信息安全数学基础 课件2

于是m | (a b) (b c) a c, 故a c (mod m).
34
定理3 整数a , b模m同余的充要条件是 a , b被m除的余数相同.
证 设
a qm r , 0 r m, b q ' m r ', 0 r ' m
则 a b (q q ')m (r r ')
基本概念 定义1 给定一个正整数m , 如果对于整数a , b
有m | a b, 则a，b叫做模m同余,记作 a b (mod m ), 否则, 叫做模m不同余, 记作 a b (mod m ). 例1 因 7 | 29 1, 所以 29 1 (mod 7). 因 7 | 23 5, 所以 23 5 (mod7).
28
费马大定理
n>2是整数，则方程xn+yn=zn没有满足 xyz≠0的整数解 英国数学家怀尔斯于1995年证明
2015/12/22
29
本部分重点内容：
求解一次线性不定方程 练习：59—67
部分证明题答案在课件中
2015/12/22
30
同余的概念和基本性质
2015/12/22
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ31
2.1 同余的概念及其基本性质
ak 1000 ak 1 1000
k
k 1
a1 1000 a0
ak (1)k ak 1 (1)k 1 a1 (1) a0
(a0 a2 ) (a1 a3 ) (mod7)
因 1000 1 (mod11),1000 1 (mod13), 所以结论对于m 11或m 13也成立.
ak ak 1 a1 a0 0 (mod 3)
3 | ak ak 1 a1 a0
因 10 1 (mod 9), 所以同理可证 9 | n 9 | ak ak 1 a0
例7 设n 5874192, 因 5 8 7 4 1 9 2 36
a b mk
a b m a b m 于是 k , 因 , , 都是整数, 故 d d d d d d a b m (mod ) d d d
47
定理11 设m是正整数,a b (mod m ), 如果 d | m, d >0, 则 a b (mod d ).
证 因a b(mod m), 所以m | a b. 又因 d | m, 于是 d | a b.
因k1 k2 , k1 b2 k2 b1 k1 k2 m都是整数, 所以由 定理1有
a1 a2 b1 b2 (mod m ) a1a2 b1 b2 (mod m )
例5 因 39 4 (mod7)，22 1 (mod7), 所以
39 22 4 1 (mod7), 即61 5 (mod7)
a b km .
例2 因67 8 8 3, 所以67 3 (mod8).
33
定理 2 模m同余是等价关系, 即 (1) 对任一整数a , a a (mod m ); (3)若a b (mod m ), b c (mod m ), 则a c (mod m ) (传递性 ) (自反性 ) (2)若a b (mod m ), 则b a (mod m ); (对称性 )
2015/12/22 3
2015/12/22
4
2015/12/22
5
2015/12/22
6
2015/12/22
7
练习： 1. 求10x-7y=17的解 2. 求18x+24y=9的解
2015/12/22
1. x=1-7t；y=-1-10t 2. 无解
8
2015/12/22
9
2015/12/22
3 | 36, 9 | 36, 所以 3 | 5874192, 9 | 5874192.
41
定理7 设n有1000进制表示式 n ak 1000 a1 1000 a0 , 0 ai 1000,
k
则7(或11, 或13)整除n 7(或11, 或13)整除 (a0 a2 ) (a1 a3 ) ( 1) ai
信息安全数学基础
第2章 不定方程与同余
吴汉炜 180260006@qq.com
2015/12/22
1
主要内容
不定方程 同余
同余的基本概念与性质 剩余类与完全剩余系 简化剩余系与欧拉函数 欧拉定理、费马小定理 模重复平方计算法
2015/12/22
2
一、不定方程
一次不定方程：
我们关心的： 1. 方程何时有整数解？ 2. 如果有整数解，有多少解，解又是什么形式？
证 由a b (mod m) m | a b
mk | (a b)k ak bk
ak bk (mod mk )
46
定理10 设m是正整数,a b (mod m ), 如果 d 是a, b及m的任一公因数, 则 a b m (mod ). d d d
证 因a b (mod m), 所以存在整数k , 使得
证 (1) 因m | a a 0, 所以a a (mod m). (2)若a b (mod m), 则m | a b, 有m | b a, 于是
b a (mod m ).
(3)若a b(mod m), b c(mod m), 则m | a b, m | b c,
39 22 4 1 (mod 7), 即858 4 (mod 7)
37
例6 2003年5月8 日是星期五,问第22003 天是星期几?
