届高考数学一轮复习教学案二元一次不等式组及简单的线性规划问题含解析

第三节二元一次不等式(组)及简单的线

性规划问题

[知识能否忆起]

1．二元一次不等式(组)表示的平面区域

(1)在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面区域：

(2)二元一次不等式表示的平面区域的确定：

二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x 0，y 0)作为测试点来进行判定，满足不等式的，则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧．

2．线性规划中的基本概念

名称 意义

约束条件 由变量x ，y 组成的不等式(组)

线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数 关于x ，y 的函数解析式，如z ＝2x ＋3y 等

线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合

最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

[小题能否全取]

1.(教材习题改编)如图所示的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为( )

A ．2x －y －3＜0

B ．2x －y －3＞0

C ．2x －y －3≤0

D ．2x －y －3≥0

解析：选B 将原点(0,0)代入2x －y －3得2×0－0－3＝－3＜0，所以不等式为2x －y －3＞0.

2．(教材习题改编)已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≥1，y ≤2，

x －y ≤0，

则此不等式组表示的平面区域

的面积是( )

C ．1

解析：选A 作出可行域为如图所示的三角形，∴S △＝12×1×1＝1

2

.

3．(2012·安徽高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≥0，x ＋2y ≥3，

2x ＋y ≤3

则z ＝x －y 的最小值是

( )

A ．－3

B ．0

D ．3

解析：选A

根据⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≥0，x ＋2y ≥3，

2x ＋y ≤3

得可行域如图中阴影部分所示，根据z ＝x －y 得y ＝x －z ，平移

直线y ＝x ，当其经过点(0,3)时取得最小值－3.

4.写出能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是__________．

解析：由可行域知不等式组为⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≤0，0≤y ≤1，

2x －y ＋2≥0.

答案：⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≤0，0≤y ≤1，

2x －y ＋2≥0

5．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则所请工人数的约束条件是________．

答案：⎩⎪⎨⎪⎧

50x ＋40y ≤2 000，x ∈N *

，

y ∈N *

1.确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧

确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法． (1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；(2)特殊点定域，即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点；当C ＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．

2．最优解问题

如果可行域是一个多边形，那么目标函数一般在某顶点处取得最大值或最小值，最优解就是该点的坐标，到底哪个顶点为最优解，只要将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是．特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，其最优解可能有无数个．

典题导入

[例1] (2011·湖北高考)直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧

x ≥0，y ≥0，

x －y ≥－2，

4x ＋3y ≤20

表示的

平面区域的公共点有( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．无数个

[自主解答] 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)． 直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且斜率k ＝－2＜k AB ＝－4

3，即

直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)．

[答案] B

由题悟法

二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．

注意：不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．

以题试法

1．(1)(2012·海淀期中)若满足条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ≥0，x ＋y －2≤0，

y ≥a

的整点(x ，y )恰有9个，其中

整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )

A ．－3

B ．－2

C ．－1

D ．0

(2)(2012·北京朝阳期末)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，

x ≤a

所表示

的平面区域的面积是9，则实数a 的值为________．

解析：(1)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点，故选C.

(2)不等式组所表示的平面区域是如图所示的△ABC ，且A (－

2,2)，B (a ，a ＋4)，C (a ，－a )，若a ≤0，则有△ABC 的面积S △ABC ≤4，故a ＞0，BC 的长为2a ＋4，由面积公式可得△ABC 的面积S △ABC ＝1

2

(a ＋2)·(2a ＋4)＝9，解得a ＝1.

答案：(1)C (2)1