3.3.2 两点间距离教案
人教高一数学教学设计之《3.3.2两点间的距离》
人教高一数学教学设计之《3.3.2两点间的距离》一. 教材分析《高中数学新课程标准》是人教版高中数学教材的理论指导，该标准对高中数学的教学内容、教学方法、教学评价等方面都做了详细的规定。
其中，3.3.2《两点间的距离》是必修2中的一节内容。
本节内容主要介绍了两点间的距离公式，以及如何利用勾股定理求解直角三角形斜边上的高。
学生通过本节内容的学习，能够理解两点间距离的概念，掌握两点间距离的计算方法，为后续的立体几何和解析几何的学习打下基础。
二. 学情分析高一学生已经学习了初中数学的大部分内容，对函数、几何等数学概念有了一定的理解。
但是，对于一些抽象的数学概念，如两点间的距离，学生可能还比较陌生。
另外，由于疫情的影响，学生的学习方式和学习习惯可能发生了变化，因此，在教学过程中，需要关注学生的学习状态，引导学生逐渐适应高中数学的学习。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握两点间的距离公式，并能够运用该公式解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论等方式，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和创新精神。
四. 教学重难点1.教学重点：两点间的距离公式的推导和应用。
2.教学难点：两点间的距离公式的灵活运用，以及如何利用勾股定理求解直角三角形斜边上的高。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解两点间的距离概念。
2.启发式教学法：通过提问、讨论等方式，激发学生的思考，引导学生自主探索。
3.小组合作教学法：通过小组合作、讨论等方式，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，包括文字、图片、动画等，帮助学生直观地理解两点间的距离概念。
2.教学素材：准备一些实际问题，供学生练习使用。
3.教学设备：准备投影仪、计算机等教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的实际问题，如地图上的两个城市之间的距离，引导学生思考如何计算两点间的距离。
课件4：3.3.2 两点间的距离
即BF⊥AE.
【解析】设点P的坐标为(x,0)，
由|PA|=13得， (4 − )2 +(12 − 0)2 = 13,
解得x=-1或x=9.
∴点P的坐标为(－ 1,0)或(9,0).
3.已知点A(3，－1)，B
1 3
,
2 2
，C(3,4)，试判断△ABC的
形状．
解：由两点间的距离公式，得
|AB|＝
1
||.
2
证明：如图，分别以CA，CB所在直线为x轴、y轴建立
平面直角坐标系.设|CA|=b，|CB|=a，
则A(b,0)，B(0,a)，
所以|AB|= (−0) 2 + (0−) 2 = 2 + 2 .
由中点坐标公式得D
所以|CD|=
2
2
+
,
2 2
2
2
，
=
2 + 2
3.3.2 两点间的距离
学习目标
1.掌握平面内两点间的距离公式及应用.
2.了解坐标法的解题步骤.
知识梳理
1.两点间的距离公式
(1)公式：点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)间的距离公式
|P1P2|=
(2 −1 ) 2 + (2 −1 ) 2 .
(2)文字叙述：平面内两点间的距离等于这两点的横
2
=
1
|AB|.
2
综上所述,直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半.
课堂检测
1．已知点M(m，－1)，N(5，m)，且|MN|＝2 5 ，则
1或3
实数m＝__________.
2．已知点A(4,12)，在x轴上的点P与点A的距离等于13，
3.3.2 两点间的距离(教案)
问题解决最佳方案
问题解决最佳方案
9.已知三个点 ，试判断 的形状.
10.求证等腰梯形对角线相等.
教后反思
例2证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
【方法总结】
【自我检测】
1.已知点 ，则线段 的长是（）.
（A） （B） （C） （D）
2.一条平行于 轴的线段长是 个单位，它的一个端点是 ，则它的另一个端点 的坐标是（）.
（A） 或 （B） 或
（C） 或 （D） 或
3.以 为顶点的三角形是（）.
【感悟】
【基础练习】
1.求下列两点间的距离：
（1） （2）
（3） （4） .
2.已知点 与 间的距离是 ，求 的值.
问题解决最佳方案
问题解决最佳方案
3.在不同坐标系中，固定的两点 坐标是否相同？距离 是否相同.
已知点 且 ,求 的值.
【典型例题】
例1已知点 在 轴上求一点 ，使 ，并求 的值.
【方法总结】
（2）平面直角坐标系中， 两点间的距离公式：
.
（3）当 平行于坐标轴时，两点间的距离怎样？
若 轴时， ；
若 轴时， .
【感悟】
2.解析法（坐标法）
（1）解析法解决平面几何问题的步骤是：
①第一步：建立坐标系，用坐标表示有关问题；
②第二步：进行有关代数运算；
③第三步：拔代数运算结果“翻译”成几何关系.
（2）用坐标法解决平面几何问题时，建立坐标系对证明非常重要吗？一般应注意什么原则？
（A）直角三角形（B）等腰三角形（C）等边三角形（D）等腰直角三角形
4.在 轴与点 的距离为 的点的坐标是（）.
3.3.2两点间的距离学案
课题3.3.2 两点间的距离
一、学习目标
1. 掌握平面内两点间的距离公式及应用.
2. 了解坐标法的解题步骤.
二、教学重难点
教学重点：两点间的距离公式.
教学难点：两点间的距离公式的应用.
四、巩固诊断A组
1．已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则|AC|
|CB|
的值为( )
A.1
3
B.
