理解因式分解的意义，掌握因式分解的方法，能够对简单的多项式进行因式分解。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，提高学生对数学学科的兴趣。
二、教学内容：1. 整式乘法的基本概念和方法。
2. 因式分解的意义和基本方法。
3. 实际例题分析和练习。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：整式乘法的方法和因式分解的方法。
2. 教学难点：整式乘法和因式分解的灵活运用。
四、教学方法：1. 采用问题导入法，引导学生思考和探索整式乘法和因式分解的意义和作用。
2. 通过实例分析和练习，让学生掌握整式乘法和因式分解的方法。
3. 采用小组合作学习法，让学生在小组内进行讨论和交流，提高学生的合作能力和解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入：通过问题导入，引导学生思考整式乘法和因式分解的意义和作用。
2. 讲解：讲解整式乘法的基本概念和方法，让学生掌握整式乘法的运算规则。
3. 练习：让学生进行整式乘法的练习，巩固所学的知识。
4. 讲解：讲解因式分解的意义和基本方法，让学生理解因式分解的作用。
5. 练习：让学生进行因式分解的练习，巩固所学的知识。
7. 作业布置：布置相关的练习题目，让学生进行巩固练习。
六、教学评价：1. 通过课堂提问，观察学生对整式乘法和因式分解的理解程度。
2. 通过课堂练习和作业，评估学生对整式乘法和因式分解的掌握情况。
3. 综合学生的表现和成绩，对学生的学习效果进行评价。
七、教学资源：1. PPT课件：制作整式乘法和因式分解的PPT课件，用于课堂讲解和展示。
2. 练习题库：准备一系列整式乘法和因式分解的练习题目，用于课堂练习和学生课后巩固。
3. 教学视频：收集一些整式乘法和因式分解的教学视频，用于学生自学和复习。
八、教学拓展：1. 邀请数学家或者相关领域专家进行讲座，分享整式乘法和因式分解在实际应用中的案例和经验。
数学人教版八年级上册第十四章 《整式的乘法与因式分解》 数学活动
数学活动2
53×57 =5×6×100+3×7 =3 021 38×32 =3×4×100+2×8 =1 216 84×86 =8×9×100+4×6 =7 224 71×79 =7×8×100+1×9 =5 609 归纳： 原十位上的数字加上1，再与自己相乘得到的结果 乘以100 ，再加上两个个位数相乘所得的结果，就是 十位数字相同，个位数字之和等于10 的两位数相乘 的积。
数学活动1
数学活动1
15×15 =1×2×100+25 =225； 25×25 =2×3×100+25 =625； 35×35 =3×4×100+25 =1225．
归纳： 原十位上的数字加上1，再与自己相乘得到的结 果乘以100 ，再加上25，就是十位数字相同，个位数 字为5的两位数的平方数的结果． 追问1 根据本章所学习的知识你能推导出所得到 的规律吗？ 追问2 你能再举几个具有这样特征的例子， 并用上述方法验证其正确性吗？
7224 )
你是怎么做的？有什么简便方法吗？
Байду номын сангаас
十位数字相同，个位数字 为5的两位数相乘 问题1 观察下列各式的特点，并计算结果： 15×15 = 25×25 = 35×35 = …… 问题2 你能发现这些结果与算式本身具有什么 样的关系吗？ 归纳：15×15 =1×2×100+25 =225； 由此，你能总结 25×25 =2×3×100+25 =625； 出一般规律吗？ 35×35 =3×4×100+25 =1 225．
第十四章
整式的乘法与因式分解
数学活动
热身运动：看看谁最棒！
请同学们在2分钟内算出下列各式的值：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十四章 数学活动
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数学活动1
十位数字相同，个位数字为5的两位数相乘的积的 规律:
问题1
我们共同来进行一个简单的数学计算：
15×15 =
25×25 =
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35×35 =
……
问题2 观察上述每一个算式及结果，你能发现这
些结果与算式本身具有什么样的关系吗？
数学活动1
数学活动1
验证：，个位数字为5，则
这个两位数可以写为a5，表示成10×a +5．
所以 （10×a +5）×（10×a +5）
=（10×a +5）2 =100a2 +2×10a×5 +52 =100a2 +100a +25 =100a（a+1）+25 ．
设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字 为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般 规律的式子（含a、b），并证明．
点此播放解答视频
数学活动2
53×57 =5×6×100+3×7 =3 021 38×32 =3×4×100+2×8 =1 216 84×86 =8×9×100+4×6 =7 224 71×79 =7×8×100+1×9 =5 609
30 =5×6 12 =3×4 72 =8×9 56 =7×8
21 =3×7； 16 =2×8； 24 =4×6； 09 =1×9．
…… 以上每个等式中： 两边的数字是分别对称的，且每个等式中的两位 数与三位数具有相同的组成规律，我们称这类等式为 “数字对称等式”．
布置作业
根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字 对称等式”： （1）52×______=______×25； （2）_______×396 =693×_______．
课堂总结
问题4 回顾刚才探究规律的过程，请思考：数学 活动1与数学活动2所得到的规律之间有什么相同的地 方？
它们的计算规律在实质上是相同的．都属于十位 数字相同，个位数字之和等于10 的两位数相乘．结果 都是十位数加1，再乘以十位数的得数写在结果的千位 和百位，两个个位数相乘的得数写在结果的十位和个 位．但数学活动1是数学活动2的特殊形式，数学活动2 是数学活动1的一般形式，它们都可以用活动2的规律 统
结果是，依次写下十位数加1，再乘以十位数所得 的结果，以及两个个位数相乘所得的结果．
数学活动2
规律： 十位数加1，再乘以十位数的得数写在结果的千位 和百位，两个个位数相乘的得数写在结果的十位和个 位．
符号表示： （ 1 0 a b ） （ 1 0 a 1 0 b ） = 1 0 0 a （ a 1 ） （ b 1 0 b ） .
追问1 除后两位数之外，结果中的百位数字或 千位数字与两位数的十位上的数字有什么关系呢？
观察：15×15 =225 2 =1×2； 25×25 =625 6 =2×3； 35×35 =1 225 12 =3×4．
归纳：15×15 =1×2×100+25 =225； 25×25 =2×3×100+25 =625； 35×35 =3×4×100+25 =1 225．
课堂练习
练习1 利用刚才所学的规律计算下列算式的结果： （1）78×72； （2）93×97； （3）95×95； （4）85×85．
课堂练习
练习2 拓展：
（1） 105×105 =
； （2）114×116 =
．
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布置作业
观察下列等式： 12×231 =132×21；13×341 =143×31； 23×352 =253×32；34×473 =374×43；
原十位数加 上1 再与自己相 乘，结果后面接 25即可．
数学活动2
探究十位数字相同，个位数字之和等于10 的两位 数相乘的积的规律：
问题3 类比上道题探究规律的过程，继续计算下 列两个数的积（这两个数的十位上的数相同，个位上 的数的和等于10），你能发现有什么规律？你能尝试 用本章所学的知识解释这个规律吗？
数学活动2
验证： 设十位为a，个位为b，则一个数为10a +b，另一个 数为10a +10-b，两数相乘： （10a +b）[10a +10 -b] =（10a +b）[10（a+1）-b] =10a ×10（a+1）-10ab +b ×10（a+1）-b2 =100a（a+1）+b（10-b）．