平面向量题型三-三角形“四心”与向量结合

题型三 三角形“四心”与向量结合 (一)平面向量与三角形内心

1、O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足

+=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）

（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心

2、已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：0a P A b P B c P C ⋅+⋅+∙=，则P 是三角形的（ ）

Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

3、在三角形ABC 中，动点P 满足：∙-=22

2

，则P 点轨迹一定通过△ABC 的： （ ）

Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

(二)平面向量与三角形垂心 “垂心定理”

H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心.

证明：由⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥，⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））

4、已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的动点，且动点P 满足：

0PA PC PA PB PB PC ∙+∙+∙=，则P 点为三角形的 （ ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

5、点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则

点O 是ABC ∆的 （ ）

（A ）三个内角的角平分线的交点 （B ）三条边的垂直平分线的交点

（C ）三条中线的交点 （D ）三条高的交点

6、在同一个平面上有ABC ∆及一点Ｏ满足关系式： 2

O A ＋2

BC ＝2

OB ＋2

CA ＝

2

OC ＋2

AB ，则Ｏ为ABC ∆的 （ ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

(三)平面向量与三角形重心 “重心定理”

G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.

证明 图中GE GC GB =+

连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，

AD 为BC 边上的中线.将

GE

GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得

+=0⇒2-=-=，故

G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC

的重心⇔

)(31

PC PB PA PG ++=

.

证

明

CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++=

∵G 是△ABC 的重心 ∴++=0⇒++=0，即

PC PB PA PG ++=3

由此可得)

(31

++=.（反之亦然（证略））

7、已知O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：

)(++=λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ）

Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

8、已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足

=31 (21+21

+2),则点P 一定为三角形ABC 的 （ ） A.AB 边中线的中点 B.AB 边中线的三等分点（非重心） C.重心 D.AB 边的中点

(四)平面向量与三角形外心

9、若O 为ABC ∆内一点，OA OB OC

==，则O 是ABC ∆ 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心

10、ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，

)(OC OB OA m OH ++=，则实数m =

(五)平面向量与三角形四心

11、已知向量1OP ，2OP ，3

OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1， 求证 △P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B 组第6题）

12、在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q 、G 、H 三点共线，且QG:GH=1:2。

13、若O 、H 分别是△ABC 的外心和垂心.求证 ++=.

14、 设O 、G 、H 分别是锐角△ABC 的外心、重心、垂心. 求证 3

1=

15

已知点O 、

N 、P 在三

角形ABC 所在平面内，且

==,=++,则PB PA ∙=∙=∙则点O 、N 、P 依次是三角形ABC 的

（A ）重心、外心、垂心 （B

）重心、外心、内心 （C ）外心、重心、垂心 （D ）外心、重心、内心

题型三 三角形“四心”与向量结合答案

1、解析：因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为2

1e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质

知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B. 4

、

解

析

:

由

=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即

0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即

则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D. 8、取AB 边的中点M ，则OM 2=+，由=31 (2

1

+21

+2)可得

3MC OM OP 23+=，∴32=

，即点

P 为三角形中AB 边上的中线的一个三等分点，且点P 不过重心，故选B.

9、解析：由向量模的定义知O 到ABC ∆的三顶点距离相等。故O 是ABC ∆ 的外心 ，选B 。 10、1

11证明 由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =2

1-，

同理 2OP ·3OP =3OP ·1OP =

2

1-，

∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3，从而△P 1P 2P 3是正三角形.

反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |.

即O 是△ABC 所在平面内一点，

1

OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正△P 1P 2P 3的中心. 12【证明】：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B （x 1,0）、C(x 2,y 2)，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，则有：

112222,0)(,)(,22222x x x y x y E F +D （、、 由题设可设1324,)(,)

2x Q y H x y （、122(,)33x x y G +212243(,)(,)222x x y AH x y QF y ∴==--，