1
2
C．3 D．2
2．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
B组
3．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是________．
4．点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为______________．
C组
5.用坐标法证明:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.。
【参考教案】《两点间的距离》(数学人教A版高中必修)
《3.3.2两点间的距离公式》教学设计【教学目标】1.知识与技能：（1）通过推导，了解两点间的距离的求法；（2）理解两点间距离的几何意义；（3）利用两点间的距离公式解决实际问题.法：通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力.3.情感态度价值观：（1）本节核心问题是让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。
培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想【重点难点】1.教学重点：通过逐步诱导推导出两点间距离公式2.教学难点：灵活应用距离公式解决实际问题.【教学策略与方法】1.教学方法：启发讲授式与问题探究式．2.教具准备：多媒体【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节一：引入如何判定两条直线平行？垂直？1.在平面直角坐标系中，根据直线的方程可以确定两直线平行、垂直等位置关系，以及求两相交直线的交点坐标，我们同样可以根据点的坐标确定点与点之间的相对位置关系.2.平面上点与点之间的相对位置关系一般通过什么数量关系来反映？结合问题情境展开思考利用问题引入，激发学生学习兴趣环节二：思考1 在x轴上，已知点P1(x1，0)和P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？学生思考作答通过思考引出本节所学新知。
新课讲解|P 1P 2|=|x 1－x 2|思考2 在y 轴上，已知点P 1(0，y 1)和P 2(0，y 2)，那么点P 1和P 2的距离为多少？ |P 1P 2|=|y 1－y 2| 思考3 已知x 轴上一点P 1(x 0，0)和y 轴上一点P 2(0，y 0)，那么点P 1和P 2的距离为多少？221200||PP x y =+思考4 在平面直角坐标系中，已知点P 1(2，－1)和P 2(－3，2)，如何计算点P 1和P 2的距离？22221212||5334PP PM P M =+=+=思考 5 一般地，已知平面上两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，利用上述方法求点P 1和P 2的距离可得什么结论？22122121||()()PP x x y y =-+-思考6 当直线P 1P 2与坐标轴垂直时，上述结论是否成立？思考7 特别地，点P(x ，y)与坐标原点的距离是什么？ 22||OP x y =+知识探究（二）：距离公式的变式探究思考1 已知平面上两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，直线P 1P 2的斜率为k ，则y 2－y 1可怎样表示？从而点P 1和P 2的距离公式可作怎样的变形？21221||||1PP x x k=-⋅+思考 2 已知平面上两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，直线P 1P 2的斜率为k ，则x 2－x 1可怎样表示？从而点P 1和P 2的距离公式又可作怎样的变形？122121||||1PP y y k =-⋅+21221212||||11||1PP x x ky y k =-⋅+=-⋅+思考3 上述两个结论是两点间距离公式的两种变形，其使用条件分别是什么？ 思考4 若已知12x x + 和12x x ⋅，如何求21||x x -？2211212||()4x x x x x x -=+-例1 已知点(1,2)A - 和(2,7)B ， 在x 轴上求一点P ，使|P A |=|PB |，并求|P A |的值.例2 已知△ABC 的三个顶点是A(－1，0)，B(1，0)，C(1/2，3/2)，试判断三角学生思考作答。
(完整版)高中数学：3.3.2《两点间的距离》教学案(新人教版A版必修2)
§ 3.3.2两点间的距离【教学目标】1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.3．体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题.【重点难点】教学重点：①平面内两点间的距离公式.②如何建立适当的直角坐标系.教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.【教学过程】一、导入新课、展示目标问题已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?二、检查预习、交流展示核对课前预习中的答案。
1、（1，0）；2、1并说出自己的疑惑处。
三、合作探究、精讲精练探究一平面内两点间的距离公式问题 (1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.教师①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求?②求点B(3，4)到原点的距离.③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).学生回答①|AB|=|x B-x A|,|CD|=|y C-y D|.②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5.③图1在直角坐标系中，已知两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，如图1,从P 1、P 2分别向x 轴和y 轴作垂线P 1M 1、P 1N 1和P 2M 2、P 2N 2，垂足分别为M 1(x 1，0)、N 1(0，y 1)、M 2(x 2，0)、N 2(0，y 2)，其中直线P 1N 1和P 2M 2相交于点Q.在Rt △P 1QP 2中，|P 1P 2|2=|P 1Q|2+|QP 2|2.因为|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2-x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2-y 1|， 所以|P 1P 2|2=|x 2-x 1|2+|y 2-y 1|2.由此得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-教师 ④(a)我们先计算在x 轴和y 轴两点间的距离.