第6章 线性反馈系统的时间域综合

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自动控制原理第六章课后习题答案(完整)

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自动控制原理第六章课后习题答案(免费)线性定常系统的综合6-1 已知系统状态方程为:()100102301010100x x u y x•-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1,-2,-3.解: 由()100102301010100x x u y x•-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=可得:(1) 加入状态反馈阵()012K k k k =,闭环系统特征多项式为:32002012()det[()](2)(1)(2322)f I A bK k k k k k k λλλλλ=--=++++-+--+-(2) 根据给定的极点值,得期望特征多项式:*32()(1)(2)(3)6116f λλλλλλλ=+++=+++(3) 比较()f λ与*()f λ各对应项系数,可得:0124,0,8;k k k ===即:()408K =6-2 有系统:()2100111,0x x u y x•-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭= (1) 画出模拟结构图。

(2) 若动态性能不能满足要求,可否任意配置极点? (3) 若指定极点为-3,-3,求状态反馈阵。

解(1) 模拟结构图如下:(2) 判断系统的能控性;0111c U ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦满秩,系统完全能控,可以任意配置极点。

(3)加入状态反馈阵01(,)K k k =,闭环系统特征多项式为:()2101()det[()](3)22f I A bK k k k λλλλ=--=+++++ 根据给定的极点值,得期望特征多项式:*2()(3)(3)69f λλλλλ=++=++比较()f λ与*()f λ各对应项系数,可解得:011,3k k ==即:[1,3]K =6-3 设系统的传递函数为:(1)(2)(1)(2)(3)s s s s s -++-+试问可否用状态反馈将其传递函数变成:1(2)(3)s s s -++若能,试求状态反馈阵,并画出系统结构图。

哈工程-自动化-考研-必修

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考查要点:一、控制系统的数学模型1、控制系统运动的建立;2、控制系统的传递函数的概念及求取、方框图及其简化、信号流图及梅森公式。

二、线性系统的时域分析1、一阶、二阶系统的时域分析;2、线性系统的稳定性基本概念及熟练掌握劳斯 (Routh)稳定判据判别稳定性的方法;3、控制系统稳态误差分析及其计算方法;4、复合控制。

三、根轨迹法1、根轨迹、根轨迹方程及其绘制根轨迹的基本规则;2、理解控制系统根轨迹分析方法。

四、频率响应法1、线性系统频率响应物理意义及其描述方法;2、典型环节的频率响应(幅相曲线与对数频率特性曲线);3、开环系统及闭环系统的频率响应的绘制;4、奈奎斯特(Nyquist)稳定判据和控制系统相对稳定性;5、频域指标与时域指标的关系。

五、控制系统的校正与综合1、频率响应法串联校正分析法设计;2、基于频率响应法的串联、反馈校正的综合法设计。

六、非线性控制系统的分析1、了解典型非线性特性的输入输出关系(数学表达及关系曲线);2、理解非线性环节对线性系统的影响;3、相平面法、描述函数法分析非线性控制系统。

七、数字控制系统的普通概念1、采样过程、采样定理、零阶保持器的基本概念。

八、数字控制系统1、Z 变换的基本概念、基本定理及 Z 反变换;2、数字控制系统的数学描述;3、数字控制系统稳定性分析;4、数字控制系统的暂态、稳态、误差分析。

5、数字控制系统的离散化设计方法及至少拍离散系统设计。

九、线性系统的状态空间描述1、线性时不变系统状态空间描述;2、线性定常系统的运动分析、状态转移阵、脉冲响应阵;3、线性离散系统的状态空间描述;4、线性系统的能控性和能观性判别方法。

十、线性定常系统的线性变换1、状态空间表达式的线性变换;2、对偶性原理;3、线性系统的结构分解。

十一、李雅普诺夫稳定性分析1、李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念;2、李亚普诺夫第二法主要定理;3、系统运动稳定性判据。

十二、线性反馈系统的时间域综合1、状态反馈和输出反馈;2、极点配置的设计方法;3、状态观测器的设计;4、状态观测器和状态反馈组合系统。

第六章 线性反馈系统的状态空间综合(1)

