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高一数学竞赛试题

一、选择题(每小题5分, 共40分, 每题仅有一个正确答案)

1.已知函数f (x )满足f (|

|2x x +)=log 2||x x , 则f (x )的解析式是( ) A.2-x B.log 2 x C. -log 2 x D.x -2

2.已知f (x )=1-21x -(-1≤x ≤0), 函数y =f (x +1)与y =f (3-x )的图象关于直线l 对称, 则直线l 的方程为( )

A.x =2

B.x =1

C.x =2

1 D.x =0 3.设f (x )是R 上的奇函数, 且在(0, +∞)上递增, 若f (

21)=0, f (log 4x )＞0, 那么x 的 取值范围是( )

A.x ＞2或21＜x ＜1

B.x ＞2

C.21＜x ＜1

D.2

1＜x ＜2 4.已知定义域为R 的函数y =f (x )在(0, 4)上是减函数, 又y =f (x +4)是偶函数, 则( )

A. f (5)＜f (2)＜f (7)

B. f (2)＜f (5)＜f (7)

C. f (7)＜f (2)＜f (5)

D. f (7)＜f (5)＜f (2)

5.若不等式2x 2+ax +2≥0对一切x ∈(0,2

1]成立, 则a 的最小值为( ) A.0 B. -4 C.-5 D. -6

6.已知定义域为R 的函数f (x )满足f (-x )= -f (x +2), 且当x ＞1时, f (x )单调递增.

如果x 1+x 2＜2, 且(x 1-1)(x 2-1)＜0, 则f (x 1)+f (x 2)的值( )

A.恒大于0

B.恒小于0

C.可能为0

D.可正可负

7.若函数f (x )=25-|x +5| -4×5-|x +5| +m 的图象与x 轴有交点, 则实数m 的取值范围是( )

A.m ＞0

B.m ≤4

C.0＜m ≤4

D.0＜m ≤3

8.对定义在区间[a , b ]上的函数f (x ), 若存在常数c , 对于任意的x 1∈[a , b ]有唯一的x 2∈[a , b ], 使得2

21)()(x f x f +=c 成立, 则称函数f (x )在区间[a , b ]上的“均值”为c . 那么, 函数f (x )=lg x 在[10, 100]上的“均值”为( )

A.10

1 B.10 C.43 D.23

二、填空题(每小题5分, 共30分)

9.已知集合A={x | 4-2k ＜x ＜2k -8}, B={x | -k ＜x ＜k },

若A ⊂ ≠B, 则实数k 的取值范围是____________________

10.若函数y =log a (2x 2+ax +2)没有最小值, 则a 的所有值的集合是_________________

11.集合P ={x |x =2n -2k , 其中n , k ∈N , 且n ＞k }, Q ={x |1912≤x ≤2018, 且x ∈N }, 那么, 集合P ∩Q 中所有元素的和等于_________

12.已知方程组⎩⎨⎧=-=+164log 81log 4log log 6481y x

y x 的解为⎩⎨⎧==11y y x x 和⎩⎨⎧==22y y x x , 则log 18(x 1 x 2 y 1 y 2)=________ 13.若关于x 的方程4x +2x m +5=0至少有一个实根在区间[1, 2]内,

则实数m 的取值范围是_________________

14.设card(P)表示有限集合P 的元素的个数. 设a =card(A), b =card(B), c =card(A ∩B),

且满足a ≠b , (a +1)(b +1)=2018, 2a +2b =2a +b -c +2c , 则max{a , b }的最小值是______

三、解答题(每题10分, 共30分)

15.设函数f (x )=|x +1|+|ax +1|.

(1)当a =2时, 求f (x )的最小值;

(2)若f (-1)=f (1), f (-a 1)=f (a

1)(a ∈R, 且a ≠1), 求a 的值 16.设函数f (x )的定义域是(0, +∞), 且对任意的正实数x , y 都有f (xy )=f (x )+f (y )恒成立. 已知f (2)=1, 且x ＞1时, f (x )＞0.

(1)求f (

21)的值; (2)判断y =f (x )在(0, +∞)上的单调性, 并给出你的证明; (3)解不等式f (x 2)＞f (8x -6) -1.

17.已知函数f (x )=log a (ax 2-x +

2

1)在[1, 2]上恒为正数, 求实数a 的取值范围.

(洪一平命题, 后附参考答案)

参考答案

1.C

2.B

3.A

4.A

5.C

6.B

7.D

8.D

9.(0, 4] 10.(0,1)∪[4,+∞) 11.3918 12. 12 13.]52,4

21[-- 14.58 15.(1)当a =2时, f (x )=|x +1|+|2x +1|=⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧-≥+-<<---≤--21,23211,1,23x x x x x x ∴当x ≤-1时, f (x )递减, 故f (x )≥f (-1)=1, 当-1＜x ＜-

21时, f (x )递减, 故f (x )＞f (-21)=2

1, 当x ≥-21时, f (x )递增, 故f (x )≥f (-21)=21, 因此, f (x )的最小值为21 (2)由f (-1)=f (1)得 2+|a +1|=|1-a | (*), 两边平方后整理得|a +1|= -(a +1)

∴ a ≤-1 ①

同理, 由f (-

a 1)=f (a 1)得2+|a 1+1|=|1-a 1|, 对比(*)式可得 a

1≤-1 ∴ -1≤a ＜0 ② 由①②得a = -1

16.(1)令x =y =1, 则可得f (1)=0, 再令x =2, y =

21, 得f (1)=f (2)+f (21), 故f (2

1)= -1 (2)设0＜x 1＜x 2, 则f (x 1) +f (12x x )=f (x 2) 即f (x 2) -f (x 1)=f (1

2x x ), ∵12x x ＞1, 故f (12x x )＞0, 即f (x 2)＞f (x 1) 故f (x )在(0, +∞)上为增函数 (3)由f (x 2)＞f (8x -6) -1得f (x 2)＞f (8x -6) +f (21)=f [2

1(8x -6)], 故得x 2＞4x -3且8x -6＞0, 解得解集为{x |4

3＜x ＜1或x ＞3} 17.题设条件等价于(1) 当a ＞1时, ax 2-x +2

1＞1对x ∈[1, 2]恒成立; (2)当0＜a ＜1时, 0＜ax 2-x +2

1＜1对x ∈[1, 2]恒成立. 由(1)得a ＞21)11(2112122-+=+x x x 对x ∈[1, 2]恒成立, 故得a ＞2

3. 由(2)得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+-->-+<21

)11(2121)11(2122x a x a 对x ∈[1, 2]恒成立, 故得21＜a ＜85. 因此, a 的取值范围是a ＞23或21＜a ＜85