点到平面的距离(使用)
点到平面的距离
点到平面的距离对于一个给定的点P和一个平面上的点Q，我们希望计算出点P到该平面的距离。
在几何学中，点到平面的距离可以通过几何公式和向量运算来计算得到。
本文将详细介绍这个计算过程，并提供一些具体的示例和应用。
1. 几何公式计算点到平面的距离要计算一个点P到平面的距离，我们首先需要知道平面的方程。
一般来说，平面可以表示为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D是常数。
点P的坐标可以表示为P(xp, yp, zp)。
我们可以用点P的坐标带入平面方程，得到一个数值d，即点P到平面的有向距离。
如果d为正数，则表示点P在平面的一侧；如果d为负数，则表示点P在平面的另一侧。
点P到平面的无向距离可以通过取绝对值得到，即|d|。
2. 向量运算计算点到平面的距离在向量运算中，我们可以使用向量的方法来计算点到平面的距离。
首先，我们需要构造一个由平面上一点Q指向点P的向量V。
我们可以通过向量减法得到V，即V = P - Q。
接下来，我们需要计算向量V在平面法向量N上的投影。
平面的法向量可以通过平面方程的系数A、B和C确定，即N = (A, B, C)。
点P到平面的距离可以通过计算向量V在平面法向量N上的投影的长度来得到，即距离d = |proj_NV|。
3. 示例和应用让我们通过一个具体的例子来演示如何计算点到平面的距离。
假设平面的方程为2x + 3y - 4z + 5 = 0，点P的坐标为P(1, -2, 3)。
首先，我们可以将点P的坐标带入平面方程，得到d = 2(1) + 3(-2) - 4(3) + 5 = -15。
由于d为负数，表示点P在平面的另一侧。
接下来，我们可以使用向量运算来计算点到平面的距离。
由于平面的法向量为N = (2, 3, -4)，向量V = P - Q = (1, -2, 3) - Q = (1 - qx, -2 - qy, 3 - qz)。
我们需要计算向量V在平面法向量N上的投影的长度，即d =|proj_NV| = |(V · N) / |N|||N| = |(2(1) + 3(-2) - 4(3)) / √(2^2 + 3^2 + (-4)^2)|。
数学立体几何点到面距离
数学立体几何点到面距离
点到面的距离可以通过以下步骤计算：
1. 确定平面的方程。
假设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、
C、D 分别为平面方程的系数。
2. 假设点的坐标为(x0, y0, z0)，将这个点的坐标代入平面方程，可以得到一个数值。
假设这个数值为dist。
3. 距离点(x0, y0, z0) 最近的平面上的点的坐标为(x1, y1, z1)。
根据平面方程有A*x1 + B*y1 + C*z1 + D = 0。
4. 计算点(x0, y0, z0) 到点(x1, y1, z1) 的距离。
距离的计算公式为：
distance = sqrt((x0 - x1)^2 + (y0 - y1)^2 + (z0 - z1)^2)
这就是点到平面的距离。
注意：如果直接给出的是一个平面的方程，可以直接使用公式计算距离。
如果只给出的是平面上的一些点的坐标，可以先使用这些坐标计算出平面的方程，再计算距离。
点到面距离空间向量公式
点到面距离空间向量公式- 设平面α的法向量为→n，平面α内一点A，平面α外一点P。
- 向量→PA在法向量→n方向上的投影的绝对值就是点P到平面α的距离d。
- 根据向量投影公式，向量→a在向量→b上的投影为frac{→a·→b}{|→b|}。
- 那么点P到平面α的距离d = |frac{→PA·→n}{|→n|}|。
2. 公式应用示例。
- 例如，已知平面α的方程为2x - y+z = 0，求点P(1,1,1)到平面α的距离。
- 平面α的法向量→n=(2, - 1,1)。
- 在平面α内任取一点A，不妨令x = 0,y = 0，则z = 0，即A(0,0,0)。
- 向量→PA=(0 - 1,0 - 1,0 - 1)=(-1,-1,-1)。
- 根据距离公式d=|frac{→PA·→n}{|→n|}|，→PA·→n=(-1)×2+(-1)×(-1)+(-1)×1=-2 + 1-1=-2，|→n|=√(2^2)+(-1)^{2+1^2}=√(4 + 1+1)=√(6)。
- 所以d=|(-2)/(√(6))|=(√(6))/(3)。
3. 相关知识点补充（人教版教材关联）- 在人教版教材中，这一知识点是在空间向量章节中。
- 学习这一公式之前，需要熟练掌握空间向量的基本运算，如向量的加减法、向量的数量积等。
- 同时，要理解法向量的概念，平面的法向量垂直于平面内的所有向量。
在求平面法向量时，通常根据平面方程的系数来确定，对于平面Ax + By + Cz+D = 0，其法向量为→n=(A,B,C)。
- 在应用公式计算点到面距离时，准确找出平面内一点和平面的法向量是关键。
如果平面方程没有直接给出，可能需要通过已知条件先求出平面方程，再求法向量进行距离计算。
高中数学线面距离方法汇总
高中数学线面距离方法汇总全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高中数学中，线面距离是一个重要的概念，涉及到线和平面之间的最短距离。
在解决数学问题时，线面距离方法可以帮助我们快速准确地求解各种题目。
今天我们就来总结一下高中数学中常见的线面距离方法。
一、直线和平面的距离1. 点到平面的距离公式设平面方程为Ax+By+Cz+D=0，点P(x0,y0,z0)在平面上，则点P到平面的距离为：d = |Ax0+By0+Cz0+D| / √(A²+B²+C²)其中(a,b,c)为直线上的一点。
3. 平行线面距离如果直线l平行于平面Π，直线和平面之间的距离为两者所含向量的点积模的比值，也就是直线上的一点到平面的距离就是这一点到平面上任意一点的距离。
二、两平面之间的距离如果两个平面Π1和Π2的法向量分别为n1和n2，平面到平面的距离为：d = |d|sinθd是两平面之间的距离，θ是n1和n2的夹角。
如果两个平行的平面Π1: Ax+By+Cz+D1=0和Π2:Ax+By+Cz+D2=0，它们的距离为：三、点到线的距离设线段两端点为A和B，点P到线段的距离为点P到直线AB的距离，如果点P在直线AB的延长线上，则点P到线段的距离等于点P到端点A或B的距离。
设两条线段AB和CD，线段到线段的最短距离取决于它们的垂直距离，并且有可能在端点处取得最小值。
我们可以通过求解两线段组成的四边形的四边长度来求解线段到线段的最短距离。
