【天一大联考】2020-2021学年高中毕业班阶段性测试(一)数学(理)(高清含答案)
2020-2021学年河南省天一大联考高二上学期期末考试数学(理)含答案
绝密食启用前考生注意：juf南省天一大联考2020-2021学年（上）高二年级期末考试理科数学l答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2回答选得题时，逃出每小题答案后，用铅笔把答题卡对JSill里目的答案标号涂擦。
如需改动，用t章、皮擦干净后，再选涂其他答案；标号＠回答非选梅N2时，〉｜每答案写在答题卡上＠写在本试卷上无究生。
3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交囚。
一、远择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个j在项中，只有一项是符合题目要求的＠l不制之二！＿＜－！的解灿x －÷LA.(-3, 2)B.(-3, -2)C.(-3, 4)2下苦IJ命题为真命题的是D.(-2, 4)A.3xoεR, xo 2+4xo+6运。
B.正切函数y=tanx a（］定义域为R C函数y＝土的单调递减区间为（－＝，O)U叨，＋∞）D矩形的对角线相等且互相平分3己知直线x+2y=4过双由线C:兰兰＝I α＞ 0 b > 0) i'.J<J 一个焦点及酬的一个揣点，贝。
此双曲线的标准方程是22A 主二－二一＝l 16 122 2 Bι二－二－＝l164α。
C.x2L-1124D. x 2L-12584已知｛an};;i-J 等差数列，公室主d =2,a2+a.+a6= 18，则as+ai =A.8B.12C.16D.205已知直线l平日两个不同的平而α，p ，着αJ_j3，则“／／／，α”是“／J_j3＇’的A充分不必要条件B必要不充分条伶c.充要条件D.既不充分也不必要条伶6在.6.ABC中，角A,B, C所对的边分别为a,b, c, A=60。
，c=4,a=2.J宁，Sill A则一＝..：.＝sinB2－3A －J－3C.扫D.37在四楼锥P -ABCD 中，PD .l 平而ABCD .,AB//DC, CADC =90。
天一大联考2020-2021学年海南省高三第一次模拟考试数学试题(含答案解析)
(n)设直线AD.BC的斜率分别为占，自，求证:幺为定值.
22(12分)
已知函数/(幻=/+以-2e•在R上单调递减.
(I)求实数Q的取值范围；
(n)若存在非零实数阳/2满足/(勺)4。)4々)依次成等差数列,求证四+巧
天一大联考
2020—2021
数学•答案
一■单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分
VA
--= 兽 <lanL胃川，所以两个角不可能相等，D错误.
号AB显加
12.答案AB
命题意图本题考伐导数的几何意义、数影结合的数学思想.
解析根据隔禹宜线的定义,>=/(*)的图象总在隔离宜线的下方,)=双幻的图象总在偏离直线的上方，并口
—2—
可以有公共点/（%）=上譬,/（外在（o,e）上单调递增，在（e,+8 ）上单调递减，同时注意到，（1）=0,x
4.答案A
命题意图本题考查三角形和圆的有关计算.
解析 由已知可得加=有,△力RC的外接帆半径为1.由题意，内侧网弧为△/1的的外接回的一部分，旦其对应 的恻心角为竽，则弓形力BC的面积为/x H x序-sin引弋-亨，外侧恻弧以AB为直径,所以半圆AB的面枳为/X7TX(李j *,则月牙形的面积为普-(年-亨卜亨+芬
三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.
13.答案4
命题意图本题考查平而向员的坐标运算，向呈共线.
解析。+36 = （2+3,〃,7）,。-方=（2-切，-1）,因为。+3力与4-8共线,所以-1乂（2+3小）=7x（2-m）,解 得m=4.
14.答案1
命题意图 本题考行三角恒等变换的应用.
河南省天一大联考2020-2021学年高二下学期线上联考数学(理)试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1． （ ）
A． B． C． D．
2． （ ）
A． B． C． D．
3．利用数学归纳法证明 时，第一步应证明（ ）
2．B
【分析】
利用数形结合求定积分得解.
【详解】
所以 ，
表示为以原点为圆心，以2为半径的在第一象限的 个圆，
由于 个圆的面积为 ，
所以 .
故选B
【点睛】
本题主要考查利用数形结合求定积分，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3．D
【分析】
直接给n取1即得解.
【详解】
的初始值应为1，而 .
A． B．
C．1024是三角形数D．
10．已知图中的三条曲线所对应的函数分别为 ， ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．1D．2
11．在 中， ， 是 的平分线交 于 ， ， ，则 （ ）
A．2B． C． D．
12．已知方程 的两实根为 ， ，若函数 在 与 处的切线相互垂直，满足条件的 的个数为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知数列 是等差数列，且 ， ，则公差 （ ）
A． B． C．1D．2
5．已知函数 的图像开口向下， ，则 （ ）
A． B． C．2D．-2
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为八步和十二步，正从为八步，其内部有块广为八步，正从为五步的圭田，若将100棵的果树均匀地种植在邪田，一年后，每棵果树都有 的果子收成，则此圭田中的收成约为（ ）
河南省天一大联考2020届高三阶段性测试(全国卷)数学(理)Word版含解析
河南省天一大联考2020届高三阶段性测试（全国卷）数学（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ）【答案】A【解析】由题意结合复数的运算法则有：本题选择A选项.2. ）A. 1B. 3C. 5D. 7【答案】B3.）A. 0.8B. 1.8C. 0.6D. 1.6【答案】B【解析】由题意，，代入线性回归方程为，可得4. 下列说法中，错误的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】选项C，平面由面面平行的性质定理可得选项A正确；由面面垂直的性质定理可得选项B正确；由线面平行的性质定理可得选项D正确；本题选择C选项.5. ）D.【答案】D，结合本题选择D选项.点睛：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．6. ，且函数）B. C.【答案】A7. ）【答案】C，，据此可得：本题选择C选项.8. 250，则判断框中可以填（）C.【答案】B【解析】阅读流程图可得，该流程图输出的结果为：注意到在求和中起到主导地位，且，故计算：结合题意可知：判断框中可以填.本题选择B选项.点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．9. ，第一周的比赛中，踢了3场，4场，2队未踢过，队与）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】DCD D队参加的比赛为：已经得到的八场比赛中，A,B各包含一场，中进行的比赛中，，2场，即余下的比赛为：综上可得，第一周的比赛共11本题选择D选项.10. 的左焦点，过点轴的直线分别在第二、三象限交双曲线的渐近线方程为（）D.【答案】A可得：，则：，据此有：整理可得：，则双曲线的渐近线方程为............................本题选择A选项.11. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）D.【答案】D两三棱柱相交部分的面积为：，本题选择D选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．12. ）B. C. D.【答案】B所以在得令，，在，所以点睛：本题主要考查了不等式恒成立的问题，以及利用导数研究函数的单调性。
2020-2021学年河南省天一大联考高一上学期期末数学试题及答案
2020-2021学年河南省天一大联考高一上学期期末数学试题一、单选题1．过点()1,3-且斜率为12的直线在x 轴上的截距为（ ） A ．8- B ．7-C ．72-D ．72答案：B求出直线方程，令0y =可得结论． 解：由题意直线方程为13(1)2y x -=+，即270x y -+=，令0y =得7x =-， 所以直线在x 轴上截距为7-． 故选：B ．2．已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}3B x R x =∈>，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1,2,3,4D ．{}0,1,2,3答案：D由图可知，阴影部分所表示的集合是()UA B ，根据补集、交集定义即可求出.解：由图可知，阴影部分所表示的集合是()UA B ，{}3B x R x =∈>，{}3U B x R x ∴=∈≤,(){}0,1,2,3U B A ∴⋂=.故选：D.3．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ） A ．()f x x =，()lg10xg x =B ．()211x f x x -=+，()1g x x =-C ．()f x =()2g x =D ．()1f x =，()0g x x =答案：A两个函数是相等函数，需函数的三个要素相同，首先判断函数的定义域，再判断函数的对应关系，若这两点相同，就是相等函数.解：A.两个函数的定义域相同，并且函数()lg10xg x x ==，对应关系也相同，所以两个函数是相等函数；B.函数()211x f x x -=+的定义域是{}1x x ≠-，函数()1g x x =-的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数；C.函数()f x =R ，函数()2g x =的定义域是[)0,+∞，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数；D.函数()1f x =的定义域是R ，函数()0g x x =的定义域是{}0x x ≠，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数； 故选：A4．设点()1,1,1P 关于原点的对称点为P '，则PP '=（ ）A B ．C ．D ．6答案：B根据空间直角坐标系中的对称性写出P '坐标，然后计算线段长．解：由题意(1,1,1)P '---，∴PP '== 故选：B ．5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．16π答案：C由三视图还原出原几何体，确定其结构，再求出外接球的半径得球的表面积． 解：由三视图，知原几何体是一个四棱锥P ABCD -，如图，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB ⊥底面ABCD ，由PB ⊥底面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，得PB AD ⊥，又AD AB ⊥，AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而PA ⊂平面PAB ，所以AD PA ⊥，同理DC PC ⊥，同样由PB ⊥底面ABCD 得PB BD ⊥，所以PD 中点O 到四棱锥各顶点距离相等，即为其外接球球心，PD 为球直径，222222PD PB BD PA AD AB =+=++=，∴外接球半径为12ADr ==， 表面积为2414S ππ=⨯=． 故选：C ．点评：关键点点睛：本题考查由三视图还原几何体，考查棱锥的外接球表面积．解题关键是确定外接球的球心．棱锥的外接球球心在过各面外心（外接圆圆心）且与该面垂直的直线上．6．已知ln 2a =，b =21log c e=，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b a c >>答案：D根据对数函数的单调性求出,a c 范围即可比较. 解：0ln1ln 2ln 1e =<<=，01a ∴<<，1b =>，22110log log c e=<=， b a c ∴>>.故选：D.7．在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1BC AC ，且12AC BC =，则直线11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案：A证明CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，求出此角后，利用11//B C BC 可得结论， 解：∵90BAC ∠=︒，12AC BC =，∴30CBA ∠=︒， ∵1BC AC ，AB AC ⊥，1BC ABB ，1,BC AB ⊂平面1ABC ，∴AC ⊥平面1ABC ，∴CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，即BC 与平面1ABC 所成的角是30， ∵棱柱中11//B C BC ，∴11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为30， 故选：A ．点评：思路点睛：本题考查求直线与平面所成的角，解题方法是定义法，即过直线一点作平面的垂直，得直线在平面上的射影，由直线与其射影的夹角得直线与平面所成的角，然后在直角三角形中求出此角．解题过程涉及三个步骤：一作出图形，二证明所作角是直线与平面所成的角，三是计算．8．若函数()()22log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],4-∞ B ．(]4,4-C ．()4,-+∞D ．[)4,4-答案：B令()23x x a g ax -+=，则可得()22240a g a ⎧≤⎪⎨⎪=+>⎩，解出即可. 解：令()23x x a g ax -+=，其对称轴为2a x =， 要使()f x 在[)2,+∞上是增函数，则应满足()22240a g a ⎧≤⎪⎨⎪=+>⎩，解得44a -<≤.故选：B.9．若222+=a b c （0c ≠），则直线0ax by c 被圆222x y +=所截得的弦长为（ ） A ．22B 2C ．2D ．22答案：C求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长．解：∵222+=a b c （0c ≠），圆心O 到直线的距离为1d ==，圆半径为r =所以弦长为2l ===． 故选：C ．10．已知函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若a ，b R ∈，且0a b +>，则()()f a f b +的值（ ）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断答案：A利用幂函数的定义求出m ，利用函数的单调性和奇偶性即可求解． 解：∵函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，∴25=1m m --，解得：m= -2或m=3． ∵对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，∴函数()f x 为增函数， ∴260m ->， ∴m=3（m= -2舍去） ∴()3=f x x 为增函数．对任意a ，b R ∈，且0a b +>， 则- a b >，∴()()()f a f b f b >-=- ∴()()0f a f b +>． 故选：A点评：(1)由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式，x 前的系数为1； (2)函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用．11．已知点(),x y 是曲线y =23y x --的取值范围是（ ） A ．()0,2B ．[]0,2C ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：B在平面直角坐标系中作出曲线24y x =-，这是一个半圆，23y x --的几何意义是半圆上的点(,)P x y 与定点(3,2)Q 连线的斜率，由几何意义易得结论． 解：曲线24y x =-是以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图，23y x --表示半圆上的点(,)P x y 与定点(3,2)Q 连线的斜率， 由图，20232QB k -==-，当0QA k =时，直线QA 与半圆相切， ∴02PQk ≤≤，即23y x --的取值范围是[0,2]．故选：B ．点评：方法点睛：本题考查分式的取值范围，解题方法是数形结合思想，利用分式的几何意义：23y x --可以表示动点(,)x y 与定点(3,2)连线的斜率，从而作出动点所在曲线，由几何意义易得解．12．已知函数()2log ,0,1,0.x x f x x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩若()()()()1234f x f x f x f x ===（1x ，2x ，3x ，4x 互不相等），则1234x x x x +++的取值范围是（注：函数()1h x x x=+在(]0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增）（ ） A ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦答案：D作出函数()f x 的图象，设1x <2x 0<<3x 1<<4x ，由图象的性质 求得12+2x x =-，341x x ⋅=，再利用双勾函数求得34522x x <+≤，代入可得选项． 解：作出函数()f x 的图象如下图所示：设1x <2x 0<<3x 1<<4x ，且()12+212x x =⨯-=-，当2324log log x x =时，即2324log log x x -=，所以()2324234log +log log 0x x x x ⋅==，所以341x x ⋅=，当2log 1x =时，解得312x =，42x =，所以412x <≤ 设34441t x x x x =+=+，又函数1y x x=+在()1,+∞上单调递增， 所以44111521+2+122t x x =<=+≤=，即34522x x <+≤， 所以123452+22+2x x x x -<+++≤-，即1234102x x x x <+++≤， 故选：D ．