(b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形. (c)猜想了任意两点间距离公式.(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!应用示例例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B 的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.图2解:设B(x ，3)，根据|AB|=13，即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16.点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A 点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.变式训练1课本106页练习第一题例2 已知点A(-1，2)，B(2，7)，在x 轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. 解:设所求点P(x ，0)，于是有2222)70()2()20()1(-+-=-++x x .由|PA|=|PB|,得x 2+2x+5=x 2-4x+11,解得x=1.即所求点为P(1，0),且|PA|=22)20()11(-++=22.点评：引导学生熟练设点及应用距离公式。
3.3.2两点间的距离
3.3.2两点间的距离【三维目标】1.使学生掌握平面内两点的距离公式及推导过程，体会坐标法证明简单问题的重要性．2.能灵活运用平面内两点间距离公式和中点公式解决一些简单问题，培养学生勇于探索，善于发现，独立思考的能力．【教学重点】平面内两点的距离公式和中点公式，怎样建立适当的直角坐标系．【教学难点】怎样根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题．【课堂过程】导入新课已知平面上的点),(111y x P ，),(222y x P ，怎样求),(111y x P ，),(222y x P 的距离P P 21 ？推进新课1如果A,B 是x 轴上两点，C,D 是y 轴上两点，它们的坐标分别是1234,,,x x x x ，那么怎样求｜AB ｜,｜CD ｜?2求点()3,4B 到原点的距离3已知平面上的点),(111y x P ，),(222y x P ，怎样求),(111y x P ，),(222y x P 的距离P P 21 ？讨论结果.1｜AB ｜=｜12-x x ｜,｜CD ｜=｜34-x x ｜.2通过画简图，应用勾股定理得到距离是5.3两点的距离公式推导点),(111y x P ，),(222y x P 之间所连线段的中点P 坐标为 221x x x +=，221y y y +=。
说明公式对于P 1和P 2两点在平面内任意位置都是成立的试一试3：求下列两点的中点坐标在坐标系中，已知两点()()111222,y ,,P x P x y 如图在直角三角形12PQP中可以得到平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 之间的距离公式为12PP =当12x x =时， ｜12PP ｜=21||x x -也满足应用实例已知三角形的顶点是)2,7(),0,0(B A ，),4,1(-C ，求此三角形两条中线CE 和AD 的长度 （解题过程在书240页）中点公式平面直角坐标系中，已知两点),(111y x P ，),(222y x P 的中点P 坐标为1212++,22x x y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭例如点),(111y x P ，),(222y x P 之间所连线段的中点P 坐标为 巩固与练习课本本节练习课堂小结本节课掌握平面内两点的距离公式和中点公式，能熟练应用平面内两点间距离公式和中点公式解决一些简单问题布置作业课本习题3.3A 组6,7,8。
高中数学 3.3.2两点间的距离精品教案 新人教A版必修2
3.3.2 两点间的距离（一）教学目标1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。
2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。
；3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。
（二）教学重点、难点重点，两点间距离公式的推导；难点，应用两点间距离公式证明几何问题。
（三）教学方法备选例题例1 已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标【解析】设点P的坐标为 (x，0)，由|PA| = 10，得：10= 解得：x = 11或x = –5.所以点P 的坐标为(–5，0)或(11，0).例2 在直线l ：3x – y – 1 = 0上求一点P ，使得： （1）P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大； （2）P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小.【解析】（1）如图，B 关于l 的对称点B ′(3，3). AB ′：2x + y – 9 = 0 由290310x y x y +-=⎧⎨--=⎩ 解25x y =⎧⎨=⎩得P (2，5).（2）C 关于l 对称点324(,)55C '由图象可知：|PA | + |PC |≥|AC ′|当P 是AC ′与l 的交点1126(,)77P 时“=”成立，∴1126(,)77P .例3 如图，一束光线经过P (2，1)射到直线l ：x + y + 1 = 0，反射后穿过点Q (0，2)求：（1）入射光线所在直线的方程； （2）沿这条光线从P 到Q 的长度.【解析】（1）设点Q ′(a ，b )是Q 关于直线l 的对称点因为QQ ′⊥l ，k 1 = –1，所以21,10QQ b k a '-==-又因为Q ′Q 的中点在直线l 上，所以021022a b ++++= 所以21021022b a a b -⎧=⎪⎪-⎨+⎪++=⎪⎩得31a b =-⎧⎨=-⎩，所以Q ′(–3，–1)因为Q ′在入射光线所在直线l 1上，设其斜率为k ， 所以1(1)22(3)5k --==--l 1：21(2)5y x -=-即2x – 5y + 1 = 0（2）设PQ ′与l 的交点M ，由（1）知|QM | = |Q ′M | 所以|PM | + |MQ | = |PM | + |MQ ′| = |PQ ′所以沿这光线从P 到Q入射光所在直线方程为2x – 5y+ 1 = 0.。
高中数学3.3.2两点间的距离教案新人教A版必修2
