1平面图形的认识(二)

学科教师辅导讲义学生姓名：年级：七课时数：3辅导科目：数学辅导教师：辅导内容：平面图形的认识(二）章节复习辅导日期：教学目标：1.掌握平行线的性质与判定2.掌握三角形的有关性质3.掌握平移的变化4.掌握多边形内角和与外角和公式【同步知识梳理】1.已知三角形的三边分别为4，a，8，那么a的取值范围是（）A．4＜a＜8 B．1＜a＜12 C．4＜a＜12 D．4＜a＜62．如图所示是同位角关系的是()．A．∠3和∠4 B．∠1和∠4 C．∠2和∠4 D．不存在3．下列说法正确的是()．A．相等的角是对顶角.B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等.C．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.D．若两个角的和为180°，则这两个角互为余角.4．∠1和∠2是直线AB和CD被直线EF所截得到的同位角，那么∠1和∠2的大小关系是()．A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定5．如图所示中，不能通过基本图形平移得到的是()．6．一个人从A点出发向北偏东60°方向走到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走到C点，那么∠ABC 等于()．A．75°B．105°C．45°D．135°7．一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形8．如果在同一平面内有两个图形甲和乙，通过平移，总可以完全重合在一起(不论甲和乙的初始位置如何)，则甲和乙是()．A．两个点B．两个半径相等的圆C．两个点或两个半径相等的圆D．两个能够完合重合的多边形答案：c9. 如图所示，AB∥CD，EF分别交AB、CD于G、H两点，若∠1＝50°，则∠EGB＝________．10．如图所示，已知BC∥DE，则∠ACB＋∠AOE＝．11．每天小明上学时，需要先由家向东走150米到公共汽车站点，然后再乘车向西900米到学校，每天小明由家到学校移动的方向是________，移动的距离是________．12. (广东湛江)如图所示，请写出能判断CE∥AB的一个条件，这个条件是；①：________ ②：________ ③：________13．（2015•成都）如图，直线m∥n，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，则∠1=度．14．如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，EO⊥AB，∠EOD＝25°，则∠BOD＝，∠AOC＝，∠BOC＝．15. 如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西．16.如图，在一块长为a米，宽为b米的长方形地上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是2米，其它部分都是草地．求草地的面积．答案：（a-2）b【精题精练精讲】专题1:平行线的性质与判定1．（2018秋•禅城区期末）如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°．（1）求证：AB∥DE；（2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接PB，PE．则∠ABP，∠DEP，∠BPE 三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）？并说明理由．【分析】（1）根据∠A+∠B＝90°，∠A+∠1＝90°，即可得到∠B＝∠1，进而得出AB∥DE．（2）分三种情况讨论：点P在A，D之间；点P在C，D之间；点P在C，F之间；分别过P作PG∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间的数量关系．2．（2018秋•通州区期末）如图，D，E分别是三角形ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，点F在DE 的延长线上，且∠DFC＝∠A．（1）求证：AB∥CF；（2）若∠ACF比∠BDE大40°，求∠BDE的度数．北北甲乙【分析】（1）只要证明∠DFC＝∠BDE，即可解决问题；（2）用构建方程组的思想即可解决问题；变式训练：1．（2018春•丰台区期末）阅读下列材料：已知：如图1，直线AB∥CD，点E是AB、CD之间的一点，连接BE、DE得到∠BED．求证：∠BED ＝∠B+∠D．小冰是这样做的：证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠D．∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．图1即∠BED＝∠B+∠D．请利用材料中的结论，完成下面的问题：已知：直线AB∥CD，直线MN分别与AB、CD交于点E、F．（1）如图2，∠BEF和∠EFD的平分线交于点G．猜想∠G的度数，并证明你的猜想；（2）如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2．求证：∠FG1E+∠G2＝180°．