排列数和组合数的计算PPT讲稿
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组合与组合数公式PPT课件
3 3.
A 从而 3 C A 4
3
C434 3
P3 4
P3 3
3
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
C 例1计算：⑴
4 7
⑵ C170
C A (3) 已知 3 2 ,求 n ．
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A32 6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠 军
中
组合数学课件-第一章：排列与组合
积分性质
若G(x)是母函数，则它的不定积分∫G(x)dx （其中C为常数）也是母函数。
线性性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 线性组合k1*G1(x)+k2*G2(x)（k1和k2是 常数）也是母函数。
微分性质
若G(x)是母函数，则它的导数G'(x)也是母 函数。
乘积性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 乘积G1(x)*G2(x)也是母函数。
对称性
C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元 素的组合数与从n个元素中取出n-m个元素的组 合数相等。
递推关系
C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)，即当前组合 数等于前一个元素在组合中和不在组合中的两种 情况之和。
边界条件
C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取出0个或 n个元素的组合数均为1。
典型例题解析
例1
从10个数中任取4个数，求其中最大数为6的组合数。
解析
此问题等价于从6个数（1至6）中取4个数的组合数，即 C(6,4)。
例2
在所有的三位数中，各位数字之和等于10的三位数有 多少个？
解析
此问题可转化为从9个数字（1至9）中取3个数字的组合 数，即C(9,3)，然后考虑三个数字的全排列，即3!，因此 总共有C(9,3) × 3!个符合条件的三位数。
组合与排列的关系
组合数可以看作是从n个元素中取出m个元素进行排 列的种数除以m的阶乘，即C(n，m)=A(n，m)/m!。 因此，在计算组合数时也可以利用排列数和容斥原 理来进行计算。
THANKS
隔板法
将n个相同的元素分成r组的方法数可以用母函数表示为 C(n+r-1,r)，其中C表示组合数。
第六章考点排列组合的概念与计算完整版课件
第13页，共42页
典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【思路点拨】 对排列和组合的概念进行考查，排列“既取又 排，与顺序有关”．组合“只取不排，与顺序无关”．
第14页，共42页
典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
变式训练1 (1)从2，3，5，7，11中任取两个数相乘，可得到多少个不同的 积，属于___组_合____问题，表达式为___C__52 ___，共有____10____个 ； (2)从2，3，排5，列7，11中任取两个数相除P52，可得到多少个20不同的 商，属于________问题，表达式为________，共有________个.
P 3m7＝37×36×35×…×(37－m＋1)，∴37－m＋1＝13，解得m
＝25.
第29页，共42页
检测练习 A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B组 1 2 3
5．若
C2 n1
1 6
P3 n1
，则n等于(
A
)
A．4
B．7
C．19
D．37
【提示】 展开得
(n 1)n 21
(2)若 Cmn
1098 7 43 21
，则n＝____10____，m＝____4____；
(3)若 C8x1 C8x C94 ，则x＝___4_或_5___.
第19页，共42页
典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【思路点拨】 对排列数、组合数公式的逆向及组合数两个 性质的考查，根据展开式的特点推导出排列数、组合数. ∵ ，∴C8xx＝1 4C或8x 5. C9x C94
第六章 排列、组合与二项式定理
考点23 排列、组合的概念与计算
典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【思路点拨】 对排列和组合的概念进行考查，排列“既取又 排，与顺序有关”．组合“只取不排，与顺序无关”．
第14页，共42页
典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
变式训练1 (1)从2，3，5，7，11中任取两个数相乘，可得到多少个不同的 积，属于___组_合____问题，表达式为___C__52 ___，共有____10____个 ； (2)从2，3，排5，列7，11中任取两个数相除P52，可得到多少个20不同的 商，属于________问题，表达式为________，共有________个.
P 3m7＝37×36×35×…×(37－m＋1)，∴37－m＋1＝13，解得m
＝25.