人教课标A版2007必修2高一上学期3.3.2_两点间的距离教学设计教学目标：（一）知识与技能1．了解平面直角坐标系中两点间的距离公式的推导过程；2．理解平面直角坐标系中两点间的距离公式的结构特点；3．能熟练应用两点间的距离了公式解决相关问题；4. 能用两点间距离公式解决简单的平面几何问题。
（二）过程与方法1.通过公式的推导过程，让学生领会“数形结合”的数学思想与方法和从特殊到一般的认知规律；2. 通过公式的使用过程，让学生领会方程的数学思想与方法；3.充分利用情景教学、引导探究、讲练结合的方法，实现知识形成与技能提升。
（三）情感态度与价值观1. 体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题；2．让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养；3．感受数学的形式美和简洁美，从而激发学生的学习兴趣。
教学重点：两点间距离公式的理解及应用。
教学难点：理解两点间距离公式的推导过程。
教学方法：情景教学法、引导探究法、合作交流法、讲练结合法。
教学过程（一）创设情境，兴趣导入问题1：有一支工程队要在A、B两城之间铺设一条海底通讯光缆，他们首先要知道两城之间的距离，才能准备材料。
他们用GPS全球定位系统将两城的位置在平面直角坐标系中表示出来：A（10，22），B（-5,2）。
现在，你能帮他们求出A、B两城之间的距离吗？师：通过本节课的学习，我们就可以帮他们解决这个问题。
【师生活动】教师通过课件展示实例，让学生带着问题开始学习。
【设计意图】从建筑专业实际问题引入，让学生明白学有所用，激发学习兴趣。
【时间预设】1分钟 （二）温故知新，探究新知师：在初中，我们已经求过数轴上两点间的距离，那么请看问题2。
问题2：如何求数轴上A,B 两点间的距离？生：数轴上两点A,B 两点间的距离： 丨AB 丨=丨xx 12丨（教师在黑板上板书）【师生活动】教师提问，学生回顾已学知识。
3.3.2两点间的距离课件人教新课标
∴ 周长=AB+BC+AC=5+3+4=12。
例四
证明平行四边形四条边的平方和等 于两条对角线的平方和。
D
C
A
B
分析：第一建立适当的直角坐标系，用坐 标表示有关量，然后进行代数计算，最后把代 数计算的结果“翻译”成几何关系。
解：如图，以顶点A为坐标原点，AB所在直 线为x轴，建立直角坐标系，则有A(0,0)。
| DB |2 4b2 | AC |2 [a (a)]2 [c (c)]2 4(a2 c2 )
| BC |2 (a b)2c2, | CD |2 (a b)2 c2
2(| BC |2 | CD |2 ) 2[(a b)2 c2 (a b)2 c2]
4(a2 b2 c2 )
又因为 | AB || CD |,| BC || AD |,
所以结论成立。
即平行四边形四条边的平方和等于两 条对角线的平方和。
解决例4的问题，上面两种建系方法都比
较简单，但若是以A点位坐标原点，AB所在直
线为x轴建立直角坐标系的话，显然C,D点的坐
标将会变得比较复杂。
y
y
D(b,c) C(a+b,c) (-b,0)D
x2 2x 5 x2 4x 11 解得x=1，所以所求点P（1,0）
| PA | (1 1)2 (0 2)2 2 2
3.已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5)间的 距离等于10，求点P的纵坐标。
解：设点P的纵坐标为y，
| PN | (7 1)2 (y 5)2 10
解得：y=11，-1。 故点P的纵坐标11或-1。
4.已知AO是ΔABC中BC边的中线，证明 | AB |2 | AC |2 2(| AO |2 | OC |2 ).
两点之间距离公式教案
3.3.2两点之间的距离公式一、教学目标1.知识技能目标：经历探索两点间的距离公式的过程，了解公式的几何背景，熟记两点之间的距离公式，运用两点之间的距离公式，解决相关数学问题。
2.过程方法与目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力，使学生明白从特殊推出一般的思想。
3.情感态度价值观：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。
二、教学重、难点1. 教学重点：两点之间距离公式的推导过程及运用；2. 教学难点：使学生明白推导两点之间距离公式时辅助线的构造，运用勾股定理推导两点之间距离公式，使学生明白如何用特殊推出一般的思想，以及两点之间距离公式灵活运用。
三、教学过程（一）、问题导入：李村的坐标为A(-2,-1)，王村的坐标为B(2，3),现在A，B两点之间修一条马路，请问最短距离为多少？这就是我们今天本节课所学要解决的问题，请大家根据下面的学习回头解决这个问题。
（二）、探究练习：探究练习：迅速在直角坐标系内画出以下两点，并连接，观察并求下列两点间的距离。
（1）A(3,0) B(-2，0) (2)C （0,3） D(0，-5)=AB =CD(3)E(4，1) F(-1，1) (4)P(-2，4) Q(-2，-1)=EF =PQ总结归纳由以上习题可得：1. 平行或重合于x 轴上的）（0,y x A A ，),(0y x B b 两点的距离为;横坐标差值=-=-=a b b a x x x x AB2. 平行或重合于y 轴上的）（A y x A ,0，),(0B y x B 两点的距离为;=AB = =（三）、小组讨论解答遗留问题：李村的坐标为A(-2,-1)，王村的坐标为B(2，3),现在A，B两点之间修一条马路，请问最短距离为多少？讨论方式：1.在直角坐标系内画出两点，并连接AB两点2.能否观察得出两点的距离3.若能观察出，请问如何观察的，其中有无计算，如何计算的4.说出计算过程（四）、由特殊到一般的推导：思考：已知平面上点),(111y x P ，),(222y x P ，如何求出21P P 两点的距离，并推导出一个两点间的距离公式。
教学设计 两点间的距离
3.3.2两点间的距离教案
教材分析：距离的概念，在日常生活中经常遇到，学生在初中也已经接触过。
高中阶段的许多距离都转化为两点间的距离。
在平面直角坐标系内任意两点间距离是解析几何重要的基本概念和公式，它为以后学习圆锥曲线、动点到定点的距离、动点到定直线的距离打下基础，为探求圆锥曲线方程打下基础。
学情分析：解析几何是通过代数运算来研究几何图形的形状、大小和位置关系的，在此之前，学生已学习了直线的方程、两直线的交点坐标，学习本节课的目的是让学生知道平面直角坐标系内任意两点间距离的计算公式，以及用坐标法证明平面几何问题的知识，让学生体会建立适当坐标系对于解决问题的重要性。
教学目标：
1.知识与技能：使学生掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；通过具体的例子来体会坐标法证明简单几何问题的过程与步骤。
2.过程与方法：培养学生观察、分析、类比、概括的能力，数形结合的能力。
3.情感、态度、价值观：通过创造情境激发学生学习数学的兴趣和热情，鼓励合作交流。
教学重难点：平面内两点间的距离公式及如何建立适当的直角坐标系解决问题。
教学方法和手段：
1.教学方法：启发式教学、对话式教学
2.教学手段：多媒体
教学设计：。
3.3.2两点间的距离