通过以上总结，我们可以看到，在高中数学中，线面距离方法应用广泛，涉及到点、线、面之间的距离。
在解决数学问题时，我们可以根据具体情况选择合适的方法，通过计算距离来求解各种问题。
希望本文对大家在学习数学时有所帮助。
【字数：583字】第二篇示例：高中数学中，线面距离方法是指计算线段与平面之间的距离的一种数学方法。
在几何学中，线段与平面之间的距离是一种重要的概念，它在实际问题中经常被用到，比如在建筑设计中确定物体之间的距离，或者在物理学中计算物体移动的距离等。
点到平面的距离的几种求法
点到平面的距离的几种求法求点到平面的距离是立体几何教学中不可忽视的一个基本问题,是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》(必修本）中的概念、习题，概括出求点到平面的距离的几种基本方法．例已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点,ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B到平面ＥＦＧ的距离．一、直接通过该点求点到平面的距离１．直接作出所求之距离,求其长．解法1．如图1，为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ，连结ＧＭ,作ＢＮ⊥ＢＣ,交ＧＭ于Ｎ，则有ＢＮ∥ＣＧ，ＢＮ⊥平面ＡＢＣＤ．作ＢＰ⊥ＥＭ，交ＥＭ于Ｐ，易证平面ＢＰＮ⊥平面ＥＦＧ．作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ，则ＢＱ⊥平面ＥＦＧ．于是ＢＱ是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．易知ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝，ＰＮ＝,由ＢＱ·ＰＮ＝ＰＢ·ＢＮ,得ＢＱ＝．图1图2２．不直接作出所求之距离，间接求之．（１）利用二面角的平面角．课本Ｐ．４２第4题,Ｐ．４６第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”．如图2，二面角Ｍ—ＣＤ-Ｎ的大小为α，Ａ∈Ｍ，ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＢ＝ａ，点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ, 则有ｄ＝ａｓｉｎα．①①中的α也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角．解法2．如图3，过Ｂ作ＢＰ⊥ＥＦ,交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知ＢＰ＝，这就是点Ｂ到二面角Ｃ—ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ,易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角．∵ ＧＣ＝２，Ａ求点到平面的距离是立体几何教学中不可忽视的一个基本问题,是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》（必修本）中的概念、习题,概括出求点到平面的距离的几种基本方法．例已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形,Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B到平面ＥＦＧ的距离．一、直接通过该点求点到平面的距离１．直接作出所求之距离，求其长．解法1．如图1，为了作出点B到平面EFG的距离,延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ，连结ＧＭ，作ＢＮ⊥ＢＣ,交ＧＭ于Ｎ,则有ＢＮ∥ＣＧ，ＢＮ⊥平面ＡＢＣＤ．作ＢＰ⊥ＥＭ，交ＥＭ于Ｐ,易证平面ＢＰＮ⊥平面ＥＦＧ．作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ，则ＢＱ⊥平面ＥＦＧ．于是ＢＱ是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．易知ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝,ＰＮ＝，由ＢＱ·ＰＮ＝ＰＢ·ＢＮ，得ＢＱ＝．图1图2２．不直接作出所求之距离,间接求之．(１）利用二面角的平面角．课本Ｐ．４２第4题,Ｐ．４６第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点,它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”．如图2，二面角Ｍ-ＣＤ—Ｎ的大小为α,Ａ∈Ｍ，ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＢ＝ａ，点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ，则有ｄ＝ａｓｉｎα．①①中的α也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角．解法2．如图3,过Ｂ作ＢＰ⊥ＥＦ，交ＦＥ的延长线于Ｐ,易知ＢＰ＝,这就是点Ｂ到二面角Ｃ—ＥＦ—Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ,易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角．∵ ＧＣ＝２,ＡＣ＝４,ＡＨ＝，∴ ＣＨ＝３，ＧＨ＝，ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝２/,于是由①得所求之距离ｄ＝ＢＰ·ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝· ＝．解略．（２）利用斜线和平面所成的角．如图4，ＯＰ为平面α的一条斜线，Ａ∈ＯＰ，ＯＡ＝ｌ，ＯＰ与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ,则由斜线和平面所成的角的定义可知，有ｄ＝ｌｓｉｎθ．