第2章+确知信号

第2章 确知信号
【例2.3】试求图2-4中周期波形的频谱。
s(t) sin(t)
s(t) s(t 1)
0t 1 t
由式(2.2-1)：
s(t)
1
t
Cn
1 T
T / 2 s(t)e j 2nf0t dt
T / 2
1sin(t)e j2nt dt
2
0
(4n2 1)
s(t) 2
ga(t) 1
Ga(f)
0
t
-1/
1/
-2/
0
2/
f
(a) ga(t)
(b) Ga(f)
图2-5 单位门函数
矩形脉冲的带宽等于其脉冲持续时间的倒数，在这里它
等于(1/) Hz。
第2章 确知信号
【例2.5】试求单位冲激函数(函数)的频谱密度。
函数的定义：
(t)dt 1
(t) 0
t 0
函数的频谱密度：
0
t
-1/
1/
-2/
0
2/
f
(a) ga(t)
(b) Ga(f)
图2-5 单位门函数
第2章 确知信号
2.2.4 功率信号的功率谱密度
P( f ) C( f ) 2 ( f nf0) n
C(
f
)
Cn
0
f nf0 其他处
(2.2 48)
第2章源自文库确知信号
【例2.8】试求例2.1中周期性信号的功率谱密度。
功率信号：
归一化功率：P V 2 / R I 2 R V 2 I 2
平均功率P为有限正值：P
lim
T
1 T
T / 2 s 2 (t)dt
T / 2
能量信号的功率趋于0，功率信号的能量趋于
2.2 确知信号的频域性质
2.2.1 功率信号的频谱 2.2.2 能量信号的频谱密度 2.2.3 能量信号的能量谱密度 2.2.4 功率信号的功率谱密度
第2章 确知信号
课件制作：曹丽娜
通信原理（第7版） 樊昌信 曹丽娜 编著
主要内容提要
确定信号的分析方法回顾 确知信号的基本概念与类型 确知信号的频域性质 确知信号的时域性质
确定信号
周期信号：满足下列条件的信号称之为周期信号
f t f t T
周期信号的傅氏级数展开式为
f t a0
1
e j 2nt
n 4n 2 1
由于此波形为偶函数，故其频谱为实函数。
第2章 确知信号
2.2.2 能量信号的频谱密度
能量信号s(t) 的傅里叶变换：
S ( f ) s(t)e j2ft dt
S(f)的逆傅里叶变换为原信号：s(t) S ( f )e j2ft df
S(f)和Cn的主要区别：
第2章 确知信号
【例2.7】试求例2.4中矩形脉冲的能量谱密度
在例2.4中，已经求出其频谱密度： S( f ) Ga ( f ) sin c(f )
故由式(2.2-39)得出 G( f ) S( f ) 2 sin c(f ) 2 2 sin c(f ) 2
ga(t) 1
Ga(f)
(2.3-1)
自相关函数R()和时间t 无关，只和时间差 有关。
当 = 0时，R(0)等于信号的能量：
R(0) s 2 (t)dt E
R()是 的偶函数
(2.3-2)
R( ) R( )
(2.3-3)
自相关函数R()和其能量谱密度|S(f)|2是一对傅里叶变换：
S( f ) 2 R( )e j2f d
第2章 确知信号
2.2 确知信号的频域性质
2.2.1 功率信号的频谱
周期性功率信号频谱（函数）的定义
1
Cn C(nf0 ) T0
T0 / 2 s(t)e j 2nf0t dt
T0 / 2
(2.2 1)
式中，f0 ＝ 1/T0，n为整数，- < n < +。
s(t)
C e j 2nt / T0 n
s(t)
V , 0,
0t tT
s(t)
s(t) s(t T ),
t
V
由式(2.2-1) ：
-T
0 T
t
Cn
1 T
Ve j 2nf0t dt
0
1 T
V
j 2nf 0
e
j 2nf0t
0
V 1 e j 2nf0
V
1 e j 2n / T
T j2nf0
j 2n
因为此信号不是偶函数，其频谱Cn是复函数。
4
2
第2章 确知信号
2.3.3 能量信号的互相关函数
定义： R12 ( )
s1(t)s2 (t )dt,