第29页，共42页
检测练习 A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B组 1 2 3
5．若
C2 n1
1 6
P3 n1
，则n等于(
A
)
A．4
B．7
C．19
D．37
【提示】 展开得
(n 1)n 21
(2)若 Cmn
1098 7 43 21
，则n＝____10____，m＝____4____；
(3)若 C8x1 C8x C94 ，则x＝___4_或_5___.
第19页，共42页
典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【思路点拨】 对排列数、组合数公式的逆向及组合数两个 性质的考查，根据展开式的特点推导出排列数、组合数. ∵ ，∴C8xx＝1 4C或8x 5. C9x C94
第六章 排列、组合与二项式定理
考点23 排列、组合的概念与计算
大学排列组合ppt课件
排列与组合的综合实例解析
总结词
通过综合实例，理解排列与组合在实际 问题中的应用。
VS
详细描述
通过一个复杂的问题，如安排一场活动或 者组织一次旅行，综合运用排列和组合的 知识来解决实际问题，并强调排列与组合 在解决实际问题中的重要性和关联性。
05
排列组合的解题技巧
解题思路分析
明确问题要求
01
首先需要清楚题目是关于排列还是组合的问题，排列需要考虑
04
排列组合的实例解析
排列实例解析
总结词
通过具体实例，深入理解排列的概念和计算方法。
详细描述
通过实际生活中的例子，如学生选课、物品的排列等，解释排列的概念，并介绍排列的计算公式，以及如何应用 这些公式解决实际问题。
组合实例解析
总结词
通过具体实例，深入理解组合的概念和计算方法。
详细描述
通过实际生活中的例子，如彩票中奖概率、选举代表等，解释组合的概念，并介绍组合的计算公式， 以及如何应用这些公式解决实际问题。
少？
答案解析
答案1
从5个人中选3个人参加会议共有 $C_{5}^{3} = 10$种不同的选法。
答案3
大于2000的三位数，首位数字可以为 2，3或4，共有$A_{3}^{1} times A_{4}^{2} = 36$种。
答案2
将4把椅子排好，共有$A_{5}^{3} = 60$种坐法。
答案4
不同的分法种数为$A_{5}^{4} = 120$种。
常见错误解析与避免方法
混淆排列与组合
遗漏情况
排列和组合是不同的概念，需要明确 题目要求，正确使用公式。
在解题过程中，需要注意不要遗漏某 些情况，例如在排列时需要考虑元素 的顺序，在组合时需要考虑元素的取 法。
排列与组合ppt课件
数。
从10个不同字母中取出 5个字母的所有排的个
数。
从8个不同数字中取出4 个数字的所有排列的个
数。
从n个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个
数。
03
CHAPTER
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
"!"表示阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1。
3
排列组合在计算机科学中的应用
计算机科学中，排列组合用于算法设计和数据结 构分析。
排列与组合的未来发展
排列与组合理论的发展方向
随着数学和其他学科的发展，排列与组合理论将不断发展和完善，出现更多新 的公式和定理。
排列与组合的应用前景
随着科学技术的发展，排列与组合的应用领域将更加广泛，特别是在计算机科 学、统计学和信息论等领域的应用将更加深入。
在计算排列和组合时，使用的 公式和方法也不同。
02
CHAPTER
排列的计算方法
排列的公式
01
02
03
排列的公式
P(n, m) = n! / (n-m)!， 其中n是总的元素数量， m是需要选取的元素数量 。
排列的公式解释
表示从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的 个数。
排列的公式应用
适用于计算不同元素的排 列组合数，例如计算从n 个不同数字中取出m个数 字的所有排列的个数。
该公式用于计算从n 个不同元素中选取k 个元素（不放回）的 组合数。
组合的计算方法
直接使用组合公式进行计算。 当n和k较大时，需要注意计算的复杂性和准确性。
可以使用数学软件或在线工具进行计算。
从10个不同字母中取出 5个字母的所有排的个
数。
从8个不同数字中取出4 个数字的所有排列的个
数。