②经过ＯＰ与α垂直的平面与α相交，交线与ＯＰ所成的锐角就是②中的θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结ＯＢ得θ．解法3．如图5，设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作ＢＲ⊥ＧＭ,Ｒ为垂足．又ＧＭ⊥ＥＢ,易得平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ，ＥＲ为它们的交线，所以∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ．由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得ＢＲ＝，在Ｒｔ△ＲＥＢ中，∠Ｂ＝９０°，ＢＲ＝,ＥＢ＝２,所以ｓｉｎθ＝ＢＲ/ＥＲ＝，于是由②得所求之距离ｄ＝．图5图6（３）利用三棱锥的体积公式．解法4．如图6，设点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离为ｄ,则三棱锥Ｂ—ＥＦＧ的体积Ｖ＝(１/３)Ｓ△ＥＦＧ·ｄ．另一方面又可得这个三棱锥的体积Ｖ＝(１/３)Ｓ△ＦＥＢ·ＣＧ,可求得Ｓ△ＦＥＢ＝（１/４）Ｓ△ＤＡＢ＝２,Ｓ△ＥＦＧ＝，所以有１/３··ｄ＝１/３·２·２，得ｄ＝．二、不经过该点间接确定点到平面的距离１．利用直线到平面的距离确定解法5．如图7，易证ＢＤ∥平面ＥＦＧ，所以ＢＤ上任意一点到平面ＥＦＧ的距离就是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．由对称思想可知，取ＢＤ中点Ｏ,求点Ｏ到平面ＥＦＧ的距离较简单．ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，交ＢＤ于Ｏ．易证平面ＧＨＣ⊥平面ＥＦＧ，作ＯＫ⊥ＨＧ,Ｋ为垂足，ＯＫ＝为所求之距离．图7图8２．利用平行平面间的距离确定如图8，把平面ＥＦＧ补成一个正四棱柱的截面所在的平面,可使题设中的点、线、面之间的位置关系更加明朗．面ＧＭＴ是正四棱柱ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１ＧＤ１经过Ｆ、Ｅ、Ｇ的截面所在的平面．ＭＧ交ＢＢ１于Ｎ，ＴＧ交ＤＤ１于Ｑ，作ＢＰ∥ＭＧ,交ＣＧ于Ｐ，连结ＤＰ，则有平面ＧＴＭ∥平面ＰＤＢ．它们之间的距离就是所求之距离．于是可以把点Ｂ平移到平面ＰＤＢ上任何一个位置，哪里方便就在哪里求．这两个平行平面的距离ｄ又同三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积有关,所以也可以利用三棱柱的体积确定所求之距离．据此可得解法６．解法6．三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积Ｖ＝Ｓ△ＰＤＢ·ｄ，另一方面又有Ｖ＝Ｓ△ＣＤＢ·ＢＮ，可求得ＢＮ＝２/３，ＣＰ＝４/３，ＰＢ＝ＰＤ＝,ＢＤ＝，Ｓ△ＰＤＢ＝,Ｓ△ＣＤＢ＝８，所以·ｄ＝８·２３，得ｄ＝为所求之距离．。
点到空间平面的距离公式
点到空间平面的距离公式
点到空间平面的距离公式是指，给定三维空间中的一个点P(x0, y0, z0)和一个平面Ax + By + Cz + D = 0，求点P到该平面的距离。
首先，我们可以通过点P和平面上的一点Q(x1, y1, z1)来确定该平面的法向量n(A, B, C)，其中A = x1 - x0，B = y1 - y0，C = z1 - z0。
因为任意一条连接点P和平面上的一点的直线都垂直于该平面，在此基础上，我们可以得到点P到该平面的距离公式：
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)
其中，|Ax0 + By0 + Cz0 + D|表示点P到平面的有向距离，可能为负值，需要取绝对值；√(A^2 + B^2 + C^2)表示平面的法向量n的模长。
通过这个公式，我们可以计算出点P到任意平面的距离，从而应用于多个三维空间问题中，如点到平面的投影、点与三角形的关系判断等。
- 1 -。
点到面的距离法向量
点到面的距离法向量
点到面的距离法向量是指从给定点到平面上的最短距离的方向向量。
要计算点到面的距离法向量，可以使用以下步骤：
1. 计算给定点到平面的距离，可以使用点到平面的距离公式：distance = |ax + by + cz + d| / √(a^2 + b^2 + c^2)，其中(a, b, c)是平面的法向量，(x, y, z)是给定点的坐标，d是平面的常数项。
2. 根据点到平面的距离公式，计算出点到平面的距离。
3. 将平面的法向量归一化，即将其长度调整为1。
4. 乘以距离的负值，以得到点到面的距离法向量。
这是因为距离的负值是指向平面外部的方向。
因此，点到面的距离法向量可以表示为：-distance * normalized_normal，其中normalized_normal是平面法向量的归一化向量。
点到平面的距离
BE 1 BH 2 3 , BE BC 3 , cos30 2
OH OB 2 BH 2 42 (2 3)2 2 (cm) ,
P
O为三角形ABC的垂心
A D O C
B
3、已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三 角形ABC的三条边的距离相等,试判断点 P在底面ABC的射影的位置？
P
O为三角形ABC的内心
O
E C F A
B
例2 : 如图, 在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1中, 点E是棱AD的中点, 求A1到平面 BD1E的距离.
A B x C D y
归纳总结 ⑴、直接法： 一作、二证、三计算
⑵、间接法:
向量法：利用法向量与点到面的距 离关系，把几何问题转化为代数问 题。还有等体积法，转移法待续。
2. 直线到它平行平面的距离
定义：直线上任一点到与它平行的平面的 距离，叫做这条直线到平面的距离。 由定义可知，求直线到它平行平面的距离
D1 A1 E A D B B1 C C1
用向量方法来处理点到面的距离 （用推理说明问题） A
B
n
设n是平面 的法向量 ， 在内取一点 B， 则A到 的距离 d AB cos AB n n
练习: SA 平面ABCD，DAB ABC 90， SA AB BC a，AD 2a , z 求A到平面SCD的距离。 S
点到平面的距离
(1) 点到平面距离的定义 :
一点到它在一个平面内 的正射影的距离叫做这 一点到这个面的距离.