性质：
R12()和时间 t 无关，只和时间差 有关。
R12()和两个信号相乘的前后次序有关： R21( ) R12 ( )
互相关函数R12()和互能量谱密度S12(f)是一对傅里叶变换
R12()和时间t 无关，只和时间差 有关。
R12()和两个信号相乘的前后次序有关： R21() = R12(-)
若两个周期性功率信号的周期相同，则其互相关函数的
定义可以写为
R12
(
)
1 T0
T0 / T0
2 /2
s1
(t
)
s2
(t
)dt,
式中 T0 －信号的周期
R12()和其互功率谱C12之间也有傅里叶变换关系：
f t
F
f
e j2ft df
关系式也可表示为
F f t e jtdt
f t 1 Fe jtd
2
能量信号：实信号若满足条件
f 2tdt
则称其为能量信号。对能量信号，有如下的帕塞瓦尔
定理
E f 2tdt 1 F 2d F f 2df
2
信号的能量谱密度(能量密度谱)定义为
所以， Cn
A 2
于是
Cn
2
A2 4
n 1
n 1
0 1
e j0t 2 ( 0 )
所以，s（t）的功率谱密度：e j0t 2 ( 0 )
P(
f
)
C(
n
f
)
2 (
f
nf0)
A2 4
(
f
f0)
A2 4
(
f
f0)
s（t）的自相关函数：
n 1
R( ) P( f )e j2f df A2 [e j e j ] A2 cos
f
)
lim
/2
/ 2
cos
2f 0te
j2ft dt
lim
2
sin[ (
(f
f f0 ) f0 )
]
sin[ ( (f
f f0 ) f0 )
]
lim sin c (
2
f
f0 ) sin c (
f
f0 )
参照式(2.2-28)，上式可以改写为
S( f
)
1 [ ( f
2
互功率谱定义：C12 (Cn )1* (Cn )2
R12 ( )
C e j 2nf0 12
n
R12 ( )
C12 ( f ) ( f
该例中信号的频谱已经求出，它等于式(2.2-14)：
Cn
V
T
sin c n
T
所以由式(2.2-48)： P( f ) C( f ) 2 ( f nf0 )
得出
n
P(
f
)
C(
n
f
) 2(
f
nf0 )
V
n T
2 sin c2 f
(
f
nf0 )
(2.2-50)
s(t)
V
t
-T
0
T
T T
T / 2
(2.3-11)
功率信号的自相关函数也是偶函数。
周期性功率信号：
自相关函数定义：
R( ) 1 T0 / 2 s(t)s(t )dt
T0 T0 / 2
(2.3-12)
R()和功率谱密度P(f)之间是傅里叶变换关系：
R( ) P( f )e j2f df
P( f ) R( )e j2f d
第2章 确知信号
【例2.9】试求周期性信号s(t) = Acos(t+)的自相关函数。
（1）求信号的功率谱密度，（2）对功率谱密度作逆傅里叶 变换，即可求出其自相关函数。
【解】由题意得：
0 1, f0 1/(2 ), T0 2
此周期性信号的傅里叶级数的系数为：
互能量谱密度的定义为：S12 ( f ) S1* ( f )S2 ( f )
R12 ( )
S12
(
f
)e
j 2f
df
S12 ( f )
R12
(
)e
j
2f
d
第2章 确知信号
2.3.4 功率信号的互相关函数
定义：R12 性质：
(
)
lim
T
1 T
T /2
T / 2 s1(t)s2 (t )dt,
( f )
(t)e j2ft dt 1
(t)dt 1
函数的物理意义：
一个高度为无穷大、宽度为无穷小、面积 为1的脉冲。
第2章 确知信号
【例2.6】试求无限长余弦波的频谱密度。
设一个余弦波的表示式为s(t)=cos2f0t，则其频谱密度S(f)
按式(2.2-21)计算，可以写为
S(
n
(2.2 2)
第2章 确知信号
【例2.1】 试求图2-2(a)所示周期性方波的频谱。
V , s(t) 0,
