两点间的距离及中点坐标公式

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8.1两点间的距离和中点坐标公式-

• 例4：已知线段MN，它的中点坐标是 (3,2) ，端点N的坐标是 (1,-2)，求另一个端点M的坐标。
• 解：设端点M 的坐标为 (x,y) ,根据中点坐标公式，有
1 x 2 y 3 ,2 2 2
解得x=5,y=6
所以端点M 的坐标是(5,6)
1.两点间的距离公式；
2.中点坐标公式
(2 0) 0 5
2 2
4 25 29
ห้องสมุดไป่ตู้
练习(2)：求点M1(-2,0)与M2(0,5)之间的距离。
解： M M 0 6 2 1 5 2 1 2
52 2 13
中点坐标公式
合作探究（二）：中点公式已知A（x1，y1）, B（x2，y2），设 M(x,y)是线段AB的中点
y1 y 2 x1 x 2 y x 2 2 二、坐标法——将几何问题转化为代数问题。
复习
8.1.1 两点间的距离公式 A(x1)
A
1、在数轴上两点的距离公式
B（x2）
0 B
AB x2 x1
2、两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?
y
P1 P2
y
P
P
2
o
x
o
1
x
|P 1P 2 || x2 x1 |
|P 1P 2 || y2 y1 |
动脑思考探索新知
y
B2（0,y2)
P2(x2，y2)
B1（0,y1) o
P1(x1，y1)
C x
A1（x1,0)
A2（x2,0)

两点间的距离公式及中点公式

两点间的距离公式及中点公式在我们学习数学的旅程中，有两个非常实用的宝贝，那就是两点间的距离公式和中点公式。

这两个公式就像是我们探索数学世界的秘密武器，能帮助我们解决好多有趣又有点小挑战的问题。

先来说说两点间的距离公式。

想象一下，在一个大大的平面上，有两个点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，就好像是两个小伙伴在操场上站着。

那怎么算出这两个小伙伴之间的距离呢？这时候两点间的距离公式就派上用场啦，它就像是一把神奇的尺子，能告诉我们答案。

公式是：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²] 。

给大家举个例子吧。

有一次我去公园散步，看到两个花坛，一个在坐标（3，5）的位置，另一个在（7，9）的位置。

我就想啊，这两个花坛之间的距离到底是多少呢？我马上就想到了两点间的距离公式，把数字代进去，算出来距离是√[(7 - 3)² + (9 - 5)²] = √[4² + 4²] = √32 =4√2 。

哇，一下子就知道了它们之间的距离，感觉自己就像个数学小侦探，特有成就感！再来说说中点公式。

假如还是这两个点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，那它们连线的中点坐标是啥呢？中点公式告诉我们：中点坐标为（(x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2）。

我想起有一次帮小朋友们分糖果。

有两个小朋友分别站在不同的位置，我想把糖果公平地放在他们中间的位置，让他们过来拿都差不多远。

这时候中点公式就帮了大忙，我算出了中点的位置，把糖果放在那里，两个小朋友都很开心，觉得特别公平。

在实际生活中，这两个公式的用处可多啦。

比如在建筑设计中，工程师要确定两个建筑物之间的距离和中间的位置；在地图导航里，计算两个地点之间的距离和中间的参考点。

所以啊，同学们可别小看这两个公式，它们虽然看起来简单，但是作用大大的。

只要我们认真掌握，就能在数学的世界里畅行无阻，解决更多的难题，发现更多的乐趣！总之，两点间的距离公式和中点公式是我们数学学习中的好帮手，让我们继续努力，用它们去探索更多未知的数学奥秘吧！。