点到面距离的公式证明
点到面距离的公式证明在我们学习数学的过程中，点到面的距离公式可是一个相当重要的知识点。
今天，咱们就来好好琢磨琢磨这个公式的证明。
先来说说点到面距离的概念。
想象一下，你站在一个大大的平地上，这个平地就是一个平面，而你就是那个点。
那你到这个平地的距离，就是点到面的距离啦。
咱们来看看点到面距离的公式是怎么来的。
假设平面的方程是 Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标是 (x₀, y₀, z₀) 。
那这个点到平面的距离公式就是：d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²) 。
这公式看起来是不是有点复杂？别担心，咱们慢慢捋一捋。
先从向量的角度来想想。
平面的法向量大家都知道吧，就是 (A, B, C) 。
那咱们可以把从平面上任意一点到给定的那个点 (x₀, y₀, z₀) 构成的向量设为 (x - x₀, y - y₀, z - z₀) 。
这时候，咱们要用到一个小技巧啦。
法向量和这个向量的点积除以法向量的模长，就是点到平面的距离。
我给大家举个例子啊。
比如说，有个平面方程是 2x + 3y - 4z + 5 =0 ，然后有个点的坐标是 (1, 2, 3) 。
那咱们就按照公式来算算这个点到平面的距离。
先算 Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D ，就是 2×1 + 3×2 - 4×3 + 5 ，算出来是-1 。
然后再算√(A² + B² + C²) ，就是√(2² + 3² + (-4)²) ，算出来是√29 。
所以距离就是 |-1| / √29 ，也就是1 / √29 。
其实啊，在刚开始学这个公式的时候，我自己也有点懵。
记得有一次做作业，遇到了一道求点到面距离的题目，我怎么也算不对。
当时急得我抓耳挠腮的，把公式翻来覆去地看，就是找不到问题出在哪。
点到平面和直线的距离公式
点到平面和直线的距离公式在几何学中，我们经常需要计算一个点到平面或直线的距离。
这个距离可以帮助我们解决许多实际问题，比如在建筑设计中确定某个点与地面的距离，或者在航空导航中计算飞机与飞行路径的距离。
本文将介绍点到平面和直线的距离公式及其应用。
一、点到平面的距离公式假设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为平面的法向量的分量，(x, y, z)为平面上的一点。
我们希望计算点P(x0, y0, z0)到这个平面的距离。
我们可以找到从点P到平面上的一条垂线，假设这条垂线的起点为P，终点为Q。
由于垂线与平面垂直，所以垂线的方向向量与平面的法向量的点积为0。
设垂线的方向向量为V，平面的法向量为N，那么有V·N = 0。
根据向量的点积公式，我们可以得到下面的等式：(x0 - x)A + (y0 - y)B + (z0 - z)C = 0将平面方程中的x、y、z替换为x0、y0、z0，我们可以得到下面的等式：Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0解这个方程，我们可以得到平面上与点P最近的点Q的坐标。
然后，我们可以计算点P到点Q的距离，即为点到平面的距离。
二、点到直线的距离公式现在，我们来看一下点到直线的距离公式。
假设直线的方程为Ax + By + C = 0，其中A、B为直线的斜率，(x, y)为直线上的一点。
我们希望计算点P(x0, y0)到这条直线的距离。
与点到平面类似，我们可以找到从点P到直线上的一条垂线，假设这条垂线的起点为P，终点为Q。
由于垂线与直线垂直，所以垂线的方向向量与直线的方向向量的点积为0。
设直线的方向向量为V，垂线的方向向量为U，那么有U·V = 0。
根据向量的点积公式，我们可以得到下面的等式：(x0 - x)A + (y0 - y)B = 0将直线方程中的x、y替换为x0、y0，我们可以得到下面的等式：Ax0 + By0 + C = 0解这个方程，我们可以得到直线上与点P最近的点Q的坐标。
点到平面的距离的几种求法_人教版
点到平面的距离的几种求法2 基本概念从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段.其实点到平面的距离就是这点到平面的垂线段长.例：（如图1）若PA ⊥α于A ，则P 点到平面α的距离就是线段PA 的长． 点到平面的距离有如下三条性质：(1)存在性 对于任意一个平面和这个平面外任意一点 都存在着距离.(2)唯一性 一个平面和平面外一点间的距离是唯一的. (3)最小性 平面外一点的距离是这点到这个平面内任意一点的连接线段长度的最小值. 3 例题求解已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B 到平面ＥＦＧ的距离. 3.1 直接用定义求点到平面的距离 3.1.1 直接作出所求距离求其长解法一：（如图2）为了作出点B 到平面EFG 的距离，延长FE 交CB 的延长线于Ｍ， 连 结GM ，作ＢＮ⊥ＢＣ，交ＧＭ于Ｎ，则有ＢＮ∥ＣＧ ∴ＢＮ⊥平面ABCD ∴ＢＮ⊥ＥＭ作ＢＰ⊥ＥＭ，交EM 于P ∴平面ＢＰＮ⊥平面EFG 作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ ∴ＢＱ⊥平面ＥＦＧ∴ＢＱ是点Ｂ到平面EFG 的距离 易求出ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝2，32222=+=BN BP PN 在PBN Rt ∆中BN PB BQ PN ⋅=⋅11112=∴BQ图13.1.2 不直接作出所求距离间接求之 (1) 利用二面角的平面角引理1：（如图3）若二面角N CD M --的大小为α，M A ∈，CD AB ⊥，a AB =点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ， 则有αsin a d = （1）其中的α也就是二面角的大小，而并不强 求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角. 解法二：（如图4）过点Ｂ作EF BP ⊥，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知2=BP ，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ 易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角． ∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝24，ＡＨ＝2，∴ ＣＨ＝23，ＧＨ＝22∴222sin =∠GHC ，于是由（1）得所求之距离111122222sin =⋅=∠⋅=GHC BP d(2) 利用斜线和平面所成的角引理2 （如图5）OP 为平面α的一条斜线，OP A ∈，l OA =，OP 与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则有θsin l d = （2）注：经过OP 与α垂直的平面与α相交，交线与OP 所成的锐角就是θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结OB 得θ．