点评：关键点点睛：本题考查分段函数的函数值相等的问题，解决的关键在运用运用数形结合的思想，作出函数的图象，求得变量的范围． 二、填空题 13．函数()21f x x =--的定义域为______.答案：[2,3)(3,)⋃+∞． 求得使函数式有意义的x 的范围．解：由题意020210x x x ⎧>⎪-≥⎨⎪-≠⎩，解得2x ≥且3x ≠．故答案为：[2,3)(3,)⋃+∞．14．已知函数()()()2log 0102x x x f x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()4f a =，则a =______.答案：16或-2讨论0a >和0a ≤两种情况讨论，解方程，求a 的值. 解：当0a >时，2log 416a a =⇒=，成立，当0a ≤时，1422aa ⎛⎫=⇒=- ⎪⎝⎭，成立， 所以16a =或2-. 故答案为：16或2-15．圆221:24200O x y x y +-+-=与圆222:48160O x y x y ++--=的公切线条数是______. 答案：2求出圆心距，判断两圆的位置关系后可得化切线的条数．解：圆1O 标准方程是22(1)(2)25x y -++=，1(1,2)O -，半径为5R =，圆2O 标准方程是22(2)(4)36x y ++-=，2(2,4)O -，半径为6r =，又12O O ==∵12R r OO R r -<<+，∴两圆相交，公切线有2条． 故答案为：2．点评：结论点睛：本题考查两圆公切线问题，根据两圆位置关系可得公切线条数： 相离：4条；外切：3条；相交：2条；内切：1条；内含：无公切线． 16．已知函数()()1ln 11f x x x=+-+，若()()log 31a f f ≥（0a >且1a ≠），则a 的取值范围为______.答案：(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭分析出函数()f x 为偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，由()()log 31a f f ≥可得出()()log 31a f f ≥，可得出lg lg3a ≤且1a ≠，利用对数函数的单调性解此不等式即可得解.解：函数()()1ln 11f x x x=+-+的定义域为R ， ()()()()11ln 1ln 111f x x x f x x x-=+--=+-=+-+，即函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，函数()()1ln 1ln 1y x x =+=+单调递增，函数21111y x x ==++单调递减，所以，函数()()1ln 11f x x x=+-+在[)0,+∞上单调递增， 由()()log 31a f f ≥可得()()log 31a f f ≥，则log 31a ≥，即lg31lg a≥，可得lg lg3a ≤，所以，1lglg3lg lg33a =-≤≤，解得133a ≤≤且1a ≠.因此，实数a 的取值范围是(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭. 故答案为：(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭.点评：方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 三、解答题 17．设集合1,202xA y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==-≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}0ln 1B x x =≤≤，{}12,C x t x t t R =+<<∈.（1）求A B ；（2）若AC C =，求t 的取值范围.答案：（1）{}1x x e ≤≤（2）2t ≤.（1）先利用指数函数的单调性和对数函数的单调性，化简集合A,B ，再利用集合的交集运算求解. （2）根据AC C =，则C A ，然后分C =∅和 C ≠∅两种情况讨论求解.解：（1）因为集合{}14A y y =≤≤，{}1B x x e =≤≤， 所以AB {}1x x e =≤≤；（2）因为A C C =，则C A ，当C =∅时，12t t +≥，解得 1t ≤，当 C ≠∅时，则 121124t t t t +<⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，解得 12t <≤，综上：实数t 的取值范围是2t ≤.18．已知直线l 经过两直线1:3120l x y -+=，2:3260l x y +-=的交点，且与直线230x y --=垂直.（1）求直线l 的方程；（2）若第一象限内的点(),P a b 到x 轴的距离为2，到直线l的距离为+a b 的值.答案：（1）220x y +-=；（2）7．（1）求出12,l l 交点坐标，再由垂直得斜率（可设出直线方程），从而得直线方程；（2）由点到直线距离公式列出关于,a b 的方程解之可得．解：（1）由31203260x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得26x y =-⎧⎨=⎩，即两直线交点为()2,6-， 由l 与直线230x y --=垂直，则2l k =-，∴l 方程为62(2)y x -=-+，即220x y +-=；（2）∵第一象限内的点(),P a b 到x 轴的距离为2，所以2b =，0a >，又P 到直线l的距离为=，5a =（∵0a >），∴7a b +=． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，点M 是棱PD 的中点.（1）求证：//PB平面ACM；（2）求三棱锥P ACM-的体积.答案：（1）证明见解析；（2）23．（1）连接BD交AC于点O，由中位线定理得//OM PB，从而得证线面平行；（2）由M是PD中点，得12M ACD P ACDV V--=，求出三棱锥P ACD-的体积后可得．解：（1）如图，连接BD交AC于点O，连接OM，则O是BD中点，又M是PD中点，∴//OM PB，又PB⊄平面ACM，OM⊂平面ACM，所以//PB平面ACM；（2）由已知12222ACDS=⨯⨯=，11422333P ACD ACDV S PA-=⋅=⨯⨯=△，又M是PD中点，所以1223M ACD P ACDV V--==，所以23P ACM P ACD M ACDV V V---=-=．点评：思路点睛：本题考查证明线面平行，求三棱锥的体积．求三棱锥的体积除掌握体积公式外，还需要注意割补法，不易求体积的三棱锥（或一个不规则的几何体）的体积可通过几个规则的几何体（柱、锥、台等）的体积加减求得．三棱锥的体积还可通过转化顶点，转移底面利用等体积法转化为求其他三棱锥的体积，从而得出结论．20．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当年销售利润不超过100万元时，按年销售利润的5%进行奖励；当年销售利润超过100万元时，若超出A万元，则奖励()2log 1A +万元，没超出部分仍按5%进行奖励.记奖金为y 万元，年销售利润为x 万元.（1）写出y 关于x 的函数解析式；（2）如果业务员小张获得了10万元的奖金，那么他的年销售利润是多少万元？答案：（1）()20.05,01005log 99,100x x y x x ≤≤⎧=⎨+->⎩；（2）131 （1）根据题意分别求出0100x ≤≤和100x >时的解析式即可；（2）可判断100x >，利用（1）中解析式即可求出.解：（1）由题可得当0100x ≤≤，0.05y x =，当100x >时，()()221000.05log 10015log 99y x x =⨯+-+=+-，()20.05,01005log 99,100x x y x x ≤≤⎧∴=⎨+->⎩； （2）105>，100x ∴>，则()25log 9910x +-=，解得131x =，所以他的年销售利润是131万元.21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，12AA AB =，E 为1CC 的中点.（1）证明：1//AC 平面BDE ；（2）证明：平面BDE ⊥平面1ACC ；（3）求二面角E BD C --的大小.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4π．（1）设BD C O =，由1//AC OE ，得证线面平行；（2）证明BD ⊥平面1ACC ，可得证面面垂直；（3）证明EOC ∠是二面角E BD C --的平面角，求出此角即可．解：（1）证明：设BD C O =，连接OE ，则O 是AC 中点，又E 是1CC 中点， ∴1//AC OE ，又OE ⊂平面BDE ，1AC ⊄平面BDE ，∴1//AC 平面BDE ．（2）1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴1CC BD ⊥，同理1CC AC ⊥，又正方形中BD CA ⊥，1AC CC C =，1,AC CC ⊂平面1ACC ，∴BD ⊥平面1ACC ，又∵BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面1ACC ；（3）∵BD ⊥平面1ACC ，OE ⊂平面1ACC ，∴BD OE ⊥，∴EOC ∠是二面角E BD C --的平面角， 由已知112CC AA AB ==，而2AC AB =，,E O 分别是1,CC AC 中点， ∴OC CE =，∴4EOC π∠=．即二面角E BD C --的大小为4π．点评：关键点点睛：本题考查证明线面平行，面面垂直，考查求二面角的大小．解题关键是掌握证明线面平行，面面垂直的判定定理，证明时需要满足定理的所有条件，一个都不能少地列举出来才能得出结论，否则证明过程不完整．而求二面角，只要作出二面角的平面角（并证明），然后解三角形即可．22．已知圆22:2410C x y x y +--+=.（1）若过点()0,5A 的直线l 与圆C 相切，求直线l 的斜率；（2）从圆C 外一点P 向该圆引一条切线，切点为M ，若PM PA =，求PM 最小时点P 的坐标.答案：（1）13±；（2）341,1010P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）切线斜率存在，设切线方程为5y kx =+，由圆心到切线的距离等于半径求得k 值得切线方程；（2）设(,)P x y ，由已知求出P 点轨迹方程，得P 轨迹是直线，要使PM 最小，则只要PC 最小，因此只要有PC 与轨迹直线垂直即可，由此可求得P 点坐标．解：（1）圆C 标准方程是22(1)(2)4x y -+-=，圆心为(1,2)C ，半径为2r ， 过A 所作圆C 的切线斜率存在，设切线方程为5y kx =+，即50kx y -+=，2=，解得13k =± （2）设(,)P x y ，则由PM PA =得．=，化简得：3120x y -+=，此即为点P 的轨迹方程，轨迹是直线． 要使得PM 最小，则只要PC 最小即可，所以CP l ⊥，设(,)P m n ，则3120231m n n m -+=⎧⎪-⎨=-⎪-⎩，解得3104110m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．即341,1010P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 点评：关键点点睛：本题考查直线与圆相切问题，考查切线长最短问题．直线与圆相切的一般解法是圆心到切线的距离等于圆的半径，只要设出切线方程，由此列式可求得参数值，切线长最短，根据切线长的求法，只要圆外的点到圆心距离最小，则切线长最短．再利用圆外点的轨迹河得求解方法．。
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(一)数学(理科)
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（一）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（ ）A. {|0}x x <B. {|01}x xC. {|10}x x -<D. {|1}x x -【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，再求集合B 的补集，然后求()RAB【详解】{|11},{|0}A x x B x x =-=<，所以 (){|1}RA B x x =-.故选：D【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.2.若复数z 与其共轭复数z 满足213z z i -=+，则||z =（ ）A.B.C. 2D.【答案】A 【解析】 【分析】设z a bi =+，则2313z z a bi i -=-+=+，得到答案.【详解】设z a bi =+，则222313z z a bi a bi a bi i -=+-+=-+=+，故1a =-，1b =，1z i =-+，z =.故选：A .【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力. 3.抛物线214y x =的准线方程是（ ） A. 1x =- B. 2x =- C. 1y =- D. 2y =-【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，抛物线可化为24x y =，则2p =，所以准线方程为1y =-，故选C ．考点：抛物线的几何性质．4.若向量(1,2)a x =+与(1,1)b =-平行，则|2+|=a b （ ）A.B.2C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行得到3x =-，故()|2+|=3,3a b -，计算得到答案.【详解】向量(1,2)a x =+与(1,1)b =-平行，则()12x -+=，故3x =-，()()()|2+|=4,41,13,3a b -+-=-=故选：C .【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，向量的模，意在考查学生的计算能力.5.已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（ ） A. 若,m n m α⊥⊥，则//n α B. 若//,//,m n m n αα⊄，则//n α C. 若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥ D. 若//,//m ααβ，则//m β或m β⊂【答案】A 【解析】 【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】对于A ：若,m n m α⊥⊥，则//n α或n ⊂α，故A 错误；BCD 正确. 故选：A .【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力. 6.已知函数()y f x =的部分图象如图，则()f x 的解析式可能是（ ）A. ()tan f x x x =+B. ()sin 2f x x x =+ C. 1()sin 22f x x x =- D. 1()cos 2f x x x =-【答案】C 【解析】 【分析】首先通过函数的定义域排除选项A ，再通过函数的奇偶性排除选项D,再通过函数的单调性排除选出B ，确定答案.【详解】由图象可知，函数的定义域为R ，而函数()tan f x x x =+的定义域不是R,所以选项A 不符合题意； 由图象可知函数是一个奇函数，选项D 中，存在实数x ， 使得1()cos ()2f x x x f x -=--≠-，所以函数不是奇函数，所以选项D 不符合题意；由图象可知函数是增函数，选项B ，()12cos 2[1,3]f x x =∈-'+，所以函数是一个非单调函数，所以选项C 不符合题意；由图象可知函数是增函数，选项C ，()1cos 20f x x =-≥，所以函数是增函数，所以选项C 符合题意. 故选：C【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 64【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，有两种分配方案，一是3:1:1，二是2:2:1，然后各自全排列，再求和.【详解】当按照3:1:1进行分配时，则有133318C A =种不同的方案；当按照2:2:1进行分配，则有233318C A =种不同的方案. 故共有36种不同的派遣方案， 故选：B.【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题.8.已知函数41()2x xf x -=，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c b a << B. b a c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到0.321>，0.300.21<<，0.3log 20<，即可得解；【详解】解：因为41()222x x xxf x --==-，定义域为R ，()()22x x f x f x --=-=-故函数是奇函数，又2x y =在定义域上单调递增，2x y -=在定义域上单调递减，所以()22x x f x -=-在定义域上单调递增，由0.321>，0.300.21<<，0.3log 20< 所以()()()0.30.30.320.2log 2f f f >>即a b c >> 故选：A【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.9.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus ，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..M R Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()1221 2.5lg lg m m E E -=-.其中星等为i m 的星的亮度为()1,2i E i =.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是(当x 较小时， 2101 2.3 2.7x x x ≈++) A. 1.24 B. 1.25C. 1.26D. 1.27【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，代值计算，即可得r ，再结合参考公式，即可估算出结果. 