从n个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个
数。
03
CHAPTER
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
"!"表示阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1。
3
排列组合在计算机科学中的应用
计算机科学中，排列组合用于算法设计和数据结 构分析。
排列与组合的未来发展
排列与组合理论的发展方向
随着数学和其他学科的发展，排列与组合理论将不断发展和完善，出现更多新 的公式和定理。
排列与组合的应用前景
随着科学技术的发展，排列与组合的应用领域将更加广泛，特别是在计算机科 学、统计学和信息论等领域的应用将更加深入。
在计算排列和组合时，使用的 公式和方法也不同。
02
CHAPTER
排列的计算方法
排列的公式
01
02
03
排列的公式
P(n, m) = n! / (n-m)!， 其中n是总的元素数量， m是需要选取的元素数量 。
排列的公式解释
表示从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的 个数。
排列的公式应用
适用于计算不同元素的排 列组合数，例如计算从n 个不同数字中取出m个数 字的所有排列的个数。
该公式用于计算从n 个不同元素中选取k 个元素（不放回）的 组合数。
组合的计算方法
直接使用组合公式进行计算。 当n和k较大时，需要注意计算的复杂性和准确性。
可以使用数学软件或在线工具进行计算。
组合及组合数的计算PPT课件
190
性质2
Cm n1
Cnm
C m1 n
mn
性质2反映出组合数公式中m与n之间存在的联系.
课后练习3.1.2
1、计算下列各数
(1) C72 __________;
(2) C54 __________;
(3) C83 __________;
(4)
C10 12
__________;
例 圆周上有10个点，以任意三点为顶点画圆内接三角形，一共可以 画多少个？
分析：因为只要选出三个点，三角形元素的组合数.
解：可以画出的圆内接三角形个数为
C130
P130 3!
10 98 3 21
120
即可以画出120个圆内接三角形.
练习
6个朋友聚会，每两人握手一次，这次聚会他们一共握手多少次？ 从3、5、7、11这四个质数中任取两个相乘，可以得到多少个不同的积？ 学校开设了6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？ 现有3张参观券，要在5人中选出3人去参观，共有多少种不同的选法？
(4)
C10 11
__________;
C44
P44 P44
1
说明：
（1）Cnn 1 （2）Cn0 1
组合数的性质
性质1
Cnm
C nm n
mn
利用这个性质，当
m
n 2
时，可以通过计算比较简单Cnnm 的得到的 Cnm
值，
如
C18 20
C18 20
C 2018 20
C220
20 19 2!
3.1.2 组合
问题
在北京、重庆、上海3个民航站之间的直达航线，有多少种不同 的飞机票价（假设两地之间的往返票价是相同的）？
排列组合ppt课件高中
10$
进阶练习题
题目：在数字"202X"中，各位数字相加和为10，称该 数为"如意四位数"，用数字0，1，2，3，4，5组成的
无重复数字且大于202X的"如意四位数"有____个．
输标02入题
01
答案：12
03
答案：10
04
题目：在数字``202X''中，各位数字相加和为10，称该数 为``如意四位数''，用数字0，1，2，3，4，5组成的无重 复数字且大于202X的``如意四位数''有____个．
确定元素
确定题目中涉及的元素，并理 解元素之间的关系。
确定限制条件
理解题目中的限制条件，如是 否可以重复、是否需要排序等
。
建立数学模型
根据问题类型、元素和限制条 件，建立相应的数学模型。
常见题型解析
排列问题
如“5个人排成一排，有多少种不同的排法？”这类问题需要斟酌到顺序，使用排列公式 $A_n^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$进行计算。
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ 0<m≤n），依照一定的顺序排成 一列，叫做从n个元素中取出m个
元素的一个排列。
排列的计算公式
P(n, m) = n! / (n-m)!，其中"!"表 示阶乘。
排列的特性