解法三：（如图6），设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作GM BR ⊥，Ｒ为垂足．图3图4图5又EB GM ⊥∵平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ 又ＥＲ为它们的交线∴∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ 由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得102=⋅=⇒=MG CG MB RB MG MB CG RB ，在Ｒｔ△ＲＥＢ中1111sin sin ==∠=ER BR BER θ 于是由（2）得所求之距离11112sin sin ⨯=∠⋅=⋅=BER EB l d θ（3）利用三棱锥的体积公式解法四：（如图7）设点B 到平面EFG 的距离为d,连结BF ，则有体积关系：BEFG EFG B V V --=连结BF ，则GH EF ⊥，于是有GCBE AF d GH EF ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅)21(31)21(31 2221==BD EF ，2===GC BE AF22)43(22222=⋅+=+=AC CH GC GH111122222222=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=∴GH EF GC BE AF d3.1.3 利用点到平面的距离公式引理3 (如图8)PO 为平面α的垂线段，PA 为斜线段，→n 是平面的法向量，则有：→→→→→→→=><=nn APn AP AP PO ,cos图6图7证明：α⊥→n,//→→∴PO n →→⊥OA n又→→→+=OA PO PA→→→→→→+⋅=⋅∴n OA n PO n PA →→→→⋅=⋅∴n PO n PA><=⋅∴→→→→→→n PO n PO n PA ,cos→→PO n //→→→→=⋅∴nPO n PA即： →→→→=nn APPO解法五：（如图9）以C 为原点，CB 所在直线为X 轴，DC 所在直线为Y 轴，CG 所在直线为Z 轴建立空间直角坐标系xyz C -.设B （4，0，0），则E （4，-2，0），F （2，-4，0），G （0，0，2），从而有=→BE （0，-2，0），=→GE （4，-2，-2） =→GF （2，-4，-2）设→n =（X ，Y ，Z ）为平面EFG 的法向量，则由→→⊥n GF ，有0=⋅→→n GF ，即2X-4Y-2Z=0 →→⊥n GE ，有0=⋅→→n GE ，即4X-2Y-2Z=0图8图9得X=-Y 而Z Y 31-=，故得→n =（Z Z Z ,31,31-）.故点B 到平面DEF 的距离 11112)0,32,0(311)0,32,0(====→→→ZZ n n BE d3.2 不经过该点间接确定点到平面的距离 (1) 利用直线到平面的距离确定解法六（如图10）连结BD ，AC ，EF.BD 分别交EF 于H,O.因为ABCD 是正方形. E,F 分别为AB 和AD 的中点,故EF//BD,H 为AO 的中点 BD EF // ∴BD//平面EFGBD 和平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG 的距离AC BD ⊥ HC EF ⊥∴⊥GC 平面ABCD GC EF ⊥∴ ⊥∴EF 平面HCG∴面EFG ⊥面HCG,HGS 是这两个垂直平面的交线作OK ⊥HG 交HG 于点K,由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ∴线段OK 的长就是点B 到平面EFG 的距离正方形ABCD 的边长为4,GC=2 AC=24,HO=2,HC=23∴在HCG Rt ∆中222)23(22=+=HG HCG HKO ∆∆~∴111122222=⨯=⋅=HG GC HO OK(2) 利用平行平面的距离确定图10解法七(如图11)把平面EFG 补成一个正四棱柱的截面所在的平面.则面GMT 是正四棱柱ABCD —A1B1C1D1经过F 、E 、G 的截面所在的平面.MG 交BB1于N ，TG 交DD1于Q.作BP//MG ，交CG 于P ，连结DP.则有 平面GTM//平面PDB它们之间的距离就是所求之距离.于是可以把点B 平移到平面PDB 上任何一个位置. 而这两个平行平面的距离d 又同三棱柱GQN —PDB 的体积有关，所以可以利用三棱柱的体积确定所求之距离.则有三棱柱GQN —PDB 的体积V 的关系式：BNS d S V CDB PDB ⋅=⋅=∆∆ （3）易求出BN=2/3，CP=4/3，PB=PD=3/104BD=24，3/118=∆PBD S ，8=∆CDB S由关系式（3）可得3283118⨯=⨯d 于是平行平面间的距离11112=d即点B 到面EFG 的距离为11/1124 方法总结求点到平面的距离的常用方法有：(1) 定义法 过平面外一点作平面的垂线，直接求出这点到垂足的距离.（2）射影定位法 根据已知条件，确定平面外一点在平面内射影的位置.再求这两点的距离.(3) 转化法 通常情况下求点到平面的距离可转化为下面三种形式10 点线距离 在平面内找出（或作出）一条直线使平面外的点和这条直线所确定的新平面和原平面垂直，则这点到这条直线的距离.即为点到平面的距离.20 线面距离 若能够找出过一点的一条直线与平面平行，则这条直线到平面的距离等于点到平面的距离.30 面面距离 过平面外一点作出一个平面和已知平面平行，则这两平行平面的距离等于点到平面的距离.(4) 等体积法 将点到平面的距离视为一个几何体的高，又能够容易求出这个几何体的图11体积及高所对的底面面积.则可求出点到平面的距离.（5）公式法建立恰当的坐标系，能够确定平面的方程及点的坐标.运用点到平面的距离公式即可求出距离.参考文献[1] 聂文喜,周家山.点到平面距离的求解策略[J].数学通讯,2004.6:12~13[2] 优奋强.点到平面的距离[J].数学通讯,1996.10:1~3.[3] 李惠珠.从点到平面的距离谈发散性思维[J].高等数学研究,2004.7:11~13.[4] 朱宏志.点面距离两面观[J].新疆石油教育学院学报,2003.10:12~13.[5] 乐敬英.用向量求距离的统一解法[J].数学教学,2003.10:34~36.[6]. 吕林根,许子道.解析几何[M].成都:高等教育出版社,1992:131~142.[7] 刘增利.高中数学教材知识资料包[M].北京:北京教育出版社,2004:256~271.[8] 刘伯虎.立体几何中点面距离的求法[J].数学教学研究,2003.3:30~31.。
用法向量求点到平面的距离公式
用法向量求点到平面的距离公式用法向量求点到平面的距离公式是指通过一个平面的法向量和一个点与该平面的距离公式来计算点到平面的距离。
这个公式可以通过以下的方法得到：假设该平面的法向量为N，点P的坐标为(x0, y0, z0)，并设平面上任意一点为Q，则点P到平面的距离即为直线PQ在法向量N上的投影即点P到平面的距离为：
d = |(P-Q)·N| / |N|
其中，| |表示向量的模，·表示点积。
这个公式的意义就是点P到平面的距离等于点P到平面上任意一点的距离在平面法向量上的投影。