【详解】根据题意可得：()211 1.25 2.5lgE lgE -=-可得12110E lgE =，解得1110210E r E ==， 根据参考公式可得111 2.3 2.7 1.25710100r ≈+⨯+⨯=， 故与r 最接近的是1.26. 故选：C.【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.10.已知数列{}n a 的通项公式是6n n a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，其中()sin()0||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭， 的部分图像如图所示，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2020S 的值为（ ）A. 1-B. 0C.12D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像得到()sin(2)3f x x π=+，sin 33n n a ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，6n n a a +=，计算每个周期和为0，故20201234S a a a a =+++，计算得到答案.【详解】741234T πππ=-=，故T π=，故2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+，2sin()033f ππϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 故2,3k k Z ϕππ+=∈，故2,3k k Z πϕπ=-∈，当1k =时满足条件，故3πϕ=， ()sin(2)3f x x π=+，sin 633n n n a f πππ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()66sin 33n n a n a ππ++⎛⎫= ⎪⎝⎭=+， 13a =，20a =，332a =-，432a =-，50a =，632a =，每个周期和为0， 故202012343S a a a a =+++=. 故选：D .【点睛】本题考查了数列和三角函数的综合应用，意在考查学生计算能力和综合应用能力.11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，过F 作直线b y x a=-的垂线，垂足为M ，且交双曲线的左支于N 点，若2FN FM =，则双曲线的离心率为（ ） A. 3B.5 C. 2 D.3【答案】B 【解析】 【分析】计算得到2,a ab M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据2FN FM =得到222,a ab N c c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入双曲线方程解得答案.【详解】易知直线NF ：()a y x c b =-，联立方程()b y x aa y x cb ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2,a ab M c c ⎛⎫-⎪⎝⎭. 2FN FM =，故222,a ab N c c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故2222222241a c c a b a c b⎛⎫- ⎪⎝⎭-=， 化简整理得到：22241e e e ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得e =故选：B .【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.12.已知函数2(1)1,2()1(2),22x x f x f x x ⎧--+<⎪=⎨-≥⎪⎩，若函数()()F x f x mx =-有4个零点，则实数m 的取值范围是( )A. 5126⎛⎫⎪⎝⎭B. 52⎛-⎝C. 1,320⎛-⎝ D. 11,206⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数零点定义可知()f x mx =有四个不同交点，画出函数图像可先求得斜率的大致范围.根据函数在24x ≤<和46x ≤<的解析式，可求得y mx =与两段函数相切时的斜率，即可求得m 的取值范围. 【详解】函数2(1)1,2()1(2),22x x f x f x x ⎧--+<⎪=⎨-≥⎪⎩，函数()()F x f x mx =-有4个零点，即()f x mx =有四个不同交点. 画出函数()f x 图像如下图所示：由图可知，当24x ≤<时，设对应二次函数顶点为A ，则13,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，11236OAk ==， 当46x ≤<时，设对应二次函数的顶点为B ，则15,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，114520OBk ==. 所以11206m <<. 当直线y mx =与24x ≤<时的函数图像相切时与函数()f x 图像有三个交点，此时()211322y mxy x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩，化简可得()22680x m x +-+=.()226480m ∆=--⨯=，解得322,m =- 322m =+； 当直线y mx =与46x ≤<时的函数图像相切时与函数()f x 图像有五个交点，此时()211544y mxy x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩，化简可得()2410240x m x +-+=.()24104240m ∆=--⨯=，解得56,2m =562m =；故当()f x mx =有四个不同交点时56,3222m ⎛∈- ⎝. 故选：B.【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法，函数零点与函数交点的关系，直线与二次函数相切时的切线斜率求法，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本.若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为_____. 【答案】700 【解析】 【分析】设从高三年级抽取的学生人数为2x 人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x 的值，可得高三年级的学生人数.【详解】设从高三年级抽取的学生人数为2x 人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x ﹣2，2x ﹣4. 由题意可得()()2222436x x x +-+-=，∴7x =. 设我校高三年级的学生人数为N ，再根据36271800N⨯=，求得N ＝700 故答案为：700.【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题.14.已知实数,x y 满足24020x y y x y --≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =-的最大值为_______.【答案】22 【解析】 【分析】3y x z =-，作出可行域，利用直线的截距与b 的关系即可解决.【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由3z x y =-可得3y x z =-，观察可知，当直线3y x z =-过点B 时，z 取得最大值，由2402x y y --=⎧⎨=⎩，解得82x y =⎧⎨=⎩，即(8,2)B ，所以max 38222z =⨯-=.故答案为：22.【点睛】本题考查线性规划中线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题.15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34310a S ==，，则11nk kS==∑_____.【答案】21nn + 【解析】 【分析】 计算得到()12n n n S +=，再利用裂项相消法计算得到答案. 【详解】3123a a d =+=，414610S a d =+=，故11a d ==，故()12n n n S +=， ()1111211122211111nn nk k k k n S k k k k n n ===⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 故答案为：21nn +. 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和，裂项相消法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A ，B 距离之比为常数(0λλ＞且1)λ≠的点的轨迹是一个圆心在直线AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1226AB AD AA ＝＝＝，点E 在棱AB 上，2BE AE ＝，动点P 满足3BP PE ＝．若点P 在平面ABCD 内运动，则点P 所形成的阿氏圆的半径为________；若点P 在长方体1111ABCD A B C D -内部运动，F 为棱11C D 的中点，M 为CP 的中点，则三棱锥1M B CF -的体积的最小值为___________．【答案】 (1). 23 (2). 94【解析】 【分析】（1）以AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立如图所示的坐标系，设(,)P x y ，求出点P 的轨迹为22+12x y =，即得解；（2）先求出点P 的轨迹为222++12x y z =，P 到平面1B CF 的距离为3h =，再求出h 的最小值即得解.【详解】（1）以AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立如图所示的坐标系，则(6,0),(2,0),B E 设(,)P x y ， 由3BP PE ＝得2222(6)3[(2)]x y x y -+=-+， 所以22+12x y =，所以若点P 在平面ABCD 内运动，则点P 所形成的阿氏圆的半径为3（2）设点(,,)P x y z ，由3BP PE ＝得222222(6)3[(2)z ]x y z x y -++=-++，所以222++12x y z =，由题得1(3,3,3,),(6,0,3),(6,3,0),F B C所以11(3,3,0),(0,3,3),FB BC =-=-设平面1B CF 的法向量为000(,,)n x y z =， 所以100100·330,(1,1,1)·330n FB x y n n B C y z ⎧=-=⎪∴=⎨=-=⎪⎩，由题得(6,3,z)CP x y =--， 所以点P 到平面1B CF的距离为||||CP n h n ⋅== 因为2222222(++)(111)(),66x y z x y zx y z ++≥++∴-≤++≤， 所以minh ==M 到平面1BCF由题得1B CF ∆=， 所以三棱锥1MB CF -的体积的最小值为21934. 故答案为：(1). (2).94． 【点睛】本题主要考查空间几何中的轨迹问题，考查空间几何体体积的计算和点到平面距离的计算，考查最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：(共60分)17.在锐角△ABC 中，a =________， （1）求角A ；（2）求△ABC 的周长l 的范围． 注：在①(cos,sin ),(cos ,sin )2222A A A Am n =-=，且12m n ⋅=-，②cos (2)cos A b c a C -=，③11()cos cos(),()344f x x x f A π=--=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．【答案】（1）若选①，3π（2）(6+ 【解析】 【分析】（1）若选①，12m n ⋅=-，得到1cos 2A =，解得答案.（2）根据正弦定理得到4sin sin sin a b c A B C ===，故6ABC l B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭△到答案.【详解】（1）若选①，∵(cos,sin ),(cos ,sin )2222A A A Am n =-=，且12m n ⋅=-221cos sin 222A A ∴-+=-，1cos 2A ∴=，0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭.（2）4sin sin sin a b c A B C===， 故24sin 4sin 4sin 4sin 3ABC l B C B B π⎛⎫=++=-++⎪⎝⎭△ 6ABClB π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，锐角△ABC ，故62B ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，.2,633B πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭,(6ABC l ∴∈+△. （1）若选②，()cos 2cos A b c a C =-，则2cos cos cosb A a Cc A =+，2sin cos sin B A B =，1cos 2A ∴=，0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭，（2）问同上；（1）若选③11()cos (cos )24f x x x x =-＝21cos 2x sin x x －14＝12×1+cos 22x ＋2×sin 22x －14111=(cos 22)=sin(2)2226x x x π++， ()11sin 2462f A A π⎛⎫=∴+= ⎪⎝⎭，0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭.（2）问同上；【点睛】本题考查了向量的数量积，正弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18.在创建“全国文明城市”过程中，银川市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z ~N (μ，198)，μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值．．．．作代表）， ①求μ的值；②利用该正态分布，求(88.5)P Z ≥；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记X （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望．14≈．若()2,XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=．【答案】（1）①60.5μ=②0.0228（2）见解析，1654【解析】 【分析】（1）直接根据公式计算得到60.5μ=，14σ=，计算得到答案.（2）获赠话费X 的可能取值为20，40，50，70，100，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】（1）由题意得：3024013502160257024801190460.5100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，∴60.5μ= ，∵14σ=≈，1(22)(88.5)(2)0.02282P u Z P Z P Z σμσμσ--<≤+>=>+==，（2）由题意知()()12P Z P Z μμ<=≥=，.获赠话费X 的可能取值为20，40，50，70，100，()13320248P X ==⨯=，()133********P X ==⨯⨯=，()11150248P X ==⨯=，()13111337024424416P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()111110024432P X ==⨯⨯=，.∴X 的分布列为： X 20 40 50 70 100 P 3893218316132∴39131165()20405070100832816324E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了正态分布求概率，分布列和数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19.如图,四棱锥P ABCD -中，//AB DC ，2ADC π∠=，122AB AD CD ===，6PD PB ==，PD BC ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ；（2）在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为3π？若存在，求CM CP的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）见证明；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算BC ，根据勾股定理可得BC ⊥BD ，结合BC ⊥PD 得出BC ⊥平面PBD ，于是平面PBD ⊥平面PBC ；（2）建立空间坐标系，设CMCP=λ，计算平面ABM 和平面PBD 的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于12，解方程得出λ的值,即可得解． 【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 为直角梯形，且//AB DC , 2AB AD ==,2ADC π∠=,所以22BD =， 又因为4,4CD BDC π=∠=．根据余弦定理得22,BC =所以222CD BD BC =+，故BC BD ⊥.