排列与取出元素的顺序有关，元素 相同但顺序不同是不同的排列。
组合的定义
01
02
03
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（不放回） 进行排列，得到的排列数记为$A_{n}^{m}$ 。
组合数定义
进阶练习题
题目：在数字"202X"中，各位数字相加和为10，称该 数为"如意四位数"，用数字0，1，2，3，4，5组成的
无重复数字且大于202X的"如意四位数"有____个．
输标02入题
01
答案：12
03
答案：10
04
题目：在数字``202X''中，各位数字相加和为10，称该数 为``如意四位数''，用数字0，1，2，3，4，5组成的无重 复数字且大于202X的``如意四位数''有____个．
确定元素
确定题目中涉及的元素，并理 解元素之间的关系。
确定限制条件
理解题目中的限制条件，如是 否可以重复、是否需要排序等
。
建立数学模型
根据问题类型、元素和限制条 件，建立相应的数学模型。
常见题型解析
排列问题
如“5个人排成一排，有多少种不同的排法？”这类问题需要斟酌到顺序，使用排列公式 $A_n^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$进行计算。
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ 0<m≤n），依照一定的顺序排成 一列，叫做从n个元素中取出m个
元素的一个排列。
排列的计算公式
P(n, m) = n! / (n-m)!，其中"!"表 示阶乘。
排列的特性
排列与取出元素的顺序有关，元素 相同但顺序不同是不同的排列。
组合的定义
01
02
03
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（不放回） 进行排列，得到的排列数记为$A_{n}^{m}$ 。
组合数定义
排列组合PPT 演示文稿
件的排法共有A44A53=1440种不同排法.
(3) 其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种 不同的排法？
(3) 其中甲、乙两同学之间必须有3人， 有多少种不同的排法？ 解析：甲、乙2人先排好，有A22种排法,
再从余下5人中选3个排在甲、乙2人中间, 有A53种排法, 这时把已排好的5人视为一
这时是5个元素的全排列，应有A5 种排
法，由乘法原理，有A33A55种=720种不 同排法.
(2) 任何两个女同学彼此不相邻, 有多少种不同的排法？ 解析：先将男生排好, 共有A44种排法,
再在这4个男生的中间及两头的5个空档
中插入3个女生有A53种方案, 故符合条 件的排法共有A44A53=1440种不同排法.
法，由乘法原理，有A33A55种=720种不 同排法.
(1) 3个女同学必须排在一起，有多 少种不同的排法？ 解析：3个女同学是特殊元素，我们 先把她们排好，共有A33种排法；由于3
元素相邻问题，一般用“捆绑法”,先把相 个女同学必须排在一起，我们可视排好
邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与 的女同学为一整体，再与甲同学排队， 其它元素全排列，然后再松绑，将这若干 个元素内部全排列。 5
(2) 任何两个女同学彼此不相邻, 有多少种不同的排法？ 解析：先将男生排好, 共有A44种排法,
• 元素不相邻，一般用“插空法”，先将不 再在这 4个男生的中间及两头的5个空档 相邻元素以外的“普通”元素全排列，然 后在普通元素之间或两端插入不相邻的元 中插入 3个女生有A53种方案, 故符合条 素。
1 2 3 n
定 义
两个原理是学好排列组合的金钥匙，
相同 点 不同 点
必须搞清两者的区别与联系，如何 灵活利用这两个原理对问题进行分
高中数学选修2-3《排列与组合》全部课件
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个
元素的组合数，用符号Cnm表示。
注意：1.m个元素必须从这n个元素中取出；
2.组合问题，哪些是排列问题？
1、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一件工作，
1.排列 定义:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m (m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列.