必修2 3.3.2俩点间的距离一、教学目标1、知识与技能：（1）掌握直角坐标系俩点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。
（2）理解并记忆两点间距离公式，能正确应用公式并通过对公式的应用解决实际问题。
（3）经历探索两点间的距离公式的过程，了解公式的几何背景，熟记两点之间的距离公式，运用两点之间的距离公式，解决相关数学问题。
2、过程与方法：（1）通过俩点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。
（2）学习“解析法”，培养学生“数学结合”的思维习惯。
（3）培养学生严密而准确的数学表达能力。
（4）培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作能力，使学生明白从特殊推出一般的思想。
3、情感与价值观：（1）体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。
（2）以实例的讲解，激发学生学习兴趣。
（3）体会事物的内在联系，突出“解析法”，进行数学思维培养。
（4）培养学生的合作意识，锻炼学生的合作解决问题的能力（5）通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。
二、教学重点、难点、关键点重点：（1）俩点间距离公式的推导过程及运用；（2）两点间距离公式及公式的运用；难点：（1）应用俩点间距离公式证明几何问题；（2）两点间距离公式的理解；（3）使学生明白推导两点之间公式时辅助线的构造，运用勾股定理推导两点之间距离公式，是学生明白如何用特殊推出一般的思想，以及两点距离公式灵活运用。
教学关键：理解并正确应用两点间距离公式三、课堂导入（1）复习引入复习数轴上俩点的距离公式设问一：同学们能否用以前所学知识解决一下问题已知俩点||),(),,(p p 21222111求y x p y x p 。
设计意图：设置情景，导入新课四、教材分析“俩点间的距离”是学生学习直线方程的基础，我们知道俩条直线相交后，进一步的量化关系式角度，俩条直线平行后，进一步的量化关系是距离，平行线间的距离是通过点到直线距离来解决的，而俩点间的距离是研究点到直线的距离的前提，此外在研究直线与圆的位置关系、曲线上的点到直线的距离以及解析几何中解三角形的计算等问题时，都要涉及俩点间的距离，所以“两点间的距离公式”是平面解析几何的一个重要知识点。
高中数学人教A版必修2《3.3.2两点间的距离》教学案1
必修二 3.3.2两点间的距离教案一、教学目标1、知识与技能：（1）能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；（2）掌握直角坐标系两点间的距离公式，会用坐标法证明简单的几何问题。
2、过程和方法：（1）学习两直线交点坐标的求法，判断两直线位置的方法，归纳过定点的直线系方程；（2）推导两点间距离公式，充分体会数形结合的优越性。
3、情感态度与价值观：通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内的联系，能用代数方法解决几何问题。
二、教学重点、难点重点：判断两直线是否相交，求交点坐标；两点间距离公式的推导。
难点：两直线相交与二元一次方程的关系，应用两点间距离公式解决几何问题。
三、教学方法：启发引导式在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的的相互关系。
引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题。
由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。
四、教学过程：（一）两条直线的交点坐标1、设置情境，导入新课问题1：已知两条直线l1：3x + 4y– 12 = 0，l2：2x + y + 2 = 0相交，求这两条直线的交点坐标。
问题2：已知两条直线l1：A1x + B1y + C1 = 0，l2：A2 x + B2y + C2 = 0相交，如何求这两条直线的交点的坐标？2、讲授新课几何元素中，点A可用坐标A (a , b) 表示，直线l可用方程Ax + By + C = 0表示，因此，求两条直线的交点坐标，可联立方程组求解（代数方法）。
结论：（1）若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；（2）若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；（3）若方程组有无数解，则两条直线重合。
练习：课本P104，练习1。
3、探究：当λ变化时，方程3x + 4y– 2 + λ(2x + y + 2) = 0表示什么图形？图形有何特点？演示：借助几何画板作出方程所表示的图形，改变的值。
两点间距离教案
在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。
二，例题解答，细心演算，规范表达。
例1 ：以知点A（-1，2），B（2， ），在x轴上求一点，使 ,并求 的值。
解：设所求点P（x，0），于是有
由 得
解得 x=1。
所以，所求点P（1，0）且 通过例题，使学生对两点间距离公式理解。应用。
设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为
所以，
所以，
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：
第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的ห้องสมุดไป่ตู้。
第二步：进行有关代数运算。
第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。
思考：同学们是否还有其它的解决办法？
解法二：由已知得，线段AB的中点为 ，直线AB的斜率为k=
线段AB的垂直平分线的方程是 y-
在上述式子中，令y=0，解得x=1。
所以所求点P的坐标为（1，0）。因此
同步练习：书本112页第1，2 题
三．巩固反思，灵活应用。（用两点间距离公式来证明几何问题。）
例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
第课时第周年月日星期
课题
3.3.2直线与直线之间的位置关系-两点间距离
教学目标
知识与能力
掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。
过程与方法
通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。
育人目标
让学生们从距离出发，感受人与人之间距离的，在亲密度不同时应注意人与人之间的距离
两点间的距离教案