两点之间的距离公式及中点坐标公式

y y1 y2 2
二、坐标法——将几何问题转化为代数问
• P71练习A：1－4. 2－1A：1－4.
• 选做：B组题
P72：习题
(0,y) M 2
M
A
A2
x x1 x2 Байду номын сангаасx
y y1 y2 y
(0，y1)
A1 O M1
B1
x
(X1,0) (X,0) (X2,0)
即： x x1 x2 2
y y1 y2 2
这就是线段中点坐标的计算公式，简称
—— 中点公式
【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
AD2 b a2 c2,
AC2 b2 c2,
x
O A(0,0) B(a,0)
BD 2 b 2a2 c2
AC2 BD2 4a2 2b2 2c2 4ab, 2(2a2 b2 c2 2ab),
AB2 AD2 2a2 b2 c2 2ab,
所以 AC2 BD2 2 AB2 AD2 .
解：因为平行四边形的两条对角线中点相同,
所以它们的中点的坐标也相同.
设D 点的坐标为(x,y).
y D(x,y)
x2 35
则
2
2
M
C(5,2
y2 02
O
A(-3,0)
x
2
2
B(2,-2)
解得 x=0 ∴D(0,4)
y=4
〖课堂检测〗 1、求两点的距离：（1) A（6，2） , B（-2,5）（2) A (2 , -4) , B (7 , 2)
A(x1，y1) A2
o

初中数学知识归纳平面直角坐标系中两点的距离和中点的坐标

初中数学知识归纳平面直角坐标系中两点的距离和中点的坐标平面直角坐标系中，两点的距离和中点的坐标是初中数学中的基础知识。

通过学习和归纳，我们可以更好地理解和应用这些概念。

本文将对初中数学中关于平面直角坐标系中两点的距离和中点的坐标进行归纳总结。

1、两点间的距离在平面直角坐标系中，两点的距离可以通过勾股定理来求解。

设两点的坐标分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则两点间的距离d可表示为：d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)2、中点的坐标中点是指连接两点线段的中心点，也是线段的对称点。

我们可以通过平均两点的x坐标和y坐标来求解中点的坐标。

设两点的坐标分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则中点的坐标M（x，y）可表示为：x = (x1 + x2) / 2y = (y1 + y2) / 2下面，结合具体的例子来说明两点的距离和中点的坐标的计算方法。

例子1：已知平面直角坐标系中点A（2，3）和点B（5，6），求两点间的距离和中点的坐标。

解：根据两点间的距离公式，可以得到两点A、B间的距离d：d = √((5-2)^2 + (6-3)^2)= √(9 + 9)= √18≈ 4.24根据中点的坐标公式，可以得到中点M的坐标：x = (2 + 5) / 2 = 3.5y = (3 + 6) / 2 = 4.5所以，点A和点B间的距离为4.24，中点的坐标为（3.5，4.5）。

例子2：已知平面直角坐标系中点C（-1，2）和点D（3，-4），求两点间的距离和中点的坐标。

解：根据两点间的距离公式，可以得到两点C、D间的距离d：d = √((3-(-1))^2 + (-4-2)^2)= √(16 + 36)= √52≈ 7.21根据中点的坐标公式，可以得到中点N的坐标：x = (-1 + 3) / 2 = 1y = (2 + (-4)) / 2 = -1所以，点C和点D间的距离为7.21，中点的坐标为（1，-1）。

两点距离公式中点公式

两点距离公式中点公式在数学的奇妙世界里，两点距离公式和中点公式就像是两个忠实的小伙伴，默默地为我们解决着各种问题。

先来说说两点距离公式吧。

假设我们有两个点，A(x₁, y₁)和 B(x₂, y₂)，那么这两点之间的距离 d 就可以通过公式d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂- y₁)²]来计算。

这个公式看起来有点复杂，其实理解起来并不难。

我记得有一次，我们班组织了一场校园寻宝活动。

老师在校园里藏了几个“宝贝”，然后给了我们几个点的坐标，让我们通过计算两点之间的距离来找到宝贝的位置。

我和同桌小明一组，拿到的第一个点是教室门口的 A(3, 5)，第二个点是操场边的大树 B(7, 9)。

我们赶紧拿出纸和笔，按照两点距离公式开始计算。

我负责计算横坐标的差值 (7 - 3)² = 16，小明负责计算纵坐标的差值 (9 - 5)² = 16，然后我俩一起把这两个差值相加，16 + 16 = 32，再对 32 开平方，得到√32 = 4√2。