【分析】（1）由材料中的结论得∠EGF＝∠BEG+∠GFD，根据EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，得到∠BEF＝2∠BEG，∠EFD＝2∠GFD，由于BE∥CF到∠BEF+∠EFD＝180°，于是得到2∠BEG+2∠GFD＝180°，即可得到结论；（2）过点G1作G1H∥AB，由结论可得∠G2＝∠1+∠3，∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，得到∠3＝∠G2FD，由于FG2平分∠EFD，求得∠4＝∠G2FD，由于∠1＝∠2，于是得到∠G2＝∠2+∠4，由于∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，得到∠EG1F+∠G2＝∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD＝∠BEF+∠EFD，然后根据平行线的性质即可得到结论．2．（2018春•涟源市期末）如图1，直线AG与直线BH和DI分别相交于点A和点G，点C为DI上一点，且CE⊥AG，垂足为点E，∠DCE﹣∠HAE＝90°．（1）求证：BH∥DI．（2）如图2：直线AF交DC于F，AM平分∠EAF，AN平分∠BAE，证明：∠AFG＝2∠MAN．【分析】（1）由三角形内角和定理和邻补角的定义得到∠DCE＝∠CEG+∠CGA，结合垂直的定义、三角形外角的性质得到∠CGA＝∠HAE，所以BH∥DI；（2）根据角平分线的定义表示出∠EAM、∠EAN，然后求出∠MAN，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAF＝∠AFG，从而得解．3．（2018春•天桥区期末）（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠P AB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC 的度数．小明想到一种方法，但是没有解答完：如图2，过P作PE∥AB，∴∠APE+∠P AB＝180°．∴∠APE＝180°﹣∠P AB＝180°﹣130°＝50°．∵AB∥CD．∴PE∥CD．…………请你帮助小明完成剩余的解答．（2）问题迁移：请你依据小明的思路，解答下面的问题：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．①当点P在A、B两点之间时，∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．②当点P在A、B两点外侧时（点P与点O不重合），请直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系．【分析】（1）过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（3）画出图形，分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．专题2:认识三角形1．（2011春•米东区校级期末）操作与探究探索：在如图1至图3中，△ABC的面积为a．（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连接DA、若△ACD的面积为S1，则S1＝a （用含a的代数式表示）；（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连接DE、若△DEC的面积为S2，则S2＝（用含a的代数式表示）；（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图3）、若阴影部分的面积为S3，则S3＝（用含a的代数式表示）．发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次、可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的；倍．【分析】（1）根据等底等高的三角形面积相等解答即可；（2）分别过A、E作BD的垂线，根据三角形中位线定理及三角形的面积公式求解即可；（3）由△BFD、△ECD及△AEF的边长为△ABC边长的一半，高与△AEF的高相等解答即可．2.如图，已知△ABC的面积为1cm2，如果AD＝2AC，BF＝3BA，CE＝4CB，求△DEF的面积．分析：连接AE、BD、CF，把△DEF分解成七部分，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比，结合△ABC的面积，求出另外六个三角形的面积变式训练：1．（2009春•芜湖校级期末）探究规律：如图，已知直线m∥n，A，B为直线m上的两点，C，P为直线n上两点．（1）请写出图中面积相等的各对三角形：．（2）如果A，B，C为三个定点，点P在n上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总有与△ABC的面积相等．理由是：．【分析】根据两条平行线间的距离处处相等，再结合三角形的面积公式，首先判断出：△ABC与△ABP，△ACP与△BCP这两对三角形分别是同底等高的，故两对三角形的面积分别相等．再根据等式的性质，让其中一对三角形的面积都减去公共的部分，即可得到第三对三角形的面积相等，即△AOC与△BOP．2．探索：在如图1至图3中，△ABC的面积为a．（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1＝（用含a的代数式表示）；（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2＝（用含a的代数式表示），并写出理由；（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连接FD、FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3＝（用含a的代数式表示）．发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的倍．应用：去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？