单位圆与诱导公式一

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同角三角函数的基本关系与诱导公式考点与提醒归纳

同角三角函数的基本关系与诱导公式考点与提醒归纳1.同角三角函数的基本关系：在一个单位圆上，以原点为中心，作出一个角度为θ的角。

那么，角θ的终边与单位圆交于一点P，点P的坐标可以表示为(Px,Py)。

根据三角函数的定义，可以得到以下关系：(1) 正弦函数（sin）：sinθ = Py(2) 余弦函数（cos）：cosθ = Px(3) 正切函数（tan）：tanθ = Py / Px2.诱导公式：诱导公式是利用同角三角函数的基本关系，通过一些简单的代数运算推导出来的公式。

下面是一些常用的诱导公式：（1）tanθ = sinθ / cosθ -> sinθ = tanθ * cosθ（2）tanθ = py / Px -> Py = tanθ * Px（3）cotθ = 1 / tanθ -> cotθ = cosθ / sinθ（4）secθ = 1 / cosθ -> secθ = 1 / cosθ（5）cscθ = 1 / sinθ -> cscθ = 1 / Py3.开放、诱导角的关系：开放角和诱导角是同角三角函数中的两个重要概念。

（1）开放角：开放角是指角θ的终边所在的象限。

根据角度θ所在的象限，可以确定sinθ、cosθ、tanθ的正负关系。

（2）诱导角：角θ的终边与x轴正半轴之间的夹角记为θ0，称为角θ的诱导角。

根据θ0所在的象限，可以确定sinθ0、cosθ0、tanθ0的值。

4.注意事项：（1）需要记住各个象限中正弦函数、余弦函数、正切函数的正负关系。

通过画图和思考可以帮助记忆。

（2）要掌握正弦函数、余弦函数、正切函数在不同象限中的取值范围，充分理解诱导角与开放角的关系。

（3）熟练掌握诱导公式，能够熟练地根据一个三角函数的值求得其他三个函数的值。

（4）在解决实际问题和解题时，要善于利用诱导公式将一个三角函数转化为其他三个函数，以便更好地解题。

总之，同角三角函数的基本关系与诱导公式是学习三角函数的重要内容，掌握和理解好这一知识点对后续学习和解题非常有帮助。

单位圆与诱导公式

2.推导诱导公式（1）角与的正弦函数、余弦函数关系：
y P(u,v)
公式（2）
o

x P'(u,-v)
sin( ) sin cos( ) cos
例：（ 1） sin( ) sin 2 4 2 4

（2）cos（ -

6
） cos
任意负角的三角函数 0到2π的角的三角数
用公式一或二用公式
任意正角的三角函数
用公式一
三或四或五
0到π/2的角的三角函数
负化正，大化小，化成锐角再查表
点评
利用公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般可按下列步骤进行：
负化正，大化小，化成锐角再查表
注意：这仅仅是一种转化模式或求解思路，不要死记这个步骤，在实际解题中只要灵活地应用公式求解，明确先用哪个公式，后用哪个公式是没有什么固定要求的，如本例（1）完全可以这样来解：
（2）角与的正弦函数、余弦函数关系：公式（4）
sin －sin
cos －cos
回顾：
y

P(u,v) o
5 (3) cos( ) 4
2 cos( ) cos 4 4 2

x
P'(-u,-v)
角与

2
的正弦函数、余弦函数关系
4.3 单位圆与诱导公式
（第一课时）
即u cos，v sin
P(u,v) 1.在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角，终边与单位圆交于点 P(u,v),那么点P的纵坐标v叫作角的正弦函数，记作 v sin ；点P的横坐标u叫作角余弦函数，记作 u cos.

高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修4(2021年整理)

2018-2019学年高中数学第一章三角函数4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章三角函数4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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4.4 单位圆的对称性与诱导公式（一)学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用。

2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题。

知识点2kπ±α，－α，π±α的诱导公式思考1 设α为任意角，则2kπ＋α,π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？答案它们的对应关系如表：相关角终边之间的对称关系2kπ＋α与α终边相同π＋α与α关于原点对称－α与α关于x轴对称2π－α与α关于x轴对称π－α与α关于y轴对称思考2 2kπ＋α,π＋α,－α，2kπ－α,π－α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系?试据此分析角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系。

答案它们交点间对称关系如表：相关角终边与单位圆的交点间对称关系2kπ＋α与α重合π＋α与α关于原点对称－α与α关于x轴对称2π－α与α关于x轴对称π－α与α关于y轴对称设角α与角－α终边与单位圆的交点分别为P和P′，因为P和P′关于x轴对称,所以点P和P′的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反，即sin(－α）＝－sin α，cos(－α）＝cos α.梳理对任意角α，有下列关系式成立：sin(2kπ＋α）＝sin α，c os（2kπ＋α)＝cos α(1。