因此，只需要求出平面的法向量和平面上任意一点的坐标，就可以应用这个公式来求解点到平面的距离了。
点到平面距离计算的五种方法
点到平面距离计算的五种方法一、五种方法1.定义法对于求点到面的距离问题,首先是根据点到面的距离的定义来求，过该点直接作平面的垂线,再在构造的直角三角形中,求出这条垂线段的长度.2.平移转化点到面的距离不好求时,可以通过求过该点且平行于平面的直线上另外一点(这个点到平面的距离比较好求)到该平面的距离,来解决问题.3.垂面法在用定义法求点到面的距离,垂足往往比较特殊，很难直接找到，此时就需要借助面面垂直的性质来完成，如图，过A 向平面β作垂线，可以先找到一个过点A 且垂直于面β的平面α，于是只需过A 向交线做垂线，垂足为B ，则AB 即为点A 到面β的距离，这种做点到面距离的方法具有很强的操作性，经常使用.4．等体积法利用体积公式求出距离.5．向量法如图，已知平面α的法向量为→n ，α⊥PQ ，垂足为Q ，A 为平面α内任一点，则平面外一点P 到平面α的距离为：||||||→→→→⋅=n n AP PQ,二、例题分析例1．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP =，点M 是矩形ABCD 内（含边界）的动点，且1AB =，3AD =，直线PM 与平面ABCD 所成的角为π4．当三棱锥P ABM -的体积最小时，三棱锥P ABM -的外接球的表面积为（）．A．4πB．6πC．8πD．10π解析：如图，因为PA ⊥平面ABCD ，垂足为A ，则PMA ∠为直线PM 与平面ABCD 所成的角，所以π4PMA ∠=，因为2AP =，所以2AM =，所以点M 位于底面矩形ABCD 内的以点A 为圆心，2为半径的圆上，注意1AB =，3AD =，记点M 的轨迹为圆弧EF ，当点M 位于F 时，三棱锥P ABM -的体积最小，由AF、BF 在面ABCD 内，则π2PAF PBF ∠=∠=，三棱锥P ABM -的外接球球心为PF 的中点.因为222222PF =+=，所以三棱锥P ABM -的外接球的表面积()24π28πS ==.故选：C例2．如图．在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA BC ===，平面1A BC ⊥平面11ABB A ．(1)求点A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，求平面ABD 与平面CBD 夹角的正弦值．解析（1）方法1：垂面法：由于平面1A BC ⊥平面11ABB A ，而B A 1为交线，故过A 向B A 1作垂线，垂足为E ，显然2=AE 方法2：等体积法：在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA BC ===，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，取1A B 的中点E ，连接AE，则1AE A B ⊥，因为平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =，则有⊥AE平面1A BC ，又BC ⊂平面1A BC ，即有AE BC ⊥，因为1AA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，则1AA BC ⊥，因为11,,AA AE A AA AE =⊂ 平面11ABB A ，于是BC ⊥平面11ABB A ，又AB ⊂平面11ABB A ，因此BC AB ⊥，1111142223323A ABC ABC V S AA -=⋅=⨯⨯⨯⨯=，111112332A A BC A BC V S h h -=⋅=⨯⨯⨯，又11A ABC A A BC V V --=，解得h ，所以点A 到平面1A BC例3．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，2PD DC ==，AD =为BC 的中点.（1）求D 到平面APM 的距离；（2）求平面ABCD 与平面APM 所成角的余弦值.解析：（1）因为四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，所以可以建立以D 为坐标原点，DA 方向为x 轴，DC 方向为y 轴，DP 方向为z 轴，如图所示的空间直角坐标系，又2PD DC ==，AD =M 为BC 的中点，所以(0,0,0)D，A，2,0)M ，(0,0,2)P ，所以2)PA =-，2,2)PM =-，DA = 设平面PAM 的法向量为(,,)n x y z = ，所以()()()),,220,,2,2220n PA x y z z n PM x y z y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩ ，取1x =，解得z =，2y =，所以2n = ，所以D 到平面APM 的距离为DA n n ⋅ （2）所以平面ABD与平面CBD .例4.如图,长方体111l ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形,4l AA =,点E 为棱l AA 的中点.(1)求证:BE ⊥平面11EB C ;(2)求点A 到平面1CEB 的距离.解析：(2)方法一：取1CB 的中点,F BC 的中点P ,连接1,,,,EF AP PF PB PE ,可得//AE PF ,且AE PF =,则四边形APFE 为平行四边形,可得//AP EF ,又因为AP 平面1,CEB EF ⊂平面1CEB ,所以//AP 平面1CEB ,所以点A 到平面1CEB 的距离等于点P 到平面1CEB 的距离,易知11P CEB E PCB V V --=,在1CEB ∆中,2222222112223,222,4225CE EB CB =++==+=+,所以22211CE EB CB +=,从而1CEB ∆为直角三角形.设点P 到平面1CEB 的距离为dP ,所以111133CEB P PCB S d S AB ∆∆⨯⨯=⨯⨯,即1111321423232P d ⨯⨯=⨯⨯⨯,解得63P d =,所以点A 到平面1CEB 的距离为63;方法二：等体积法设点P 到平面1CEB 的距离为h ,因为112,5,3B E B C CE ===,所以三角形1CEB 是直角三角形,1126,2CEB AEB S S ∆∆==,而11A CEB C AEB V V --=,可得11262233h ⨯=⨯⨯,解得63h =,所以点A 到平面1CEB 的距离为63.例5．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A C ⊥底面ABC ，190,2ACB AA ∠=︒=，1A 到平面11BCC B 的距离为1．(1)证明：1A C AC =；(2)已知1AA 与1BB 的距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．【解析】（1）证明:∵1A C ⊥面,ABC BC ⊂面ABC ∴1A C BC ⊥，∵90ACB ∠=︒,即BC AC ⊥,且1,A C AC ⊂面111,ACC A A C AC C ⋂=,∴BC ⊥面11ACC A ,∵BC ⊂面11BCC B ∴面11ACC A ⊥面11BCC B ,过1A 作11A O CC ⊥交1CC 于点O ,且面11ACC A ⋂面111BCC B CC =,∴1A O ⊥面11BCC B ,∵1A 到面11BCC B 的距离为11,1A O ∴=,在Rt 11A CC ∆中,111111,2,A C A C CC AA A C AC ⊥===,设CO x =,则2212,11(2)4C O x x x =-+++-=,解得:1x =,∴1112AC A C A C ===,∴1A C AC =.（2）11113cos cos ,13||n AB n AB n AB θ⋅∴===。