【分析】（1）根据三角形的面积公式，等底同高的两个三角形的面积相等；（2）运用分割法：连接AD．根据三角形的面积公式进行分析：等底同高的两个三角形的面积相等；（3）在（2）的基础上，阴影部分的面积是（2）中求得的面积的3倍；再加上原来三角形的面积进行计算．应用：根据上述结论，即扩展一次后得到的三角形的面积是原三角形的面积的7倍，则扩展两次后，得到的三角形的面积是原三角形的面积的72＝49倍．从而得到扩展的区域的面积是原来的48倍．3．如图所示，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是四边形形内一点，若S四边形AEOH＝3，S四边形BFOE＝4，S四边形CGOF＝5，求S四边形DHOG．【分析】连接OC，OB，OA，OD，易证S△OBF＝S△OCF，S△ODG＝S△OCG，S△ODH＝S△OAH，S△OAE＝S△OBE，所以S四边形AEOH+S四边形CGOF＝S四边形DHOG+S四边形BFOE，所以可以求出S四边形DHOG．专题3:图形的平移1.（2019春•赣榆区期中）如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到△A′B′C′．（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）画出平移后的△A′B′C′的中线B′D′（3）若连接BB′，CC′，则这两条线段的关系是（4）△ABC在整个平移过程中线段AB扫过的面积为（5）若△ABC与△ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有个（注：格点指网格线的交点）【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A′、B′、C′即可；（2）利用网格特点找出A′C′的中点D′，然后连接B′D′即可；（3）根据平移的性质求解；（4）利用平移的性质和平行四边形的面积公式求解；（5）过点C作AB的平行线，然后找出此平行线上的格点即可．2.（2019春•新吴区期中）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．（1）画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A1B1C1；（2）图中AC与A1C1的关系是：；（3）画出△ABC的AB边上的高CD；垂足是D；（4）图中△ABC的面积是．【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1；（2）根据平移的性质求解；（3）利用网格特点，过点C画CD⊥AB于D；（4）利用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可计算出△ABC的面积．变式训练：1．（2018春•兴义市期中）如图，将方格纸中的三角形ABC先向右平移2格得到三角形DEF，再将三角形DEF向上平移3格得到三角形GPH．（1）动手操作：按上面步骤作出经过两次平移后分别得到的三角形；（2）设AC与ED相交于点M．则图中与∠BAC相等角有．【分析】（1）首先确定A、B、C三点向右平移2格后所得对应点D、E、F三点的位置，然后再连接，然后再向上平移3格可得G、P、H三点位置，再连接即可；（2）根据平移的性质可得与∠BAC相等的角是∠D，∠G，根据平行线的性质可得与∠BAC相等的角还有∠AMD，∠CME；2．（2018春•宿豫区期中）如图，△ABC中，∠B＝90°，把△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若AB＝4，BE＝3，PE＝2，求图中阴影部分的面积．【分析】根据平移的性质得到S△ABC＝S△DEF，则利用S阴影部分+S△PEC＝S梯形ABEP+S△PEC得到S阴影部分＝S，然后根据梯形的面积公式求解．梯形ABEP3．（2018春•新罗区校级月考）按要求画图：（1）如图（1）所示，网格内每个小正方形的边长都为1个单位长度，试画出小船向右平移4 个单位长度，向上平移4个单位长度后的图形．（2）如图（2）过点P分别画直线m、n的垂线．【分析】（1）根据平移的性质作图；（2）利用尺规作图作出直线m、n的垂线．专题4:多边形的内角和与外角和1．（2019春•江阴市期中）初一（10）班数学学习小组“孙康映雪”在学习了第七章平面图形的认识（二）后对几何学习产生了浓厚的兴趣．请你认真研读下列三个片断，并完成相关问题．如图1，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．【片断一】（1）小孙说：由四边形内角和知识很容易得到∠OBC+∠ODC的值．如果你是小孙，得到的正确答案应是：∠OBC+∠ODC＝°．【片断二】（2）小康说：连结BD（如图2），若BD平分∠OBC，那么BD也平分∠ODC．请你说明当BD平分∠OBC时，BD也平分∠ODC的理由．【片断三】（3）小雪说：若DE平分∠ODC、BF平分∠MBC，我发现DE与BF具有特殊的位置关系．请你先在备用图中补全图形，再判断DE与BF有怎样的位置关系并说明理由．【分析】（1）根据四边形的性质，可得答案；（2）根据三角形内角和定理和角平分线的定义即可求解；（3）根据补角的性质，可得∠CBM＝∠ODC，根据相似三角形的判定与性质，可得答案．2．（2017秋•民权县月考）如图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：；（2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝度（3）如图3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）∠6，∠7的和与∠8，∠9的和相等．