1.4.3单位圆与诱导公式

1.4.3单位圆与诱导公式一.教学目标：（一）知识与技能：通过学生的探究，明确三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想。

（二）过程与方法：通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式，并通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力。

（三）情感态度与价值观：通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识及学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辩证唯物主义思想，提高分析问题和解决问题的能力,体会数学式子的简洁美、对称美以及数学式子变化的无穷魅力。

二.教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。

三.教学重点：诱导公式的推导及灵活运用，如三角函数式的求值、化简和证明等。

四.学情分析：五. 教学方法：讲授法与探究法。

六. 教学过程第1课时（一）、导入新课思路1.(复习引入)我们前面利用单位圆得到了任意角的正弦、余弦函数，周期函数，最小正周期等概念.它在转化任意角的三角函数中所起的作用是什么呢？从周期函数的概念中我们知道正弦、,余弦函数值每隔2π就会重复出现，那么在单位圆中是怎样体现的呢？有什么内在的联系呢？由此引入新课.思路2.在单位圆中，216°角的终边OP 在第三象限内，将OP 反向延长，与单位圆交于P′点，则在0°—90°之间找到一个角α=216°-180°=36°.由于△OPM ≌△OP′M′，所以有MP=M′P′.又因为sin216°=MP ，sin36°=M′P′，而MP 与M′P′的长度相同、方向相反，所以有sin216°=-sin36°.这样便把求sin216°的值的问题，转化为可查表的36°角的三角函数求值问题.你能把以上几何变换的过程，用三角关系式表示出来吗？由此引入新课. 或者从猜想中引入：比如学生根据上节所求，会得到以下结果： sin 65π＝sin 6π＝21，cos 65π＝-cos 6π＝-21；sin32π＝sin 3π＝23，cos 32π＝-cos 3π＝-23,等等.教师由此发问:观察角65π与6π角的关系会得到什么结论？把角6π、65π放到单位圆中又有什么发现呢？让学生在强烈的探求欲望中展开新课，这也是一种很不错的选择.（二）、推进新课新知探究提出问题①让学生回忆任意角的正弦、余弦函数是怎样定义的？②观察单位圆，角α与π-α的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？③观察单位圆，角α与-α，2π-α的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？ ④观察单位圆，角α与π+α的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？活动:教师在唤起学生对任意角的正弦、余弦函数定义的回忆后，指导学生画出单位圆，并在单位圆中画出角3π、32π，思考分析它们的关系.图1教师与学生一起观察图1，∠MOP=3π,∠MOP′=32π,在直角坐标系的单位圆中，点P 与点P′关于y 轴对称，它们的坐标分别为(21，23)、(-21，23)，即它们的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反.sin32π＝23＝sin 3π，cos 32π＝-23＝-cos 3π.这很自然地引起学生的猜想：对任意的角α与π-α是否也具有这种关系呢？教师引导学生做进一步探究.教师出示课件，将α的终边绕单位圆一周，让学生在动态中思考α与π-α的关系.让学生观察图2，或由学生在单位圆中，作∠MOP=α,∠MOP′＝π-α.不难看出，点P(a,b) 和点P′(-a,b)关于y 轴对称.因此，它们的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反，即 sin(π-α)=sinα, cos （π-α)=-cosα.图2有了上述探究过程的经历，学生会想到用类比的思想方法来进一步探究角α与-α，2π-α的正弦、余弦函数值的关系.教师演示课件，让学生在动态中感知α与-α的位置关系(如图4).在引导学生观察图3时，可让学生自己独立探究、归纳发现公式，体验在自己的发现中成功的愉悦感，以提高数学学习的自信心和进一步探究的欲望.事实上，在单位圆中，作∠MOP=α,∠MOP′＝-α(或2π-α)，不难看出，点P(a,b)和P′(a,-b)关于x 轴对称.因此，它们的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反,即 sin(-α)=-sinα,sin(2π-α)=-sinα, cos(-α)=cos α,cos(2π-α)=cosα.图3图4同样学生可自主探究角α与π+α的正弦、余弦函数值的关系.