第六章 线性反馈系统的状态空间综合(1)

第六章 线性反馈系统的状态空间综合6.1 引言1)什么是综合问题?系统综合问题由被控系统、性能指标和控制输入3个要素组成。

¾ 被控系统:兼顾应用广泛性和理论分析的简单性,限于考虑严格真线性时不变系统 Cxy t x x Bu Ax x=≥=+=000,)(, ¾ 性能指标:控制系统具备的性能。

¾ 控制输入:通常取反馈形式,包含状态反馈和输出反馈,即系统综合问题就是,对给定的被控系统,确定反馈控制,使得导出的闭环系统运动行为 达到期望的性能指标。

性能指标分类可区分为“非优化型性能指标”和“优化型性能指标”。

非优化型性能指标:属于不等式型指标,目标是使综合的系统达到期望指标。

优化型性能指标:极值型指标,目标为使系统性能指标函数极大或极小。

典型的非优化型性能指标 1) 渐近稳定:镇定问题2) 一组期望闭环极点:极点配置问题 3) MIMO 系统化为多个SISO 系统:解耦问题4) 使输出在外部干扰环境下无静差的跟踪参考信号:跟踪问题优化型性能指标通常取为000>>+=∫∞R Q dx Ru u Qx x u J T T ,,)()(2)研究综合问题的思路建立“可综合条件”,建立确定相应控制规律的“算法”。

3)综合与工程实现中的一些理论问题及外部扰动的影响等。

¾ 状态反馈的物理构成:状态一般不能直接测量,需要引入状态重构或估计;¾ 系统结构参数摄动的影响:系统模型总是存在不确定性因素,鲁棒性问题;¾ 外部扰动的影响:扰动抑制。

6.2 反馈6.2.1 状态反馈1)状态反馈结构图2)系统描述⎩⎨⎧=≥=+=CxytxxBuAxx0,)(,:Σ)()()(tvtKxtu+−=⎩⎨⎧=≥=+−=⇒CxytxxBvxBKAxxf,)(,)(:Σ闭环系统传递函数:定理:状态反馈的引入,不改变系统的能控型,但可能改变系统的能观测性。

证明:1)能控性BBKAsICsGK1−+−=)()(设0∑和k ∑的能控型判别矩阵分别为c Q 和ck Q ,有()()n 1n 1ck c −−⎡⎤=−−⎣⎦−−⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⋅⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦−−⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q BA BK BA BKB I KBKBK KA *0I K *BAB A B 00I *000I I KBKBK KA *0I K *Q 00I *000I """""###%#""""###%#"可以看出,ck Q 与c Q 的秩相同,从而k ∑能控,而且仅当0∑能控。

第六章线性反馈系统的时间域综合-tgh.ppt

第六章线性反馈系统的时间域综合-tgh.ppt

In K
0
I
p
rank sI A BK, B rank sI A, B
{A-BK,B}能控的充要条件是
rank sI A BK, B n,s C
2)能观测性可以改变: 可举反例说明。
结论6.2[输出反馈]
输出反馈的引入不改变系统的能控性和能观测性,即
yf 能控(能观)性= o 能控(能观)性
一个状态反馈来实现。
但 FC K 的解 F 通常不存在。
反馈信息上:状态反馈优于输出反馈
状态 x 可完全地表征系统结构的信息,
状态反馈是一种完全的系统信息反馈。 输出反馈是一种不完全的系统信息反馈。 为了使反馈系统获得良好的动态性能,必须采用完全信息 反馈系统,即状态反馈。
改善输出反馈方法 欲使输出反馈也能达到满意的性能,引入串联补偿器和并 联补偿器,构成动态输出反馈系统:
状态反馈(闭环)系统的构成:
xf : x ( A BK )x Bv y Cx
注意:闭 环系统的 特征值
传递函数矩阵为:
GK (s) C(sI A BK )1 B
v u
B
x C
y
A
K
输出反馈:
控制 u取为输出 y 的线性函数:
u Fy v
称为输出反馈(静态输出反馈)。
v 为参考输入。Biblioteka 第6章 线性反馈系统的时间域综合
6.1 引言 6.2 状态反馈和输出反馈 6.3 极点配置问题: 可配置条件和算法 6.4 镇定问题: 可镇定的条件和算法 6.5 解耦问题: 可解耦的条件和算法 6.6 跟踪问题: 无静差性和鲁棒控制 6.7 状态重构问题和状态观测器 6.8 引入观测器的状态反馈控制系统的特性
6.1 引言