由多边形的内角和得出答案即可；（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠P AB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP＝∠P AB，∠DCP＝∠PCB，将①+②，可得2∠P＝∠D+∠B．变式训练：1．（2017春•虎丘区校级期中）已知如图，四边形ABCD中∠BAD＝α，∠BCD＝β，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC（1）如图1，若α+β＝150°，则∠MBC+∠NDC＝度；（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请求出α、β所满足的等量关系式；（3）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．【分析】（1）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及α+β＝150°推导即可；（2）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可；（3）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的外角的性质计算即可．2．（2017春•宿城区校级月考）（1）如图①，将△ABC纸片沿DE，使点A落在四边形BCED内部点A 的位置，若∠A＝40°，则∠1+∠2＝°；若∠A＝30°，则∠1+∠2＝°；猜想∠A与∠1、∠2的数量关系为：∠1+∠2＝；请说明理由．（2）如图②，将△ABC纸片沿DE进行折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A的位置，写直接出∠A与∠1、∠2之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（2）根据翻折的性质可得∠A＝∠DA′E，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解．3．（2016秋•费县期中）（1）如图1、2，试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系；（2）用你发现的结论解决下列问题：如图3，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B+∠C＝240°，求∠E的度数．【分析】（1）根据四边形的内角和等于360°用∠5+∠6表示出∠3+∠4，再根据平角的定义用∠5+∠6表示出∠1+∠2，即可得解；（2）根据（1）的结论求出∠MDA+∠NAD，再根据角平分线的定义求出∠ADE+∠DAE，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．【能力拓展训练】1．（2015春•江都区校级月考）如图1，一张△ABC纸片，点M、N分别是AC、BC上两点．（1）若沿直线MN折叠，使C点落在BN上，则∠AMC′与∠ACB的数量关系是（写出结论即可）．（2）若折成图2的形状，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB的数量关系，并说明理由．（3）若折成图3的形状，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB的数量关系，并说明理由．（4）将上述问题推广，如图4，将四边形ABCD纸片沿MN折叠，使点C、D落在四边形ABNM的内部时，∠AMD′+∠BNC′与∠C、∠D之间的数量关系是（写出结论即可）．【分析】（1）根据折叠性质和三角形的外角定理得出结论；（2）先根据折叠得：∠CMN＝∠C′MN，∠CNM＝∠C′NM，由两个平角∠CMA和∠CNB得：∠AMC′+∠′BNC′等于360°与四个折叠角的差，化简为结果；（3）利用两次外角定理得出结论；（4）与（2）类似，先由折叠得：∠DMN＝∠D′MN，∠CNM＝∠C′NM，再由两平角的和为360°得：∠AMD′+∠BNC′＝360°﹣2∠DMN﹣2∠CNM，根据四边形的内角和得：∠DMN+∠CNM＝360°﹣∠C﹣∠D，代入前式可得结论．【解答】解：（1）由折叠得：∠ACB＝∠MC′C，∵∠AMC′＝∠ACB+∠MC′C，∴∠AMC′＝2∠ACB；故答案为：∠AMC′＝2∠ACB；（2）猜想：∠AMC′+∠BNC′＝2∠ACB，理由是：由折叠得：∠CMN＝∠C′MN，∠CNM＝∠C′NM，∵∠CMA+∠CNB＝360°，∴∠AMC′+∠′BNC′＝360°﹣∠CMN﹣∠C′MN﹣∠CNM﹣∠C′NM＝360°﹣2∠CMN﹣2∠CNM，∴∠AMC′+∠BNC′＝2（180°﹣∠CMN﹣∠CNM）＝2∠ACB；（3）∵∠AMC′＝∠MDC+∠C，∠MDC＝∠C′+∠BNC′，∴∠AMC′＝∠C′+∠BNC′+∠C，∵∠C＝∠C′，∴∠AMC′＝2∠C+∠BNC′，∴∠AMC′﹣∠BNC′＝2∠ACB；（4）由折叠得：∠DMN＝∠D′MN，∠CNM＝∠C′NM，∵∠DMA+∠CNB＝360°，∴∠AMD′+∠BNC′＝360°﹣2∠DMN﹣2∠CNM，∵∠DMN+∠CNM＝360°﹣∠C﹣∠D，∴∠AMD′+∠BNC′＝360°﹣2（360°﹣∠C﹣∠D）＝2（∠C+∠D）﹣360°，故答案为：∠AMD′+∠BNC′＝2（∠C+∠D）﹣360°．【点评】本题是折叠变换问题，思路分两类：①一类是利用外角定理得结论；②一类是利用平角和多边形内角和相结合得结论；字母书写要细心，角度比较复杂，是易错题．2．（2014春•江阴市期末）探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？