又因为BC PD ⊥, PD BD D ⋂=,且BD ,PD ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ， 又因为BC ⊂平面PBC ，所以PBC PBD ⊥平面平面 （2）由（1）得平面ABCD ⊥平面PBD , 设E 为BD 的中点，连结PE ，因为6PB PD ==,所以PE BD ⊥,2PE =,又平面ABCD ⊥平面PBD ， 平面ABCD平面PBD BD =，PE ⊥平面ABCD .如图，以A 为原点分别以AD ，AB 和垂直平面ABCD 的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,4,0)C ，(2,0,0)D ，(1,1,2)P ， 假设存在(,,)M a b c 满足要求，设(01)CMCPλλ=≤≤，即CM CP λ=， 所以(2-,4-3,2)λλλM ,易得平面PBD 的一个法向量为(2,2,0)BC =.设(,,)n x y z =为平面ABM 的一个法向量，(0,2,0)AB =， =(2-,4-3,2)λλλAM由00n AB n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得20(2)(43)20y x y z λλλ=⎧⎨-+-+=⎩，不妨取(2,0,2)n λλ=-.因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为3π12=，解得2,23λλ==-，（不合题意舍去）. 故存在M 点满足条件，且23CM CP =. 【点睛】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做． 20.已知函数21()(1)ln(1)()2f x x x ax x a R =++--∈ （1）设()'()h x f x =，试讨论()h x 的单调性；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上有最大值，求实数a 的取值范围 【答案】（1）在11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）01a << 【解析】 【分析】（1）计算()()()ln 1h x f x x ax '==+-，()11h x a x '=-+，讨论0a ≤，0a >两种情况，计算得到答案. （2）讨论0a ≤，1a ≥，01a <<三种情况，求导得到函数单调区间，110h a ⎛⎫->⎪⎝⎭，由零点存在性定理，存在011,x t a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00h x =，计算最值得到答案.【详解】（1）()()ln 1f x x ax '=+-，令()()()ln 1h x f x x ax '==+-， ()11h x a x '=-+； 当0a ≤时，()0h x '>，()'fx ∴在()1,-+∞上递增，无减区间；当0a >时，令()0h x '>，则111x a -<<-，令()0h x '<，则11x a>-， 所以()'fx 在11,1a⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； （2）由（1）可知，当0a ≤时，()'f x ∴在()0,∞+上递增，()()''00f x f ∴>=，()f x ∴在()0,∞+上递增，无最大值，不合题意；当1a ≥时，()1101h x a a x '=-<-≤+，()'f x 在()0,∞+上递减， 故()()''00f x f <=，()f x ∴在()0,∞+上递减，无最大值，不合题意； 当01a <<时，110a ->，由（1）可知()'f x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 设()1ln g x x x =--，则()1x g x x-'=； 令()0g x '<，则01x <<；令()0g x '>，则1x >，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增，()()10g x g ∴≥=，即ln 1x x ≤-，由此，当0x >时，1≤<ln x <所以，当0x >时，()()12h x ax a x <<+=-．取241t a =-，则11t a>-，且()20h t <-=， 又因为()1100h h a ⎛⎫->= ⎪⎝⎭， 所以由零点存在性定理，存在011,x t a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，使得()00h x =；. 当()00,x x ∈时，()0h x >，即()0f x '>； 当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<；所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减， 故函数在()0,∞+上有最大值()0f x ． 综上，01a <<.【点睛】本题考查了函数的单调性，根据最值求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，2F 点又恰为抛物线2:4D y x =的焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与D 相交于A ，B 两点，记点A ，B 到直线1x =-的距离分别为1d ，2d ，12||AB d d =+．直线l 与C 相交于E ，F 两点，记OAB ，OEF 的面积分别为1S ，2S ． （ⅰ）证明：1EFF △的周长为定值； （ⅱ）求21S S 的最大值． 【答案】（1）2212x y +=；（2）（i ）详见解析；（ii【解析】 【分析】（1）由已知求得2(1,0)F ，可得1c =，又以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点，知b c =，从而求得a 与b 的值，则答案可求；（2）()i 由题意，1x =-为抛物线D 的准线，由抛物线的定义知，1222||||||AB d d AF BF =+=+，结合22||||||AB AF BF +，可知等号当且仅当A ，B ，2F 三点共线时成立．可得直线l 过定点2F ，根据椭圆定义即可证明11||||||EF EF FF ++为定值；()ii 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x =，求出||AB 与||EF可得21||||4S EF S AB ==；若直线l 的斜率存在，可设直线方程为(1)y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(E x ，3)y ，4(F x ，4)y ，方便联立直线方程与抛物线方程，直线方程与椭圆方程，利用弦长公式求得||AB ，||EF，可得2212||1()1||2S EF S AB k ==∈+，由此可求21S S 的最大值． 【详解】解：（1）因为2F 为抛物线2:4D y x =的焦点，故2(1,0)F所以1c =又因为以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点知：b c =所以a =1b =所以椭圆C 的标准方程为：2212x y +=（2）（ⅰ）由题知，因为1x =-为抛物线D 的准线 由抛物线的定义知：1222||AB d d AF BF =+=+又因为22||AB AF BF ≤+，等号当仅当A ，B ，2F 三点共线时成立 所以直线l 过定点2F 根据椭圆定义得：112112||4EF EF FF EF EF FF FF a ++=+++==（ⅱ）若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x = 因为||4AB =，||EF =21||||4S EF S AB == 若直线l 的斜率存在，则可设直线:(1)(0)l y k x k =-≠，设()11,A x y ，()22,B x y由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得，()2222240k x k x k -++= 所以212224k x x k ++=，212244||2k AB x x k+=++= 设()33,E x y ，()44,F x y ，由2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，()2222124220k x k x k +-+-= 则2342412k x x k +=+，23422212k x x k-=+所以)23421||12k EF x k+=-==+则2212||11||242S EF S AB k ⎛⎫⎪⎛⎫===⨯∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭综上知：21SS 的最大值等于4【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆、直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 的极坐标方程为6cos 0ρθ-=. （1）写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(1,0)A ，若直线l 与曲线C 交于,P Q 两点，,P Q 中点为M ，求||||||AP AQ AM 的值. 【答案】（1）10x y --=.22(3)9x y -+=.（2）2【解析】【分析】 （1）直接利用极坐标和参数方程公式计算得到答案.（2）设直线l的参数方程为1,22x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入方程得到125t t =-，12t t +=. 【详解】（1）直线:cos 4l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故cos sin 10ρθρθ--=， 即直线l 的直角坐标方程为10x y --=.因为曲线:6cos 0C ρθ-=，则曲线C 的直角坐标方程为2260x y x +-=，即22(3)9x y -+=.（2）设直线l的参数方程为1,22x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入曲线C的直角坐标系方程得250t --=.设P ，Q 对应的参数分别为1t ，2t ，则125t t =-，12t t +=所以M对应的参数1202t t t +==120|t ||t |||||=||||2AP AQ AM t ==. 【点睛】本题考查了参数方程和极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|2|f x x =+.（1）求不等式()(2)4f x f x x +-<+的解集；（2）若x ∀∈R ，使得()()(2)f x a f x f a ++恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1) {}22x x -<<.(2) 22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）先由题意得24x x x ++<+，再分别讨论2x -≤，20x -<≤，0x >三种情况，即可得出结果； （2）先由含绝对值不等式的性质，得到()()22f x a f x x a x a ++=++++≥，再由题意，可得22a a ≥+，求解，即可得出结果.【详解】（1）不等式()()24f x f x x +-<+ 可化为24x x x ++<+，当2x -≤时，224x x --<+ ，2x >-，所以无解；当20x -<≤时，24x <+ 所以20x -<≤；当0x >时，224x x +<+，2x < ，所以02x <<，综上，不等式()()24f x f x x +-<+的解集是{}|22x x -<<.（2）因为()()22f x a f x x a x a ++=++++≥又x R ∀∈，使得()()()2f x a f x f a ++≥ 恒成立，则22a a ≥+，()2222a a ≥+，解得223a -≤≤-. 所以a 的取值范围为22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.。
河南省天一大联考2020-2021学年(上)高一年级期末考试数学试题(扫描版)
大联考2020-2021学年（上）高一年级期末考试数学考生注息：1 •怎题前，考生务必将自己的M名、考生号堀写在试卷和答題卡上■并将考生号条形码粘貼在备題卡上的柑定位置.2.回答选择题时■选出毎小题答喩丘・用辂笔把零题卡对应题FJ的盛案标号涂黑.如宜改动•用橡皮隸干净后•再选涂其他答案标号.闵答非选择题时•箝冬叢场庄冬题卡上•1；在本试卷上尢效.3•考试结束心•新本试恋和答赵卡一并交同.一、选择題:本题共12小題，毎小題5分，共60分在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1-过点（-1,3）且斜率为+的貢线在x抽上的截距为A. ■ 8B. -7 C・—~~ D. ~2・已知全集—R,集^4 = 10,1,23,4,51^= |xeRlx>3|,SI图中阴影部分所表示的集合是A. 2,1,2}B.门,2|C. 10,1.2.3.41D. |0.1t2,3|3・下列四组函数中•表示相等甬数的一组杲A・/(R) "£(£)=Ig 101=—9g(x) =x - 1■ +丨C./(x) =7? 9g(x) =(vf)2D./(x) =l t g(x) 4 •设点P（l.IJ）关于原点的对称点为P，,则IPPT二A・再B・2万C・2疗 D.65. 一个几何体的三视图如图所示■则该几何体的外接球的表面枳是侑机阳A. 2TTB. 3ITC. 4灯D. 16H数学试題第1页（共4页）二、填空題:本題共4小題,毎小题5分■共20分.磁心养的定义域为log 2x(x >0) • z 1 V- 若 /(o) =4.則 « - _____ •(1) (515.圓 0, ：?+4r -20 =0 与圆 02:? 4-/ +4x-8r - 16 ・0 的公切线条数是16.已知函数/（才）=ln （l ♦ 1刃）■比亓■若/（I 临3）刃⑴（a >0且狞［）•则a 的取值世国为.数学试超第2页（共4页）6•设 a ・ln 2,6 =握、c = log,丄，则 A ・ a > b>cB. a >c>bC.c>a>b7 •在三梭柱MCfBC 中，乙bIChQOo.BG 丄*C,且航二才DC,则直线与平面.MC,所成的角的大小为A ・30°B. 45°G 60° D. 90°&若函数/(x)=lo g2(x ,-axt3a)在[2.+8)上是堆函数.则实数。
2020-2021学年河南省天一大联考高二阶段性测试(一)数学(理)试题及答案
2020－2021学年高二年级阶段性测试(一)数学(理科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在△ABC 中，BC ＝10，sinA ＝31，则△ABC 的外接圆半径为 A.30 3 C.20 D.152.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋6，则a 5＝A.25B.30C.32D.643.已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2－1013bc ，则cosA ＝ A.726 B.513 C.1726 D.12134.已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a －20sinA ＝0，sinC ＝110，则c ＝ 2 2 2 2 5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 8＝m ，S 10＝pm ，则p ＝A.3B.5C.6D.106.音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音“宫”经过一次“损”，频率变为原来的32，得到“徵”，“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”……依此规律损益交替变化，获得了“宫”“徵”“商”“羽”“角”五个音阶。