线性系统理论讲义

线性系统理论讲义

对于线性系统
X A(t)X B(t)u Y C(t)X D(t)u
1/2,12/50
时变系统和时不变系统
若向量f,g不显含时间变量t,即
f
g
f (x, u) g(x, u)
该系统称为时不变系统
若向量f,g显含时间变量t,即
f
g
f (x, u, t) g(x, u, t)
该系统称为时变系统
x t ,K , x t 为坐
1
n
标轴构成的 n 维空间。
(5)状态方程:描述系统状态与输入之间关系
的、一阶微分方程(组):x&(t) Ax(t) Bu(t)
(6) 输出方程:描述系统输出与状态、输入之间关
系的数学表达式: y(t) Cx(t) Du(t)
(7)状态空间表达式: (5)+ (6). 状态变量的特点: (1)独立性:状态变量之间线性独立. (2)多样性:状态变量的选取并不唯一,实
4/18,17/50
写成矩阵形式: x1
x2
0
0
xn1 xn
0
a0
1 0 0 1
0 0 a1 a2
0 0
x1 x2
0 0
1 an
1
xn1
xn
u 0 1
y b0 a0bn
b1 a1bn
bn2 an2bn
x1
x2
bn1 an1bn bnu
5/18,18/50
结论2 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空
uc
R2C
duc dt
R1iL
R1C
duc dt
L diL dt
L diL dt

线性控制理论总复习(2012)

线性控制理论总复习(2012)
: x A(t ) x B(t )u y C (t ) x
(1)
线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为:
d : T AT (t ) T C T (t ) T T BT (t ) T
(2)
式中: —协状态, n维行向量; —输出, p维行向量;
如果其状态空间描述具有如下形式
ˆ ˆ ˆ ˆ x Ao x bou
其中:
0 0 0 1 1 ˆ Ao 1 n-1
ˆ ˆ y co x
ˆ co 0 0 1
则称此状态空间描述为能观测规范形。
25
总复习:现代控制理论
2.PBH秩判据
i I A rank n; C
i 1, 2, , n
3.对角线规范型判据
4.约当规范型判据
13
总复习:现代控制理论
3. 对角线规范型判据(※)
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时, 线性定常连续系统 x Ax x(0) x0 t0 y Cx
x (t ) L1 X ( s ) L1 (s A) 1[ x0 +B U ( s )]
9
总复习:现代控制理论
第4章 线性系统的可控性与可观测性
一、线性定常连续系统的可控性判据(※) 1.秩判据
rankQc rank B AB An 1 B n
2.PBH秩判据
rank i I A B n
i 1, 2, , n
3.对角线规范型判据 4.约当规范型判据
10
总复习:现代控制理论
3.对角线规范型判据(※)
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时, 线性定常连续系统 x(t ) Ax(t ) Bu (t ) x(0) x0 t 0 完全能控的充分必要条件是:其对角线规范型