说明:①一次性取出m个元素;②将这m个
元素按一定的顺序排成一列.③ m≤n
注:（相同排列：元素相同，顺序相同.）
例1.下列问题是不是排列问题？ 1．某学校的高二（1）班有50名同学,从 中选出5人组成班委会,共有多少种选法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
4）甲不排头，也不排尾，共有几种排法？
甲
5）甲只能排头或排尾，共有几种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
6）甲不排头，乙不排尾，共有多少种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三 家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
1）甲站在正中间的排法有几种？
甲
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
2）甲乙两人必须站在两端的排法有几种？
甲
乙
3）甲乙两人不能站在两端的排法有几种？
有多少种不同的选法？
组合
2、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两件不同的
元素的组合数，用符号Cnm表示。
注意：1.m个元素必须从这n个元素中取出；
2.组合问题，哪些是排列问题？
1、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一件工作，
1.排列 定义:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m (m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列.
说明:①一次性取出m个元素;②将这m个
元素按一定的顺序排成一列.③ m≤n
注:（相同排列：元素相同，顺序相同.）
例1.下列问题是不是排列问题？ 1．某学校的高二（1）班有50名同学,从 中选出5人组成班委会,共有多少种选法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
4）甲不排头，也不排尾，共有几种排法？
甲
5）甲只能排头或排尾，共有几种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
6）甲不排头，乙不排尾，共有多少种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三 家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
1）甲站在正中间的排法有几种？
甲
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
2）甲乙两人必须站在两端的排法有几种？
甲
乙
3）甲乙两人不能站在两端的排法有几种？
有多少种不同的选法？
组合
2、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两件不同的
第二节排列组合-PPT课件
1 4 2 3 3 2 4 1 ( 种 ) ……………… C C C C C C C C 2 6 4 ..6′ 4 6 46 4 6 46
方法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,故可 用间接法求解.
分析 （1）分步.（2）可分类也可用间接法.（3）可分类也可
用间接法.（4）分类. 解 （1）第一步：选3名男运动员，有 C 63 种选法. 第二步：选2名女运动员，有 C 42种选法. 共有 C 3 =120( 种)选法………………………………3′ C4
6 6
（2）方法一：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男…………………….4′ 由分类加法计数原理可得总选法数为：
参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共
有种.
解析： 星期五有2人参加，则从5人中选2人的组合数为C 5 2 ，星 期六和星期天从剩余的3人中选2人进行排列，有
2 ). 2 =60(C 种 A 5 3
种，则共有 A 32
答案： 60 题型四 基本组合问题 【例4】（14分）有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队 长各1名.选派5名外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1名参加； （4）既要有队长，又要有女运动员.
=2 880A（种 )排法. 4
A 44 A 55
学后反思 本题集排列的多种类型于一题，充分体现了元素分析 法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、 直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常 见的解题思路.
举一反三
3. (2019· 全国改编)从5位同学中选派4位同学在星期五、星 期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人
方法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,故可 用间接法求解.
分析 （1）分步.（2）可分类也可用间接法.（3）可分类也可
用间接法.（4）分类. 解 （1）第一步：选3名男运动员，有 C 63 种选法. 第二步：选2名女运动员，有 C 42种选法. 共有 C 3 =120( 种)选法………………………………3′ C4
6 6
（2）方法一：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男…………………….4′ 由分类加法计数原理可得总选法数为：
参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共
有种.
解析： 星期五有2人参加，则从5人中选2人的组合数为C 5 2 ，星 期六和星期天从剩余的3人中选2人进行排列，有
2 ). 2 =60(C 种 A 5 3
种，则共有 A 32
答案： 60 题型四 基本组合问题 【例4】（14分）有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队 长各1名.选派5名外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1名参加； （4）既要有队长，又要有女运动员.
=2 880A（种 )排法. 4
A 44 A 55
学后反思 本题集排列的多种类型于一题，充分体现了元素分析 法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、 直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常 见的解题思路.