教师演示课件，动态的表示出α与π+α的位置关系(如图6).然后引导学生观察图5，在单位圆中，作∠MOP＝α,∠MOP′＝π+α，不难看出，点P(a,b)和P′(-a,-b)关于原点对称.因此，它们的横坐标绝对值相等且符号相反，纵坐标绝对值相等且符号相反,即sin(π+α)=-sinα,cos（π+α)=-cosα.图5图6通过以上探究，我们得到了三组公式，这给我们的三角函数求值、化简、证明带来了极大便利.教师与学生一起观察分析公式的结构特征，找出记忆的诀窍，强调无论α是锐角还是任意角，公式均成立；可以这样概括说明记忆：-α,π±α,2π-α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.或者进一步简记为：“函数名不变，符号看象限”，点拨、引导学生注意公式中α的任意性. 讨论结果:略. 应用示例例1 求下列各角的三角函数值： (1)sin(-47π); (2)cos 32π; (3)cos(-631π). 活动:本例是直接运用公式的题目，目的是让学生熟悉公式，初步体会公式的简单应用.通过练习,加深对公式的理解，逐步达到正确熟练的公式应用.解答时可让学生观察题目中角的范围，对照公式找出哪个公式适合解决这个问题，可让学生独立解答，对个别有困难的学生教师对其适时的点拨引导. 解:(1)sin(-47π)=-sin 47π=-sin(2π-4π)=-(-sin 4π)=sin 4π=22 (2)cos32π=cos （π-3π)=-cos 3π=-21 （3)cos(-631π)=cos 631π=cos （4π+π+6π)=cos （π+6π)=-cos 6π=-23.点评:利用公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般可按下列步骤进行：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→0-2π三角函数→锐角三角函数，这种变化体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.教师应提醒学生注意：这仅仅是一种转化模式或求解思路，不要记诵这个步骤.在实际解题中只要灵活地应用公式求解，明确先用哪个公式、后用哪个公式是没有什么固定要求的，否则就违背了学习的本质要义，解题就成了死解题、解死题，可谓题目解了千千万万，一到考试不得分，其学习当然也就成了死学习，越学越不得要领，结果把自己本来的灵活学成了呆板.如本例(1)完全可以这样来解：sin(-47π)=sin(-2π+4π)=sin 4π=22. 变式训练利用公式求下列三角函数值： (1)cos(-510°15′); (2)sin(-317π). 解:(1)cos(-510°15′)= cos510°15′=cos (360°+150°15′) =cos150°15′=cos (180°-29°45′)=-cos29°45′=-0.868 2. (2)sin(-317π)=sin(3π-3×2π)=sin 3π=23例2 化简)180cos()180sin()360sin()180cos(αααα--∙--+∙+活动:教师引导学生认真仔细观察题目，题中四个三角函数是对诱导公式进一步的复习和巩固，重点训练学生对知识的掌握程度和应用的灵活程度.可适时地提醒学生注意，利用诱导公式时尽可能将角统一，从而达到化简的目的.本例可由学生自己完成，教师也可在学生解完此题后让学生变化题目，进行一题多变.如可在180°及360°的前面添加偶数n 或奇数n 或整数(此时需要分类讨论)n ；亦或将角α前面的“+、-”进行变化，这样可达到一题多用的目的，提高学生的兴趣，长此以往学生就能达到解一题会一片，就能融会贯通而灵活多变，达到我们常说的“越学越省劲,越学越聪明”的境界.解:sin(-α-180°)=sin ［-(180°+α)］=sin(180°+α)=-(-sinα)=sinα, cos(-180°-α)=cos ［-(180°+α)］=cos(180°+α)=-cosα, cos(180°+α)=-cos α, sin(360°+α)=sinα. 所以，原式=)cos (sin sin cos αααα-∙∙-=1.点评:运用诱导公式时可首先将负角化为正角，这有利于解题的简洁. 变式训练化简cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°. 解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°=cos(360°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120°) =cos(-45°)-21-sin45°+cos120° =cos45°-21-22+cos(180°-60°) =22-21-22-cos60°=-1.3.已知函数f(x)=asin(πx+α)+b cos(πx+β).其中a,b,α,β都是非零实数，又知f(2 003)=-1，求f(2 004)的值.活动:解决本题的关键是寻求f(2 003)=-1与f(2 004)之间的联系，这个联系就是我们解答问题的钥匙.