算出距离后，我们一路小跑，按照这个距离去寻找，果然在差不多的位置发现了老师藏的第一个宝贝，是一本有趣的漫画书，可把我俩高兴坏了！再聊聊中点公式。

对于两点 A(x₁, y₁)和 B(x₂, y₂)，它们的中点坐标 M((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)。

这个公式在很多实际问题中都能派上用场。

有一次上美术课，老师让我们画一幅校园风景图。

我想画教学楼和校门口之间的那段路，但是不知道怎么确定路的中间位置。

这时候我就想到了中点公式。

教学楼的位置假设是 A(2, 6)，校门口是 B(8, 2)，那中点的横坐标就是 (2 + 8) / 2 = 5，纵坐标是 (6 + 2) / 2 = 4，所以路的中间位置大概就在(5, 4)这个点。

按照这个位置画出来，感觉整幅图的比例都协调多了。

在日常生活中，两点距离公式和中点公式的应用也不少呢。

中点坐标公式求距离

中点坐标公式求距离在数学中，中点坐标公式被广泛应用于计算平面上两个点之间的距离。

这个公式是通过利用给定点的坐标值，特别是横坐标和纵坐标的中点来得到两点之间的距离。

中点坐标公式提供了一种简便的方法来计算平面上的距离，同时也有助于理解坐标系中的几何概念。

中点坐标公式中点坐标公式用于计算平面上两个点的中点坐标。

给定平面上两个点A和B，其中A的坐标为 (x1, y1)，B的坐标为 (x2, y2)，则中点的坐标可以通过下面的公式来计算：中点的横坐标 = (x1 + x2) / 2中点的纵坐标 = (y1 + y2) / 2这两个公式可以很容易地从两点坐标的定义中推导出来。

当我们计算中点的坐标时，我们只需要将每个坐标的值相加，然后除以2，得到的结果就是中点的横坐标和纵坐标。

求两点之间的距离有了两点的中点坐标，我们可以使用标准的距离公式来计算两点之间的距离。

这个公式被称为欧几里德距离公式，它用于计算平面上两点之间的直线距离。

给定两个点A和B，其中A的坐标为 (x1, y1)，B的坐标为 (x2, y2)，则两点之间的距离d可以通过以下公式计算：距离d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)这个公式是根据勾股定理推导出来的。

它首先计算两个坐标轴上的差值的平方，然后将它们相加。

最后，对和进行平方根运算，得到最终的距离。

一个例子让我们来看一个实际的例子来演示中点坐标公式和距离公式的应用。

假设有两个点A(1, 2)和B(4, 6)。

首先，我们可以使用中点坐标公式来计算中点的坐标：中点的横坐标 = (1 + 4) / 2 = 2.5中点的纵坐标 = (2 + 6) / 2 = 4所以，中点的坐标为 (2.5, 4)。

接下来，我们可以使用距离公式来计算点A和点B之间的距离：距离d = √((4 - 1)^2 + (6 - 2)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5因此，点A和点B之间的距离为5个单位。