举一反三
3. (2019· 全国改编)从5位同学中选派4位同学在星期五、星 期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人
人教A版高中数学选择性必修第三册6.2排列与组合_教学课件
(4)某商场有四个大门，若从一个大门进去，购买物品后，再从另一个大门出 来，不同的出入方式有多少种？ (5)有红球、黄球、白球各一个，现从这三个小球中任取两个，分别放入甲、乙 两个盒子里，有多少种不同的放法？ 【思维导引】与“顺序”有关是排列问题，与“顺序”无关不是排列问题．
【解析】(1)不是．加法运算满足交换律，所以选出的2个元素做加法时，与两个 元素的位置无关，所以不是排列问题． (2)是．由于取出的两数组成的点的坐标与哪一个数为横坐标，哪一个数为纵坐 标的顺序有关，所以这是一个排列问题． (3)不是．因为任何一种从10名同学中抽取2名同学去学校开座谈会的方式不需要 考虑两个人的顺序，所以这不是排列问题．
3．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插 法共有________种(请用数字作答). 【解析】我们可以一本一本插入，先插入一本可以在原来5本书形成的6个空隙中 插入，共有6种插入方法；同理再插入第二本共有7种插入方法，插入第三本共有 8种插入方法，所以共有6×7×8＝336(种)不同的插法． 答案：336
课堂素养达标
1．从2，3，5，7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有( ) A．6个 B．10个 C．12个 D．16个 【解析】选C.从2，3，5，7四个数中任选两个数分别相除，被除数有4种不同选 法，除数有3种不同选法，所以共有4×3＝12个．
2．由1，2，3，4，5组成没有重复数字且1，2都不与5相邻的五位数的个数是 ________． 【解析】先排3，4有2种排法，再插空排5有3种排法，再插空排1有2种排法，插 空排2有3种排法，所以共有2×3×2×3＝36个． 答案：36
(3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．从5个数中取3个数，与顺序无 关；若这3个数字组成不同的三位数，则与顺序有关．
《排列与组合自》课件
组合可以看作排列的一个特例
当一个组合中的元素都是相邻的时候，这个组合可以看作是 一个排列。
05
排列与组合的扩展知识
排列与组合的数学原理
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一定的顺 序排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的排列。
排列的计算公式
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
03
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式
C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
组合公式的推导
通过数学归纳法证明组合公式。
组合公式的应用
利用组合公式计算从n个不同元素中取出k个元素 的组合数。
组合的实例
01
02
03
组合实例1
从5个不同的人中选出3个 人组成一个小组，有多少 种不同的选法？
用P(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元 素的排列数。
排列的计算公式
P(n,m)=n×(n-1)×…×(n-m+1)
排列的特性
与元素的顺序有关，与元素的取出方式有 关。
组合的定义
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n） ，不考虑顺序，称为从n个不同元素中取
出m个元素的组合。
组合的计算公式
《排列与组合》PPT课件
目录
• 排列与组合的定义 • 排列的计算方法 • 组合的计算方法 • 排列与组合的区别与联系 • 排列与组合的扩展知识
01
排列与组合的定义
排列的定义
排列的定义
排列的表示
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）， 按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同 元素中取出m个元素的排列。
当一个组合中的元素都是相邻的时候，这个组合可以看作是 一个排列。
05
排列与组合的扩展知识
排列与组合的数学原理
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一定的顺 序排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的排列。
排列的计算公式
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
03
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式
C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
组合公式的推导
通过数学归纳法证明组合公式。
组合公式的应用
利用组合公式计算从n个不同元素中取出k个元素 的组合数。
组合的实例
01
02
03
组合实例1
从5个不同的人中选出3个 人组成一个小组，有多少 种不同的选法？
用P(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元 素的排列数。
排列的计算公式
P(n,m)=n×(n-1)×…×(n-m+1)
排列的特性
与元素的顺序有关，与元素的取出方式有 关。
组合的定义
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n） ，不考虑顺序，称为从n个不同元素中取
出m个元素的组合。
组合的计算公式
《排列与组合》PPT课件
目录
• 排列与组合的定义 • 排列的计算方法 • 组合的计算方法 • 排列与组合的区别与联系 • 排列与组合的扩展知识
01
排列与组合的定义
排列的定义
排列的定义
排列的表示
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）， 按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同 元素中取出m个元素的排列。
排列与组合ppt课件
C34C11A22
C24C22
A
2 2
A22
）=84种.