显然通过诱导公式，我们可以将f(x)的表达式化为只有α,β的代数式.然后逐步转化利用条件解之，教师可让学生独立探究，适时地给以点拨. 解:f(2 003)=asin(2 003π+α)+b cos(2 003π+β) =asin(2 002π+π+α)+b cos(2 002π+π+β) =asin(π+α)+b cos(π+β) =-asinα-bcos β =-(asinα+b cos β),∵f(2 003)=-1,∴asinα+b cos β=1.∴f(2 004)=asi n(2 004π+α)+b cos(2 004π+β) =asinα+b cos β=1.点评:解决问题的实质就是由未知向已知转化的过程，在这个过程中一定要抓住关键和要害，注意“整体代入”这一思想的应用.解答本题的关键就是求得式子asinα+b cos β=1，它是联系已知和未知的纽带. 知能训练课本练习1、2. （三）、课堂小结由学生回顾本节课的学习过程，归纳总结本节课所学到的数学知识及数学思想方法.本节的重点是公式的推导过程及应用.在突出重点的同时，要抓住公式结构特点，善于记忆公式.如本节公式：-α,π±α,2π-α的三角函数值等于它的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，也可简单记忆为：“函数名不变，符号看象限”；切实掌握利用单位圆探究问题的数形结合思想，掌握由未知向已知转化的化归思想,并且在合作探究中学会交流，提高我们的合作意识和探究能力. （四）、作业课本习题1—4 4、5、6.第2课时（一）、导入新课思路1.首先让学生回忆上一节课探究诱导公式的过程与方法，是怎样借助单位圆导出的？利用的是单位圆的哪些几何性质？并让学生默写上节课所学公式.在此基础上,教师提出可否借助单位圆找出α与2π+α或2π-α的关系？由此展开新内容的探究，揭示课题. 思路2.通过计算猜想引入，让学生计算3π，32π，6π，65π的正弦、余弦值，并引导学生观察结果.sin3π=23,cos 65π=-23,这里65π＝2π+3π,sin 6π=21,cos 2132-=π,这里32π＝2π+6π. sin 65π=21,cos 3π=21,这里65π＝2π+3π，sin 3 2π=23,cos 6 π=23,这里32π＝2π+6π.猜想：sin(2π+α)=cos α,cos(2π+α)=-sinα.由此在单位圆中进一步去探寻验证，在学生急欲探究的欲望中展开新课，这样引入很符合新课程理念，也是一个不错的选择. （二）、推进新课新知探究提出问题以下按两种思路来探究α与2π+α或2π-α的关系.思路1.先得出α与2π-α的关系.①先计算sin3π、cos 6π、sin 3π、cos 6π的值(23、21、23,21)，你有什么猜想结论？②怎样验证探究α与2π-α的关系呢？在单位圆中，让学生画出终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角，观察它们有什么样的位置关系？③如何由α与2π-α的关系，得到α与2π+α的关系？图7活动:学生很容易得到如下猜想：cos(2π-α)=sinα,sin(2π-α)=cos α.这时教师适时点拨，以上猜测是正确的，但还要小心求证.没有大胆猜测，就没有事物的发展和进步(鼓励猜想)，没有经过严格证明的结论总还是猜想,不一定正确.为了得到进一步的证明，教师引导学生画出单位圆及角α、2π、-α,探究终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角的数量关系.先让学生充分探究，启发学生借助单位圆的几何性质，点拨学生从终边关于直线y=x 对称的两个角之间的数量关系，关于直线y=x 对称的两个点的坐标之间的关系进行探究(如图7).设任意角2π-α的终边与单位圆的交点P 1(x,y)，由于角α的终边与角2π-α的终边关于直线y=x 对称，角2π-α的终边与单位圆的交点P 2与点P 1关于直线y=x 对称，因此点P 2的坐标是(y,x)，于是，我们有sinα=y, cos α=x, cos （2π-α)=y, sin(2π-α)=x.从而得到我们的猜想，也就是如下公式：sin(2π-α)=cos α,cos （2π-α)=sinα.教师进一步引导学生，因为2π+α可以转化为π-(2π-α).所以求2π+α角的正弦、余弦问题就转化利用上节课所学公式进行变形的问题，由此易得sin(2π+α)=cos α,cos （2π+α)=-sinα.讨论结果:①—③略.思路2.先得出α与2π+α的关系.图8教师引导学生观察图8，设任意角α的终边与单位圆交于点P(a,b)，则角2π+α的终边与单位圆交于点P 1.由平面几何知识,可知Rt △OPM ≌Rt △P 1OM 1，不难证明，点P 1的坐标为(-b ，a)，且a=cos α, b=sinα.所以点P 的横坐标cos α与点P 1的纵坐标sin(2π+α)相等，即sin(2π+α)＝cos α.点P 的纵坐标sinα与点P 1的横坐标cos （2π+α)的绝对值相等且符号相反，由此得到公式sin(2π+α)=cos α,cos （2π+α)=-sinα.