8.1两点间距离公式及中点公式

间的距离公式：
P ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) 1P 2
2
2
学生练习
P65 练习 1题 2题
探究中点公式
向量P1P和向量PP2相等，所以有：
P2(x2,,y2) P1(x1,,y1) P(x,y)
uuu r uuu r Q PP 1 ( x x1 , y y1 ), PP 2 ( x2 x, y2 y ) x x1 x2 x y y1 y2 y x1 x2 x , 2 解得 y y1 y2 . 2
2
二、
2
学生练习
P67 练习 1,2题
作业布置：
1、方案一书 68页方案二书 64-65页 1、2、5 例2，例3
2、练习册8.1相应练习
教学目标：
1、理解并掌握平面上两点间距离公式的推导 2、掌握平面上两点间距离公式并会应用它解决相关的问题 3、掌握线段的中点坐标公式，并会灵活运用
重点难点：
重点：平面上两点间的距离公式和中点坐标公式的推导难点：两个公式的灵活应用
教学过程
一、平面上两点间的距离
1、坐标轴上两点间的Байду номын сангаас离
平面上两点
二、平面上连结两点的线段的中点坐标公式
文字表述：中点的坐标等于左右端点坐标的平均值。
例3
已知线段AB，它的中点坐标是（-1,2），端点B的坐标是（-5,7），求端点A的坐标。分析：设未知点的坐标。将未知转化为已知。
小结
一、
间的距离公式：
P ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) 1P 2

两点坐标中点距离公式

两点坐标中点距离公式在我们学习数学的奇妙世界里，有一个超实用的小工具，那就是两点坐标中点距离公式。

这个公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解决好多与点和距离相关的难题。

先来说说这个公式到底长啥样吧。

假如有两个点 A(x₁, y₁) 和B(x₂, y₂)，那么它们之间的中点坐标就是 ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)，而两点之间的距离公式则是√[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] 。

我还记得有一次，我和朋友去逛街。

我们走到一个大广场，广场上有一个很有趣的地图标识，标记着几个重要的地点。

朋友突然来了兴致，说：“要不咱们来算算从这个广场的入口到那个大雕塑的距离？”我一看，入口的坐标我们大概能估计出来，雕塑的坐标也能猜个八九不离十。

然后，我就想到了两点坐标中点距离公式。

我掏出小本子，把坐标写下来，按照公式一步步计算。

朋友在旁边好奇地看着，不停地问我：“算出来了吗？算出来了吗？” 我一边算一边跟他解释每个步骤。

最后得出结果的时候，朋友惊讶地说：“哇，数学还真有用！”其实在日常生活中，这个公式的用处可多了去了。

比如说，你要规划从家到学校的最短路线，或者是计算两个城市之间的近似距离，都可能会用到它。

在数学的课堂上，老师一开始给我们讲这个公式的时候，好多同学都觉得有点头疼，觉得这些符号和算式看起来好复杂。

但当老师通过一个个生动的例子，像在地图上找两个地点的距离，或者是计算操场上两个旗杆之间的距离，我们慢慢地就理解了。

而且啊，这个公式不仅仅在平面上有用，在空间中，也就是三维的情况下，也有类似的公式呢。

只不过多了一个 z 轴的坐标，计算稍微复杂了一点点，但原理是一样的。

想象一下建筑师在设计大楼的时候，他们需要确定不同支撑点之间的距离，保证大楼的结构稳定。

这时候，两点坐标中点距离公式就派上大用场啦。

再比如说，在电脑游戏的编程里，如果要让一个角色从一个点准确地移动到另一个点，程序员就得依靠这个公式来计算移动的距离和方向。

§8.1两点间的距离公式和中点公式

设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) ，分别过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，
两线交于点C，点C坐标为(x2, y1)，则|AC|=|x2–x1|, |BC|=|y2–y1|, y B(x2, y2)
还能怎样说明？
从而，AB两点间的距离为 A(x1 , y1) C ( x2 , y1 ) O x
两点间的中点公式
问 AP PB ？
y
AP ( x x1 , y y1 ), PB ( x2 x, y2 y), x1 x2 x x x1 x2 x 2 y y1 y2 y y y1 y2 B(x2, y2) 2
AB 5 , BC 5 2 , AC 29
平面上两点间的距离公式设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) ，
AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2
2
x1 x2 y y2 ,y 1 2 2 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) ，点 P(x，y)是AB的中点， x
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
已知点A(1, 2)，B(3,5)，求线段AB的长度. 解：根据平面内两点间的距离公式，有
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
(3 1) 2 [5 (2)]2
53
若P(3,4), Q(2, 1)，求 PQ .
1 已知△ABC三个顶点分别为A( , 2)，B(3, 4)，C (2, 6)， 2 求BC 边上的中线AD的长.
解：设点BC边上的中点D坐标为( x, y)，根据中点坐标公式
3 2 1 46 x , y 5, 2 2 2 1 所以线段AB的中点D的坐标为( ,5). 2 1 1 2 AD ( ) (5 2)2 10. 2 2

