8.2 简谐振动的旋转矢量表示法

8.2 简谐振动的旋转矢量表示法
简谐振动除了用谐振方程和谐振曲线来描述以外，还有一种很直观，很方便的描述方法，称为旋转矢量表示法。在一个平面上作一个Ox坐标轴，以原点O为起点作一个长度为A的矢量A，A绕原点O以匀角速度ω沿逆时针方向旋转，称为旋转矢量，矢量端点在平面上将画出一个圆，称为参考圆。设t=0时矢量A与x轴的夹角即初角位置为φ，则任意t时A与x轴的夹角即角位置为，矢量的端点M在x轴上投影点P的坐标为


简谐振动的矢量图 这与简谐振动定义式完全相同。由此可知，旋转矢量的端点在x轴上的投影的运动就是简谐振动。显然，一个旋转矢量与一个简谐振动相对应，其对应关系是：旋转矢量的长度就是振动的振幅，因而旋转矢量又称为振幅矢量；矢量的角位置就是振动的相位，矢量的初角位置就是振动的初相，矢量的角位移就是振动相位的变化；矢量的角速度就是振动的角频率，即相位变化的速率；矢量旋转的周期和频率就是振动的周期和频率。我们在讨论一个简谐振动时，用上述方法作一个旋转矢量来帮助分析，可以使运动的各个物理量表现得直观，运动过程显示得清晰，有利于问题的解决。

两个同频率的简谐振动的旋转矢量 如图所示为t=0时某两个振动的旋转矢量图。其中A1是振动对应的旋转矢量，A2是振动对应的旋转矢量。由于旋转矢量的角位置表示振动的相位，因而它们的夹角代表它们的相位差。如果是两个同频率的简谐振动，则旋转矢量的角速度相同，它们的相位差不随时间改变。从图中可以看出，振动的相位(矢量的角位置)始终要比振动的相位大π/2，即超前π/2。振动到达一个状态后，振动总要在T/4后才能到达这个状态，即振动超前振动T/4。
由于，所以也可以说是振动超前振动3π/2。为了表述的一致性，我们约定把 的值限定在p以内，对于上面的两个简谐振动，我们统一说成是振动超前振动π/2，或说成是振动落后于振动π/2。而不说是振动超前振动3π/2或振动落后于振动3π/2。
【例1】一质点沿x轴作简谐振动，振幅为A，周期为T。
(1) 当t=0时，质点对平衡位置的位移x0=A/2，质点向x轴正向方运动，求质点振动的初相；
(2) 质点从x=0处运动到x=A/2处最少需要多少时间？

【解】
(1) 当t=0时，质点的位移x0=A/2，故t=0时的矢量图中的旋转矢量应与x轴构成600角，即与x的夹角为φ=π/3或φ=-π/3，见图(a)。若φ=π/3，注意到矢量的转动方向是沿逆时针方向的，所以此时矢量端点M的投影正向x轴负方向运动，这不合题意；若φ=-π/3，此时

矢量端点的投影正向x正方向运动，合题意。故质点振动的初相应为φ=-π/3。
(2) 质点从位移为x=0处运动到x=A/2处的过程，在图(b)中即为质点从O点运动到a点的过程。由于质点的运动不是匀速运动，所以运动时间在x轴上不能直接判断出来。在矢量图中，质点从x=0处运动到x=A/2处的过程，旋转矢量是从Φ=-π/2处转动到Φ=-π/3处，转过了π/6的角度。由于矢量的转动是匀角速转动，转动一周的时间是T，故转过π/6的时间应为T/12，这也就是质点从x=0处运动到x=A/2处所需要的最短的时间。
【例2】一质点作简谐振动的振动曲线如图，求质点的振动方程。

【解】
从图中可以直接看出质点振动的振幅为A=2cm。
在t=0时，质点的位移x0=A/2，而质点的速度(曲线的斜率)为负值，并可知质点振动的初相为φ=π/3。
在t=2s时，质点的位移x0=A/2，而质点的速度为正值，从矢量图分析可知，质点振动的相位应该为Φ=5π/3（注意此处不能取Φ=-π/3，因为相位是随时间单调增加的）。在t=0到t=2s的过程中，相位从φ=π/3变化到Φ=5π/3，经历的时间为Δt=2s，相位的改变为ΔΦ=4π/3。振动的角频率ω，即相位变化的速率为
ω=ΔΦ/Δt=2π/3
故质点的振动方程为
(cm)
【例3】一质点沿x轴作简谐振动，振幅A=0.12m，周期T=2s，当t=0时，质点对平衡位置的位移x0=0.06m，此时刻质点向x正向运动。求：
(1)简谐振动的运动方程；
(2)t=T/4时，质点的位移、速度、加速度。

【解】
(1) 取平衡位置为坐标原点。设位移表达式为

其中 A=0.12m，，下面我们用矢量图来求初相φ。由初始条件，t=0时x0=0.06m=A/2，质点向x正向运动，可画出如图(a)所示的旋转矢量的初始位置（图中略去了参考圆），从而得出。于是此简谐振动的运动方程为

(2) 此简谐振动的速度为

加速度为

将 代入谐振方程、速度和加速度的表达式可分别得质点在t=0.5s时的位移为
x=0.104m
速度为

加速度为

此时刻旋转矢量的位置如图(b)所示。