如图甲，∠FDC、∠ECD为△ADC的两个外角，则∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？如图乙，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，则∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图丙，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，则∠P与∠A+∠B的数量关系．探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF呢？如图丁则∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系．探究五：如图，四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若设∠A＝α，∠D＝β；（1）如图①，α+β＞180°，则∠F＝；（用α，β表示）（2）如图②，α+β＜180°，请在图中画出∠F，且∠F＝；（用α，β表示）（3）一定存在∠F吗？如有，直接写出∠F的值，如不一定，直接指出α，β满足什么条件时，不存在∠F．【分析】探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；探究二：根据角平分线的定义可得∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；探究三：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；探究四：根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；探究五：①根据四边形的内角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根据角平分线的定义可得∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠DCE，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠F+∠FBC ＝∠FCE，然后整理即可得解；②同①的思路求解即可；③根据∠F的表示，∠F为0时不存在．【解答】解：探究一：∵∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD＝∠A+∠ACD+∠A+∠ADC＝180°+∠A；探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠ACD，∴∠DPC＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝180°﹣（∠ADC+∠ACD）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A；探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠BCD，∴∠DPC＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°﹣∠ADC﹣∠BCD＝180°﹣（∠ADC+∠BCD）＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）＝（∠A+∠B）；探究四：六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2）•180°＝720°，∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，∴∠PDC＝∠EDC，∠PCD＝∠BCD，∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°﹣∠EDC﹣∠BCD＝180°﹣（∠EDC+∠BCD）＝180°﹣（720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F）＝（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°即∠P＝（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°，探究五：①由四边形内角和定理得，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°，由三角形的外角性质得，①∠FCE＝∠F+∠FBC，∵BF、CF分别是∠ABC和∠DCE的平分线，∴∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠DCE，∴∠F+∠FBC＝（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）＝（∠A+∠D）+∠ABC﹣90°，∴∠F＝（∠A+∠D）﹣90°，∵∠A＝α，∠D＝β，∴∠F＝（α+β）﹣90°；②如图5，同①可求，∠F＝90°﹣（α+β）；③∠F不一定存在，当α+β＝180°时，∠F＝0，不存在．故答案为：探究一：∠FDC+∠ECD＝180°+∠A；探究二：∠P＝90°+∠A；探究三：∠P＝（∠A+∠B）．探究四：∠P＝（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°；探究五：①，②．3．（2012•镇江模拟）（1）填表：n（凸多边形的边数）345…m（凸多边形中角度等于135°的内角个数的最大值）…（2）猜想给定一个正整数n，凸n边形最多有m个内角等于135°，则m与n之间有怎样的关系？（3）取n＝7验证你的猜想是否成立？如果不成立，请给出凸n边形中最多有多少个内角等于135°？