人教B版高中数学必修第二册6.2.3.2两点间的距离、中点坐标公式及向量平行【上课课件】

立．
方法归纳
向量共线的判定方法
跟踪训练2 下列各组向量中，共线的是(
A．a＝(－2，3)，b＝(4，6)
B．a＝(2，3)，b＝(3，2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7，14)
D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4)
)
答案：D
解析：由两向量共线的坐标表示知，对于D，(－3)×(－4)－2×6＝0，所以共
第2课时两点间的距离、中点
坐标公式及向量平行
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
教材要点
知识点一平面直角坐标系内两点之间的距离公
式与中点坐标公式
设A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2)为平面直角坐标系中的两点，AB＝|AB|＝
x2 − x1 2 + y2 − y1 2 .这就是平面直角坐标系内两点之间的距离公
因为2×2－1×4＝0，所以AB∥CD.
又AC＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2，6)，
AB＝(2，4)，2×4－2×6≠0，
所以AC与AB不平行．
所以A，B，C不共线，AB与CD不重合．
所以直线AB与CD平行．
状元随笔 (1)向量是否共线，利用向量共线的坐标表示或b＝λa验
证．
(2)判断AB∥CD，只要把点的坐标代入公式x1y2－x2y1＝0，看是否成
∵C是线段AB的中点，
1
x+1=2−x
x=
1
2
∴AC＝CB，即ቊ
，解得ቐ
，∴C( ，0)
2
y − 1 = −1 − y
y=0
②设D(a，b)，又A(－1，1)，B(2，－1)
AD＝(a＋1，b－1)，BD＝(a－2，b＋1)，

两点间的距离和中点坐标公式-

x1 x2 y1 y2 x0 , y0 . 2 2
例2 已知点S（0，2）、点T（−6，−1），现将线段ST四等分，试求出各分点的坐标．
巩固知识典型例题
解设线段ST的中点首先求出线段 ST Q的坐标为( xQ , yQ )，
的中点 Q 的坐标，然则由 S（0 ， 2）、T（−6，−1）得
40.
8． 1
两点间的距离与线段中点的坐标
1
平面内两点间的距离公式
理论升华整体建构
2
2 2 | P P | ( x x ) ( y y ) 1 2 2 1 2 1 线段的中点坐标公式
x0
x1 x2 y y2 , y0 1 . 2 2
8． 1
两点间的距离与线段中点的坐标
P1 P2 P2 P1
o
x
o
x
|P 1P 2 || x2 x1 |
|P 1P 2 || y2 y1 |
动脑思考探索新知
y
B2（0,y2)
P2(x2，y2)
B1（0,y1) o
P1(x1，y1)
C x
A1（x1,0)
A2（x2,0)
我们将向量 PP 、P 之间的距离，记作 1 2 1 2 的模，叫做点 P
故 | AD | (1 1)2 (2 0)2 2 2, 即BC边上的中线AD的长度为 2 2．
8． 1
两点间的距离与线段中点的坐标
1．已知点 A(2,3) 和点 B (8, 3)，求线段AB中点的坐标．
运用知识强化练习
5,0 .
2．已知ABC 的三个顶点为 A(2, 2)、B(4,6)、C (3, 2)，求AB边上的中线CD的长度．

