解三元一次方程组的消元技巧

解三元一次方程组的消元技巧

解三元一次方程组的基本思想和解二元一次方程组一样也是消元，化三元为二元、一元，最终求出各未知数的值，完成解题过程.但是，在具体解题过程中，许多同学却难以下手，不清楚先消去哪个未知数好.下面就介绍几种常见的消元策略，供同学们学习时参考.

一、当方程组中有一个方程缺省某未知数时，可以从其余方程中消去所缺少的未知数.

1、解方程组3472395978.x z x y z x y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩

， ， ①②③

分析：因为方程①中缺少未知数y 项，故而可由②、③先消去y ，再求解.

解：②×3+③，得111035x z +=，④

解由①、④组成的方程组，得52x z =⎧⎨

=-⎩， ⑤ 把⑤代入②，得13

y =， 所以原方程组的解为5132

x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩. 二、当方程组中有两个方程缺省不同的未知数时，可将其中一个与剩余方程消去另一个所缺少的未知数；或则可先用含公共未知数的代数式表示另外两个未知数，再用代入法消元.

1、解方程组27532234 4.y x x y z x z =-⎧⎪++=⎨⎪-=⎩

， ， ①②③

分析：很明显，在方程①、③中，分别缺少未知数z 、y 的项，而都含有未知数x 的项，从而可用含x 的代数式分别表示y 、z ，再代入②就可以直接消去y 、z 了. 解：由③，得314

z x =-， ④ 把①、④代入②，得2x =， ⑤

把⑤代入①，得3y =-， ⑥ 把⑤代入③，得12

z =，

所以原方程组的解是2312

x y z ⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩.

2、

解答：1683x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩

三、当方程组中三个方程都缺省不同的未知数时，可从中挑选两个消去相同的未知数

四、当方程组中某个未知数的系数成整数倍关系时，可先消去这个未知数

1、解方程组24393251156713.x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩

，， ①②③

分析：方程组中含y 的项系数依次是4，－2，－6，且4=－2×（－2），－6=－2×3.由此可先消去未知数y .

解：①+②×2，得81331x z +=，④

②×3-③，得4820x z +=， ⑤

解由④、⑤组成的方程组，得13x z =-⎧⎨

=⎩，⑥ 把⑥代入①，得12

y =，

所以原方程组的解是1312

x y z ⎪=-⎪=⎨⎪⎪=⎩.

2、⎪⎩

⎪⎨⎧=-+=+-=-+35351343z y x z y x z y x ；

解答：⎪⎩

⎪⎨⎧-=-==212z y x ；

3、323231112x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩

4、

解答：x y z ===⎧⎨⎪⎩

⎪468．

5、解方程组

分析：若考虑用加减法，三个方程中，z 的系数比较简单，可设法先消去z ，① + ③可以消去z ，得到一个只含x ，y 的方程，进一步② + ③×2，也可以消去z 得到一个只含x ，y 的方程，这样，就得到了一个关于x 、y 的二元一次方程组，实现了消元．

解：①+③ ，得5x + 5y = 25 ④

②+③×2得5x + 7y = 31 ⑤

解由④、⑤组成的二元一次方程组得

把x = 2，y = 3代入①得3×2 + 2×3 + z = 13，

解得z = 1

∴原方程组的解是⎪⎩

⎪⎨⎧===132z y x

技巧提升：本题选用了加减法，也可以使用代入法，比如将方程②变形为=x z y 27--，分别代入方程①③就可以消去未知数x.可见消元仍是解三元（或多元）一次方程组的基本思想，代入法和加减法仍是三元（或多元）一次方程组基本方法．