据此可推得A.“商”“羽”“角”的频率成公比为34的等比数列 B.“宫”“徵”“商”的频率成公比为32的等比数列 C.“宫”“商”“角”的频率成公比为98的等比数列 D.“角”“商”“宫”的频率成公比为12的等比数列 7.已知等比数列{a n }的首项a 1＝e ，公比q ＝e ，则数列{ln a n }的前10项和S 10＝A.45B.55C.110D.2108.已知等差数列{a n}的首项是2，公差为d(d∈Z)，且{a n}中有一项是14，则d的取值的个数为A.3B.4C.6D.79.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若coscosa Bb A=，sinA>sinB，则△ABC的形状一定是A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形10.一艘轮船按照北偏东42°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东18°方向上，经过10分钟的航行，则灯塔与轮船原来的距离为A.5海里B.4海里C.3海里D.2海里11.已知数列{a n}满足a n＝()n62p n2n6p n6-⎧--≤⎪⎨>⎪⎩，，，(n∈N*)，且对任意的n∈N*都有a n＋1>a n，则实数p的取值范围是A.(1，74) B.(1，107) C.(1，2) D.(107，2)12.在钝角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且其面积为12(a2＋b2－c2)，则ba的取值范围是A.(0，2)∪(3，＋∞) B.(0，2)∪)C.(0，12)∪，＋∞) D.(0，12)∪，＋∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年河南省天一大联考高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年河南省天一大联考高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）过点（﹣1，3）且斜率为的直线在x轴上的截距为（）A．﹣8B．﹣7C．D．2．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{0，1，2，3，4}D．{0，1，2，3} 3．（5分）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）A．f（x）＝x，g（x）＝lg10xB．，g（x）＝x﹣1C．，D．f（x）＝1，g（x）＝x04．（5分）设点P（1，1，1）关于原点的对称点为P'，则|PP'|＝（）A．B．C．D．65．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（）A．2πB．3πC．4πD．16π6．（5分）已知a＝ln2，，，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c7．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，且，则直线B1C1与平面ABC1所成的角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．（5分）若函数在（2，+∞）上是单调增函数，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，4）C．（﹣4，4]D．[﹣4，4] 9．（5分）若a2+b2＝c2（c≠0），则直线ax+by+c＝0被圆x2+y2＝2所截得的弦长为（）A．B．C．2D．10．（5分）已知函数是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足，若a，b∈R，则f（a）+f（b）（）A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断11．（5分）已知点（x，y）是曲线上任意一点，则（）A．（0，2）B．[0，2]C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）（x1，x2，x3，x4互不相等），则x1+x2+x3+x4的取值范围是（）（注：函数h（x）＝x+，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数f（x）＝的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）＝，若f（a）＝4．15．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x+4y﹣20＝0与圆O2：x2+y2+4x﹣8y﹣16＝0的公切线条数是．16．（5分）已知函数f（x）＝ln（1+|x|）﹣，若f（log a3）≥f（1）（a＞0且a≠1），则a的取值范围为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）设集合，B＝{x|0≤lnx≤1}，C＝{x|t+1＜x＜2t （Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）若A∩C＝C，求t的取值范围．18．（12分）已知直线l经过两直线l1：3x﹣y+12＝0，l2：3x+2y﹣6＝0的交点，且与直线x ﹣2y﹣3＝0垂直．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若第一象限内的点P（a，b）到x轴的距离为2，到直线l的距离为19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，P A＝AB，点M是棱PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面ACM；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ACM的体积．20．（12分）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当年销售利润不超过100万元时，按年销售利润的5%进行奖励；当年销售利润超过100万元时，则奖励log2（A+1）万元，没超出部分仍按5%进行奖励．记奖金为y万元，年销售利润为x万元．（Ⅰ）写出y关于x的函数解析式；（Ⅱ）如果业务员小张获得了10万元的奖金，那么他的年销售利润是多少万元？21．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1＝AB，E 为CC1的中点．（Ⅰ）证明：AC1∥平面BDE；（Ⅱ）证明：平面BDE⊥平面ACC1；（Ⅲ）求二面角E﹣BD﹣C的大小．22．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0．（Ⅰ）若过点A（0，5）的直线l与圆C相切，求直线l的斜率；（Ⅱ）从圆C外一点P向该圆引一条切线，切点为M，若|PM|＝|P A|2020-2021学年河南省天一大联考高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）过点（﹣1，3）且斜率为的直线在x轴上的截距为（）A．﹣8B．﹣7C．D．【分析】设直线的方程为方程y﹣3＝（x+1），令y＝0，即可求得答案．【解答】解：依题意知，该直线方程为y﹣3＝，令y＝0，则x＝﹣7．所以直线在x轴上的截距是﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了直线的点斜式方程，属于基础题．2．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{0，1，2，3，4}D．{0，1，2，3}【分析】由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为A∩∁U B，再利用集合的基本运算即可求解．【解答】解：由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为A∩∁U B，∵全集U＝R，集合A＝{0，1，7，3，4，B＝{x|x＞8}，∴∁R B＝{x|x≤3}，∴A∩∁R B＝{0，2，2，3}，故选：D．【点评】本题主要考查了韦恩图，以及集合的基本运算，是基础题．3．（5分）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）A．f（x）＝x，g（x）＝lg10xB．，g（x）＝x﹣1C．，D．f（x）＝1，g（x）＝x0【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．【解答】解：A．f（x）＝x的定义域为R，定义域为R，两个函数的定义域和对应法则相同，是相等函数．B．f（x）＝x﹣1（x≠﹣1），两个函数的定义域不相同，不是相等函数，C．f（x）＝|x|，g（x）＝x（x≥8），两个函数的定义域和对应法则都不相同，不是相等函数，D．g（x）＝1（x≠0），两个函数的定义域不相同，不是相等函数，故选：A．【点评】本题主要考查相等函数的定义，函数定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，是基础题．4．（5分）设点P（1，1，1）关于原点的对称点为P'，则|PP'|＝（）A．B．C．D．6【分析】利用点P与P'关于原点对称，求出P'的坐标，然后利用空间两点间距离公式求解即可．【解答】解：点P（1，1，5）关于原点的对称点为P'的坐标为（﹣1，﹣1），由空间两点间距离公式可得|PP'|＝．故选：B．【点评】本题考查了空间中点的对称问题，主要考查了空间两点间距离公式的应用，属于基础题．5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（）A．2πB．3πC．4πD．16π【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出球的半径，最后求出球的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体；如图所示：设几何体的外接球半径为R，则：，解得R＝5，所以．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，锥体和外接球的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6．（5分）已知a＝ln2，，，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：∵0＜ln2＜lne＝8，∴0＜a＜1，∵＝﹣log2e＜3，∴b＞a＞c，故选：D．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．7．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，且，则直线B1C1与平面ABC1所成的角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】由BC1⊥AC，AB⊥AC，得AC⊥平面ABC1，由直线B1C1∥直线BC，得∠ABC 是直线B1C1与平面ABC1所成的角，由此能求出直线B1C1与平面ABC1所成的角的大小．【解答】解：在三棱柱ABC﹣A1B1C2中，∠BAC＝90°1⊥AC，∴AB⊥AC，又AB∩BC1＝B，AB⊂平面ABC4，BC1⊂平面ABC1，∴AC⊥平面ABC3，∵直线B1C1∥直线BC，∴∠ABC是直线B6C1与平面ABC1所成的角，∵∠BAC＝90°，BC8⊥AC，且，∴∠ABC＝30°，∴直线B3C1与平面ABC1所成的角的大小为30°．故选：A．【点评】本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8．（5分）若函数在（2，+∞）上是单调增函数，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，4）C．（﹣4，4]D．[﹣4，4]【分析】由题意知函数f（x）＝log2（x2﹣ax+3a）是由y＝log2t和t（x）＝x2﹣ax+3a复合而来，由复合函数单调性结论，只要t（x）在区间（2，+∞）上单调递增且t（x）＞0即可．【解答】解：函数y＝log2（x2﹣ax+4a）在（2，+∞）是增函数，令t（x）＝x2﹣ax+3a，由题意知：t（x）在区间（2，+∞）上单调递增且t（x）＞0，故有，解得﹣3≤a≤4，故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性和一元二次方程根的分布，换元法是解决本类问题的根本，属于中档题．9．（5分）若a2+b2＝c2（c≠0），则直线ax+by+c＝0被圆x2+y2＝2所截得的弦长为（）A．B．C．2D．【分析】求出圆心到直线的距离，利用弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出半弦长，即可求出结果．【解答】解：圆的圆心（0，0）到直线ax+by+c＝3的距离为：，因为a3+b2＝c2（c≠3），所以＝＝1，半弦长为：＝2，所以直线ax+by+c＝0被圆x2+y3＝1所截得的弦长为：2．故选：C．【点评】本题是基础题，考查直线被圆截得的弦长的求法，注意点到直线的距离公式的应用，弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，是快速解题的关键．10．（5分）已知函数是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足，若a，b∈R，则f（a）+f（b）（）A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断【分析】根据幂函数的定义求出m的值，根据函数的单调性确定m的值，结合幂函数的性质判断f（a）+f（b）的值即可．【解答】解：由题意得：m2﹣m﹣5＝6，解得：m＝3或m＝﹣2，若对任意x2，x2∈（0，+∞）3≠x2，满足，则f（x）在（0，+∞）单调递增，m＝3时，f（x）＝x4，符合题意，m＝﹣2时，不合题意，故f（x）＝x3，由于a，b∈R，所以a＞﹣b，由于函数为单调递增函数和奇函数，所以f（a）＞﹣f（b），所以f（a）+f（b）＞0，即f（a）+f（b）的值恒大于8，故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性，考查幂函数的性质，是一道基础题．11．（5分）已知点（x，y）是曲线上任意一点，则（）A．（0，2）B．[0，2]C．D．【分析】画出图形，利用直线的斜率，转化求解即可．【解答】解：曲线表示以原点为圆心，的几何意义是半圆上的点与P（3，6）连线的斜率A（0，2），5），k P A＝0，k PB＝＝2，所以的取值范围是[2．故选：B．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，直线的斜率的求法，是基础题．12．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）（x1，x2，x3，x4互不相等），则x1+x2+x3+x4的取值范围是（）（注：函数h（x）＝x+，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增）A．B．C．D．【分析】画出函数f（x）＝的图象，利用f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），转化求解x1+x2+x3+x4的取值范围．【解答】解：作出函数f（x）＝的图象，如图，x＝或2时，令t＝f（x1）＝f（x6）＝f（x3）＝f（x4），设x4＜x2＜x3＜x2，则有x1+x2＝﹣7，x3•x4＝7，且≤x2＜1，故x1+x3+x3+x4＝﹣7+x3+x4＝﹣2+x3+，因为函数h（x）＝x+在（0，在（3，故x3+的最小值趋近于1+，最大值等于＝．x1+x6+x3+x4的取值范围是（8，]，故选：D．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及计算能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数f（x）＝的定义域为{x|x≥2且x≠3}．．【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即x≥3且x≠3，即函数的定义域为{x|x≥2且x≠7}．故答案为：{x|x≥2且x≠3}．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，是基础题．14．（5分）已知函数f（x）＝，若f（a）＝4﹣2或16．【分析】利用分段函数的解析式，分a＞0和a≤0两种情况，列出关于a的方程，求解即可．【解答】解：当a＞0时，f（a）＝log2a＝2，解得a＝16；当a≤0时，，解得a＝﹣2，所以a＝﹣4或a＝16．故答案为：﹣2或16．【点评】本题考查了分段函数的求值问题，对于分段函数，一般会运用分类讨论或是数形结合的方法进行求解．15．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x+4y﹣20＝0与圆O2：x2+y2+4x﹣8y﹣16＝0的公切线条数是2．【分析】判断两个圆的位置关系，然后判断公切线条数．【解答】解：圆O1：x2+y7﹣2x+4y﹣20＝8的标准方程是：（x﹣1）2+（y+5）2＝25，其圆心坐标是（1，半径是4；圆O2：x2+y3+4x﹣8y﹣16＝2的标准方程是（x+2）2+（y﹣5）2＝36，其圆心坐标是（﹣2，半径为6，6﹣5＜O3O2＝＝3，∴两个圆相交，所以圆O1：x2+y7﹣2x+4y﹣20＝3与圆O2：x2+y4+4x﹣8y﹣16＝4的公切线条数是2．故答案是：2．【点评】本题考查两个圆的位置关系，两个圆相离公切线4条，相交2条，外切3条，内切1条．16．（5分）已知函数f（x）＝ln（1+|x|）﹣，若f（log a3）≥f（1）（a＞0且a≠1），则a的取值范围为．【分析】先判断出函数为偶函数，然后研究x＞0时函数的单调性，得到f（x）的单调性区间，利用偶函数的性质和单调性将不等式转化为对数不等式，再求出a的取值范围．【解答】解：因为函数f（﹣x）＝ln（1+|﹣x|）﹣＝ln（1+|x|）﹣，所以f（x）为偶函数，则只需考虑x＞0时f（x）的单调性．因为y＝ln（x+1）和在（0，所以f（x）在（5，+∞）上单调递增，0）上单调递减，若f（log a3）≥f（1），则|log a2|≥1，所以，解得，所以a的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查了函数的单调性以及奇偶性，解题的关键是判断出函数的单调性，属基础题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）设集合，B＝{x|0≤lnx≤1}，C＝{x|t+1＜x＜2t （Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）若A∩C＝C，求t的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出集合A，B，再求出A∩B；（Ⅱ）由A∩C＝C，得C⊆A，当C＝∅时，t+1≥2t，当C≠∅时，，由此能求出t的取值范围．【解答】解：∵（Ⅰ）集合＝{y|1≤y≤7}，B＝{x|0≤lnx≤1}＝{x|8≤x≤e}，∴A∩B＝{x|1≤x≤e}；（Ⅱ）∵集合A＝{y|1≤y≤8}，C＝{x|t+1＜x＜2t，A∩C＝C，∴C⊆A，当C＝∅时，t+4≥2t，当C≠∅时，，解得1＜t≤5．综上，t的取值范围是（﹣∞．【点评】本题考查交集及其运算，考查交集、子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（12分）已知直线l经过两直线l1：3x﹣y+12＝0，l2：3x+2y﹣6＝0的交点，且与直线x ﹣2y﹣3＝0垂直．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若第一象限内的点P（a，b）到x轴的距离为2，到直线l的距离为【分析】（Ⅰ）联立方程组求出交点的坐标，然后利用垂直，求出斜率，由点斜式求出直线方程即可；（Ⅱ）由P在第一象限，得到a＞0，b＞0，利用P到x轴的距离为2和到直线l的距离为，列式求解a和b，即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）联立方程组可得，解得x＝﹣2，故交点A的坐标为（﹣2，直线x﹣5y﹣3＝0的斜率为，又直线l与直线x﹣2y﹣7＝0垂直，设所求直线l的方程为y﹣6＝﹣5（x+2），即2x+y﹣6＝0；（Ⅱ）因为点P（a，b）在第一象限，b＞0，所以b＝6，故P（a，又P（a，2）到直线l的距离为，所以，解得a＝5，所以a+b＝7．【点评】本题考查了直线方程的应用，涉及了两条直线交点的求解、两条直线垂直关系的应用、点斜式直线方程的应用、点到直线距离公式的应用，属于中档题．