数列知识点总结及题型归纳---含答案

数列

一、等差数列

题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。

例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a 题型二、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；

说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。

例：1.已知等差数列{}n a 中，124971

16a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64

2.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670

3.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ，则n a 为 n b 为 （填“递增数列”或“递减数列”）

题型三、等差中项的概念：

定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。其中2

a b

A += a ，A ，b 成等差数列⇔2

a b

A +=

即：212+++=n n n a a a （m n m n n a a a +-+=2） 例：1．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= （ ）

A ．120

B ．105

C ．90

D ．75

2.设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ） A ．1 B.2 C.4 D.8

题型四、等差数列的性质：

（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m

a a d n m

-=

-()m n ≠；

（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； 题型五、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22

n n n a a n n S na d +-=

=+n d

a ）（2n 2112-+=。(),(2

为常数B A Bn

An S n +=⇒{}n a 是等差数列 )

递推公式：2

)(2)()1(1n

a a n a a S m n m n n --+=+=

例：1.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=

（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 3.已知{}n a 数列是等差数列，1010=a ，其前10项的和7010=S ，则其公差d 等于( )

3

1

32

--

．．B A C.31 D.32

4.在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为（ ）

（A ）5 （B ）6 （C ）8 （D ）10

5.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）

A.13项

B.12项

C.11项

D.10项 6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则

9

5

S S = 8. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++=

9.设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ,若6312a s ==,则n a =

10．已知数列｛b n ｝是等差数列，b 1=1，b 1+b 2+…+b 10=100.，则b n = 11．设｛a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列｛n

S n

｝的前n 项和，求T n 。

12.等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知50302010==a a ，①求通项n a ；②若n S =242，求n

13.在等差数列{}n a 中，（1）已知812148,168,S S a d ==求和；（2）已知658810,5,a S a S ==求和； (3)已知3151740,a a S +=求

题型六.对于一个等差数列：

（1）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 偶-S 奇nd =； ②

1

n n S a

S a +=奇偶；

（2）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 奇-S 偶n a a ==中；②1

S n

S n =

-奇偶。 题型七.对与一个等差数列，n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。

例：1.等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）

A.130

B.170

C.210

D.260

2.一个等差数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为 。

3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-== 5．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若

36S S ＝13，则612

S

S ＝ A ．

3

10 B ．13 C ．18

D ．

1

9

题型八．判断或证明一个数列是等差数列的方法：

①定义法：）常数）（*

+∈=-N n d a a n n (1⇒{}n a 是等差数列

②中项法：)221*++∈+=N n a a a n n n （⇒{}n a 是等差数列

③通项公式法：),(为常数b k b kn a n +=⇒{}n a 是等差数列 ④前n 项和公式法：),(2

为常数B A Bn

An S n +=⇒{}n a 是等差数列

例：1.已知数列}{n a 满足21

=--n n a a ，则数列}{n a 为 （ ）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断 2.已知数列}{n a 的通项为52+=n a n ，则数列}{n a 为 （ ）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断

3.已知一个数列}{n a 的前n 项和422

+=n s n ，则数列}{n a 为（ ）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断

4.已知一个数列}{n a 的前n 项和2

2n s n =，则数列}{n a 为（ ）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断 5.已知一个数列}{n a 满足0212=+-++n n n a a a ，则数列}{n a 为（ ）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断

6．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2

，则{a n }是（ ）

A.等比数列，但不是等差数列

B.等差数列，但不是等比数列

C.等差数列，而且也是等比数列

D.既非等比数列又非等差数列

7.数列{}n a 满足1a =8，022124=+-=++n n n a a a a ，且 （*

∈N n ）

①求数列{}n a 的通项公式；

题型九.数列最值

（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；

（2）n S 最值的求法：①若已知n S ，n S 的最值可求二次函数2

n S an bn =+的最值；