课 题：§3.3.2 3.3.2 两点间的距离两点间的距离 教学目标：（一）知识与技能目标（一）知识与技能目标1、理解直角坐标系中任意两点间的距离；2、掌握两点间距离公式的应用、掌握两点间距离公式的应用..3、通过两点间距离公式的推导，培养学生探索问题的能力和运用知识的能力； （二）数学思考（二）数学思考1、培养学生数学思考的严密性和条理性，体会事物之间的内在联系2、加深对数形结合以及由特殊到一般的思想的认识、加深对数形结合以及由特殊到一般的思想的认识. . （三）解决问题（三）解决问题1、初步学会从数学角度提出问题、理解问题，并能运用所学知识与技能解决问题 （四）情感目标（四）情感目标1、感受数学的形式美和简洁美，从而激发学生的学习兴趣、感受数学的形式美和简洁美，从而激发学生的学习兴趣..教学重点：两点间距离公式的理解及应用两点间距离公式的理解及应用.. 教学难点：理解两点间距离公式的推导过程理解两点间距离公式的推导过程教学方法：探究研讨法，讲练结合法等探究研讨法，讲练结合法等.. 教学准备(教具)：直尺，彩色粉笔直尺，彩色粉笔.. 课 型：新授课 教学过程（一）创设情景，引入课题（一）创设情景，引入课题师：我们在初中的时候学过数轴上两点间的距离公式，大家回忆一下怎样求数轴 上两点间的距离．上两点间的距离．问题1：如图，设数轴x 上的两点分别为A 、B ，怎样求AB ? 生：|AB|=|b-a|．师：那么怎样求直角坐标系中两点间的距离呢？这节课我们就来探讨一下直角坐标系中两点间的距离的求法．（在黑板上书写课题）写课题） （二）探究新知（二）探究新知师：首先我们在直角坐标系中给定两点，看看怎样求它们之间的距离．（师生研讨）（师生研讨） 请同学们解决以下问题：请同学们解决以下问题：问题2：如图，在直角坐标系中，点C （4,34,3）），D (4,0)(4,0)，，E （0,30,3））如何求C 、D 间的距离间的距离||CD |,C 、E 间的距离间的距离||CE |及原点O 与C 的距离的距离||OC |？ （让学生思考一分钟，请学生回答）（让学生思考一分钟，请学生回答） 生：生：||CD |=|3-0|=3 |CE |=|4-0|=4在CDO Rt D 中，用勾股定理解得：中，用勾股定理解得：||OC |=2234+=5 师：那么，同学们能否用以前所学知识解决以下问题：问题3：对于直角坐标系中的任意两点1P （1x ，1y ）、2P （2x ，2y ），如何求1P 、 1P 的距离12PP ？从1P 、2P 这两点的位置来看，我们用以前所学知识很难解决这个问题．很难解决这个问题．师：根据问题2中求原点O 到C 的距离的距离||OC |，构造直角三角形，再用勾股定理计算的方法，我们想求解问题3是不是也可以构造一个直角三角形．是不是也可以构造一个直角三角形．如右图，过点1P 分别向轴x 和y 轴作垂线11P M 和11P N ，垂足分别为1M （1x ，0）和1N (0，1y )，过点2P 分别向轴x 和y 轴作垂线22P M 和22P N ，垂足为2M (2x ，0)和 2N （0，2y ），延长直线11P N 与22P M 相交于点Q ．则12PQP D 是直角三角形。
3.3.2两点间的距离 优秀教案
3.3直线的交点坐标与距离公式【课题】：3.3.2两点间的距离公式【教学目标】：（（1）知识与技能：掌握平面坐标系上任意两点的距离公式及应用；（2）过程与方法：理解化归是数学解题的重要手段，体会坐标法的基本思想。
（3）情感态度与价值观：形与数的联系和转化,体现事物间的联系.【教学重点】：平面内任意两点间的距离公式的推导及应用。
【教学难点】：公式的推导和灵活应用有。
【教法、学法设计】：问题、探究、发展教学，讲授、练习相结合。
【课前准备】：课件++，判断sx y2414【练习与测试】：1．求两点12(3,5),(1,2)P P -间的距离； 2．在X 轴上有和原点及点（5，-3）等距离的点，求此点的坐标； 3．已知A(5,-8),B(-3,6) 延长AB 至点P 点使|PB|=21|AB|,求P 点坐标； 4．如果点A(x,4)与点B(0,-2)的距离是10个单位，求A 的位置； 5．求证以A(-6,8)、B(6,-8)、C(8,6)为顶点的三角形是等腰三角形； 6．已知点P 到两条坐标轴及点（3，6）距离相等，求点P 的坐标；7．若)1,1(),3,2(B A --，点)2,(a P 是AB 的垂直平分线上一点，则=a ___________； 8．在平行四边形ABCD 中，顶点A 、B 、C 的坐标各为（-1，-1），（5，-1），（3，5）。
求顶点D 的坐标；9．已知,x y 满足221x y +=10．已知01,01x y <<<<，求证：,xy≥，并求使等式成立的条件. 参考答案： 1．5，2．17,05⎛⎫⎪⎝⎭， 3．解：设P （x,y ），利用P 在直线AB 上得x,y 的一个式子，再利用|PB|=21|AB|得x,y 的另一个式子，联解即可得713x y =-⎧⎨=⎩，即P （-7，13）。
410=，解得8x =±，故(8,4)A ±。
5．解：运用两点间的距离公式有BC AC ==A ，B ，C 不共线，故ABC∆是等腰三角形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
张喜林制§3.3.2两点间的距离【教学目标】1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.3．体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题.【重点难点】教学重点：①平面内两点间的距离公式.②如何建立适当的直角坐标系.教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.【教学过程】一、导入新课、展示目标问题已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?二、检查预习、交流展示核对课前预习中的答案。
1、（1，0）；2、1并说出自己的疑惑处。
三、合作探究、精讲精练探究一平面内两点间的距离公式问题 (1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.教师①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求?②求点B(3，4)到原点的距离.③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).学生回答①|AB|=|x B-x A|,|CD|=|y C-y D|.②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5.③图1在直角坐标系中，已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，如图1,从P1、P 2分别向x 轴和y 轴作垂线P 1M 1、P 1N 1和P 2M 2、P 2N 2，垂足分别为M 1(x 1，0)、N 1(0，y 1)、M 2(x 2，0)、N 2(0，y 2)，其中直线P 1N 1和P 2M 2相交于点Q. 在Rt △P 1QP 2中，|P 1P 2|2=|P 1Q|2+|QP 2|2.