《线性系统综合》PPT课件

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用,主要内容为
状态反响与输出反响、 状态观测器,
带观测器的状态反响闭环系统。
2021/5/29
第6章 线性系统综合
概述
系统综合是系统分析的逆问题。 系统分析问题即为对系统构造和参数,以及确定好系统
的外部输入(系统鼓励)下,对系统运动进展定性分析 如能控性、能观性、稳定性等 和定量运动规律分析
如系统运动轨迹、系统的性能品质指标等。 的探讨。
– 以现代技术的观点,这些方法应方便地使用计算机 实现,其相应的数值计算方法具有较好的数值稳定 性,即在计算过程中可能出现的计算误差是否被不 断放大、传播,还是被抑制在一个小的范围,其影响 逐渐减弱。
2021/5/29
第6章 线性系统综合
• 在综合问题中,不仅存在可综合问题和算法求解问题,还存在 控制系统在工程实现上所涌现的一些理论问题。如:
• 这就需要基于状态观测理论,根据系统模型,利用直接测量到 的输入输出信息来构造或重构状态变量信息。
• 状态获取问题
• 对状态反响控制系统,要实现已求解的状态反响规律,需要获 取被控系统的状态信息,以构成反响。
• 但对许多实际系统,所考虑的状态变量是描述系统内部信息的 一组变量,可能并不完全能直接测量或以经济的方式测量。
• 这就需要基于状态观测理论,根据系统模型,利用直接测量到 的输入输出信息来构造或重构状态变量信息。
而系统综合问题为系统系统构造和参数,以及所期望的 系统运动形式或关于系统运动动态过程和目标的某 些特征,所需要确定的是那么需要施加于系统的外部 2021/5/29 输入的大第小6章或线性规系统律综合。
– 一般情况下,控制理论开展与控制系统设计的追求目标为解析的反 响控制作用规律(反响控制律)。
– 对复杂的动力学被控系统,在解析反响控制规律难于求解的情形下, 需要求系统的数值反响控制规律或外部输入函数的数值解序列(开 环控制输入)。

线性系统理论PPT-郑大钟(第二版)

线性系统理论PPT-郑大钟(第二版)

系统具有如下3个基本特征:
(1)整体性
1.结构上的整体性 2.系统行为和功能由整体 所决定
(2)抽象性
作为系统控制理论的研 究对象,系统常常抽去 了具体系统的物理,自 然和社会含义,而把它 抽象为一个一般意义下 的系统而加以研究。
(3)相对性
在系统的定义 中, 所谓“系统” 和“部分”这 种称谓具有相 对属性。
u1 u2

up
x1 x2
动力学部件

xn
输出部件
y1 y2

yq
连续时间线性系统的状态空间描述
线性时不变系统
x Ax Bu

y

Cx

Du
线性时变系统
x A(t)x B(t)u

y

C (t ) x

D(t
)u
连续时间线性系统的方块图
x A(t)x B(t)u
对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述
y (n) an1 y (n1) a1 y (1) a0 y bmu (m) bm1u (m1) b1u (1) b0u

H (k )
单位延迟
C(k)
y(k)
u(k)


G(k)
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
设系统的状态空间描述为 x f ( x,u, t) y g( x,u, t)
向量函数
f1(x,u,t)
g1(x,u,t)
f
(
x,u,
t
)


