2001级河海大学硕士数值分析试卷

数 值 分 析 试 卷

姓名 学号 成绩

1. 填空(10分,每空2分)

1) 为了减少运算次数,应将表达式113141817162345---++x x x x x 改写为

.为了减少舍入误差的影响,应将表达式

20002001-改写为 .

2) 用二分法求方程0152)(3=--=x x x f 在区间[1,3]内的根,进行一步后根所在区间为 ,进行二步后根所在区间为 .

3) 在高斯顺序消去法中,)1(-k kk

a 称为第k 步主元.为使消去法得以顺利进行,必须 .

2. 选择题(10分,每题2分)

(1)设有求方程1=x xe 根的迭代公式k x k e x -+=1，取初值5.00=x ，则迭代公式

A. 发散

B. 敛散不定

C. 收敛

D. 不确定

(2)辛普森(Simpson)公式)]()2

(4)([6)(b f b a f a f a b dx x f b

a +++-≈⎰可由 A. 分段线性插值导出 B. 抛物插值导出 C. 线性插值导出 D. 分段抛物型插值导出

(3)矩阵A 满足什么条件时，LR A =且分解唯一（L 是单位下三角阵，R 是上三角阵）

A. 无限制

B. 对称

C. 可逆

D. 严格对角占优

(4)为什么要把解常微分方程的欧拉(Euler)方法发展为改进的欧拉方法？

A. 提高精度

B. 便于计算

C. 提高精度和便于计算

D. 稳定性需要

(5) 当0)(=x f 有m 重根时，牛顿(Newton)迭代公式中的迭代函数应为

A. )()()(x f x f x x '-=ϕ

B. )

()()(x f x f m x x '-=ϕ C. )()()(x f m x f x x '-

=ϕ D. )()()(x f x f mx x '-=ϕ

3. 简叙题(10分):何谓三次样条插值函数?

4. (10分)选取求积公式中的常数a ，使 )]()0([)]()0([2

)(0h f f a h f f h dx x f h

'-'++≈⎰ 的代数精度尽量高。试指出最高代数精度，并估计误差。

5.(10分)已知⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=121a a A ，试写出解b Ax =的Jacobi 迭代法收敛的充要条件。

6.(10分)用勒让德多项式作最佳平方逼近,求函数3

)(x x f =在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式.(1)(0=x P ,x x P =)(1,)13(2

1)(22-=x x P )

7.(10分)用幂法计算下述矩阵的按模最大特征值及对应的特征向量

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=310130004A

8.(10分)给定数据

求形如bx

a y +=

1的拟合函数。

9.(10分)已知方程0123=--x x 在=0x 1.5附近有根，试给出一个在0x 附近收敛的迭代格式.

10.(10分)设)(x f 充分可微，

1)试证明 )()(120

)(6)]()([21)(60)5(4

0)3(2

000h O x f h x f h h x f h x f h x f +----+=' 2)利用 )]()([21)(00h x f h x f h

h N --+= 求)(0x f '近似值，并给出外推一次的公式。