解析函数的幂级数表示法

=0
f ( z ) = ( z − z0 ) ϕ ( z ),ϕ ( z0 ) = 0, 其中 ϕ (z ) 在U内解析。
m
（2）如果 α1 ,α 2 ,..., α n ,... α 不全为零，并且对于正整数m， m ≠ 0, α 而对于n<m， n = 0, 那么我们说 z0 是f(z)的m阶 零点。 按照m=1，或m>1，我们说 z0 是f(z)的单 零点或m阶零点。 如果 z0 是解析函数f(z)的一个m阶零点，那么显 然在它的一个邻域U内
k k
定理4.1、2：
那么在D内，f(z)=g(z)。
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定理4.2的证明：
证明：假定定理的结论不成立。即在D内，解析 函数F(z)=f(z)-g(z)不恒等于0。显然
F ( zk ) = 0(k = 1,2,...)
设 在
z0 z0
是点列 {zk } 在D内有极限点。由于F(z) 连续，可见 F ( z0 ) = 0,
解析函数的唯一性
我们知道，已知一般有导数或偏导数的单实 变或多实变函数在它的定义范围内某一部分的函 数值，完全不能断定同一个函数在其他部分的函 数值。解析函数的情形和这不同：已知某一个解 析函数在它区域内某些部分的值，同一函数在这 区域内其他部分的值就可完全确定。 引理6.1 设f(z)是区域D内的解析函数。如果f(z)在D 内的一个圆盘内恒等于零，那么f(z)在D内恒等于 零。
都以0为聚点，由解析函数的唯一性定理， f(z)=z是在原点解析并满足
例3、
1 1 f( )= 2n 2n
的唯一的解析函数；但此函数不满足条件 1 f( ) = 0(n = 1,2,3,...) 2n − 1 因此在原点解析并满足这些条件的函数不存在； (2)、我们有 f ( 1 ) = 1 .
1 由解析函数的唯一性定理， f ( z ) = 1+ z
第四章 解析函数的幂级数表示法
第三节、 第三节、泰勒展式
解析函数的零点
设函数f(z)在
z0 的邻域U内解析，并且
f ( z0 ) = 0
那么称 z0 为f(z)的零点。设f(z)在U内的泰勒展 式是： 2 n f ( z ) = α1 ( z − z0 ) + α 2 ( z − z0 ) + ... + α n ( z − z0 ) + ... 现在可能有下列两种情形： α （1）如果当n=1,2,3,…时， n 那么f(z)在U内恒等于零。
解析函数的零点
因此存在一个正数 ε > 0 ，使得当0 <| z − z0 |< ε ϕ 时， ( z ) ≠ 0 。于是 f ( z ) ≠ 0. 换而言之，存在着 f(z)的唯一零点。
解析函数的零点
z0 的一个邻域，其中 z0是
定理5.1 设函数f(z)在 z0 解析，并且 z0 是它的一 个零点，那么或者f(z)在 z0 的一个邻域内恒等 于零，或者存在着 z0 的一个邻域，在其中 z0是 f(z)的唯一零点。 注解：此性质我们称为解析函数零点的孤立性。
引理4.1的证明：
证明：设在D内一个以为
我们只需证明在 K 0以外任一点 z '∈ D, f ( z ' ) = 0. 用D内的折线L连接 z0与z ' ，存在着一个正数 δ ，使得L上任一点与区域D的边界上任一点 的距离大于δ . 在L上依次取， z0 , z1 , z2 ,..., zn −1 , zn = z ' , 使z1 ∈ K 0 而其他任意相邻两点的距离小于
引理4.1的证明：
定理6.1 如果f(z)在区域D内解析，并且不恒等于 零，那么f(z)的每个零点 z0 有一个邻域，在 z0 其 中是f(z)唯一的零点。 定理6.2（解析函数的唯一性定理）设函数f(z)及 g(z)在区域D内解析。设 z k 是D内彼此不同的点 (k=1,2,3,…)，并且点列 {zk } 在D内有极限点。 如果， f ( z ) = g ( z )(k = 1,2,3,...)
z0 心的圆盘内 K 0 ， f ( z ) ≡ 0.
δ；
作每一点 z j 的 δ 邻域 K j ( j = 1,2,..., n) 显然，当j<n时，有 z j +1 ∈ K j ⊂ D (n) f 由于f(z)在 K 0 内恒等于零， ( z1 ) = 0(n = 1,2,...) 于是f(z)在 K1 内泰勒展式的系数都是零，从 而f(z)在 K1 内恒等于零。 一般地，已经证明了f(z)在 K j ( j ≤ n − 1) 内恒等 于零，就可推出它在 K j +1 内恒等于零，而最后 就得到 f ( z ' ) = 0 ，因此引理的结论成立。
是在原点解析并满足此条件的唯一的解析函数。
n
1 + 1/ n
例2、
例2、是否存在着在原点解析的函数f(z)，满足 下列条件： 1 1 1 ) = 0, f ( ) = ; （1）、f ( 2n − 1 2n 2n 1 n （2）、 f ( ) = . n n +1 其中n=1,2,3,…。
1 1 }及{ （n = 1,2,3,...) } 解：（1）、由于 { 2n − 1 2n
可是这时找不到 z0 的一个邻域，在其中 z0 是 F(z)唯一的零点，与解析函数零点的孤立性矛盾 。
例1、
例1、在复平面解析、在实数轴上等于sinx的函 数只能是sinz. 解：设f(z)在复平面解析，并且在实轴上等于 sinx，那么在复平面解析f(z)-sinz在实轴等于零 ，由解析函数的唯一性定理，在复平面解析上 f(z)-sinz=0，即f(z)=sinz。 注解：有关幂函数的和函数在其收敛圆上某些 点处解析，如第3段例1及例2，由解析函数的唯 一性定理，都不存在另一个解析函数，在收敛 圆内与和函数恒等，而收敛圆上和函数为解析 的点的邻域内，与它不恒等。