构造函数法在导数中的巧妙应用

构造函数法在抽象不等式中的

巧妙应用

构造函数是解决抽象不等式的基本方法，根据题设的条件，并借助初等函数的导数公式和导数的基本运算法则，相应地构造出辅助函数. 通过进一步研究辅助函数的有关性质，给予巧妙的解答. 本文从一到高考试题出发，追根溯源，研究并揭示高考试题的本质. 1 小荷才露尖尖角

真题 设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 取值范围（ ）. A. (,1)(0,1)-∞- B. (1,0)(1,)-+∞ C. (,1)(1,0)-∞--

D. (0,1)

(1,)+∞

解析：设()

()f x F x x

=， 则2

()()

'()xf x f x F x x '-=

.

因为0x >时，()()0xf x f x '-<，所以'()0F x <,

即当0x >时，()F x 单调递减.

又因为()f x 为奇函数，且(1)0f -=，所以

()

()f x F x x

=为偶函数，且(1)(1)0F F -==, 则当0x <时，()F x 单调递增.

当(,1)x ∈-∞-时，()0F x <，()0f x >. 当(0,1)x ∈时，()0F x <，()0f x >. 所以()0f x >成立的x 取值范围

(,1)(0,1)-∞-，即答案为A..

上述题为2015年课标全国Ⅱ选择题第12题，创新有难度，丰富有内涵. 此其题表面看上，不知道如何入手，解决问题. 因为这是一道没有具体函数表达式的不等式试题，且不等式中含有()f x '和

()f x ，更是难上加难. 从试题的解析可以看出，巧

妙地构造出了函数()F x ，通过分析()F x 的单调性和奇偶性，解答问题. 解题突破口不易寻找，给人一种“旧时茅店社林边,路转溪桥忽见”的感觉. 对题的解析过程进行回顾，本题是如何构造出

()

()f x F x x

=

，从而给出极其巧妙的解答. 为了寻求问题的本质，这里对以下例题进行分析.

2 千树万树梨花开

例 1 已知函数()f x 的图像关于y 轴对称，且当

(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立，若0.20.22(2)a f =⋅，log 3(log 3)b f ππ=⋅，33log 9(log 9)b f =⋅，

则,,a b c 的大小关系（ ） A. b a c >> B. c a b >> C. c b a >> D. a b c >>

解析：设()()F x xf x =，则'()()()F x f x xf x '=+. 因为0x <时，()()0f x xf x '+<，所以'()0F x <,则当0x <时，()F x 单调递减.

又因为函数()f x 的图像关于y 轴对称，所以()f x 为奇函数，当0x >时，()F x 单调递减.

又因为0.2122<<，0log 31π<<，3log 92=，则b a c >>，即答案为A.

例 2已知函数()f x 满足：()2()0f x f x '+>，那么系列不等式成立的是（ ）

A. (1)f >

B. (0)

(2)f f e

<

C. (1)(2)f >

D. 2

(0)(4)f e f >

解析：设12

()2()x F x e f x =，

则111

22

21'()2[()()][()2()]2

x x x F x e f x e f x e f x f x ''=+=+.

因为()2()0f x f x '+>，所以'()0F x >,则()

F x 在定义域上单调递增，所以(1)(0)F F >,

则(1)f >

，即答案为A.

例 3 已知()f x 为定义在(,)-∞+∞上的可导函数，且()()f x f x '<对于x R ∈恒成立且e 为自然

对数的底，则（ ）

A. 2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f >⋅>⋅

B. 2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f <⋅>⋅

C. 2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f >⋅<⋅

D. 2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f <⋅<⋅ 解析：设()

()x

f x F x e =

， 则22()()[()()]'()x x x

x x

f x e f x e f x f x e F x e e ''--==

. 由()()f x f x '<，得()()0f x f x '-<，则'()0F x <,()F x 在定义域上单调递减，所以(1)(0)F F >,(2012)(0)F F >

即答案为A. 例 4 定义在(0,

)2

π

上的函数()f x ，()f x '是它的

导函数，且恒有()()tan f x f x x '>成立，则（ ）

()()4

3

π

π

>

B. (1)2()sin16

f f π

>

()()64

f ππ

>

()()63

f ππ

>

解析：因为(0,

)2

x π

∈，所以sin 0x >，cos 0>.

由()()tan f x f x x '>， 得()cos ()sin 0f x x f x x '->

设()

()sin f x F x x

=，

则2

()sin ()cos '()sin f x x f x x

F x x

'-=

，可得'()0F x <, 则()F x 在定义域上单调递减， 所以()()43

F F ππ

>,

()()4

3

π

π

>

，即答案为A.

评注：爱因斯坦赞叹：“数学美，本质上终究是简单性”. 那又如何构造出函数，将问题简单化，这在数学上是一个值得深究的问题.

仔细的观察和思考例1和例2的解法，它们有一个共同点：采用导数的积运算法则，即

[()()]'()()'()()f x g x f x g x g x f x '=+. 例3和例

4的解法，它们也有一个共同点：采用导数的商运

算法则，即2()()()'()()

[]'()()

f x f x

g x g x f x g x g x '-=.由此可见，对于含有()f x 和()f x '的不等式，将不等

式的右边化0，若左边是()()x f x μ和()()x f x ν'相加得形式，其中()x μ和()x ν常见的变量或常量. 此时用导数的积运算法则；若左边是()()x f x μ和

()()x f x ν'相减得形式，此时用导数的商运算法则.

当然，这只是做题的起初思想，但是要做出试题，还远远不行，而问题的关键在构造函数. 波利亚：“观察可能导致发现，观察将揭示某种规则、模式或定律.”根据我们所学习的知识，通过观察，认识数学的本质特点，灵活的运用所学知识和技巧进行求解，从而将抽象复杂的问题转化为具体简单的问题，使解法顺利的完成。以下给出例1至例4的方法技巧

例1中，()()0f x xf x '+<，根据导数的积运算法则得(箭头指向方向为函数的导函数，后面不做说明)

)

<0

可以看出

()f x 的导数为()f x '，x 的导数为1，从而构造出函数()()F x xf x =.

例2中，()2()0f x f x '+>，根据导数的积运算法则得

)<0

可以看出()f x 的导数为()f x '，2的导数为1，显然不成立. 则不等式两边定约去了一个不为0的变量. 函数和本身的导函数有相同的变量，则猜想到函数x

y e =. 但这里还要考虑系数1和2，进一

步猜想到复合函数12

x y e =. 给上述不等式两边同

乘以12

x e

，则

12x e )<0

从而构造出函数1

2

()2()x F x e

f x =⋅.

例3中，()()0f x f x '->，根据导数的商运算法则得

2)

0x

e <

可以看出()f x 的导数为()f x '，x e 的导数为