探究提高 排列、组合综合题目，一般是将符合 要求的元素取出（组合）或进行分组，再对取出的 元素或分好的组进行排列.其中分组时，要注意 “平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标 准. 知能迁移3 已知10件不同产品中有4件是次品，现 对它们进行一一测试,直至找出所有4件次品为止. （1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第 十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法 数是多少？ （2）若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品， 则这样的不同测试方法数是多少？
女生或没有女生，故可用间接法进行，
∴有 C152 C15 C74 C57=596种选法. （5）分三步进行：
第一步：选1男1女分别担任两个职务为 C17·C15 ；
第二步：选2男1女补足5人有
C
2 6
·
C14
种；
第三步：为这3人安排工作有
A
3 3
.
由分步乘法计数原理共有
C17 C15 C62 C14 A33 =12 600种选法.
列数公式即可.但要看清是全排列还是选排列；有
限制条件的排列问题，常见类型是“在与不在”、
“邻与不邻”问题，可分别用相应方法.
解 （1）从7个人中选5个人来排列，
有
A
5 7
=7×6×5×4×3=2
520种.
（2）分两步完成，先选3人排在前排，有 A种37方法，
余下4人排在后排，有 种A方44法，故共有
所以共有2
C
4 8
+
C83
=196种选法.
9分
方法二 间接法：
从10人中任选5人有C150种选法.
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A
m n
nn 1n 2n m1 ，该公式一般适用于运算.
当n
m时为全排列，A
n n
n(n 1)(n 2) 3 2 1
n!
.
排列数公式还可以表示成：Amn 公式用于化简较多.
n! （规定0！ 1），该
n m!
知识要点 排列 组合 排列数公式
4.组合数公式
组合数公式
组合数的性质
从n个不同元素中取出m（m n）个元素的所有组合的个数， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn 表示.
目标检测 1 2 3 4 5 6
2.
C x2 x2
C x3 x2
1 10
Ax33的值为
C37
3!
；
2
C22
C32
C24
C2 100
；3
C94 96
C95 97
C96 98
C97 99
.
(1)原式 60 24 35 6 55. 3 原式 C926 C927 C928 C929
(2)原式
C33
C32
C42
C2 100
C3 101
166650.
C396 C926 C927 C928 C929 C396
目标检测 1 2 3 4 5 6
1. Cmn +2Cmn1+Cmn2的值为
CA.
Cn m 1
B.
Cn m2
C.
C n1 m
D.
C n1 m 1
【提示】C
n m
+2Cmn1
+Cmn2
=（C
n m
+C
mn1）+（Cmn1
++C
n2 m
)
Cn m 1
C n1 m 1
Cmn 2.
分析提示
显示答案
（ B ）.
C39 ,则x
本题主要考查排列数、组 合数公式与性质应用，只要 牢记公式，就可轻松解答。
.
C
解：C8x
C x1 8
C9x
C93 ,
得：x 3或6
对于组合数性质的逆运用， 是组合数运算化简中常用方 法。
例题分析
显示答案
关键点拨
变式练习
典例剖析 【例1】 【例2】【例3】 方法总结
【变式训练3】 C73 C74 C85 C96 __2_1_0__ .
排列数和组合数的计算课件
教学目标
1. 理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数 的计算公式，理解组合数的两个性质；
2. 掌握排列数、组合数求值与证明技巧。
基础过关
1.若C3n Cn4,则n的值为 A.5 B.6 C.8 D.7
（ D）
【提示】由Cmn Cnnm得n 3 4 7.
