旋转体的体积试题解析——高数常考题目

0 a2
2 b 2 (a 2 x - x 3 ) a 4 ab2 。 连接坐标原点O 及点 P(h, r)的直线、直线
x h及 x轴围成一个直角三角形．将它绕 x轴旋
转构成一个底半径为r 、高为h的圆锥体，计算圆
锥体的体积．
y
P
解 直线 OP方程为
r
o
y x
h
r
h
x
17
§2由平行截面面积求体积
一、平行截面面积为已知的立体的体积 二、旋转体的体积
三、小结
1
一、已知平行截面面积的立体的体积
设一立体在x轴上的投影区间为[a, b] ，过x点垂直于x轴 的截面面积S(x)是x的连续函数，求此立体的体积。
(1) 在[a, b]内插入分点： a=x0<x1<x2< <xn-1<xn=b，
2 a2 (1 - cos t)2 a(1 - cos t)dt 0
a3
2
(1 -
3cos t
3 cos2
t
- cos3
t )dt
52a3 .
0
14
绕 y轴旋转的旋转体体积
y
2a C
B x x2( y)
可看作平面图OABC 与OBC
x x1( y) o
A
2a x
分别绕y 轴旋转构成旋转体的体积之差.
取积分变量为x ， x [0, h]
在[0, h]上任取小区间[ x, x dx]，
10
以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的
体积为
y
dV
r h
x
2
dx
o
P
r
h
x
圆锥体的体积
V
h 0
r h
x
2
dx
r 2 h2
x3 h 3 0
hr2 3
.
11
2
2
2
例 5 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)绕 x轴旋转
解 取积分变量为y , y [0,4]
体积元素为
P
dy Q M
dV [PM 2 - QM 2 ]dy 3 [(3 4 - y)2 - (3 - 4 - y)2]dy
12 4 - ydy,
4
V 120 4 - ydy 64.
16
三、小结
绕 x轴旋转一周
旋转体的体积
绕 y轴旋转一周
平行截面面积为已知的立体的体积
直线x a 、x b 及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为x ，
y
y f (x)
x [a,b]
在[a,b]上任取小区 o
x x dx
x
间[ x, x dx]，
取以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄
片的体积为体积元素， dV [ f ( x)]2 dx
2 -R
3
4
例 2 求以半径为 R的圆为底、平行且等于底圆
直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.
解 取坐标系如图
y
底圆方程为
x2 y2 R2,
o x Rx
垂直于x 轴的截面为等腰三角形
截面面积 A( x) h y h R2 - x2
立体体积
V
h R -R
R2 - x2dx 1 R2h. 2
i 1
S(x)dx
a
3
例 1 一平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中心，
并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立
体的体积.
解 取坐标系如图
-R
底圆方程为
x2 y2 R2
o
y
x
R
垂直于x 轴的截面为直角三角形
x
截面面积 A( x) 1 (R2 - x2 )tan ,
2
立体体积 V 1 R (R2 - x2 )tandx 2 R3 tan .
5
二、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一 条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋 转轴．
圆柱
圆锥
圆台
6
旋转体：
由连续曲线 yf (x)、直 线 xa 、ab 及 x 轴所围成 y 的曲边梯形绕 x轴旋转一周
而成的立体。
讨论：
Oa
旋转体的体积怎样求？
yf (x) bx
7
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x) 、
旋转体的体积为 V b [ f ( x)]2 dx a
8
曲线y=f(x)绕
x
轴旋转而成的立体体积：V
b
a
[f(x)]2dx。
例3
求椭圆 x 2 a2
y2 b2
1
绕x轴旋转产生的旋转体的体
b y y b a2 - x2 a
积。
解：椭圆绕 x 轴旋转产生
O
ax
的旋转体的体积：
a
Vx 2 0
y2dx 2 a b 2 (a 2 -x 2 )dx
体积为
y
V d [ ( y)]2 dy c
d
x ( y)
c
o
x
13
例 6 求摆线 x a(t - sin t)，y a(1 - cos t)的
一拱与 y 0所围成的图形分别绕 x轴、y 轴旋转
构成旋转体的体积.
y( x)
解 绕x 轴旋转的旋转体体积
Vx
2a y2 ( x)dx
0
a 2a
Vy
2a
x
2
2
(
y)dy
-
0
2a
x
2
1
(
y
)dy
0
a2 (t - sin t)2 a sin tdt 2 - a2 (t - sin t)2 a sin tdt 0
a3 2 (t - sin t)2 sin tdt 63a3 . 0
15
例 7 求由曲线 y 4 - x2及 y 0所围成的图形 绕直线 x 3旋转构成旋转体的体积.
构成旋转体的体积.
y
2
2
2
解 y3 a3 - x3,
y2
2 a 3
-
2
x3
3
-a
x [-a, a]
o
ax
旋转体的体积
V
-aa
a
2 3
-
2
x3
3
dx
32 105
a3 .
12
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x ( y) 、直线 y c 、 y d 及y 轴所围
成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体，
O a x1
xi-1 xi
xn b x
2
(2)过xi(i=1, 2, , n-1)且垂直于x轴的平面，把立体分割成n 个小薄片，第i个小薄片体积的近似值S(xi)Dxi。
将n个小薄片体积的近似值相加得立体体积的近似值
n
V S(i)xi。
i1
(3) 立体体积为
n
b
V
lim
T 0
S(xi )