单位圆与诱导公式(第一课时)

1.4.4单位圆与诱导公式

(第一课时)

主备人：刘红岩

教材分析

本节教学内容的安排是学生学过的三角函数定义等知识的延续和拓展.根据上一节任意角的正弦、余弦函数的定义，我们知道某角的三角函数值是由该角的终边上点的坐标给出的.我们根据这一点，即三角函数的定义，结合角α的终边与角π+α，-α，π-α的终边的对称性，找出这些角的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系，并利用这些关系求一些角的三角函数值，化简一些三角函数式，即我们不仅要探索出这些关系式，还要掌握并能利用它们解决一些简单的问题.

诱导公式是求三角函数值的基本方法，求三角函数值是三角函数中的重要问题之一.诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°-90°角的三角函数值问题.诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力、,掌握数学的思想方法具有重大的意义.

在本节诱导公式的学习中，关键是紧紧抓住单位圆这一图形工具，充分利用数形结合思想，将化归思想贯穿始终，这些典型的数学思想，无论在本节中的分析导入,还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，都清晰地得到体现.在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中，让学生了解化归思想，形成初步的化归意识，特别是在本课时的几个转化问题引入后，为什么确定180°+α角为第一研究对象，-α角为第二研究对象，正是化归思想的运用.本节内容的重点是诱导公式的推导及运用，在公式的推导中，首先确定180°+α角、-α角的终边与角α的终边有何位置关系，找出它们与单位圆交点的坐标，由正弦函数、余弦函数的定义得出结论.另外，运用公式进行一般的化简，实际上也是熟悉公式、巩固公式的一种方法，因此它同样属于本课时的重点之一.

本节课教学方法主要采用了引导、观察、分析、归纳、讨论、类比发现法，在教案设计过程中，一是立足于知识的发生、发展形成过程，不断创设问题情境，让学生从已有的知识及感知中去观察、分析、总结公式的特点提炼公式的含义；二是力求以学生为主体，对课本上内容进行重新处理，特别是通过设疑和学生间互相讨论，以及画图思考来引导学生发展思维，获取新知识，形成技能.这样既注重学生的认知结构培养，也体现数学教学是数学思维活动过程的教学；三是注重数学思想方法，如数形结合、化归、类比等数学思想方法，把握数学中最本质的东西，为学生进一步学习数学奠定坚实的基础.

教学目标

1.通过学生的探究，明确三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想.

2.通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式，并通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.

3.通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识及学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辩证唯物主义思想，提高分析问题和解决问题的能力,体会数学式子的简洁美、对称美以及数学式子变化的无穷魅力.

重点难点

教学重点：诱导公式的推导及灵活运用，如三角函数式的求值、化简和证明等.

教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识.

导入新课

在单位圆中，216°角的终边OP 在第三象限内，将OP 反向延长，与单位圆交于P′点，则在0°—90°之间找到一个角α=216°-180°=36°.由于△OPM ≌△OP′M′，所以有MP=M′P′.又因为sin216°=MP ，sin36°=M′P′，而MP 与M′P′的长度相同、方向相反，所以有sin216°=-sin36°.这样便把求sin216°的值的问题，转化为可查表的36°角的三角函数求值问题.你能把以上几何变换的过程，用三角关系式表示出来吗？由此引入新课. 或者从猜想中引入：比如学生根据上节所求，会得到以下结果： sin

65π＝sin 6π＝21，cos 65π＝-cos 6π＝-21； sin 32π＝sin 3π＝23，cos 32π＝-cos 3

π＝-23,等等. 教师由此发问:观察角65π与6π角的关系会得到什么结论？把角6π、6

5π放到单位圆中又有什么发现呢？让学生在强烈的探求欲望中展开新课，这也是一种很不错的选择. 新知探究

提出问题

①让学生回忆任意角的正弦、余弦函数是怎样定义的？

②观察单位圆，角α与π-α的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？

③观察单位圆，角α与-α，2π-α的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？

④观察单位圆，角α与π+α的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？

活动:教师在唤起学生对任意角的正弦、余弦函数定义的回忆后，指导学生画出单位圆，并在单位圆中画出角3

π、32π，思考分析它们的关系.

图1

教师与学生一起观察图1，∠MOP=3

π,∠MOP′=32π,在直角坐标系的单位圆中，点P 与点P′关于y 轴对称，它们的坐标分别为(

21，23)、(-21，23)，即它们的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反. sin

32π＝23＝sin 3π，cos 32π＝-23＝-cos 3

π. 这很自然地引起学生的猜想：对任意的角α与π-α是否也具有这种关系呢？教师引导学生做进一步探究.教师出示课件，将α的终边绕单位圆一周，让学生在动态中思考α与π-α的关系.让学生观察图2，或由学生在单位圆中，作∠MOP=α,∠MOP′＝π-α.不难看出，点P(a,b)和点P′(-a,b)关于y 轴对称.因此，它们的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反，即 sin(π-α)=sinα,

cos（π-α)=-cosα.

图2

有了上述探究过程的经历，学生会想到用类比的思想方法来进一步探究角α与-α，2π-α的正弦、余弦函数值的关系.教师演示课件，让学生在动态中感知α与-α的位置关系(如图4).在引导学生观察图3时，可让学生自己独立探究、归纳发现公式，体验在自己的发现中成功的愉悦感，以提高数学学习的自信心和进一步探究的欲望.事实上，在单位圆中，作∠MOP=α,∠MOP′＝-α(或2π-α)，不难看出，点P(a,b)和P′(a,-b)关于x轴对称.因此，它们的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反,即

sin(-α)=-sinα,sin(2π-α)=-sinα,

cos(-α)=cosα,cos(2π-α)=cosα.

图3

图4

同样学生可自主探究角α与π+α的正弦、余弦函数值的关系.教师演示课件，动态的表示出α与π+α的位置关系(如图6).然后引导学生观察图5，在单位圆中，作∠MOP＝α,∠MOP′＝π+α，不难看出，点P(a,b)和P′(-a,-b)关于原点对称.因此，它们的横坐标绝对值相等且符号相反，纵坐标绝对值相等且符号相反,即

sin(π+α)=-sinα,

cos（π+α)=-cosα.