计算机图形学第八章

p(1) Pk BENk ,n (1)
k 0
n
P0 BEN0,n (1) P 1 BEN1,n (1) P n BENn ,n (1) Pn
36
Bezier曲线的性质
一阶导数
n! BEN k , n (t ) (k t k 1 (1 t ) n k (n k )(1 t ) n k 1 t k ) k!(n k )! n(n 1)! t k 1 (1 t )( n 1) ( k 1) (k 1)!((n 1) (k 1))! n(n 1)! t k (1 t )( n 1) k k!((n 1) k )! n( BENk 1, n 1 (t ) BENk , n 1 (t ))
'
37
Bezier曲线的性质
p (t ) n Pk ( BENk 1, n 1 (t ) BENk , n 1 (t ))
' k 0 n
n((P 1P 0 ) BEN0 , n 1 (t ) ( P 2 P 1 ) BEN1, n 1 (t ) ... ( P n P n 1 ) BENn 1, n 1 (t )) n ( Pk Pk 1 ) BENk 1, n 1 (t )
Bezier曲线的性质
样条和Kochanek-Bartels样条。
Hermite曲线具有几何不变性。
28
8.3 Bezier曲线曲面
Bezier曲线的定义
Bezier曲线的性质
Bezier曲线的生成
Bezier曲面
29
Bezier曲线的定义
图8.5 Bezier曲线
30
Bezier曲线的定义
定义
二阶导数
p '' (0) n(n 1)((P2 P 1) (P 1P 0 )) p '' (1) n(n 1)((Pn 2 Pn 1 ) ( Pn 1 Pn ))
Bezier曲线在起始点和终止点处的二阶导 数分别取决于最开始和最后的三个控制点。
39
k 1 n
p (0) n ( Pk Pk 1 ) BENk 1, n 1 (0) n( P 1P 0)
' k 1 n
n
p (1) n ( Pk Pk 1 ) BENk 1, n 1 (0) n( Pn Pn 1 )
' k 1
38
Bezier曲线的性质
n 2 1
t [0,1]
17
样条描述
an x(t ) n p (t ) y (t ) t t 1 a1 z (t ) a0 T C T M S G t [0,1] bn cn b1 c1 b0 c0
面的形状时，形状完全通过给定的型值点列。
图8.1 曲线的拟合
9
插值与逼近
曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线曲
面的形状时，求出的形状不必通过控制点列。
图8.2 曲线的逼近
10
插值与逼近
求给定型值点之间曲线上的点
称为曲线的插值。
将连接有一定次序控制点的直
线序列称为控制多边形或特征
多边形。
1 3 3 3 6 3 t 1 3 3 0 0 0 1 1 P0 P 0 1 T M be Gbe 0 P2 0 P3
t [0, 1]
p(t ) t 3

t2

t [0, 1]
34
Bezier曲线的定义
31
Bezier曲线的定义
一次Bezier曲线（n=1）
p(t ) Pk BENk ,1 (t ) (1 t ) P0 tP 1
k 0 1
t [0, 1]
32
Bezier曲线的定义
二次Bezier曲线（n=2）
p(t ) Pk BENk ,n (t ) (1 t ) 2 P0 2t (1 t ) P1 t 2 P2
参数变化对各因变量的影响可以明显地表
示出来。
7
插值与逼近
采用模线样板法表示和传递自由曲线曲面的形状
称为样条。 样条曲线是指由多项式曲线段连接而成的曲线， 在每段的边界处满足特定的连续条件。 样条曲面则可以用两组正交样条曲线来描述。
8
插值与逼近
曲线曲面的拟合：当用一组型值点来指定曲线曲
24
1
Mh是Hermite矩阵。Gh是Hermite几何矢量。
三次Hermite样条
三次Hermite样条曲线的方程为：
p(t ) T M h Gh
t [0,1]
T M h t3