2.方程C2x8 C328x12的解为x A.10或6 B.10 C.6
Cmn
Amn Amm
nn 1n 2n m 1
m!Βιβλιοθήκη n!m!n m!(m
n)
.
知识要点 排列 组合 排列数公式
5.组合数的性质：
组合数公式
组合数的性质
（1）Cmn
Cnm n
;
（2）Cmn1
Cmn
Cm1 n
（m n,且m,n N）.
典例剖析 【例1】【例2】 【例3】 方法总结
【例1】计算:(1)A136
,(2)A66
,(3)A
4 6
,(4)C170.
【解】（1）A136 161514 3360.
（2）A66 6！ 720.
（3）A64 6 5 4 3 360.
（4）（解法一）C170
10 98 7 7！
65
4
120.
（解法二）C170
C130
10 98 3!
120.
（解法三）C170
4 3 2 1
化简得n 3 4,n 7.
4.解方程：3Ax3 =2Ax21+6Ax2，得x等于
A.5
B.6
C.7
D.8
【提示】3x(x
1)(x
2)
2( x
x 3
1)x
6x(x
1)
,
得x
5.
（A ）
基础过关
5.若C8x
C x 1 8
C93 , 则x
3或6
.
【提示】由C8x
C x1 8
C9x
C93 , 得x
3或6.
6.如果A1m0 10 9 8 5，那么m 6 .
【提示】由10-m+1=5得m=6.
知识要点
1.排列
排列 组合 排列数公式
组合数公式
组合数的性质
从 n个不同元素中，任取m(m≤n)个不同元素，按照一定的次序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
知识要点
2.组合
排列 组合 排列数公式
组合数公式
组合数的性质
从 n个不同元素中，任取m(m≤n)个不同元素组成一组
n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
，叫做从
知识要点 排列 组合 排列数公式 组合数公式 组合数的性质
3.排列数公式
从n个不同元素中取出m（m n）个元素的所有排列的个数，叫
做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn 表示.
…
C3 100
C396
18820.
显示答案
典例剖析 【例1】【例2】 【例3】 方法总结
【例2】（1）若Amn 17 16 15 … 5 4，
则n 17 ，m 14 ；
本题是排列数的逆用. 通过排列数公式的特点推 导出n和m的值.
（2）若n N，则(55 n)(56 n) (68 n)(69 n)
【提示】C73 C74 C85 C96 =C84 C85 C96 =C95 C96 =C160 =C140 =210
分析提示
显示答案
典例剖析 【例1】 【例2】 【例3】 方法总结
1.在有关排列数和组合数运算、化简中要注意等价转化思想的运用. 2.如果想不到该怎么作，那么将排列数或者组合数都化作阶乘.
D.28
（ C）
【提示】①由Cmn Cnnm，x 3x 12 28，得x 10. ②由x 3x 12,得x 6.
基础过关
3.若A3n 6C4n，则n等于
（C ）
A.9 B.8 C.7 D.6 【提示】由题意得n(n -1)(n - 2) 6（n n 1）(n 2)(n 3) ,
用排列数符号表示为
A15
69n .
对排列数公式掌握透彻.
例题分析
显示答案
关键点拨
变式练习
典例剖析 【例1】 【例2】【例3】 方法总结
【变式训练2】若Amn 3 4 5 6 7 8，则n 8 ，m 6 .
显示答案
典例剖析 【例1】【例2】 【例3】 方法总结
【例3】
若C8x
C x 1 8
71！03！！
10 98 3！
120.
例题分析
显示答案
关键点拨
变式练习
本题考查排列数、 组合数公式的应用，培 养学生的计算能力.
本题第（4）小题利用 组合数的性质解决问题， 要比纯用组合数的方式解 决问题方便得多.
典例剖析 【例1】 【例2】 【例3】 方法总结
【变式训练1】求值：1
3A52
A
4 4