并说明理由．【分析】（1）根据三角形、四边形、五边形的内角和，可求得答案；（2）根据（1）可猜想凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n﹣2；（3）设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°，由凸n边形的n 个外角和为360°，可得k≤＝8，只有当n＝8时，m才有最大值8，即可得当3≤n≤5时，凸n 边形最多有n﹣2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n﹣1个内角等于135°；当n＝8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°．4．一个凸多边形的内角的度数从小到大排列，恰好依次增加相同的度数，其中最小角是100°，最大角是140°，求这个多边形的边数．【分析】设边数为n，增加相同度数为x，根据依次增加相同的度数，从100°增加到了140°，用n表示出x，再根据n边形的内角和进行列方程求解．【解答】解：设边数为n，增加相同度数为x，则：100+（n﹣1）x＝140，解得：x＝．又因为（n﹣2）•180＝n•100+＝n•100+n•20，解得：n＝6．【点评】此题中要能够用增加相同的度数x表示出多边形的内角和，即100+100+x+100+2x+…+100+（n ﹣1）x＝n•100+（1+2+…+n﹣1）x＝100n+．5．阅读下列材料，然后回答文后问题．如图，在n边形内任取一点O，并把O与各顶点连接起来，共构成n个三角形，这n个三角形的内角和为n•180°，再减去以点O为顶点的一个周角，就可以得到n边形的内角和为（n﹣2）•180°．回答：（1）这种方法是将问题转化为问题来解决的，这种转化是思想的体现，也正是解决问题的基本思想；（2）若在n边形的一边上或外部任取一点O，并把O与各顶点连接起来，那么如何说明n边形的内角和为（n﹣2）•180°．【分析】（1）根据解决多边形问题的基本思想求解；（2）若在n边形的一边上或外部任取一点O，并把O与各顶点连接起来，那么共构成（n﹣1）个三角形，此n边形的内角和为这（n﹣1）个三角形的内角和减去180°，从而得出结论．【解答】解：（1）多边形，三角形，化归，多边形；（2）若O在一边上，连接O与各顶点，则共构成（n﹣1）个三角形，这（n﹣1）个三角形的内角和为（n﹣1）•180°，再减去以点O为顶点的一个平角，即（n﹣1）•180°﹣180°＝（n﹣2）•180°；若点O在外部，连接O与各顶点，则共构成n个三角形，这n个三角形的内角和为n•180°，再减去以点O为顶点的多出的两个三角形的内角和，即n•180°﹣180°×2＝（n﹣2）•180°．【点评】本题主要考查了n边形的内角和定理的推导，体现了数学中的化归思想．【课后知识应用】1．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) .A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°.B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°.C．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°.D．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°.2．两条平行直线被第三条直线所截时，产生的八个角中，角平分线互相平行的两个角是（）.A．同位角B．同旁内角C．内错角 D. 同位角或内错角3. 如图所示，b∥c，a⊥b，∠1＝130°，则∠2＝（）．A．30° B. 40° C. 50° D. 60°4.如图，1753DE//AB,CAE CAB,CDE,∠=∠∠=65B∠=，则∠AEB＝（）．A．70B．65C．60D．555.一个凸n边形，除一个内角外，其余n－1个内角的和是2400°，则n的值是（）．A.15B.16C.17D.不能确定6. 如图所示，把一张对面互相平行的纸条折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论不正确的有（）．A.32='∠EFC B. ∠AEC＝148° C. ∠BGE＝64° D. ∠BFD＝116°7. （玉林二模）过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（）A．8 B．9 C．10 D．118.如图把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，∠A与∠1＋∠2之间的数量关系保持不变，请找一找这个规律，你发现的规律是（）．A、∠A＝∠1＋∠2B、2∠A＝∠1＋∠2C、2∠A＝2∠1＋∠2D、3∠A＝2（∠1＋∠2）9. (荆州二模)如图所示，AB∥CD，点E在CB的延长线上．若∠ECD＝110°，则∠ABE的度数为________．ABC'D'CDEFG10. (宁波外校一模)如图所示，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB等于________．11. (吉安)如图所示，AB∥CD，MN交AB、CD于E、F，EG和FG分别是∠BEN和∠MFD的平分线，那么EG与FG的位置关系是．12．如图，一块梯形玻璃的下半部分打碎了，若∠A＝125°，∠D＝107°，则打碎部分的两个角的度数分别为 .13.（永州）如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC=度．14. 如图，某个窗户上安装有两扇可以滑动的铝合金玻璃窗ABCD和A/B/C/D/，当玻璃窗户ABCD和A/B/C/D/重合时窗户是打开的；反之窗户是关闭的。