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，P A＝AB，点M是棱PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面ACM；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ACM的体积．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O，连接OM，可得OM∥PB，再由直线与平面平行的判定可得PB∥平面ACM；（Ⅱ）由M是棱PD的中点，可得V P﹣ACM＝V D﹣ACM＝V M﹣ACD＝，再由棱锥体积公式求解．【解答】（Ⅰ）证明：如图，连接BD交AC于O，连接OM，∵M是棱PD的中点，∴OM∥PB，∵OM⊂平面ACM，PB⊄平面ACM，∴PB∥平面ACM；（Ⅱ）解：∵M是棱PD的中点，∴V P﹣ACM＝V D﹣ACM＝V M﹣ACD＝，∵P A⊥底面ABCD，P A＝AB＝4，∴V P﹣ACM＝V D﹣ACM＝V M﹣ACD＝＝．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20．（12分）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当年销售利润不超过100万元时，按年销售利润的5%进行奖励；当年销售利润超过100万元时，则奖励log2（A+1）万元，没超出部分仍按5%进行奖励．记奖金为y万元，年销售利润为x万元．（Ⅰ）写出y关于x的函数解析式；（Ⅱ）如果业务员小张获得了10万元的奖金，那么他的年销售利润是多少万元？【分析】（1）由题意对销售利润分类讨论，即小于等于100和大于100时分别建立函数关系式；（2）由（1）分类讨论即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，当销售利润x≤100万元时，当销售利润x＞100万元时，y＝100×0.05+log2[（x﹣100）+8]，所以y关于x的函数关系式为y＝，（2）因为小张的奖金为10万元，设其销售的利润为x万元，①当x≤100时，10＝0.05x，所以不符题意，②当x＞100时，则10＝5+log6（x﹣99），解得x＝131，故小张的年销售利润为131万元．【点评】本题考查了根据实际问题建立函数模型的问题，考查了分段函数的性质，属于中档题．21．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1＝AB，E 为CC1的中点．（Ⅰ）证明：AC1∥平面BDE；（Ⅱ）证明：平面BDE⊥平面ACC1；（Ⅲ）求二面角E﹣BD﹣C的大小．【分析】（Ⅰ）利用中位线定理得到AC1∥OE，由线面平行的判定定理即可证明；（Ⅱ）利用长方体的几何性质可得CC1⊥底面ABCD，利用线面垂直的性质定理可得CC1⊥BD，由正方形的几何性质可得BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理可得BD⊥平面ACC1，由面面垂直的判定定理即可证明；（Ⅲ）利用等腰三角形中线就是高，可得OE⊥BD，OC⊥BD，从而得到∠EOC即为二面角E﹣BD﹣C的平面角，在Rt△EOC中求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：设底面正方形的对角线AC与BD交于点O，则O为AC的中点1的中点，所以AC1∥OE，因为AC2⊄平面BDE，OE⊂平面BDE1∥平面BDE；（Ⅱ）证明：在长方体ABCD﹣A1B8C1D1中，CC7⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD1⊥BD，又AC与BD为正方形ABCD的对角线，则BD⊥AC1＝C，AC6⊂平面ACC1，所以BD⊥平面ACC1，又BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ACC2；（Ⅲ）解：因为E为CC1的中点，所以DE＝BE，O为BD的中点，所以OE⊥BD，OC⊥BD，故∠EOC即为二面角E﹣BD﹣C的平面角，不妨设长方体的底面边长为2，则，，在Rt△EOC中，OC＝EC，故二面角E﹣BD﹣C的大小为45°．【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理以及线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，在求解二面角的时候，本题选择了定义法求解，即利用二面角的定义找到二面角的平面角，属于中档题．22．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0．（Ⅰ）若过点A（0，5）的直线l与圆C相切，求直线l的斜率；（Ⅱ）从圆C外一点P向该圆引一条切线，切点为M，若|PM|＝|P A|【分析】（Ⅰ）求出圆心和半径，根据题意可知直线l斜率存在，设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得直线l的斜率；（Ⅱ）设P（x，y）．由切线的性质可得：CM⊥PM，利用|PM|＝|P A|，可得x＝3y﹣12，利用二次函数的性质可求|PM|最小时y的值，从而可求得点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+1＝3，即（x﹣1）2+（y﹣5）2＝4，其圆心为（8，2），若过点A（0，3）的直线l与圆C相切，设其斜率为k，则切线l的方程为y＝kx+5，即kx﹣y+5＝6，则有＝2，即直线l的斜率为．（Ⅱ）设P（x，y），则CM⊥PM，因为|CP|2＝（x﹣6）2+（y﹣2）8，|CM|2＝4，所以|PM|5＝（x﹣1）2+（y﹣6）2﹣4，因为|P A|2＝x2+（y﹣5）2，且|PM|＝|P A|，所以x2+（y﹣5）4＝（x﹣1）2+（y﹣5）2﹣4，即x＝2y﹣12，所以|PM|2＝10y2﹣82y+169，所以当y＝时，|PM|最小，此时P点坐标为（，）．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于中档题．。
天一大联考2020-2021学年高一数学上学期期末卷附答案解析
天一大联考2020-2021学年高一数学上学期期末卷一、单选题1．过点()1,3-且斜率为12的直线在x 轴上的截距为（）A ．8-B ．7-C ．72-D ．722．已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}3B x R x =∈>，则图中阴影部分所表示的集合是（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1,2,3,4D ．{}0,1,2,33．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）A ．()f x x =，()lg10xg x =B ．()211x f x x -=+，()1g x x =-C ．()2f x x =，()()2g x x=D ．()1f x =，()0g x x =4．设点()1,1,1P 关于原点的对称点为P '，则PP '=（）A ．3B ．23C ．25D ．65．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．16π6．已知ln 2a =，2b =，21log c e=，则（）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．c a b>>D ．b a c>>7．在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1BC AC ^，且12AC BC =，则直线11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．若函数()()22log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．(],4-∞B ．(]4,4-C ．()4,-+∞D ．[)4,4-9．若222+=a b c （0c ≠），则直线0ax by c ++=被圆222x y +=所截得的弦长为（）A ．22B ．2C ．2D ．2210．已知函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若a ，b R ∈，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断11．已知点(),x y 是曲线24y x =-上任意一点，则23y x --的取值范围是（）A ．()0,2B ．[]0,2C ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知函数()2log ,0,1,0.x x f x x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩若()()()()1234f x f x f x f x ===（1x ，2x ，3x ，4x 互不相等），则1234x x x x +++的取值范围是（注：函数()1h x x x=+在(]0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增）（）A ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题13．函数()ln 21x f x x =--的定义域为______.14．已知函数()()()2log 0102x x x f x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()4f a =，则a =______.15．圆221:24200O x y x y +-+-=与圆222:48160O x y x y ++--=的公切线条数是______.16．已知函数()()1ln 11f x x x=+-+，若()()log 31a f f ≥（0a >且1a ≠），则a 的取值范围为______.三、解答题17．设集合1,202xA y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==-≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}0ln 1B x x =≤≤，{}12,C x t x t t R =+<<∈.（1）求A B ；（2）若A C C = ，求t 的取值范围.18．已知直线l 经过两直线1:3120l x y -+=，2:3260l x y +-=的交点，且与直线230x y --=垂直.（1）求直线l 的方程；（2）若第一象限内的点(),P a b 到x 轴的距离为2，到直线l 的距离为25，求+a b 的值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，点M 是棱PD 的中点.（1）求证：//PB 平面ACM ；（2）求三棱锥P ACM -的体积.20．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当年销售利润不超过100万元时，按年销售利润的5%进行奖励；当年销售利润超过100万元时，若超出A 万元，则奖励()2log 1A +万元，没超出部分仍按5%进行奖励.记奖金为y 万元，年销售利润为x 万元.（1）写出y 关于x 的函数解析式；（2）如果业务员小张获得了10万元的奖金，那么他的年销售利润是多少万元？21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，12AA AB =，E 为1CC 的中点.（1）证明：1//AC 平面BDE ；（2）证明：平面BDE⊥平面1ACC ；（3）求二面角E BD C --的大小.22．已知圆22:2410C x y x y +--+=.（1）若过点()0,5A的直线l 与圆C 相切，求直线l 的斜率；（2）从圆C 外一点P 向该圆引一条切线，切点为M ，若PM PA =，求PM 最小时点P 的坐标.解析天一大联考2020-2021学年高一数学上学期期末卷一、单选题1．过点()1,3-且斜率为12的直线在x 轴上的截距为（）A ．8-B ．7-C ．72-D ．72【答案】B【分析】求出直线方程，令0y =可得结论．【详解】由题意直线方程为13(1)2y x -=+，即270x y -+=，令0y =得7x =-，所以直线在x 轴上截距为7-．故选：B ．2．已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}3B x R x =∈>，则图中阴影部分所表示的集合是（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1,2,3,4D ．{}0,1,2,3【答案】D【分析】由图可知，阴影部分所表示的集合是()U A B ð，根据补集、交集定义即可求出.【详解】由图可知，阴影部分所表示的集合是()U A B ð，{}3B x R x =∈> ，{}3U B x R x ∴=∈≤ð,(){}0,1,2,3U B A ∴⋂=ð.故选：D.3．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）A ．()f x x =，()lg10xg x =B ．()211x f x x -=+，()1g x x =-C ．()2f x x=，()()2g x x =D ．()1f x =，()0g x x =【答案】A【分析】两个函数是相等函数，需函数的三个要素相同，首先判断函数的定义域，再判断函数的对应关系，若这两点相同，就是相等函数.【详解】A.两个函数的定义域相同，并且函数()lg10x gx x ==，对应关系也相同，所以两个函数是相等函数；B.函数()211x f x x -=+的定义域是{}1x x ≠-，函数()1g x x =-的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数； C.函数()2f x x =的定义域是R ，函数()()2g x x=的定义域是[)0,+∞，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数；D.函数()1f x =的定义域是R ，函数()0g x x =的定义域是{}0x x ≠，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数；故选：A4．设点()1,1,1P 关于原点的对称点为P '，则PP '=（）A ．3B ．23C ．25D ．6【答案】B【分析】根据空间直角坐标系中的对称性写出P '坐标，然后计算线段长．【详解】由题意(1,1,1)P '---，∴222(11)(11)(11)23PP '=+++++=．故选：B ．5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．16π【答案】C【分析】由三视图还原出原几何体，确定其结构，再求出外接球的半径得球的表面积．【详解】由三视图，知原几何体是一个四棱锥P ABCD -，如图，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB ⊥底面ABCD ，由PB ⊥底面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，得PB AD ⊥，又AD AB ⊥，AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而PA ⊂平面PAB ，所以AD PA ⊥，同理DCPC ⊥，同样由PB ⊥底面ABCD 得PB BD ⊥，所以PD 中点O 到四棱锥各顶点距离相等，即为其外接球球心，PD 为球直径，222222PD PB BD PA AD AB =+=++=，∴外接球半径为12ADr ==，表面积为2414S ππ=⨯=．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查由三视图还原几何体，考查棱锥的外接球表面积．解题关键是确定外接球的球心．棱锥的外接球球心在过各面外心（外接圆圆心）且与该面垂直的直线上．6．已知ln 2a =，2b =，21log c e=，则（）A ．a b c >>B ．a c b>>C ．c a b>>D ．b a c>>【答案】D【分析】根据对数函数的单调性求出,a c 范围即可比较.【详解】0ln1ln 2ln 1e =<<= ，01a ∴<<，21b =>，22110log log c e=<=，b a c ∴>>.故选：D.7．在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1BC AC ^，且12AC BC =，则直线11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】A【分析】证明CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，求出此角后，利用11//B C BC 可得结论，【详解】∵90BAC∠=︒，12AC BC =，∴30CBA ∠=︒，∵1BC AC ^，AB AC ⊥，1BC AB B =，1,BC AB ⊂平面1ABC ，∴AC ⊥平面1ABC ，∴CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，即BC 与平面1ABC 所成的角是30°，∵棱柱中11//B C BC ，∴11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为30°，故选：A ．【点睛】思路点睛：本题考查求直线与平面所成的角，解题方法是定义法，即过直线一点作平面的垂直，得直线在平面上的射影，由直线与其射影的夹角得直线与平面所成的角，然后在直角三角形中求出此角．解题过程涉及三个步骤：一作出图形，二证明所作角是直线与平面所成的角，三是计算．8．若函数()()22log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．(],4-∞B ．(]4,4-C ．()4,-+∞D ．[)4,4-【答案】B【分析】令()23x x a g ax -+=，则可得()22240a g a ⎧≤⎪⎨⎪=+>⎩，解出即可.【详解】令()23x x a g ax -+=，其对称轴为2ax =，要使()f x 在[)2,+∞上是增函数，则应满足()22240a g a ⎧≤⎪⎨⎪=+>⎩，解得44a -<≤.故选：B.9．若222+=a b c （0c ≠），则直线0ax by c ++=被圆222x y +=所截得的弦长为（）A ．22B ．2C ．2D ．22【答案】C【分析】求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长．【详解】∵222+=a b c （0c ≠），圆心O 到直线的距离为221c d a b==+，圆半径为2r =，所以弦长为222222(2)12l r d =-=-=．