平面直角坐标系公式

设A(x1,y1),B(x2,y2)两点的中点为M(x0,y0),则（1）中点坐标公式：x0=(x1+x2)/2；(y0=(y1+y2)/2（2）两点间距离公式：AB=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]（本质上就是勾股定理1.点到点距离公式：设A（a，b）B（c，d），则AB=√[(a-c)^2+(b-d)^22.点到线距离公式：设直线Ax+By+C=0（一般的解析式可以先化成这个），点A（x0，y0），则A到直线的距离长度=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)3.解析式y=kx+b中，k的实质是该直线与x轴正方向夹角的正切值，当这个角大于90度时，需要用到诱导公式tan（90+a）=-tan（a）4.设直线1为y=k1x+b1，直线2为y=k2x+b2，当k1k2=-1时，直线1垂直于直线25.直线y=kx+b的平行直线系为y=kx+m6.过定点（x0，y0）的直线系为（y-y0）=k（x-x0）7.已知抛物线y=ax^2+bx+c和平行于x轴的直线y=m，则抛物线在直线上截出的距离=√（b^2-4ac+4am）/|a|，这个公式一般用于求某些线段的最值，通常可以得到一个y=根式+km的函数，这个函数的最值我们还不会求，可以设这个根式为n，反解出m来，然后得到关于n的二次函数，求二次函数的最值和相应的n值，进而求出m的值即可，这种方法叫换元法，我自己发现的，不知道高中会不会用到我也是初三的，一般有用的就是这几个，并且除非逼不得已，不然尽量别用，因为一方面计算量大，另一方面即使算对了，老师也不一定看得懂，有可能会得0分也不好说。

部分压轴题中也会在平面直角坐标系中出现圆，下面的公式是关于圆的1.圆的标准方程（x-a）^2+(y-b）^2=r^2，其中，圆心是（a，b），半径是r2.圆的一般方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，其中，圆心是（-D/2,-E/2)半径是1/2√（D^2+E^2-4F)3.过圆上定点的切线系方程，设P（x0，y0）是圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0上的一个点，过这个点的切线为xx0+yy0+D[(x+x0)/2]+E[(y+y0）/2]+F=04.过圆外一点P(x0，y0）引圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的切线，切线长为√（x0^2+y0^2+Dx0+Ey0+F）5.判断直线与圆位置关系的方法：1.知道圆心和半径的情况下，利用点到直线的距离公式，算出圆心到直线的距离，比较距离与半径，得出圆与直线的位置关系2.知道直线和圆的解析式的情况下，联立二式，组成一个二元二次方程组，消去一元，得到一个一元二次方程，算出判别式德塔，德塔大于0，证明方程有两个不等实数根，即直线与圆有两个不同交点，此时相交，相应的，德塔小于0，相离，德塔等于0，相切。

两点间的距离和中点坐标公式

巩固知识典型例题
8．1 两点间的距离与线段中点的坐标
例2 已知点S（0，2）、点T（−6，−1），现将线段ST四
等分，试求出各分点的坐标．
图8－2
首先求出线段ST的中点Q的坐标，然后再求SQ的中点P及QT的中点R的坐标．
解设线段ST的中点Q的坐标为
则由S（0，2）、T（−6，−1）得
巩固知识典型例题
例1 求A（−3，1）、B（2，−5）两点间的距离．由两点间的距离公式得，A、B两点间的距离为平面内两点间距离公式
【例2】已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0) 求证：三角形ABC是等腰三角形。
证明：因为 d(A,B)= d(A,C)= d(C,B)=
即|AC|=|BC|且三点不共线所以，三角形ABC为等腰三角形。
【例3】已知 ,求证
证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X轴建立平面直角坐标系，依据平行四边形的性质可设点A，B，C，D的坐标为
x
y
A(0,0)
B(a,0)
C (b, c)
D (b-a, c)
O
所以
所以
5.1两点间的距离和线段中点的坐标
BRAND PLANING
【学习目标】掌握两点间的距离公式与中点坐标公式；【重点】两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用【难点】两点间的距离公式的理解
目录
品牌介绍
01
产品展示
02
复习
数轴上两点的距离
所以A,B两点的距离为:
d(A,B)= X 2 – X 1
x
y
A(0,0)
B(a,0)
C (b, c)
D (b-a, c)
O
中点公式