点到面的距离公式向量法
点到面的距离公式向量法在几何学中，我们经常会遇到计算点到平面的距离的问题。
点到平面的距离可以用向量法来解决，这种方法简洁高效，可以方便地求解点到平面的距离。
我们来回顾一下向量的基本概念。
向量是有方向和大小的量，用箭头表示。
在三维空间中，一个向量可以由三个分量表示，分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的投影。
一个向量可以通过起点和终点之间的位移来表示。
接下来，我们来看一下点到平面的距离公式。
假设平面的法向量为n，平面上一点为P，空间中一点为Q，则点到平面的距离可以用以下公式表示：d = |PQ·n| / |n|其中，|PQ·n|表示向量PQ与n的点积的绝对值，|n|表示向量n的长度。
现在，我们来看一个具体的例子来说明向量法求解点到平面的距离。
假设有一个平面，平面的法向量为n = (2, 3, 4)，平面上一点为P(1, 2, 3)，空间中一点为Q(4, 5, 6)。
我们要求点Q到平面的距离。
我们计算向量PQ和向量n的点积：PQ·n = (4-1)×2 + (5-2)×3 + (6-3)×4 = 3×2 + 3×3 + 3×4 = 6 + 9 + 12 = 27然后，计算向量n的长度：|n| = √(2^2 + 3^2 + 4^2) = √(4 + 9 + 16) = √29带入距离公式，计算点Q到平面的距离：d = |PQ·n| / |n| = 27 / √29通过计算，我们得到点Q到平面的距离为27 / √29。
使用向量法求解点到平面的距离可以简化计算过程，减少出错的可能性。
这种方法适用于三维空间中任意平面，而不仅仅局限于特定的情况。
同时，向量法也可以应用于其他几何计算中，具有广泛的应用价值。
总结起来，点到平面的距离公式向量法是一种简洁高效的方法，可以方便地求解点到平面的距离。
通过计算向量的点积和长度，我们可以得到点到平面的距离。
点到平面距离计算的五种方法
点到平面距离计算的五种方法计算点到平面的距离是几何学中常见的问题，可以通过不同的方法来解决。
下面将介绍五种常用的计算点到平面距离的方法。
方法一：点法式方程点法式方程是计算点到平面距离最常见的方法之一、给定点P(x₁,y₁,z₁)和平面Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为平面的法向量，D为平面的常数项，可以通过以下公式计算点到平面的距离d：d=，Ax₁+By₁+Cz₁+D，/√(A²+B²+C²)方法二：投影平面上任意一点Q(x₂,y₂,z₂)，可以通过计算点P在平面上的投影点R(x,y,z)来得到点到平面的距离。
首先，计算向量PQ和平面法向量N的点积，再将点积除以平面法向量N的长度，即可得到点P到平面的距离d。
d=，PQ·N，/，N方法三：三角形法可以利用点P与平面上三个点构成的三角形PQR，通过计算三角形PQR的面积来求点到平面的距离。
假设PQ=a，QR=b，RP=c，计算三角形PQR的半周长s：s=(a+b+c)/2然后，使用海伦公式计算三角形PQR的面积S：S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))利用面积S和边长a、b、c，通过以下公式计算点到平面的距离d：d = 2S / bas方法四：垂足法垂足法是通过计算点到平面的垂直距离来求得点到平面的距离的方法。
首先，计算点P到平面上一点A的距离AP，然后计算点P到平面法向量N的距离PN，利用勾股定理计算垂直距离PH：PH=√(AP²-PN²)最后，通过计算PH的值即可得到点到平面的距离d。
方法五：向量法通过计算点P到平面的投影向量P'和点P与投影点P'之间的距离，可以得到点到平面的距离。
首先，计算P到平面的单位法向量N，再计算点P到平面的投影向量P'：P'=P-(P·N)N其中，P·N为点P与单位法向量N的点积。
最后，通过计算点P到投影点P'的距离即可得到点到平面的距离d。
点到平面的距离公式高中法向量
点到平面的距离公式高中法向量点到平面的距离公式可以通过向量的方法进行求解。
首先，给定
平面的一般方程形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为平面
的法向量的分量，而(x, y, z)为平面上任意一点的坐标。
假设平面上存在一点P（x1, y1, z1），我们需要求点P到平面的距离d。
为了方便计算，我们可以选择平面上一点Q，使得PQ与平面
垂直。
我们通过向量PQ与平面的法向量N的点乘来求解距离d，即：
d = |PQ · N| / |N|,
其中|PQ · N|表示向量PQ与N的点乘的模，|N|表示N的模长。
点乘的结果是一个标量，表示两个向量之间的夹角的余弦乘以两个向
量的模长的乘积。
当平面方程为Ax + By + Cz + D = 0时，平面的法向量为N = (A, B, C)。
拓展：
除了通过向量的方法求解点到平面的距离外，还可以使用点到平面的投影来求解。
点到平面的投影就是将点P垂直投影到平面上得到的点P'。
点P到平面的距离d就等于点P到点P'的距离。
点P'的坐标可以通过将点P带入平面方程得到。
然后，计算点P 与P'之间的距离即可得到点到平面的距离。
需要注意的是，如果平面是平行于坐标轴的，也可以直接计算点P 与平面的坐标分量的差值的绝对值，而不需要进行向量的运算。
数学技巧30点直线平面之间距离的计算方法
数学技巧30点直线平面之间距离的计算方法在计算数学中，我们经常会遇到直线与平面之间的距离问题。
下面将介绍几种常见的计算方法。
方法一：点到平面的距离公式设直线L的方程为Ax+By+C=0，平面P的方程为Ax+By+Cz+D=0。
取直线上一点M(x0,y0)，则直线L到点M的距离为d，平面P到点M的距离为h。
那么直线L与平面P的距离d就是点M到平面P的距离h。
根据点到平面的距离公式，可以得到：h=，Ax0+By0+Cz0+D，/√(A^2+B^2+C^2)方法二：点法式求距离设直线L的方向向量为向量A，平面P的法向量为向量N。
取直线上一点M(x0,y0)，则直线L到点M的距离为d，平面P到点M的距离为h。
那么直线L与平面P的距离d就是直线L方向向量A在平面P的法向量N上的投影长度。
根据点法式求距离，可以得到：d=，A·N，/，N方法三：直线法式求距离设直线L的方程为Ax+By+Cz+D1=0，平面P的方程为Ax+By+Cz+D2=0。
取直线上一点M(x0,y0,z0)，则直线L到点M的距离为d，平面P到点M的距离为h。
那么直线L与平面P的距离d就是平面P方程中的常数项的差值。
根据直线法式求距离，可以得到：d=，D2-D1，/√(A^2+B^2+C^2)方法四：空间直线的参数方程性质求距离设直线L的参数方程为:x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct平面P的方程为Ax+By+Cz+D=0。