故选：C ．10．已知函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若a ，b R ∈，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【答案】A【分析】利用幂函数的定义求出m ，利用函数的单调性和奇偶性即可求解．【详解】∵函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，∴25=1m m --，解得：m =-2或m =3．∵对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，∴函数()f x 为增函数，∴260m ->，∴m =3（m =-2舍去）∴()3=f x x 为增函数．对任意a ，b R ∈，且0a b +>，则- a b >，∴()()()f a f b f b >-=-∴()()0f a f b +>．故选：A【点睛】(1)由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式，x 前的系数为1；(2)函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用．11．已知点(),x y 是曲线24y x =-上任意一点，则23y x --的取值范围是（）A ．()0,2B ．[]0,2C ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】在平面直角坐标系中作出曲线24y x =-，这是一个半圆，23y x --的几何意义是半圆上的点(,)P x y 与定点(3,2)Q 连线的斜率，由几何意义易得结论．【详解】曲线24y x =-是以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图，23y x --表示半圆上的点(,)P x y 与定点(3,2)Q 连线的斜率，由图，20232QB k -==-，当0QA k =时，直线QA 与半圆相切，∴02PQ k ≤≤，即23y x --的取值范围是[0,2]．故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查分式的取值范围，解题方法是数形结合思想，利用分式的几何意义：23y x --可以表示动点(,)x y 与定点(3,2)连线的斜率，从而作出动点所在曲线，由几何意义易得解．12．已知函数()2log ,0,1,0.x x f x x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩若()()()()1234f x f x f x f x ===（1x ，2x ，3x ，4x 互不相等），则1234x x x x +++的取值范围是（注：函数()1h x x x=+在(]0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增）（）A ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】作出函数()f x 的图象，设1x <2x 0<<3x 1<<4x ，由图象的性质求得12+2x x =-，341x x ⋅=，再利用双勾函数求得34522x x <+≤，代入可得选项．【详解】作出函数()f x 的图象如下图所示：设1x <2x 0<<3x 1<<4x ，且()12+212x x =⨯-=-，当2324log log x x =时，即2324log log x x -=，所以()2324234log +log log 0x x x x ⋅==，所以341x x ⋅=，当2log 1x =时，解得312x =，42x =，所以412x <≤设34441t x x x x =+=+，又函数1y x x=+在()1,+∞上单调递增，所以44111521+2+122t x x =<=+≤=，即34522x x <+≤，所以123452+22+2x x x x -<+++≤-，即1234102x x x x <+++≤，故选：D．【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的函数值相等的问题，解决的关键在运用运用数形结合的思想，作出函数的图象，求得变量的范围．二、填空题13．函数()ln 21xf x x =--的定义域为______.【答案】[2,3)(3,)⋃+∞．【分析】求得使函数式有意义的x 的范围．【详解】由题意020210x x x ⎧>⎪-≥⎨⎪--≠⎩，解得2x ≥且3x ≠．故答案为：[2,3)(3,)⋃+∞．14．已知函数()()()2log 0102x x x f x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()4f a =，则a =______.【答案】16或-2【分析】讨论0a>和0a ≤两种情况讨论，解方程，求a 的值.【详解】当0a >时，2log 416a a =⇒=，成立，当0a ≤时，1422a a ⎛⎫=⇒=- ⎪⎝⎭，成立，所以16a =或2-.故答案为：16或2-15．圆221:24200O x y x y +-+-=与圆222:48160O x y x y ++--=的公切线条数是______.【答案】2【分析】求出圆心距，判断两圆的位置关系后可得化切线的条数．【详解】圆1O 标准方程是22(1)(2)25x y -++=，1(1,2)O -，半径为5R =，圆2O 标准方程是22(2)(4)36x y ++-=，2(2,4)O -，半径为6r =，又22123(6)35O O =+-=，∵12R r O O R r -<<+，∴两圆相交，公切线有2条．故答案为：2．【点睛】结论点睛：本题考查两圆公切线问题，根据两圆位置关系可得公切线条数：相离：4条；外切：3条；相交：2条；内切：1条；内含：无公切线．16．已知函数()()1ln 11f x x x=+-+，若()()log 31a f f ≥（0a >且1a ≠），则a 的取值范围为______.【答案】(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭【分析】分析出函数()f x 为偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，由()()log 31a f f ≥可得出()()log 31a f f ≥，可得出lg lg 3a ≤且1a ≠，利用对数函数的单调性解此不等式即可得解.【详解】函数()()1ln 11f x x x=+-+的定义域为R ，()()()()11ln 1ln 111f x x x f x x x-=+--=+-=+-+，即函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，函数()()1ln 1ln 1y x x =+=+单调递增，函数21111y x x ==++单调递减，所以，函数()()1ln 11f x x x=+-+在[)0,+∞上单调递增，由()()log 31a f f ≥可得()()log 31a f f ≥，则log 31a ≥，即lg 31lg a ≥，可得lg lg 3a ≤，所以，1lg lg 3lg lg 33a =-≤≤，解得133a ≤≤且1a ≠.因此，实数a 的取值范围是(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭.故答案为：(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.三、解答题17．设集合1,202x A y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==-≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}0ln 1B x x =≤≤，{}12,C x t x t t R =+<<∈.（1）求A B ；（2）若A C C = ，求t 的取值范围.【答案】（1）{}1x x e ≤≤（2）2t ≤.【分析】（1）先利用指数函数的单调性和对数函数的单调性，化简集合A ,B ，再利用集合的交集运算求解.（2）根据A C C = ，则C ⊆A ，然后分C =∅和C ≠∅两种情况讨论求解.【详解】（1）因为集合{}14A y y =≤≤，{}1B x x e =≤≤，所以A B {}1x x e =≤≤；（2）因为A C C = ，则C ⊆A ，当C =∅时，12t t +≥，解得1t ≤，当C ≠∅时，则121124t t t t +<⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，解得12t <≤，综上：实数t 的取值范围是2t ≤.18．已知直线l 经过两直线1:3120l x y -+=，2:3260l x y +-=的交点，且与直线230x y --=垂直.（1）求直线l 的方程；（2）若第一象限内的点(),P a b 到x 轴的距离为2，到直线l 的距离为25，求+a b 的值.【答案】（1）220x y +-=；（2）7．【分析】（1）求出12,l l 交点坐标，再由垂直得斜率（可设出直线方程），从而得直线方程；（2）由点到直线距离公式列出关于,a b 的方程解之可得．【详解】（1）由31203260x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得26x y =-⎧⎨=⎩，即两直线交点为()2,6-，由l 与直线230x y --=垂直，则2l k =-，∴l 方程为62(2)y x -=-+，即220x y +-=；（2）∵第一象限内的点(),P a b 到x 轴的距离为2，所以2b =，0a >，又P 到直线l 的距离为25，所以222222521a +-=+，5a =（∵0a >），∴7a b +=．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，点M 是棱PD 的中点.（1）求证：//PB 平面ACM ；（2）求三棱锥P ACM -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）23．【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，由中位线定理得//OMPB ，从而得证线面平行；（2）由M 是PD 中点，得12M ACD P ACD V V --=，求出三棱锥P ACD -的体积后可得．【详解】（1）如图，连接BD 交AC 于点O ，连接OM ，则O 是BD 中点，又M 是PD 中点，∴//OM PB ，又PB ⊄平面ACM ，OM ⊂平面ACM ，所以//PB 平面ACM ；（2）由已知12222ACD S =⨯⨯=V ，11422333P ACD ACD V S PA -=⋅=⨯⨯=△，又M 是PD 中点，所以1223M ACD P ACD V V --==，所以23P ACM P ACD M ACD V V V ---=-=．【点睛】思路点睛：本题考查证明线面平行，求三棱锥的体积．求三棱锥的体积除掌握体积公式外，还需要注意割补法，不易求体积的三棱锥（或一个不规则的几何体）的体积可通过几个规则的几何体（柱、锥、台等）的体积加减求得．三棱锥的体积还可通过转化顶点，转移底面利用等体积法转化为求其他三棱锥的体积，从而得出结论．20．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当年销售利润不超过100万元时，按年销售利润的5%进行奖励；当年销售利润超过100万元时，若超出A 万元，则奖励()2log 1A +万元，没超出部分仍按5%进行奖励.记奖金为y 万元，年销售利润为x 万元.（1）写出y 关于x 的函数解析式；（2）如果业务员小张获得了10万元的奖金，那么他的年销售利润是多少万元？【答案】（1）()20.05,01005log 99,100x x y x x ≤≤⎧=⎨+->⎩；（2）131【分析】（1）根据题意分别求出0100x ≤≤和100x >时的解析式即可；（2）可判断100x >，利用（1）中解析式即可求出.【详解】（1）由题可得当0100x ≤≤，0.05y x =，当100x >时，()()221000.05log 10015log 99y x x =⨯+-+=+-，()20.05,01005log 99,100x x y x x ≤≤⎧∴=⎨+->⎩；（2）105>Q ，100x ∴>，则()25log 9910x +-=，解得131x =，所以他的年销售利润是131万元.21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，12AA AB =，E 为1CC 的中点.（1）证明：1//AC 平面BDE ；（2）证明：平面BDE ⊥平面1ACC ；（3）求二面角E BD C --的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4π．【分析】（1）设BD C O = ，由1//AC OE ，得证线面平行；（2）证明BD ⊥平面1ACC ，可得证面面垂直；（3）证明EOC ∠是二面角E BD C --的平面角，求出此角即可．【详解】（1）证明：设BD C O = ，连接OE ，则O 是AC 中点，又E 是1CC 中点，∴1//AC OE ，又OE ⊂平面BDE ，1AC ⊄平面BDE ，∴1//AC 平面BDE ．（2）1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴1CC BD ⊥，同理1CC AC ⊥，又正方形中BD CA ⊥，1AC CC C = ，1,AC CC ⊂平面1ACC ，∴BD ⊥平面1ACC ，又∵BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面1ACC ；（3）∵BD ⊥平面1ACC ，OE ⊂平面1ACC ，∴BD OE ⊥，∴EOC ∠是二面角E BD C --的平面角，由已知112CC AA AB ==，而2AC AB =，,E O 分别是1,CC AC 中点，∴OC CE =，∴4EOC π∠=．即二面角E BD C --的大小为4π．【点睛】关键点点睛：本题考查证明线面平行，面面垂直，考查求二面角的大小．解题关键是掌握证明线面平行，面面垂直的判定定理，证明时需要满足定理的所有条件，一个都不能少地列举出来才能得出结论，否则证明过程不完整．而求二面角，只要作出二面角的平面角（并证明），然后解三角形即可．22．已知圆22:2410C xy x y +--+=.（1）若过点()0,5A 的直线l 与圆C 相切，求直线l 的斜率；（2）从圆C 外一点P 向该圆引一条切线，切点为M ，若PM PA =，求PM 最小时点P 的坐标.【答案】（1）2613±；（2）341,1010P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）切线斜率存在，设切线方程为5y kx =+，由圆心到切线的距离等于半径求得k 值得切线方程；（2）设(,)P x y ，由已知求出P 点轨迹方程，得P 轨迹是直线，要使PM 最小，则只要PC 最小，因此只要有PC 与轨迹直线垂直即可，由此可求得P 点坐标．【详解】（1）圆C 标准方程是22(1)(2)4x y -+-=，圆心为(1,2)C ，半径为2r =，过A 所作圆C 的切线斜率存在，设切线方程为5y kx =+，即50kx y -+=，所以22521k k -+=+，解得2613k =±，（2）设(,)P x y ，则由PM PA =得．22222(1)(2)2(5)x y x y -+--=+-，化简得：3120x y -+=，此即为点P 的轨迹方程，轨迹是直线．要使得PM 最小，则只要PC 最小即可，所以CP l ⊥，设(,)P m n ，则3120231m n n m -+=⎧⎪-⎨=-⎪-⎩，解得3104110m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．即341,1010P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆相切问题，考查切线长最短问题．直线与圆相切的一般解法是圆心到切线的距离等于圆的半径，只要设出切线方程，由此列式可求得参数值，切线长最短，根据切线长的求法，只要圆外的点到圆心距离最小，则切线长最短．再利用圆外点的轨迹河得求解方法．。
