第五节 定积分在几何中的应用

第五节 定积分在几何中的应用

本节先介绍运用定积分解决实际问题的一种常用方法——微元法，然后讨论定积分在几何中的应用。 一、微元法

本章第一节讨论计算曲边梯形面积的四个步骤中，关键是第二步，即确定

()i i x f A ∆≈∆ξ

在实用上，为简便起见，省略下标。i 用A ∆表示任一小区间[]dx x x +,上的小曲边梯形的面积，这样

∑∆=A A

取[]dx x x +,的左端点x 为i ξ，以点x 处的函数值()x f 为高，dx 为底的矩形面积为A

∆的近似值（如图5-14中阴影部分所示），即

()dx x f A ≈∆

上式右端()x f dx 称为面积微元， 记为()dx x f dA =，于是面积

A 就是将这些微元在区间[]b a ,上

的“无限累加”，即a 到b 的定积分

()dx

x f dA A b a

b

a

⎰⎰== 分通过上面的作法，我们可以把定积分——和式的极限理解成无限多个微分之和，即积分是微分的无限累加。

概括上述过程，对一般的定积分问题，所求量F 的积分表达式，可按以下步骤确定：

（1） 确定积分变量x ，求出积分区间[]b a ,。

（2） 在[]b a ,上，任取一微小区间[]dx x x +,，求出部分量F ∆的近似值

F ∆()dx x f dF =≈（称它为所求量F 的微元）。

（3） 将dF 在[]b a ,积分，即得到所求量()dx

x f dF F b a

b

a

⎰⎰==，通常把这种方法

叫做微元法（或元素法）

下面用微元法讨论定积分在几何中的应用。 二、平面图形的面积

1. 直角坐标情形

根据定积分的几何意义，由区间

[]

b a ,连续曲线

()()()()[]()b a x x g x f x g y x f y ,,∈≥==、及直线b x a x ==、所围成的平面图形的

图

5-14

面积A ，由定积分的性质，此式可写为

()()[]dx

x g x f A b

a

⎰-=

利用微元法求解可得同样的结果。 其中d ()()[]dx x g x f A -=，就是面积元素

例1计算由两条抛物线y x x y ==2

2

和围成的图形面积。

解 （1）如图5-15所示，确定积分变量为x 由方程组

{22x y x

y ==

解得两抛物线交点为（0，0）、（1，1），从面可知所求图形在直线x=0及x=1之间，即积分区间[]1,0

（2）在区间[]1,0上，任取小区间[]dx x x +,对应的窄条面积近似于高为(

)

2x x -，

底为dx 的小矩形面积，从而得面积元素

(

)

dx x x dA 2

-=

(3) 所求图形面积为

(

)

1

031

2313

2

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰

x x dx x x A =31

（平方单位） 例2、求曲抛物线

x y =2

与直线2-=x y 所围成的图形面积。 解：（1）如图5-16所示确定积分变量为y ，解方程组

{

x y x y =-=22

解得交点（1,-1）及(4,2)

从而知这图形在1-=y 与y=2之间，即积分区间[]21

，- （2）在区间[]2,1-上，任取一小区间[]dy y y +,，对应的窄条面积近似于高为dy ，底为()2

2y y -+的矩形面积从而得到面积元素

()[]

dy y y dA 22-+=

（3） 求图的面积为

(

)

2

1322

1

23122

1

2--⎥

⎦⎤⎢⎣⎡-+=-+=⎰

y y y dy y y A =平方单位）(29

如果取x 为积分变量，则积分区间须分成[][]4110，，，

两部分，且每个区间对应的面积元素并不相同。所以计算比较复杂，因此应恰当选择积分变量。

一般地，由区间[]d c ,上的连续曲线()()()()[]()d c y y y y x y x ,,∈≥==φϕφϕ、及直线

5-15

图

5-16

d y c y ==、所围成平面图形面积为

()()[]dy

y y A d

c

⎰-=φϕ

面积元素是()()[]dy y y dA φϕ-=

一般说来，求平面图形面积的步骤为：

（1） 作草图，确定积分变量和积分区间； （2） 求出面积微元。 （3） 计算定积分求出面积。

2、极坐标情形

某些平面图形，用极坐标计算它们的面积方便。用微元法计算：由极坐标方程()

θρρ=

比较示的曲线与射线βθαθ==、、所围成的所表曲边扇形面积（图5-17）。

以极角θ为积分变量，积分区间为

[]βα，，在[]βα，上任取一小区间[]θθθd +,，与它相应的小曲边扇形面积近

似于以θd 为圆心角。()θρρ=为半径的圆扇形面积，从而得到面积元素

()[]θθρd dA 221

=

于是所求面积为

()[]θθρβ

αd A 221

⎰

=

例3 计算心形线())0(cos 1>+=αθαρ所围成的平面图形的面积（图5-18）。

解 由于图形对称于极轴，只需算出极轴以上部分面积1A ，

再2倍即得所求面积A 。

对于极轴以上部分图形，θ的变化区间为[]π,0。相应于[]

π,0上任一小区间[]θθθd +,的窄曲边扇形的面积近似于半径为

()θαcos 1+、圆心角为θd 的圆扇形的面积。从而得到面积元素

()θ

θαd dA 2

2cos 121+=

于是

()θθαπ

d A 22

01cos 121+=⎰

=()θ

θθαπ

d ⎰++0

22cos cos 2121

=θθθαπd ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++022cos 21cos 22321 =π

θθθα022sin 41sin 2232

1⎥

⎦⎤⎢⎣⎡++ =2

43

πα

所求，所求面积为

图 5-17

图 5-18