f
2
(
x,u,
e
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第6章线性反馈系统的时间域综合
(4) 计算变换矩阵P-1:
(5) 计算P:
(6) 计算原系统的反馈增益阵:
第6章线性反馈系统的时间域综合
上例的规范计算方法 解:系统的可控性判别阵为:
系统是完全可控的,满足可配臵条件。 1)系统的特征多项式为:
第6章线性反馈系统的时间域综合
2)系统的期望特征多项式为:
第6章线性反馈系统的时间域综合
一 单输入系统的极点配臵
1.极点可配臵条件 定理: 利用状态反馈任意配臵闭环极点的充分
必要条件是被控系统可控。
例如下列系统:
2 0 x 0 0
1 2 0 0
0 0 1 0
0 0 能否使闭环极点 {-2,-2,-1,-1} 0 x 1 u ;配臵到这些位臵? {-2,-2,-2,-2} 0 1 {-2,-2,-2,-1} 1 1
则闭环系统的系统矩阵为:
1 2 0 1 2 A bK 0 4 0 3 1 0 1
则闭环系统为:
1 2 0 x x v,y 1 1 x 0 1 1
闭环系统可观测性判别矩阵为:
A x B u ;y C x ; 设系统为 x
引入状态的线性反馈 u v K x 。
式中
线性状态反馈, 简称状态反馈
v是p维参考输入;K∈Rp×n是p×n维定常反馈矩阵。
第6章线性反馈系统的时间域综合
状态反馈系统的结构图
v
+
u -
B
+
x
+
∫ A K
x
C
y
状态反馈(闭环)系统的状态空间描述为:
36
第6章线性反馈系统的时间域综合
6.2 系统的极点配臵(※)
利用状态反馈和输出反馈使闭环系统的极 点位于所希望的极点位臵,称为极点配臵。状 态反馈和输出反馈都能配臵闭环系统的极点。 状态反馈K不能改变不可控部分的极点,但 能够任意配臵可控部分的极点。 输出反馈F也只能配臵可控部分的极点,但 不一定能实现期望极点的任意配臵;不能将极 点配臵到系统的零点处。
第6章线性反馈系统的时间域综合 对于线性定常受控系统
如果可以找到状态反馈控制律
使得通过反馈构成的闭环系统
是渐近稳定的,即( A-BK )的特征值均具有负 实部,则称系统实现了状态反馈镇定。 定理:当线性定常系统的 不可控 部分渐近稳定 时,系统是状态反馈可镇定的。
第6章线性反馈系统的时间域综合
证明:由于系统{A, B}不完全可控,其结构分解为
能否通过状态反馈镇定?请说明理由。
36
K 4 8 2
第6章线性反馈系统的时间域综合
考虑系统
0 1 0 0 0 0 1 x 0 u, y 1 1 0 x x 0 0 3 1
(1) 求出系统的传递函数
(2)引入状态变量的线性反馈,反馈增益矩阵为 K 4 8 2 , 反馈后闭环系统的可控性和可观性是否改变,请说明理由。
( A BK ) x Bv , x
y Cx
特征多项式: ( s) det ( s I A BK )
1 G ( s ) C ( s I A BK ) B 传递函数矩阵: K
第6章线性反馈系统的时间域综合
2. 输出反馈
当将系统的控制量u取为输出y的线性函数
若A为循环矩阵,则至少存在一个n维列向
量b,使{A,b}可控
第6章线性反馈系统的时间域综合
循环矩阵相关定理:
定理1:若系统{A,B}完全能控,且A为循环矩阵, 则几乎对任意的实向量 ,单输入系统 {A,Bρ}状态 p1
完全能控.
定理2: 若A不是循环矩阵,且系统{A,B} 完全能控,则几乎对任意的矩阵 K pn ,A-BK的全
第6章线性反馈系统的时间域综合
二. 反馈结构对系统性能的影响
1. 对系统可控性和可观测性的影响
定理:状态反馈不改变系统的可控性, 但可能改变系统的可观测性。
证明:证可控性不变。
In 0 [( s I A) B ] [( s I A BK ) B ] ; K I p
有不可控极点,极点配臵有解,否则无解。
第6章线性反馈系统的时间域综合
例 已知线性定常系统状态方程为
0 0 0 1 x 1 6 0 x 0 u 0 1 12 0
求反馈向量k,使系统的闭环特征值为:
1 2, 2 1 j , 3 1 j
其中: K K P;K K P 1 即状态反馈不能改变不可控极点,因此使闭环系 统稳定的必要条件是不可控部分是渐近稳定的。
第6章线性反馈系统的时间域综合
考虑系统
1 1 0 0 x 1 1 x x 2 0 2 0 x 2 0 u 3 x 0 0 3 x 3 2
来独立设臵,也就是说
的特征值可以任意
选择,即系统的极点可以任意配臵。 2)必要性:如果系统(A, b)不可控,说明系统 的有些状态将不受 u 的控制,则引入状态反馈时 就不可能通过控制 k 来影响不可控的极点。
第6章线性反馈系统的时间域综合
二. 单输入—单输出系统的极点配臵算法(※)
给定可控系统(A,b,c)和一组期望的闭环特征 值 , 要确定(1×n)维的反馈增益向量k, 。
1 1 Qo ;rank Qo 1 2; 1 1 所以闭环系统是不完全可观测,其传递函数为
s 1 1 GK ( s) ( s 1)( s 1) s 1
有零极点 对消!!
第6章线性反馈系统的时间域综合
定理:输出反馈不改变系统的可控性和可观测性。
证明:证可控性不变。
例:已知可控可观测系统
1 2 0 x x u,y 1 1 x 0 3 1
原系统的传递函数:
s 1 G( s) ( s 1)( s 3)
没有零极 点对消!
若采用的状态反馈是:
u v K x v [0 4] x
第6章线性反馈系统的时间域综合
3)计算