/2 t /2 / 2 t (T / 2)
s(t)
s(t) s(t T ),
t
V
由式(2.2-1)：
t
-T
0
T
/2
Cn
1 T
/
2
V
e
j
2nf0t
dt
/ 2
1 T
2.3 确知信号的时域性质
2.3.1 能量信号的自相关函数 2.3.2 功率信号的自相关函数 2.3.3 能量信号的互相关函数 2.3.4 功率信号的互相关函数
第2章 确知信号
2.3 确知信号的时域性质
2.3.1 能量信号的自相关函数
定义：
R( ) s(t)s(t )dt
性质：
V
j 2nf 0
e j 2nf0t
/2
V T
e e j 2nf0 / 2
j 2nf0 / 2
j 2nf 0
V
nf0T
sin nf0
V
T
sin c n
T
C
s(t)
C e j 2nf0t n
n
V
T n
sin c n
T
e j 2nf0t
n
第2章 确知信号
【例2.2】试求图2-3所示周期性方波的频谱。
E f F f 2
能量谱密度反映信号能量沿频谱的分布。
功率信号：实信号若满足条件
lim 1 T 2 f 2tdt
T T T 2
则称其为功率信号。 对功率信号，其截短函数定义为
fT
t
f
t
0
T 2t T 2 其他
截短函数的傅氏变换
FT
fT
t e jtdt
T2
T 2 fT
n1
an
c
osn0t
bn
sin
n0t
其中
a0
1 T
cT f tdt
c
an
2 T
cT c
f
t cosn0t dt
bn
2 T
cT c
f
t sin n0t dt
非周期信号：非周期信号可看作周期为无限大的信号
若非周期信号满足条件
f tdt
则存在如下傅氏变换和傅氏逆变换的关系式
F f f t e j2ftdt
1
Cn T0
T0 / 2 s(t)e j 2nf0t dt
T0 / 2
1 A cos(t )e jnt dt
2
A 2
e
j
sin(1 n) (1 n)
e j
sin(1 n) (1 n)
n 0,1,2,...
或
Cn
A e j 2 A e j 2
0
n 1
n 1 n 1
S(f)是连续谱，Cn是离散谱； S(f)的单位是V/Hz，而Cn的单位是V。
第2章 确知信号
【例2.4】试求一个矩形脉冲的频谱密度。
设
ga
(t )
1 0
t / 2 － 单位门函数
t /2
它的傅里叶变换为
Ga ( f )
/ 2 e j2ft dt
/ 2
1
j2f
(e jf e jf ) sin(f ) sin c(f ) f
t e jtdt
功率信号(续)：若下面的极限存在
lim ET lim FT 2
T T
T T
则将其定义为信号的功率密度谱
P lim FT 2
T T
或 P f lim FT f 2
T T
功率密度谱反映信号的功率沿频谱的分布特性。
信号的功率
P
1
2
Pd
P f
df
第2章 确知信号
确知信号
确知信号：取值在任何时间都是确定的和可预 知的信号。
第2章 确知信号
2.1 确知信号的类型
按照周期性区分：
周期信号：s(t) s(t T0 ), t
T0－信号的周期， T0 > 0 非周期信号
按照能量区分：
能量信号：能量有限， 0 E s2 (t)dt
f0) ( f
f0 )]
t
－f0
0
f0
(a) 波形
(b) 频谱密度
引用了冲激函数就能把频谱密度的概念推广到功率信号上。
第2章 确知信号
2.2.3 能量信号的能量谱密度
定义：由巴塞伐尔(Parseval)定理
E s2 (t)dt S( f ) 2df
(2.2-37)
将|S(f)|2定义为能量谱密度。
R( ) S ( f ) 2 e j2f df
第2章 确知信号
2.3.2 功率信号的自相关函数
定义：
R( ) lim 1
T /2
s(t)s(t )dt
T T T / 2
性质：
(2.3-10)
当 = 0时，自相关函数R(0)等于信号的平均功率：
R(0) lim 1 T / 2 s 2 (t)dt P