因为|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2-x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2-y 1|， 所以|P 1P 2|2=|x 2-x 1|2+|y 2-y 1|2.由此得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-教师 ④(a)我们先计算在x 轴和y 轴两点间的距离.(b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形. (c)猜想了任意两点间距离公式.(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!应用示例例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B 的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.图2解:设B(x ，3)，根据|AB|=13，即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16.点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A 点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.变式训练1课本106页练习第一题例2 已知点A(-1，2)，B(2，7)，在x 轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. 解:设所求点P(x ，0)，于是有2222)70()2()20()1(-+-=-++x x .由|PA|=|PB|,得x 2+2x+5=x 2-4x+11,解得x=1.即所求点为P(1，0),且|PA|=22)20()11(-++=22.点评：引导学生熟练设点及应用距离公式。
变式训练2课本106页练习第二题.探究二 建立适当的坐标系应用代数问题解决几何问题例3证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.解析：首先要建立适当的坐标系，用坐标表示有关量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系。
这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。
证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。
设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为所以，()22222222AB CD AD BC a b c+++=++()222222ACBD a b c +=++,所以，2222AB CD AD BC +++ = 22ACBD +因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
点评 上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下： 第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。
第二步：进行有关代数运算。
第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。
思考：同学们是否还有其它的解决办法？ 还可用综合几何的方法证明这道题。
变式训练：已知0＜x ＜1,0＜y ＜1,求使不等式222222)1()1(y x y x y x +-+-+++ 22)1()1(y x -+-+≥22中的等号成立的条件.解析：此题需要学生将不等式转化为平面内两点间的距离问题来研究。
数形结合。
答案：x =y=21 点评：强调数形结合，转化划归来解决问题。
建立适当的直角坐标系，来解决问题很有必要。
当堂检测导学案当堂检测 课堂小结通过本节学习，要求大家:①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程； ②能灵活运用此公式解决一些简单问题；③掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题. 【板书设计】一、两点间距离公式 二、例题 例1 变式1 例2 变式2 例3 变式3【作业布置】课本习题3.3 必做题 A 组6、7、8； 选做题B 组6.及 导学案课后练习与提高§ 3.3.2两点间的距离课前预习学案一、预习目标1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题. 2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性. 3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题.二、预习内容（一）巩固所学1．直线0mx y m +-=，无论m 取任意实数，它都过点 .2．若直线111:1l a x b y +=与直线222:1l a x b y +=的交点为(2,1)-，则112a b -= .（二）探索新知，提出疑惑预习教材P104~ P106，找出疑惑之处 三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中疑惑点疑惑内容并回答下列问题：1.已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则｜P 1P 2｜ = （ ）. 特殊地：(,)P x y 与原点的距离为 ｜P 1P 2｜= （ ）.2.特别地，当P 1P 2平行于x 轴时，｜P 1P 2｜= （ ）； 当P 1P 2平行于y 轴时，｜P 1P 2｜=（ ）课内探究学案一、学习目标1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题. 2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性. 3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题.学习重点：①平面内两点间的距离公式. ②如何建立适当的直角坐标系.学习难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题 二、学习过程问题 已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?探究一 平面内两点间的距离公式问题 (1)如果A 、B 是x 轴上两点，C 、D 是y 轴上两点，它们的坐标分别是xA 、xB 、yC 、yD ，那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.（4）同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程) 得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B 的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.图2变式训练1课本106页练习第一题例2已知点A(-1，2)，B(2，7)，在x轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.变式训练2课本106页练习第二题.探究二建立适当的坐标系应用代数问题解决几何问题例3证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.上述解决问题的基本步骤学生归纳如下：思考：同学们是否还有其它的解决办法？还可用综合几何的方法证明这道题。