t2
1 2 2 1 3 3 2 1 t 1 0 0 1 0 0 0 0 1
2阶几何连续性，记作G2连续性，指相邻曲线
段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。
16
源自文库
样条描述
n次样条参数多项式曲线的矩阵
x(t ) ant a2t a1t a0 n 2 1 y (t ) bnt b2t b1t b0 z (t ) c t n c t 2 c t 1 c n 2 1 0
p(t ) Pk BENk ,n (t )
k 0
n
t [0,1]
Bernstein基函数具有如下形式：
n! nk nk k k k BENk ,n (t ) t 1 t Cn t 1 t k!n k ! k 0,1,, n
注意：当k=0，t=0时，tk=1，k!=1。
0 0 1 Pk 1 1 1 Pk 1 0 1 0 Rk 2 1 0 Rk 1 1 1 Pk 2 1 Pk 1 M h Gh 1 0 Rk 0 0 Rk 1
3 2
26
三次Hermite样条
H(t)
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 -0.2
H0(t)
H1(t)
H2(t)
0.4 0.6 0.8 1 t
H3(t)
图8.4 Hermite基函数
27
`
三次Hermite样条
特点
可以局部调整，因为每个曲线段仅依赖于端
点约束。
基于Hermite样条的变化形式：Cardinal
22
推导
p(t ) [t
3
t
2
ax b x t 1] cx d x
ay by cy dy
az bz cz dz
[t 3 t 2
a b t 1] T C c d
23
a 0 b 1 C c 0 d 3 2 2 3 3 0 0 0 1
(b) 1阶连续性
(c) 2阶连续性
图8.3 曲线段的参数连续性
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连续性条件
几何连续性
0 阶几何连续性，记作 G0 连续性，与 0 阶参
数连续性的定义相同，满足：
pi (ti1 ) p(i1) (t(i1)0 )
15
连续性条件
1阶几何连续性，记作G1连续性，指一阶导数
在相邻段的交点处成比例
第八章 曲线和曲面
提出问题
由离散点来近似地决定曲线和曲面，即通
过测量或实验得到一系列有序点列，根据这些
点列需构造出一条光滑曲线，以直观地反映出
实验特性、变化规律和趋势等。
1
第八章 曲线和曲面
基本概念
三次样条
2
8.1 基本概念
曲线曲面数学描述的发展
曲线曲面的表示要求
曲线曲面的表示
个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的一
阶导数：
pi (ti1 ) p(i1) (t(i1) 0 ) 且pi(ti1 ) p(i1) (t(i1) 0 )
13
连续性条件
2阶参数连续性，记作 C2连续性，指两个相
邻曲线段的方程在相交点处具有相同的一阶
和二阶导数。
(a) 0阶连续性
不能“局部控制”
21
三次Hermite样条
定义：假定型值点Pk和Pk+1之间的曲线段为
p(t),t∈[0,1]，给定矢量Pk、Pk+1、Rk和
Rk+1，则满足下列条件的三次参数曲线为三次
Hermite样条曲线：
p(0) Pk , p(1) Pk 1 p(0) Rk , p(1) Rk 1


18
8.2 三次样条
给定n+1个点，可得到通过每个点的分段三次
多项式曲线：
x(t ) a x t 3 bx t 2 c x t d x 3 2 y ( t ) a t b t c yt d y y y z (t ) a t 3 b t 2 c t d z z z z

25
三次Hermite样条
通常将T•Mk称为Hermite基函数（或称混合
函数，调和函数）：
H 0 (t ) 2t 3t 1 3 2 H1 (t ) 2t 3t 3 2 H 2 (t ) t 2t t H 3 (t ) t 3 t 2 p(t ) Pk H0 (t ) Pk 1H1 (t ) Rk H 2 (t ) Rk 1H3 (t )
k 0 2
( P2 2P1 P0 )t 2 2( P1 P0 )t P0
t [0, 1]
33
Bezier曲线的定义
三次Bezier曲线（n=3）
p (t ) Pk BENk ,n (t )
k 0 3
BEN0,3 (t ) P0 BEN1,3 (t ) P1 BEN2,3 (t ) P2 BEN3,3 (t ) P3 (1 t ) 3 P0 3t (1 t ) 2 P1 3t 2 (1 t ) P2 t 3 P3
5
曲线曲面的表示
参数法表示
p p(t )
参数法表示的优点
点动成线
t [0,1]
通常总是能够选取那些具有几何不变性的参
数曲线曲面表示形式。 用对参数求导来代替斜率，避免无穷大斜率
6
曲线曲面的表示
t∈[0,1] ，使其相应的几何分量是有界
的。
可对参数方程直接进行仿射和投影变换。
B0,3(t)
B3,3(t)
B1,3(t)
B2,3(t)
O
t
图8.6 三次Bezier曲线的四个Bezier基函数
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Bezier曲线的性质
端点
p(0) Pk BENk ,n (0)
k 0 n
P0 BEN0,n (0) P 1 BEN1,n (0) P n BENn ,n (0) P0
插值与逼近 连续性条件 样条描述
3
曲线曲面数学描述的发展
弗格森双三次曲面片
孔斯双三次曲面片
样条方法
Bezier方法
B样条方法
有理Bezier 非均匀有理B样条方法
4
曲线曲面的表示要求
唯一性
几何不变性
易于定界
统一性
易于实现光滑连接
几何直观
t [0,1]
19
自然三次样条
定义：给定n+1个型值点，现通过这些点列构
造一条自然三次参数样条曲线，要求在所有曲
线段的公共连接处均具有位臵、一阶和二阶导
数的连续性，即自然三次样条具有C2连续性。
还需要两个附加条件才能解出方程组。
20
自然三次样条
特点
只适用于型值点分布比较均匀的场合
图8.2 曲线的逼近
11
连续性条件
假定参数曲线段pi以参数形式进行描述：
pi pi (t )
参数连续性
t[ti0 , t i1]
0阶参数连续性，记作 C0连续性，是指曲线
的几何位臵连接，即
pi (ti1 ) p(i1) (t(i1)0 )
12
连续性条件
1阶参数连续性，记作 C1连续性，指代表两