优化模型,飞行管理,森林救火

第五讲 优化模型

在实际生活中，特别是在工程技术、经济管理和科学研究领域中存在着很多优化模型，如投资的成本最小、利润最大问题，邮递员的投递路线最短问题，货物的运输调度问题，风险证券投资中的收益最大，风险最小问题。

优化模型大致的可以分成两大类：无约束优化模型和约束优化模型。无约束优化模型即求一个函数在定义域内的最大值或最小值，这类问题往往可以使用微分的方法得到最终的结论，如一元及多元函数的最值归结为求函数的驻点；约束优化模型即求函数在一些条件约束下的最优解，对于等式约束的问题，可以使用Lagrange 乘数法求解，但是在数学建模中得到的优化模型往往不是等式约束问题，而是诸如不等式约束甚至更复杂的数学规划问题，这些问题需要使用Matlab 等科技计算软件才能解决。数学规划问题包括线性规划、整数规划、非线性规划、目标规划、多目标规划以及动态规划等类型的问题。

不管是什么类型的优化问题，在建模过程中需要解决的问题，也是建模的基本步骤为： （1） 确定目标函数（按照模型所需要解决的问题，用数学函数来描述目标）

（2） 确定决策变量（目标的实现与那些变量有关，这里有主要变量和次要变量，在建模

的初期可以进考虑主要变量对目标的影响，随后可以逐步增加变量的个数）

（3） 确定约束条件（这是优化模型建模过程中最重要，也是最难的，在很多情况下，是

否能够得到最优解，最优解是否合理，都是取决于约束条件的建立）

（4） 模型求解（使用数学工具或数学软件求解）

（5） 结果分析（分析结果的合理性、稳定性、敏感程度等）

第一部分 简单的优化模型 模型一 森林救火模型

问题重述：森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。

问题分析：总的目标是确定队员数量使得损失费与救援费的总和最小。决策变量应当是消防队员的数量。

（1）损失费：损失费由大火熄灭时，被烧毁的森林面积B 决定，若假设单位面积损失为，则损失费为。其中最关键的是决定1c B c 1B 与决策变量，即队员数量之间的关系。建设火烧过的森林区域是圆。考虑队员数量对被烧毁森林面积的影响。将起火的时间定为0，开始灭火的时间设为，灭火结束的时间为，因此烧毁的森林面积为。队员人数对的影响在于队员的人数多少决定了火势蔓延的速度快慢，在中，由于没有人员参与灭

1t 2t )(2t B )(2t B ],0[1t

火，火势蔓延的速度可以认为与时间成正比，而蔓延的速度直接影响到被烧毁的森林圆的半径，从而在内，与时间的平方成正比。在区间内，由于灭火的影响，火势的蔓延速度减慢，与参与的队员人数即每个队员的灭火能力成反比，结果在时刻，蔓延速度将为0，即火被扑灭。

],0[1t )(t B ],[21t t 2t （2）救援费：影响救援费的因素有两个，救援队员的人数与救援的时间，而这两个因素之间也是相关的，人数多则救援时间12t t −短，反之，人数少则救援时间长。因此在考虑救援费时，必须考虑单位时间内每个队员的费用。 模型假设：

（1） 不考虑其他因素，如地理条件，气候等对灭火的影响，仅考虑火的自身蔓延情况及

派出的救援人数x 对灭火的影响。

（2） 火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径与t 成正比，大火烧过的

区域是一个圆，t 时刻圆的面积为。

)(t r )(t B （3） 失火的时间为0，开始灭火的时刻为，灭火结束的时间为。 1t 2t （4） 从失火到开始救火，，

],0[1t dt

dB

与t 成正比，系数β（火势蔓延速度）。 （5） 从开始救火到灭火结束，，火势蔓延的速度降为],[21t t x λβ−，λ为每个队员的平均灭火速度。

符号说明：

x t B t t ,,),(,,21λβ地说明略， 1c —烧毁单位面积的损失费 2c —每个消防队员单位时间的费用 3c —每个队员的一次性支出

)()(t B t v ′=—火势的蔓延速度

模型建立与模型求解： （1）的计算。

)(2t B ))((2121)()()(212

2210022

1

12

t t x t tdt x tdt dt dt t dB t B t

t t t −−+=−+==∫∫∫λββλββ

（2）的确定。时刻火势的扩散速度为0，这就决定了不是任意选择的。

2t 2t 2t ⎩

⎨⎧≤≤−≤≤=211)(0)(t t t t x t t t

t v λββ

从而β

λβ−+

=x t t t 1

12。进一步有)(22)(2

122

12βλββ−+=x t t t B 。 （3）总费用的确定。森林损失费为，救援费用为)(21t B c x c t t x c 3122)(+−，因此总的救

火费用为

x c x x

t c x t c t c x C 3122121211)(22)(+−+−+=β

λββλββ

（4）模型求解。问题归结为，由)(min

x C 0)(=′x C 可以得到最佳的救火队员数为

2

31221122λ

λβλβ

c t c t c x ++=（留作习题，自己计算） 模型分析：

（1） 救援人数必须大于λβ/，否则火势蔓延速度不能得到控制；

（2） 救援人数表达式中，λβ/是控制火势蔓延的最少人数，

增加的部分表明，随着3,c λ的增加，人数将减少，因为每个队员的扑火能力提高了，可以理解为灭火前的前期准备费用，费用高说明准备充分；而的增加导致人员的增加。

3c 121,,t c c （3） 模型的关键是对的建模，其中我们抛开了风势等其他自然因素对火势的影响。

在实际情况下，)(t B ′λ应当与有关，而且从某种程度上讲，队员的灭火能力随着时间的增加而减少。

1t

模型二：消费者的选择问题

问题：市场上有甲乙两种产品可供消费者选择，一个消费者应当如何合理分配自己所拥有的资金。

问题分析：影响投资者分配资金方案的因素有：（1）投资者拥有的资金数，（2）两种产品的价格，（3）投资者判断合理的标准（投资者所认为的最佳）。 效用函数的概念：

效用是一个经济名词，表示的是一个投资者从消费活动中所获得的满意程度。在本问题中，假设投资者消费两种产品的数量分别为，则可以认为消费者所获得的效用是

的函数，记为。即可以将效用函数理解为从消费集合到实数集合的一个函

数：

21,q q 21,q q ),(21q q U R R R y x U →×:),(。

y

U

x U ∂∂∂∂,称为边际效用，平面上的曲线xOy C y x U =),(代表能带给消费者效用为C 的所有产品组合，该曲线称为一条无差异曲线。

对于效用函数，我们有下面几个假设（注意假设条件的经济意义）：

),(y x U （A1）0,0>∂∂>∂∂y

U

x U ，经济含义为边际效用大于零，即消费更多的产品可以带来更大的效用。