变式训练：已知0＜x＜1,0＜y＜1,求使不等式2)22222+--+x+++)1(y1(xyxy2)2-+≥22中的等号成立的条件.+1(y1()x-学习小结1.坐标法的步骤：①建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；②进行有关的代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系.当堂检测1.在x 轴上求一点P ，使P 点到A(-4，3)和B(2，6)两点的距离相等.2.求在数轴上，与两点A(-1,3),B(2,4)等距离的点的坐标.3.已知三点A(3，2)、B(0，5)、C(4，6)，则△ABC 的形状是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形4.以A(5,5)、B(1,4)、C(4,1)为顶点的△ABC 的形状是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形参考答案1. 解:设点P 坐标为(x,0)，由P 点到A(-4，3)和B(2，6)两点的距离相等及两点间的距离公式，可得x=43，即点P 坐标为(43,0).2.答案：(35,0)或(0,5). 3.解:由两点间的距离公式，可得|AB|=18≠|BC|=|CA|=17，故选C. 答案：C 4.答案：C课后巩固练习与提高1.点M(x,xy)、N(y,xy )之间的距离为( )A.|x+y|B.x+yC.|x-y|D.x-y2.光线从点A(-3，5)射到x 轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A 到B 的距离为( )A.25B.52C.105D.510 3.已知A(3，-1)、B(5，-2)，点P 在直线x+y=0上，若使｜PA ｜+｜PB ｜取最小值，则P 点坐标是( )A.(1，-1)B.(-1，1)C.()D.(-2，2)4.已知A(1，3)、B(5，-2)，点P 在x 轴上，则使｜AP ｜-｜BP ｜取最大值的点P 的坐标是( )A.(4，0)B.(13，0)C.(5，0)D.(1，0)5.已知A(a ，3)、B(3，3a+3)两点间的距离是5，则a 的值为_____________.6.以A(-1，1)、B(2，-1)、C(1，4)为顶点的三角形是______________三角形.7.已知△ABC 的顶点坐标为A(3，2)，B(1，0)，C(，)，则AB 边上的中线CM 的长为_____________________.8.若2a-b=3，求证：三点A(-2，3)、B(3，a)、C(8,b)在一条直线上.9.如图3-3-3，△ABD 和△BCE 是在直线AC 同侧的两个等边三角形，试证明AE=CD.图3-3-310.用坐标法证明等腰梯形的两条对角线长相等.参考答案1．思路解析: 思路解析:考查平面上两点间距离公式. MN=2222y 2xy x )xy -xy (-y)-(x ++=+=|x+y|.故选A.2. 思路解析:直接求本题较为麻烦，可以通过对称问题求解.A(-3,5)关于x 轴的对称点 A′(-3，-5)，则｜A′B ｜即为所求，由两点间距离易求得｜A′B ｜=105.答案:C3. 思路解析:点A(3，-1)关于直线x+y=0的对称点为A′(1，-3)，连结A′B 与直线x+y=0的交点即为所求的点，直线A′B 的方程为y+3=1532-+-(x-1)，即y=41341-x ，与x+y=0联立,解得x=513，y=513-.答案:C4. 思路解析:点A(1，3)关于x 轴的对称点为A′(1，-3)，连结A′B 交x 轴于点P ，即为所求.直线A′B 的方程是y+3=1532-+-(x-1)，即y=41341-x .令y=0，得x=13. 答案:B5. 思路解析:由两点间距离公式得｜AB ｜=53)-3a -(33)-(a 22=+，解之,可得a=-1或58. 答案:-1或58 6.思路解析:本题主要是考查平面上两点间距离公式和三角形形状的判断.目前，判断三角形的形状主要是利用三角形的三边关系.而知道三角形的三个顶点求三角形的三边，主要是利用平面上两点间的距离公式.由两点间的距离公式可得|AB|=131)-(-11)(222=++. 同理可得|AC|=13，|BC|=26.所以|AB|=|AC|.又AB 2+AC 2=BC 2=26，所以△ABC 为等腰直角三角形. 答案:等腰直角7.答案: 思路解析:由中点公式得AB 的中点的坐标为M(2，1). 由两点间的距离公式，有|CM|=61)-3-(12)-3(222=++.∴AB 边上的中线CM 的长为6. 答案:69.思路解析:本题是证明两线段的相等问题，可以通过坐标法来证，这就需要根据图形的特征建立直角坐标系，得出相关点的坐标，通过两点间距离公式证明相等.解:以B 为原点，AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设等边△ABD 和△BCE 的边长分别为2a 和2b ，于是可得相关各点坐标：B(0，0)，A(-2a,0)，C(2b,0)，D(-a,a 3)，E(b,b 3),由两点间的距离公式，则|AE|=22224b 4ab 4a b)3-(0b)(2a ++=++，|CD|=2222b 4ab 4a a)3-(0a)(2b ++=++，所以|AE|=|CD|10.用坐标法证明等腰梯形的两条对角线长相等.思路解析:根据题意，可将问题用数学表达式写出：已知在等腰梯形ABCD 中，CD ∥AB. 求证：对角线AC=BD.所以考虑建立适当的直角坐标系，得出相关点的坐标，利用两点间距离公式证明.解:设等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，并设其上、下底边长和高分别为2a 、2b 和ｃ，建立如图所示直角坐标系，以下底AB 中点O 为坐标原点，以线段AB 的垂直平分线所在直线为y 轴建系，在等腰梯形ABCD 中，CD ∥AB.可设A(-a ，0)，B(a ，0)，D(-b ，c)，C(b ，c)， 则由两点间距离公式得｜AC ｜=22c a)(b ++， ｜BD ｜=2222c b)(a c a)-(-b ++=+，∴|AC|=｜BD ｜，即等腰梯形两对角线长相等.。