动态规划法回溯法分支限界法求解TSP问题实验报告

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动态规划法回溯法分支限界法求解T S P问题实

验报告

文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

TSP问题算法实验报告指导教师：季晓慧

姓名：辛瑞乾

学号：

提交日期： 2015年11月

总述

TSP问题又称为旅行商问题，是指一个旅行商要历经所有城市一次最后又回到原来的城市，求最短路程或最小花费，解决TSP可以用好多算法，比如蛮力法，动态规划法…具体的时间复杂的也各有差异，本次实验报告包含动态规划法，回溯法以及分支限界法。

动态规划法

算法问题分析

假设n个顶点分别用0~n-1的数字编号，顶点之间的代价存放在数组mp[n][n]中，下面考虑从顶点0出发求解TSP问题的填表形式。首先，按个数为1、2、…、n-1的顺序生成1~n-1个元素的子集存放在数组x[2^n-1]中，例如当n=4时，

x[1]={1},x[2]={2},x[3]={3},x[4]={1,2},x[5]={1,3},x[6]={2,3},x[7]={1,2,3}。设数组

dp[n][2^n-1]存放迭代结果，其中dp[i][j]表示从顶点i经过子集x[j]中的顶点一次且一次，最后回到出发点0的最短路径长度，动态规划法求解TSP问题的算法如下。

算法设计

输入：图的代价矩阵mp[n][n]

输出：从顶点0出发经过所有顶点一次且仅一次再回到顶点0的最短路径长度

1.初始化第0列（动态规划的边界问题）

for(i=1;i

dp[i][0]=mp[i][0]

2.依次处理每个子集数组x[2^n-1]

for(i=1;i

if（子集x[j]中不包含i）

对x[j]中的每个元素k，计算d[i][j]=min{mp[i][k]+dp[k][j-1]};

3.输出最短路径长度。

实现代码

#include

#define debug "output for debug\n" #define pi (acos)

#define eps (1e-8)

#define inf 0x3f3f3f3f

#define ll long long int

#define lson l , m , rt << 1

#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1 using namespace std;

const int Max = 100005;

int n,mp[20][20],dp[20][40000]; int main()

{

while(~scanf("%d",&n))

{

int ans=inf;

memset(mp,0,sizeof mp);

for(int i=0; i

{

for(int j=0; j

{

if(i==j)

{

mp[i][j]=inf;

continue;

}

int tmp;

scanf("%d",&tmp);

mp[i][j]=tmp;

}

int mx=(1<<(n-1));

dp[0][0]=0;

for(int i=1; i

{

dp[i][0]=mp[i][0];

}

dp[0][mx-1]=inf;

for(int j=1; j<(mx-1); j++)

{

for(int i=1; i

{

if((j&(1<<(i-1)))==0)

{

int x,y=inf;

for(int k=1; k

{

if((j&(1<<(k-1)))>0){

x=dp[k][(j-(1<<(k-1)))]+mp[i][k];

y=min(y,x);

}

dp[i][j]=y;

}

dp[0][mx-1]=inf;

for(int i=1;i

dp[0][mx-1]=min(dp[0][mx-1],mp[0][i]+dp[i][(mx-1)-(1<<(i-1))]);

printf("%d\n",dp[0][mx-1]);

}

return 0;

}

输入输出截图

OJ提交截图

算法优化分析

该算法需要对顶点集合{1，2，…，n-1}的每一个子集进行操作，因此时间复杂度为O(2^n)。和蛮力法相比，动态规划法求解TSP问题，把原来的时间复杂度是O(n!)的排列问题，转化为组合问题，从而降低了算法的时间复杂度，但仍需要指数时间。