编号89山西大学附中椭圆的标准方程与几何性质1

山西大学附中高三年级（上）数学导学设计 编号89

椭圆的标准方程与几何性质（一）

【学习目标】知道椭圆的定义，椭圆的标准方程以及学会椭圆的几何性质，并灵活应用. 【学习重点】椭圆的标准方程的求解，焦点三角形中的常见结论. 【学习难点】椭圆几何性质中离心率的求解. 【学习过程】 （一）知识梳理

1.椭圆的定义:平面内与两个定点1F ，2F 的距离的 等于常数( )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距．

注：①当||221F F a =时，P 点的轨迹是 ．②当||221F F a <时，P 点的轨迹 . 2.

注： ①如果椭圆焦点位置不能确定，椭圆的标准方程可设为 ;

②与椭圆12222=+n

y m x （2

2n m ≠）共焦点的椭圆可设为 .

3.焦点三角形:椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.

椭圆22

221x y a b

+=上任一点)0)(,(≠y y x P 与两焦点)0,(),0,(21c F c F -,设12F PF θ∠=,

(1)焦点三角形21F PF ∆的周长为 ， 面积12PF F S △= .

(2) 当点P 位于 时，θ最大. (3) 焦半径公式:

代数形式:

几何形式: (设α=∠x PF 1)

(4) 过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径长为 . （二）巩固练习

1．已知焦点坐标为(0，－4)、(0，4)，且过点(0，－6)的椭圆方程为

A ．1203622=+y x

B ．1362022=+y x

C ．1163622=+y x

D ．136162

2=+y x

2．过点)0,15(与椭圆36942

2=+y x 有相同焦点的椭圆方程为

A ．1101522=+y x

B ．110522=+y x

C ．115

1022=+y x

D ．110

252

2=+y x

3．方程2

2

sin cos 1(0)2

x y π

ααα+=<<

表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围

A.（0，

4π） B.]4,0(π C.（,4π2π） D.[,4π2

π

]

4．已知椭圆15

92

2=+y x ，过右焦点F 作不垂直于x 轴的弦交椭圆于B A ,两点，AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则||:||AB NF 等于

A.12

B.13

C.23

D.14

5.在椭圆122

22=+b

y a x 上取三点,其横坐标满足2312x x x =+,三点顺次与某一焦点连接

的线段长是321,,r r r ,则有

A.321,,r r r 成等差

B.321,,r r r 成等比

C.123111,,r r r 成等差

D.123111

,,r r r 成等比

6．椭圆14

2

2=+y m x 的焦距是2，则m 的值为

7.若点O 和点F 分别为椭圆22

143

x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为

8.椭圆22

143

x y +=上有n 个不同的点n P P P P ,,,,321 ，

椭圆的右焦点为F ，数列{F P n } 是公差大于1

100

的等差数列，则n 的最大值为

9.与圆1)3(:221=++y x C 外切，且与圆81)3(:2

22=+-y x C 内切的动圆圆心P 的轨

迹方程为

10.圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆O 上任一点.线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是

11.设点B A ,的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线BM AM ,相交于点M ,且它们的斜率之积是2 ,则点M 的轨迹是