复变函数洛朗级数

在z0达到它的最大值,即|f(z0)|=M.
(1)应用平均值定理(定理3.12)于以z0为中心, 并且连同它的周界一起都全含于区域D内的 一个圆|z-z0|<R,就得到
1 f ( z0 ) 2

2
0
f ( z0 Re )d .
i

1 | f ( z0 ) | 2

2
0
Fra Baidu bibliotek
| f ( z0 Re i ) |d . (4.15)
f (ξ ) n m 1 d ξ c ' ( ξ a ) dξ , n (ξ a)m1 n
n
1 ( a ) m 1
仍然一致收敛 故可逐项积分，得：
利用重要积分公式，m=n,右端为2πi,其余为零 得： 1 f ( ) c'm d , (m 0,1, ) m 1 2i ( a)
定理5.2 (罗朗定理) 在圆环H:r<|z-a|<R, (r≥0,R≤+∞)内解析的函数f(z)必可展成双边 幂级数 n f ( z ) cn ( z a ) (5.4)
1 f ( ) d , 其 cn n 1 2 i ( a ) 中 ( n 0, 1, 2, ), (5.5)
i
自相矛盾
因此,我们已经证明了:在以 点z0为中心的每一个充分小 的圆上|f(z)|=M.
让R趋近于零 在z0点的足够小的邻域K内 (K及其周界全含于D内)有
z0 z 0
|f(z)|=M.
f ( z) M
(2)由第二章习题(一)6(3),必f(z)在K内为常数. (3)由唯一性定理,必f(z)在D内为一常数. f(z)在D内为不是常数，产生矛盾 推论4.24 设(1) f(z) 在有界区域D内解析,在 闭域 D D D 上连续; (2)
§5.1 解析函数的洛朗展式
• 5.1.1 双边幂级数
双边幂级数定义：称级数
c n c 1 cn ( z a ) L L L n (z a) za n
n
（5.3）
c0 c1 ( z a ) L cn ( z a )n L
为双边幂级数，其中 cn (n 0 , 1, 2 , ) 为复常数，称为双边幂级数（5.3）的系数
n
a

为圆周| a | ( r R), 并且展式是 唯一的(即f ( z )及圆环H唯一地决定了系数cn ).
证 (如图5.1)对z∈H,总可以找到含于H 内的两个圆周 2 :| ξ a | ρ2 ,
2
使得z含在圆环 1 | z a | 2 内，因为f(z)在圆环 1 | z a | 上解析, 由柯西积分公式有
| f ( z) | M ( z D)
则除f(z)为常数, 否则 |f(z)|<M,(z∈D).
*例4.19 试用最大模原理证明 ，
设 f(z)在闭圆|z| ≤ R上解析，
如果存在a>0， 使当|z|=R时，|f(z)|>a, 但 f(0)<a
则f(z)在圆|z|<1内，至少有一个零点.
证：如果在|z|<R内，f(z)无零点. 而，由题设在|z|=R上， |f(z)|>a>0, 且，
n 令 ( z z ) 0 c ( z z ) n 0 n 1

1
n c n n1

cn ( z z0 ) n0

n
H
R
收敛半径 R1
R1时, 收敛
收敛 半径
R
收敛域
ar
f(z)=f1(z)+ f2(z
收敛域
z z0 R
若 (1) r R :
5.1.3 洛朗级数与泰勒级数的关系
泰勒级数是罗朗级数的特殊情形.
例1 判断
1 f (z) 在下列区域内 z 1z 2
1 2 3
z 1 1 z 2 2 z
．
能展成什么幂级数
．
即：罗朗级数或泰勒级数
1 在圆环域 : 例1 函数 f ( z ) ( z 1)( z 2)
n



1 f ( ) d ( n 0,1, 2, ) n 1 2 i ( a ) 1 f ( ) c n d n 1 2 i 1 ( a )
1 f ( ) d ( n 1, 2, ), n 1 2 i ( a )
i
由于 | f ( z0 Re ) | M ,
而
| f ( z0 ) | M ,

(0 2 ),
| f ( z0 Re ) | M .
i
以下再用反证法说明这一点:
如果对于某一个值 =0有：（反证） | f ( z0 Rei0 ) | M
那么根据|f(z)|的连续函数的保号性：
c'n cn (n 0,1, ).
定义5.1 (5.4)称为f(z)在点a的罗朗展式, (5.5)称为其系数,而(5.4)右边的级数则称为罗 朗级数. n f ( z ) cn ( z a)
n
1 f ( ) cn d , n 1 2i ( a ) ( n 0,1, ),
1) 0 z 1;
内是处处解析的,
2) 1 z 2;
3) 2 z .
试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数.
解
1 1 f (z) , (1 z ) ( 2 z )
1) 在 0 z 1内,
z 由于 z 1 , 从而 1 2 o 1 x 1 则 1 z z2 zn 1 z 1 1 1 1 z z2 zn 1 2 n 2 z 2 1 z 2 2 2 2 2 2 1 z z 2 所以 f ( z ) (1 z z ) 1 2 2 4 1 3 7 2 z z 2 4 8
1 沿Γ1逐项求积分,两端同乘以 2i
cn f ( ) , (5.9) n 1 z d n 1 ( z a ) 1 f ( ) c n d ( n 1,2, ) (5.10) n 1 2i ( a )
1 2i
1
由(5.6),(5.7),(5.9)即得
双边幂级数 cn ( z z0 )n
n
n n n n c ( z z ) c ( z z ) n 0 0 cn ( z z0 ) n n1 n0

n
负幂项部分
非负幂项部分 解析部分 同时收敛
收敛
主要部分
f(z )
f1(z)
f2(z)
1 z z0 r R1
r z z0 R.
两收敛域无公共部分, 两收敛域有 公共部分H:
( 2) r R :
这时,级数(5.3)在圆环H:r<|z-a|<R 收敛于和 函数f(z)=f1(z)+ f2(z) 定理5.1 设双边幂级数(5.3)的收敛圆环为 H:r<|z-a|<R(r≥0,R≤+∞) 则(1) (5.3)在H内绝对收敛 H 且内闭一致收敛于: R f(z)=f1(z)+f2(z). ar (2) f(z) 在H内解析. f(z)=f (z)+ f (z)
第五章 解析函数 的罗朗(Laurent)展式与孤立奇点
5.1 解析函数的洛朗展式 5.2解析函数的孤立奇点 5.3解析函数在无穷远点的性质 5.4整函数与亚纯函数
学习要求
⒈ 理解双边幂级数的有关概念；
⒉ 理解孤立奇点的概念，掌握判别孤立奇点
类别的方法；
⒊ 理解罗朗定理，熟练掌握将函数在孤立奇 点（无穷远点除外）展成罗朗级数的方法； ⒋ 理解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质。
: 0,
s.t. 0 0 [0,2 ]
| f ( z0 Re ) | M
在这个区间之外,总是 | f ( z0 Rei ) | M 在这样的情况下,由(4.15)得
i
1 M | f ( z 0 ) | 2

2
0
| f ( z 0 Re ) | M ,
(3) f ( z )
n
c

1
2
n
( z a) .
n
在H内可逐项求导p次(p=1,2,…).
由定理4.10和4.13
常见的特殊圆环域:
R2
. z0
R1 . z0
. z0
0 z z0 R2 R1 z z0
0 z z0
5.1.2 解析函数的洛朗展式
2
1 f ( ) 1 f ( ) f ( z) d d . (5.6) 2i 2 z 2i 1 z
2
1 f (ξ ) c n dξ (n 0,1, 2, ) (5.8) n 1 2πi 2 (ξ a)
1 类似地,对(5.6)的第二个积分 2 2i
y
2) 在 1 z 2内,
由 z 1
y
1 1 z
z 1 2
o
1
2 x
z 2
1 1 1 1 1 1 1 2 1 z z 1 1 z z z z 1 1 1 1 z z2 zn 且仍有 1 2 n 2 z 2 1 z 2 2 2 2 2
1 :| ξ a | ρ1 ,
z
a
1
2
H
图5.1
1 f ( ) 1 f ( ) f ( z) d d , 2i 2 z 2i 1 z
或写成
1 我们将上式中的两个积分表示为含有 z-a的(正或负)幂次的级数. 对于第一个积分 ,只要照抄泰勒定理 1 4.14证明中的相应部分,就得 1 f ( ) n d cn ( z a) , (5.7) 2i z n 0
于是系数可统一表成(5.5).
1 cn 2 i

2
f ( ) d n 1 ( a )
因为系数cn与我们所取的z无关,故在圆环H 内(5.4)成立. 最后证明展式的唯一性.设f(z)在圆环H内 又可展成下式: f ( z ) c'n ( z a ) n , 由定理5.1知,它在圆周 :| z a | (r R) 上一致收敛.乘以Γ上的有界函数:
cn n f ( z ) cn ( z a ) cn ( z a ) . n n0 n 1 ( z a ) n 回过头来考察系数(5.8)及(5.10),由复围线的 柯西积分定理,对任意圆周 :| z a | (r R), 有
f(z)在闭圆|z| ≤ R上解析。 1 故， φ （z）= f (z)
在|z| R上解析。
此时，
1 1 φ （0） = , f (0) a
且在 z R上，
1 1 φ （z） = , f (z) a
于是，（ φ z）必非常数在 z R上 φ （z） φ （0） ， 由最大模原理，这就得到矛盾。

1
f ( ) d , z
我们有
f ( ) f ( ) f ( ) 1 a . z ( z a) ( a) z a 1 z a
当 1时，|
a
z a
|
1
| z a |
1,
于是上式可以展成一致收敛的级数
f ( ) f ( ) z n 1 ( ) . z z a n 1 z a
4.4.3最大(小)模原理
定理4.23(最大模 原理) 设f(z)在区域D内解析,则
|f(z)|在D内任何点都不能达到最大值,除非在D内 f(z)恒等于常数. 证 :如果用M表|f(z)|在D内的最小上界, 则必0<M<+∞.(反证法) 假定在D内有一点z0, 函数f(z)的模在z0达到它的最大值,