2020-2021学年海南省天一大联考高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年海南省天一大联考高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{2，3，5，7}，B＝{1，3，5，7，则A∩B＝（）A．{1，2}B．{3，5，7}C．{1，3，5，7，9}D．{1，2，3，5，7，9 }2．（5分）已知＜0，那么角θ是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角3．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（1））＝（）A．﹣1B．﹣C．D．14．（5分）设a＝log2，b＝3﹣2，c＝tan，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a5．（5分）已知α∈（0，）且sin（α+）＝，则cos（﹣α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．6．（5分）已知函数f（x）＝x2+ax+b的图象经过点（1，3），则ab（）A．有最大值1B．有最小值1C．有最大值4D．有最小值4 7．（5分）已知函数f（x）＝sin（x+φ+）（0＜φ＜π）是奇函数（）A．B．C．D．8．（5分）向如图所示的瓶子中匀速注水，从空瓶到注满的过程中，水面高度h随时间t变化的大致图象是（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）下列函数中，在区间（0，1）上单调递减的是（）A．y＝B．y＝x2+1C．y＝x+D．y＝ln|x|10．（5分）下列叙述正确的是（）A．命题“∃x∈R，x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1≥0”B．命题“所有的矩形都是平行四边形”的否定是假命题C．“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件D．“关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0有实根”的充要条件是“1≤m≤9”11．（5分）函数y＝﹣cos（x+π）（x∈[﹣，2π]）的图象与直线y＝t（t为常数且t＞0）的交点个数可能为（）A．0B．1C．2D．312．（5分）下列选项中，能推出＞的为（）A．a＞b＞0B．b＜a＜0C．﹣1＜a＜0，b＞1D．a＜﹣1，0＜b＜1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数的定义域是．14．（5分）已知函数f（x）的周期为4，且当x∈[﹣2，f（x）＝2﹣x2，则f（9）＝．15．（5分）若3a＝4b＝6，则+＝．16．（5分）已知α∈（0，），且满足sinα＝cosα﹣，则sin（α﹣）＝，sin2α＝．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（10分）已知非空集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a+3}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}．（Ⅰ）当a＝2时，求A∪B；（Ⅱ）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．18．（12分）化简或求值：（Ⅰ）﹣（﹣）0﹣（）2020×（）2020；（Ⅱ）若tanα＝，求的值．19．（12分）已知函数f（x）＝sin2x﹣（cos2x﹣sin2x）．（Ⅰ）求f（）；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间．20．（12分）已知二次函数f（x）＝x2+（3t+1）x+3t﹣1．（Ⅰ）若f（x）是偶函数，求t值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣2，﹣1）和（0，1）上各有一个零点21．（12分）为了强化体育教育，促进学生身心健康全面发展，某学校计划修建一个面积为600m2的矩形运动场，要求东西方向比南北方向宽．如图所示矩形ABCD，满足AD＞AB （ABEF）和排球场（CDFE）两部分，已知修建围墙的价格为500元/m，设AD的长为xm（Ⅰ）求y关于x的函数表达式．（Ⅱ）当x为何值时，y最小？最小值为多少？22．（12分）已知函数f（x）＝log2．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；（Ⅱ）证明：f（x）在区间（1，+∞）上单调递增；（Ⅲ）若当x∈[﹣3，﹣1）时，f（x）≥x2+2x+m恒成立，求m的取值范围．2020-2021学年海南省天一大联考高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{2，3，5，7}，B＝{1，3，5，7，则A∩B＝（）A．{1，2}B．{3，5，7}C．{1，3，5，7，9}D．{1，2，3，5，7，9 }【分析】进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{2，3，6，7}，3，2，7，9}，∴A∩B＝{7，5，7}．故选：B．【点评】本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）已知＜0，那么角θ是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【分析】根据三角函数在各个象限的符号进行判断即可得到答案．【解答】解：由，得sinθ与tanθ异号，则角θ是第二或第三象限角，故选：B．【点评】本题主要考查了三角函数的符号的判定，可以根据一全正，二正弦，三正切，四余弦来判断，是基础题．3．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（1））＝（）A．﹣1B．﹣C．D．1【分析】推导出f（1）＝1，从而f（f（1））＝f（1）．由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（1）＝2﹣1＝4，∴f（f（1））＝f（1）＝1．故选：D．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，是基础题．4．（5分）设a＝log2，b＝3﹣2，c＝tan，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a【分析】根据对数函数以及指数函数的性质，三角函数值判断数的大小即可．【解答】解：a＝log2＜log21＝5，0＜b＝3﹣2＜30＝7，c＝tan＝1，则a＜b＜c，故选：D．【点评】本题考查了指数函数，对数函数的性质，考查三角函数值，是一道基础题．5．（5分）已知α∈（0，）且sin（α+）＝，则cos（﹣α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】由已知结合同角平方关系可求cos（α+），然后结合诱导公式进行化简可求．【解答】解：因为α∈（0，），所以∈（），因为sin（α+）＝，所以cos（α+）＝，则cos（﹣α）＝cos（）＝﹣．故选：B．【点评】本题主要考查了同角平方关系及诱导公式在求解三角函数值中的应用，属于基础题．6．（5分）已知函数f（x）＝x2+ax+b的图象经过点（1，3），则ab（）A．有最大值1B．有最小值1C．有最大值4D．有最小值4【分析】由题意可得a+b＝2，再利用基本不等式即可求出ab的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）＝x2+ax+b的图象经过点（1，6），∴1+a+b＝3，∴a+b＝3，∴＝3，故选：A．【点评】本题主要考查了二次函数的概念，考查了基本不等式的应用，是基础题．7．（5分）已知函数f（x）＝sin（x+φ+）（0＜φ＜π）是奇函数（）A．B．C．D．【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程进行求解即可．【解答】解：∵f（x）＝sin（x+φ+）（0＜φ＜π）是奇函数，∴φ+＝kπ，得φ＝kπ﹣，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴当k＝5时，φ＝π﹣＝，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的对称性的应用，结合奇函数的条件建立方程是解决本题的关键．是基础题．8．（5分）向如图所示的瓶子中匀速注水，从空瓶到注满的过程中，水面高度h随时间t变化的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】直接利用组合体中的增速判断结果．【解答】解由于该几何体由圆台和圆柱组成，随着加水的圆台中水的上升速度逐渐变快，在圆柱中的水的上升速度不变．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：实际问题的应用，主要考查学生的理解能力，属于基础题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）下列函数中，在区间（0，1）上单调递减的是（）A．y＝B．y＝x2+1C．y＝x+D．y＝ln|x|【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝（）x，是指数函数，在区间（6，符合题意，对于B，y＝x2+1，为二次函数，3）上单调递增，对于C，y＝x+，在区间（0，符合题意，对于D，y＝ln|x|，5）上，为增函数，故选：AC．【点评】本题考查函数的单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．10．（5分）下列叙述正确的是（）A．命题“∃x∈R，x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1≥0”B．命题“所有的矩形都是平行四边形”的否定是假命题C．“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件D．“关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0有实根”的充要条件是“1≤m≤9”【分析】利用含有量词的命题的否定方法判断选项A，通过判断原命题的真假判断选项B，通过充分条件与必要条件的定义结合不等式的性质判断选项C，利用二次方程根的个数的判断方法结合充分条件与必要条件的定义判断选项D．【解答】解：根据存在性命题的否定可得，命题“∃x∈R，x2+x+1≥8”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＜6”，故选项A错误；原命题“所有的矩形都是平行四边形”是真命题，故其否定为假命题；当x≥2且y≥2时，则有x5+y2≥8，所以x2+y2≥4，故充分性成立，当x＝3，y＝2时，故必要性不成立，所以“x≥2且y≥7”是“x2+y2≥7”的充分不必要条件，故选项C正确；因为关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝4有实根，所以△＝（m﹣3）2﹣5m≥0，解得m≤1或m≥3．故选：BC．【点评】本题以简易逻辑为背景，考查了全称命题与存在性命题的否定、充分条件与必要条件的判断，涉及的知识点较多，对学生知识面的广度有一定的要求，属于基础知识的考查．11．（5分）函数y＝﹣cos（x+π）（x∈[﹣，2π]）的图象与直线y＝t（t为常数且t＞0）的交点个数可能为（）A．0B．1C．2D．3【分析】先进行化简，然后作出三角函数的图象，利用图象即可判断交点的个数．【解答】解：y＝﹣cos（x+π）＝cos x，作出函数y＝cos x，x∈[﹣，如图则图象与y＝t（t＞0），当t＞8时，有0个交点，当t＝1时，有4个交点，当0＜t＜1时，有7个交点．故选：ACD．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．12．（5分）下列选项中，能推出＞的为（）A．a＞b＞0B．b＜a＜0C．﹣1＜a＜0，b＞1D．a＜﹣1，0＜b＜1【分析】根据不等式的基本性质分别判断即可．【解答】解：＞⇔﹣＞0⇔，对于A：a＞b＞0，则a2＞b2，ab＞0，故＜0；对于B：b＜a＜0，则b5＞a2，ab＞0，故＞0；对于C：﹣3＜a＜0，b＞15＞a2，ab＜0，故＜0；对于D：a＜﹣5，0＜b＜18＜a2，ab＜0，故＞0；故选：BD．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查转化思想，是一道基础题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数的定义域是（﹣∞，2）．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：依题意，得2﹣x＞0，故答案为：（﹣∞，2）【点评】本题考查了函数自变量的取值范围：注意分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．14．（5分）已知函数f（x）的周期为4，且当x∈[﹣2，f（x）＝2﹣x2，则f（9）＝1．【分析】利用函数的周期为4，从而将f（9）转化为求解f（1），再利用已知的函数解析式，即可得到答案．【解答】解：因为函数f（x）的周期为4，所以f（9）＝f（4×8+1）＝f（1），又因为当x∈[﹣2，4]时2，所以f（9）＝f（1）＝1．故答案为：4．【点评】本题考查了函数的求值问题，涉及了函数周期性的应用，解题的关键是将f（9）利用周期性转化为f（1）．15．（5分）若3a＝4b＝6，则+＝2．【分析】由题意可得a＝log36，b＝log46，再利用对数的运算性质求解．【解答】解：∵3a＝4b＝2，∴a＝log36，b＝log46，∴+＝+＝2log66+log64＝log89+log62＝log636＝2．故答案为：8．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．16．（5分）已知α∈（0，），且满足sinα＝cosα﹣，则sin（α﹣）＝，sin2α＝．【分析】由已知结合辅助角公式进行化简可求sin（α﹣），对已知等式两边同时平方可求sin2α．【解答】解：因为α∈（0，），sinα＝cosα﹣，所以sinα﹣cosα＝﹣，即＝﹣，则sin（α﹣）＝﹣，由sinα﹣cosα＝﹣，两边平方得，所以sin5α＝故答案为：﹣，．【点评】本题主要考查了辅助角公式，二倍角公式，同角平方关系的应用，属于基础题．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（10分）已知非空集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a+3}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}．（Ⅰ）当a＝2时，求A∪B；（Ⅱ）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）可求出集合B＝{x|﹣2≤x≤4}，a＝2时求出集合A，然后进行并集的运算即可；（Ⅱ）根据题意可得出，然后解出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）B＝{x|﹣2≤x≤4}，a＝4时，∴A∪B＝[﹣2，7）；（Ⅱ）∵A∩B＝∅，A≠∅，∴，解得，∴a的取值范围为：．【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集和并集的定义及运算，空集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18．（12分）化简或求值：（Ⅰ）﹣（﹣）0﹣（）2020×（）2020；（Ⅱ）若tanα＝，求的值．【分析】（Ⅰ）利用指数的运算法则计算即可得解；（Ⅱ）利用诱导公式即可计算得解．【解答】解：（Ⅰ）﹣（﹣）0﹣（）2020×（）2020＝2﹣1﹣1（Ⅱ）若tanα＝，则＝＝＝＝．【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，考查指数运算，属于基础题．19．（12分）已知函数f（x）＝sin2x﹣（cos2x﹣sin2x）．（Ⅰ）求f（）；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间．【分析】（I）先结合二倍角公式，辅助角公式先进行化简，然后把x＝代入即可求解，（II）结合正弦函数的周期公式可求T，然后利用整体思想﹣≤2x﹣，k∈Z，解不等式可求x的范围，即可求解．【解答】解：（I）f（x）＝sin2x﹣（cos7x﹣sin2x），＝sin2x﹣，＝2sin（2x﹣），f（）＝8sin0＝0，（II）T＝π，令﹣≤2x﹣，解得，，故f（x）的单调递增区间[，]，k∈Z．【点评】本题主要考查了和差角公式，辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数的性质．20．（12分）已知二次函数f（x）＝x2+（3t+1）x+3t﹣1．（Ⅰ）若f（x）是偶函数，求t值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣2，﹣1）和（0，1）上各有一个零点【分析】（Ⅰ）根据偶函数的定义，即可求出t的值；（Ⅱ）根据函数的零点存在定理可得关于t的不等式组，解方程组即可得到t的取值范【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），∴x2﹣（3t+4）x+3t﹣1＝x2+（3t+1）x+4t﹣1，即2（4t+1）x＝0，解得t＝﹣；（Ⅱ）函数f（x）在区间（﹣2，﹣3）和（0，所以，即，解得﹣，故t的范围为（﹣，）．【点评】本题考查函数零点的判定定理和偶函数的性质，考查了运算求解能力，属于中档题．21．（12分）为了强化体育教育，促进学生身心健康全面发展，某学校计划修建一个面积为600m2的矩形运动场，要求东西方向比南北方向宽．如图所示矩形ABCD，满足AD＞AB （ABEF）和排球场（CDFE）两部分，已知修建围墙的价格为500元/m，设AD的长为xm（Ⅰ）求y关于x的函数表达式．（Ⅱ）当x为何值时，y最小？最小值为多少？【分析】（Ⅰ）直接利用矩形的面积公式和边长的造价的关系式的应用求出结果；（Ⅱ）利用关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）设AD＝x米，AB＝t，且t＞x，即t＝，则y＝500（4x+2t）＝500（3x+）＝1500（x+），所以函数的解析式为y＝2400（x+）（）．（Ⅱ）由于y＝2400（x+），当且仅当x＝20时，y值最小．【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的求法和应用，基本不等式贵的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝log2．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；（Ⅱ）证明：f（x）在区间（1，+∞）上单调递增；（Ⅲ）若当x∈[﹣3，﹣1）时，f（x）≥x2+2x+m恒成立，求m的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域，再求出f（﹣x）与f（x）的关系即可判断奇偶性；（Ⅱ）利用函数单调性的定义，直接证明即可；（Ⅲ）根据条件可得m≤f（x）﹣（x2+2x）在∈[﹣3，﹣1）上恒成立，令g（x）＝f（x）﹣（x2+2x），求出g（x）的最小值，即可得到m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝log2，则＞8，即函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，又f（﹣x）＝log5＝log6＝﹣log3＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数．（Ⅱ）证明：任取x6，x2∈（1，+∞）2＜x2，则x1﹣x3＜0．因为﹣＝＜0，所以＜，所以log2＜log2，故f（x3）＜f（x2），所以函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增．（Ⅲ）当x∈[﹣6，﹣1）时2+4x+m恒成立，即m≤f（x）﹣（x2+2x）在∈[﹣5，﹣1）上恒成立，令g（x）＝f（x）﹣（x2+7x），由f（x）为奇函数，且在（1，可得f（x）在[﹣3，﹣4）上单调递增，因为函数y＝x2+2x在[﹣3，﹣1）上单调递减，所以g（x）＝f（x）﹣（x2+3x）在[﹣3，﹣1）上单调递增，所以g（x）min＝g（﹣8）＝﹣2，所以m≤﹣2，即m的取值范围为（﹣∞，﹣2]．【点评】本题主要考查奇函数的判断及单调性的证明，同时考查了分离参数法研究恒成立问题，属于中档题．。