3.3.2 两点间距离教案

张喜林制

§3.3.2两点间的距离

【教学目标】

1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.

2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.

3．体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题.

【重点难点】

教学重点：①平面内两点间的距离公式.

②如何建立适当的直角坐标系.

教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.

【教学过程】

一、导入新课、展示目标

问题已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?

二、检查预习、交流展示

核对课前预习中的答案。1、（1，0）；2、1并说出自己的疑惑处。

三、合作探究、精讲精练

探究一平面内两点间的距离公式

问题 (1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?

(2)求B(3，4)到原点的距离.

(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.

教师①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求?

②求点B(3，4)到原点的距离.

③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.

④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).

学生回答①|AB|=|x B-x A|,|CD|=|y C-y D|.

②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5.

③

图1

在直角坐标系中，已知两点

P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，如图1,从P1、

P 2分别向x 轴和y 轴作垂线P 1M 1、P 1N 1和P 2M 2、P 2N 2，垂足分别为M 1(x 1，0)、N 1(0，y 1)、M 2(x 2，0)、N 2(0，y 2)，其中直线P 1N 1和P 2M 2相交于点Q. 在Rt △P 1QP 2中，|P 1P 2|2=|P 1Q|2+|QP 2|2.

因为|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2-x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2-y 1|， 所以|P 1P 2|2=|x 2-x 1|2+|y 2-y 1|2.

由此得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-

教师 ④(a)我们先计算在x 轴和y 轴两点间的距离.

(b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形. (c)猜想了任意两点间距离公式.

(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.

这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!

应用示例

例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B 的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.

图2

解:设B(x ，3)，根据|AB|=13，

即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16.

点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数

解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A 点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.

变式训练1

课本106页练习第一题

例2 已知点A(-1，2)，B(2，7)，在x 轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. 解:设所求点P(x ，0)，于是有222

2

)70()2()20()1(-+-=-++x x .

由|PA|=|PB|,得x 2+2x+5=x 2-4x+11,解得x=1.

即所求点为P(1，0),且|PA|=2

2)20()11(-++=22.

点评：引导学生熟练设点及应用距离公式。 变式训练2

课本106页练习第二题.

探究二 建立适当的坐标系应用代数问题解决几何问题

例3证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

解析：首先要建立适当的坐标系，用坐标表示有关量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系。

这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。

证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。

设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为

所以，(

)2

2

2

2

222

2AB CD AD BC a b c

+++=++

()2

2

2222AC

BD a b c +=++,

所以，

2222

AB CD AD BC +++ = 2

2

AC

BD +

因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

点评 上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下： 第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。 第二步：进行有关代数运算。

第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。 思考：同学们是否还有其它的解决办法？ 还可用综合几何的方法证明这道题。

变式训练：已知

0＜x ＜1,0＜y ＜1,求使不等式

222222)1()1(y x y x y x +-+-+++ 22)1()1(y x -+-+≥22中的等号成立的条件.

解析：此题需要学生将不等式转化为平面内两点间的距离问题来研究。数形结合。 答案：x =y=

2

1 点评：强调数形结合，转化划归来解决问题。建立适当的直角坐标系，来解决问题很有必要。

当堂检测

导学案当堂检测 课堂小结

通过本节学习，要求大家: