行列式的性质PPT

8
例2 计算下列行列式：
1 1 02 2
1 0 6 2 (1) D 3
1 0 11 3 1 1 0 1
xy
z
w
x xy xyz xyzw (2) D
x 2xy 3x2yz 4x3y2zw
x 3xy 6x3yz 12x6y3zw
9
1 1 02
2
3 1 02
1 D 3
0
6 2 1 1 1
0
62
1 3
§1.3
音乐
1
一. 行列式的性质
a11 a12 L a1n
a11 a21 L an1
记 D a21 a22 L a2n ，DT a12 a22 L an2
L LLL
L LLL
an1 an2 L ann
a1n a2n L ann
行 列 式 D T 称 为 行 列 式 D 的 转 置 行 列 式
性 质 1 ( 可 转 性 )D TD
a2
1 an
L
LLL
1 n 1
a i 1 i
1 L 1 1
a2
an
每 列 加 到 第 一 列
16
1
1
1
L
a2
an
1
1
n 1 1
a1 L
an (1
i1
) ai L
1 a2
L
L L
an L
1
1 L 1 1
a12
1 an
1
L
n 1
a1L
an (1
i 1
ai
)0 L
a2 1L LL
an 0 L
5
性 质 4 ( 可 加 性 ) 若 行 列 式 中 某 一 行 ( 列 ) 是 两 组 数 之 和 , 则 此 行 列 式 等 于 两 行 列 式 之 和 , 这 两 行 列 式 的 这 一 行 ( 列 ) 分 别 是 第 一 组 数 和 第 二 组 数 , 其 余 各 行 ( 列 ) 与 原 行 列 式 相 同 ,即
b1 0 0 L
0 b2 0 L
D
0 M
0 M
b3 L M
01
02
0 M
3 M
(n1)b1b2L
bn
0 0 0 L bn n
0 0 0 L 0 n1
18
习题一（A）P32~33
6. （1）、（2）、（3） 7. （1）、（2）
19
说 明 : 行 列 式 中 行 与 列 具 有 同 等 的 地 位 , 因 此 行 列 式 的 性 质 凡 是 对 行 成 立 的 对 列 也 同 样 成 立
2
性 质 2 ( 半 可 交 换 转 性 ) 交 换 行 列 式 的 两 行 ( 列 ) , 行 列 式 变 号
a 11 a 12 L L LL a i1 a i2 L L LL a k1 a k2 L L LL a n1 a n2 L
D
6 0 1 1 1 r4 3 r2 6 0 0
6 7
2 3
0 3 05
0 0 18 11
1 3 4 2
1 3 4 2
=c 3 2 c 4 1 0 1
60 0
2
1
= 2 r 4 4 r 3 1 0 1 2
3
60 0 1
2 3
0 0 4 11
0 0 0 23
23
6
11
xy百度文库
z
w
x xy xyz xyzw D
a (n 1)b b b a
13
1 b b b 1 a b b [a (n1)b] 1 b a b 1 b b a
每行减去第一行
1b b b
ab
0
[a(n1)b]
ab
0
ab
[a(n 1 )b ]a (b)n 1.
14
例4 计算n阶行列式
1 a1 1 1
1 1 a2
1
(a i 0 ,i 1 ,2 , ,n )
a11
a12
L
a1n
a11 a12 L a1n a11 a12 L a1n
L
LLL
L LLL L LLL
ai1 bi1 ai 2 bi 2 L ain bin a i 1 a i 2 L a in b i 1 b i 2 L b in
L
LLL
L LLL L LLL
an1
an2
L
ann
a n1 a n2 L a nn a n1 a n2 L a nn
a 1n L a in i 行 L a kn k 行 L a nn
a 11 a 12 L L LL
a k1 a k2 L
L L L
a i1 a i2 L L LL
a n1 a n2 L
a 1n L a kn i 行 L a in k 行 L a nn
推 论 1 . 1 ( 零 性 ) 有 两 行 ( 列 ) 相 同 的 行 列 式 D 0
a 1n
a11
L
L
a12
L
L
L
a in
ai1
L
L
ai2
L
L
L
a kn
ak1 cai1 ak2 cai2 L
L
L
L
L
a nn
an1
an2
L
a1n L a in L a kn ca in L a nn
7
二. 利用行列式性质计算行列式
利用行列式的性质总能把行列式化成 上(下)三角形行列式,进而求其值,这 种计算行列式的方法称为三角化法, 它是计算行列式的一个最基本的方法, 必须熟练掌握
8x3yz
00
x
5x y
xy z
w
r4 r3 0 x x y x y z
00 x
2x y 3x4
00 0
3x
12
例3 计算n阶行列式 a b b b
b a b b D b b a b .
b b b a 解 将第 2,3,,n列都加到第一列得
a (n 1)b b b b a (n 1)b a b b Da (n 1)b b a b
1
1 1 an
解
11
1
1
a1 a2
an
1 原式 a1 an a1
1 1 a2
1 an
1
1 1 1
a1
a2
an
15
11
1
1
a1 a2
an
1
1
1
原式 a1 an a1
1 a2
an
1
1 1 1
a1
a2
an
n 1
1 a i 1 i
1 L
a2
1 an
n 1
1
1
1 L
a1 L an
a i 1 i
0 11
321 0 1 1 3 2 0 1
1 1 0 1
1 3 02
1 3 02
= 1 0 c 1 c 2 60
= 1 6 2 r 4 2 r 1 1 0 1 6 2
1 11
60 1 1 1
2 3 0 1
0 3 05
10
1 3 02
13 0 2
= 1 0 1 6 2 r 3 r 2 1 0 1
0 0L 1
n 1
a1L an(1 i1 ai ).
每 行 减 去 第 一 行
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例5 计算n+1阶行列式
b1 0 0 L
b1 b2 0 L
D
0 M
b2 M
b3 L M
0 0 0L
0 0 0L
01 01 01 MM bn 1 bn 1
解 将第1行加到第2行，所得新的第2行加到第3行， … ，所得新的第行加到第行，得
3
例如
175 175 6 6 2 3 5 8, 358 662
17 5 71 5 6 6 2 6 6 2. 35 8 53 8
4
性 质 3 ( 可 提 ( 乘 ) 性 ) 行 列 式 某 行 ( 列 ) 的 公 因 子 k 可 以 提 到 行 列 式 符 号 外 , 行 列 式 的 某 一 行 ( 列 ) 中 所 有 的 元 素 都 乘 以 同 一 数 k ,等 于 用 数 k 乘 此 行 列 式 , 即
a11 a12 L a1n
a11 a12 L a1n
L LLL
L LLL
k a i 1 k a i 2 L k a in
k a i1 a i 2 L a in
L LLL
L LLL
a n1 a n2 L a nn
a n1 a n2 L a nn
推 论 1 . 2 ( 零 性 ) 有 一 行 ( 列 ) 元 素 全 为 0 的 行 列 式 D 0 推 论 1 . 2 ( 零 性 ) 有 两 行 ( 列 ) 元 素 对 应 成 比 例 的 行 列 式 D 0
x 2xy 3x2yz 4x3y2zw
x 3xy 6x3yz 12x6y3zw
x y r 4 r 3
z
r3 r2
= 00 r 2 r 1
x x
x y 2x y
0 x 3x y
w
xy z
w
xyz 0 r 4 r 3 x x y x y z
= 3x2yz r 3 r 2 0 0
x
2x y
6
性 质 5 ( 倍 加 性 ) 把 行 列 式 一 行 ( 列 ) 元 素 的 c 倍 加 到 另 一 行 ( 列 ) 对 应 元 素 上 , 行 列 式 的 值 不 变 , 即
a 11 a 12 L L LL a i1 a i2 L L LL a k1 a k2 L L LL a n1 a n2 L