4)变换矩阵为:
第6章线性反馈系统的时间域综合
5)求P:
6)计算反馈增益向量:
第6章线性反馈系统的时间域综合
二 多输入系统的状态反馈极点配臵
1 直接法
循环矩阵定义:矩阵A的特征多项式等于其最小多项式 循环矩阵性质: 当且仅当A的约当标准型中相应于每个不同的 特征值仅有一个约当小块时,A为循环矩阵。 若A的n个特征值两两互异,则A为循环矩阵;
为循环矩阵,即
A - BK1 A A
若A不是循环矩阵 若A是循环矩阵
第2步:对循环矩阵 A,适当选取实常向量 p1, bn1 Bnp p1 ,使 {A, b} 令: 为状态完全能控。
第6章线性反馈系统的时间域综合
第3步:对于等价单输入系统 {A, b} ,利用单输入 极点配臵问题的算法,求出状态增益向量 k1n
部特征值均不相同,因而A-BK是循环矩阵。
定理3: 对n阶多输入线性定常系统,通过
状态反馈,实现系统全部n个极点任意配臵的充
要条件是系统状态完全能控。
第6章线性反馈系统的时间域综合
多输入系统极点配臵算法[直接法]
第1步:判断矩阵A是否为循环矩阵 若不是,则引入一状态反馈 u w - K1x
(A - BK1 )x Bw 的系统矩阵 A - BK1 使得系统 x
u v Fy v FC x
时,称之为线性输出反馈,常简称为输出反馈。 式中: v是 p维参考输入向量; F是 p×q维实反馈 增益矩阵。
第6章线性反馈系统的时间域综合
输出反馈系统的结构图 v + u -
B
+
x
+
∫ A F
x
C
y
输出反馈(闭环)系统的状态空间描述为:
( A BFC ) x B v, y C x x
可见对于任意的F阵以及所有的s,有
根据系统可控性的PBH秩判据可知,其可控证可观性不变:
可见对于任意的F阵以及所有的s,有
根据系统可观测性的 PBH 秩判据可知,其可观 测性在输出反馈前后保持不变。
第6章线性反馈系统的时间域综合
2. 反馈结构对系统稳定性的影响
状态反馈和输出反馈都改变系统的特征值,故都影 响系统的稳定性。
镇定:加入反馈,使得通过反馈构成的闭环系统 成为稳定系统,称之为镇定。
可镇定性:如果采用反馈措施能够使闭环系统稳定, 称该系统是反馈可镇定的。 由于状态反馈具有许多优越性,而且输出反馈总可 以找到与之性能等同的状态反馈系统,故在此只讨论状 态反馈的可镇定性问题。
Ac A PAP 0
1
A12 Bc ; B PB ; Ac 0
对于任意的状态反馈矩阵 K [ K c K c ] ,可导出
det (s I A BK ) det (s I A B K )
det (s I r A c Bc K c ) det (s I n-r A c );
显然对于任意的K阵以及所有的s,有
rank [(s I A BK ) B ] rank[(s I A) B ]
根据系统可控性的PBH秩判据可知,其可控性在状 态反馈前后保持不变。
第6章线性反馈系统的时间域综合 再来证状态反馈系统,不一定能保持可观测性。由于状态反 馈改变系统的极点(特征值),若发生零点与极点抵消情况, 则改变系统的可观性。
使闭环系统矩阵(A-bk)的特征值为
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