解 因 2 2(mod 7), 22 4 (mod 7), 23 8 1(mod 7),
又 2003 667 3 2, 所以
k k
证 设 x y (mod m ), 于是有 x i y i (mod m), 0 i k
又 ai bi (mod m), 0 i k , 所以有
ai x bi y (mod m), 0 i k
i i
从而 a0 a1 x ak x b0 b1 y bk y (mod m )
22003 26673 2 (23 )667 22 1 4 4(mod 7)
故第22003 天是星期二.(星期五加4天)
38
定理5 若 x y (mod m ), ai bi (mod m ), i 0,1, 2, , k , 则 a0 a1 x ak x b0 b1 y bk y (mod m )
证 因a1 b1 (mod m), a2 b2 (mod m),由定理1
a1 b1 +k1 m (mod m), a2 b2 k2 m,
36
于是 a1 a2 b1 b2 (k1 k2 )m a1a2 b1b2 (k1b2 k2 b1 k1 k2 m )m
证 若 ad bd (mod m), 则m | ad bd ,即
m | d (a b )
因 (d , m) 1, 所以m | a b, 故
a b (mod m )
上面几个性质,其模m不发生变化,属于基本性质.
45
以下是模发生变化的几个性质.
定理9 设m是正整数,a b (mod m ), k 0, 则 ak bk (mod mk )
10
求n元一次方程解的方法：
2015/12/22
11
练习：求15x+10y+6z=61的解
2015/12/22
解： x=5+2t+6s y=-5-3t-6s z=6-5s
12
2015/12/22
13
2015/12/22
14
2015/12/22
15
2015/12/22
16
2015/12/22
满足xyz=0的解称为显然解；否则，称为非显然解 容易看出全体显然解是： 0，±a， ±a； ±a，0， ±a a ≥0 如果x，y，z是方程的非显然解，则对于任意的k， ±kx， ±ky， ±kz也是方程的非显然解；且对于 x，y，z的任意正公约数d， ±x/d， ±y/d， ±z/d也是方程的非显然解
17
2015/12/22
18
方程x2 y2 = z2
x2 y2 = z2
（1）
若(x, y, z)是方程(1)的解，则对于任何整数k，(kx, ky, kz)也是方程(1)的解 若(x, y) = k，则kz，(x, y, z) = k
2015/12/22
19
方程x2 y2 = z2 的解
定理4 设m是一个正整数，a1 , a2 , b1 , b2 是整数. 若 a1 b1 (mod m ), a2 b2 (mod m ), 则 (i) a1 a2 b1 b2 (mod m ) (ii) a1 a2 b1 b2 (mod m )
同余式可逐项相 加、减、乘
特别地, 若a b (mod m), 则ak bk (mod m)
2015/12/22
20
因此我们只需求满足下式的解，称为本原解： x>0,y>0,z>0,(x,y,z)=1 (2)
2015/12/22
21
2015/12/22
22
2015/12/22
23
2015/12/22
24
2015/12/22
25
2015/12/22
26
2015/12/22
27
2015/12/22
k k
39
定理6 设整数n有十进制表示式: n ak 10 ak 1 10
k k 1
a1 10 a0 , 0 ai 10
则 3 | n 3 | a k a k 1 a0 , 而 9 | n 9 | a k a k 1 a0 .
证 因10 1(mod3), ai ai (mod3),1i 1(mod3),
0 i k , 由定理5有
ak 10k ak 1 10k 1 a1 10 a0 ak ak 1 a1 a0 (mod 3)
40
所以
3 | n ak 10k ak 1 10k 1 a1 10 a0 0 (mod3)
i i 0 k
证 因 1000 1 (mod7), 所以
1000 (1) (mod7), 0 i k .
i i
即 1000 10003 10005 1 (mod 7), 10002 10004 10006 1 (mod 7),
42
于是
于是m | a b m | r r '. 但0 | r r ' | m, 所以 m | r r ' r r ' 0,即r r '.
例4 因 39 5 7 4, 25 3 7 4,
所以 39 25 (mod7).
35
整数间的同余关系还有以下性质 :
43
例8 设n 637693 637 1000 693, 有
a0 a1 693 637 56
因7 | 56, 而11 | 56, 13 | 56, 故
7 | 637693, 但11 | 637693, 13 | 637693.
44
定理8 设m是一个正整数,ad bd (mod m ), 如果(d , m ) 1, 则 a b (mod m )
同余的概念经常出现在日常生活中。例如： 时针是模12或24小时，分针和秒针是模60
32
二、基本定理及性质
定理1 设m是一个正整数,a , b是两个整数,则 a b (mod m ) 的充要条件是存在整数k , 使得a b km .
证 a b (mod m) m | a b
存在整数k使得a b km