取参数t对应的点M(x,y,z)，则直线L到点M的距离为d，平面P到点M的距离为h。
那么直线L与平面P 的距离d就是点M到平面P的距离h。
根据参数方程性质求距离，可以得到：h=，Ax+By+Cz+D，/√(A^2+B^2+C^2)这些是常见的计算直线和平面之间距离的方法。
在实际问题中，可以根据具体情况选择适合的方法来计算距离。
点到xoy平面的距离公式
点到xoy平面的距离公式在三维空间中，我们经常需要计算点与平面之间的距离。
其中，点到xoy平面的距离是一个非常基础的问题，也是很多其他问题的基础。
本文将从公式的推导、应用举例等方面来介绍点到xoy平面的距离公式。
一、公式的推导我们首先来看一个点P(x0,y0,z0)到xoy平面的距离公式的推导。
假设平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，其中，A、B、C为平面的法向量，D为平面的截距。
则点P到平面的距离公式为：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)我们可以通过以下步骤来推导此公式：1. 由于点P到平面的距离是垂直于平面的，因此我们可以通过向量的点积来求出P点到平面的垂线向量L：L = (P - Q) · n其中，Q为平面上的任意一点，n为平面的法向量。
2. 我们将L向量投影到xoy平面上，得到向量L'：L' = L - (L · k)k其中，k为z轴的单位向量。
3. 我们可以通过向量的模长来计算L'的长度d：d = |L'| = |L - (L · k)k|4. 将L和k表示成坐标形式，代入上式，得到：d = |(x0 - xQ)A + (y0 - yQ)B + (z0 - zQ)C| / sqrt(A^2 + B^2+ C^2)其中，(xQ,yQ,zQ)为平面上的任意一点。
5. 将A、B、C、D用平面的法向量表示，即A=nx，B=ny，C=nz，D=-nxQ-nyQ-nzQ，代入上式，得到：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)至此，我们就推导出了点到xoy平面的距离公式。
二、应用举例1. 一个点到平面的距离假设平面的方程为2x+3y-4z+5=0，点P(1,2,3)到该平面的距离为：d = |2×1+3×2-4×3+5| / sqrt(2^2+3^2+(-4)^2) ≈ 4.18因此，点P到平面的距离约为4.18。
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归纳总结
⑴、直接法： 一作、二证、三计算
⑵、间接法: 向量法：利用法向量与点到面的距 离关系，把几何问题转化为代数问 题。还有等体积法，转移法待续。
2. 直线到它平行平面的距离
定义：直线上任一点到与它平行的平面的 距离，叫做这条直线到平面的距离。 由定义可知，求直线到它平行平面的距离 的问题可由点到平面距离的知识来解决。
例1.如图，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O，C 为圆周上一点，若AB＝5，AC＝2，求B到平面 PAC的距离。
例2 如图，已知正三角形 ABC的边长为 6cm，点 O 到 ABC各顶点的距离都是 4cm，求点 O 到这个三角形所在平面的 距离。
解：设H为点O在平面ABC内的射影，延 长AH，交BC于E，则
D A'
C' B'
D A
C
E B
例3: 如图,已知四边形ABCD是边长1的正方形, 四边形AA' B' B是矩形, 平面AA' B' B ABCD, 若AA' 1,求直线AB面DA'C的距离.
A'
B'
A
B
O
D
C
THANK YOU
SUCCESS
•
OA OB OC ,
HA HB HC ,
即H是△ABC的外心。在Rt △ABC中，
BE 1 BC 3 , BH BE 2 3 ,
2
cos 30
A
OH OB2 BH 2 42 (2 3)2 2 (cm) ,
即点O到这个三角形所在平面的距离为2 cm.
练习2、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰
直角三角形，∠ACB＝90，侧棱AA1＝2，D是CC1的中
点， 求点A1到平面ABD的距离.
z
C1
A1
D
B1
C
xA
By
练习3、如图，BAC在平面α内，PA是α斜线，
PAB= PAC= BAC= 60
PA=AB=AC=a，求点P到α的距离。
点到平面的距离
复习：
1.过已知平面α 外一点P有几条直线和α 垂直?
2.什么是点P在平面α 内的正射影?
P 答:从P向平面α 引垂线,垂足
P'叫做点P在平面α 内的正射
影(简称射影).
P'
新知：
点到这个平面的距离：一点到它在一个平面内的正射 影的距离。
P
α
BA
连结平面α 外一点P与α 内一点所得线段中,垂线段PA最短.
3. 两个平行平面的距离
和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个 平面的公垂线。公垂线夹在平行平面间的部分， 叫做这两个平面的公垂线段。 两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段长 小于或等于任一条夹在这两平行平面间的线段 长。 两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平 行平面的距离。 求两平行平面的距离，只要求一个平面上一 点到另一个平面的距离，也就是求点到平面 的距离。
O
C
H
E
B
一作
二证
三计算
思考：已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置？
P
PA=PB=PC
A
B
O
C
O为三角形ABC的外心
思考：已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两 两垂直,试判断点P在底BC的垂心
A
B
O
D
C
P
A
C
α
B
练习：
1.已知四面体ABCD，AB＝AC＝AD＝6， BC＝3，CD＝4，BD＝5，求点A到平面 BCD的距离。
A
B
D
O
C
3.如图，已知D为△ABC外一点，DA、DB、 DC两两垂直，且DA＝DB＝DC＝3，求D 点到平面ABC的距离。
D
A
O
C
B
4.如图，已知在长方体ABCD－A’B’C’D’ 中，棱AA’=5，AB=12，求直线B’C’到 平面A’BCD’的距离。
n BP BP cos‹ n ，BP ›= n
n BP 即 d=PA= n
αB
P
n
n
A
练习1:
SA 平面ABCD，DAB ABC 90， SA AB BC a，AD 2a, z 求A到平面SCD的距离。 S
A
B x
D
y C
THANK YOU
SUCCESS
思考：已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面 三角形ABC的三条边的距离相等,试判断 点P在底面ABC的射影的位置？
P
O为三角形ABC的内心
B
O
A
E
F
C
例3、如图，PA是平面α的垂线， A为垂足，B是α上一点， n是α 的一个法向量。
BPcosBPA=AP
而 n •BP = n BP cos‹ n ，BP ›，