教师进一步引导学生，因为2π-α=π-(2π+α)，所以求2π-α角的正弦、余弦问题就转化为利用上节课所学公式进行变形的问题，由此易得sin(2π-α)=cos α,cos （2π-α)=sinα. 至此，我们得到了任意角α的三角函数公式 sin (k·2π+α)=sinα，cos （k·2π+α)=cos α. sin(-α)=-sinα，cos （-α)=cos α. sin(π-α)=sinα，cos （π-α)=-cos α. sin(π+α)=-sinα，cos （π+α)=-cos α.sin(2π+α)=cos α,cos(2π+α)=-sinαsin(2π-α)=cos α,cos （2π-α)=sinα.以上公式分别叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.2kπ+α(k ∈Z )，-α，π±α，2π-α的正(余)弦函数值，等于α的相应的正(余)弦函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号；2π±α的正(余)弦函数值，等于α的相应的余(正)弦函数值，前面加上把α看成锐角时这些角所在象限的正(余)弦函数值的符号.教师与学生共同进一步归纳总结：以上诱导公式又可以概括为：2π∙k ±α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得角α的同名函数值；当k 为奇数时，得α相应的余弦函数值.然后前面加上把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为：“奇变偶不变，符号看象限”.这里特别要弄清“把α看成锐角”的含义，不管α是字母还是数值，不管其多大，仅是“看成”而已.以上公式就这样记忆非常方便，这个规律可以扩展，用在选择题、填空题上也很方便. 应用示例1.求下列函数值：(1)sin(25π+4π);(2)sin(-655π);(3)sin 65πcos （-4π)+sin 611πcos 45π.活动:本例是让学生熟悉刚刚学过的诱导公式，让学生自己探究.由于考虑问题的视角不同会有不同的切入方式，这对学生灵活理解公式很有好处.解:(1)sin(25π+4π)＝sin(2π+4π)=cos 4π=22.(2)sin(-655π)=-sin 655π=-sin(8π+67π)＝-sin 67π=-sin(π+6π)=sin 6π=21 (3)sin 65πcos （-4π)+sin 611πcos 45π=sin(π6π-)cos 4π+sin(2π-6π)cos (π+4π)=sin 6πcos 4π+(-sin 6π)(-cos 4π)=21×22+21×22＝22. 点评:解完本例后教师引导学生反思总结，对于学生不同的转化方式，教师都应给予鼓励.比如(2)第一步也可这样转化：sin(-655π)=sin(-10π+65π).以此活化学生的思路.例2 化简：)cos()3sin()sin()23cos()3cos()2sin(πααπαπαπαπαπ--∙-∙+-+∙+∙-活动:本例属于化简求值一类，这种题目要求学生正确灵活地运用诱导公式，教师提醒学生特别注意各式符号的确定.教学时要让学生充分探究，合作交流，通过不同的切入方式获得问题的解决，要充分利用本例的训练价值，达到活跃学生思维的目的. 解:原式＝[][])(cos )sin()(sin )cos()cos(sin)(απαπαπαπαπ+-∙-∙--+∙+∙-a=)cos (sin 1)sin ()2cos()cos ()sin (ααααπαα-∙∙-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∙-∙-=ααsin sin =1. 点评:化简求值题需充分利用公式变形，而公式变形中可以充分体现数学公式的转化和简化功能，充分体现数学思想和方法，因而备受高考命题人的青睐，成为出题频率较多的题型.解完本例后，教师要引导学生对其探究过程进行反思与总结. 变式训练1.求sin(-870°)的值. 解法一:sin(-870°)=-sin870°=-sin(2·360°+150°)=-sin150°=-sin(180°-30°)=-sin30°=-21. 解法二:sin(-870°)=sin(-10·90°+30°)=-sin30°＝-21点评:以上两种解法中，解法一是按我们常规思路来解的，解法二是按本节介绍的记忆口诀来解的.这样做的目的不是提倡学生寻求奇妙解法，而是想说明对诱导公式的深刻理解及灵活运用，不要死板记忆公式的形式，孤立地记忆这么多诱导公式，要记忆公式的特征、规律等共同的本质的东西.如本例解法二，这里k=-10是偶数，所以得到同名函数，得到右边的符号是正弦在第三象限(-870°)的符号，为负值.当然，这个方法要求学生的口算能力很好，能很快算出角在第几象限；当然，根据规律，也可以这样： sin(-870°)=sin(-9·90°-60°)=-cos(-60°)＝-cos60°＝-212.已知cos(6π-α)=m(|m|≤1),求sin(32π-α)的值.解:∵-32πα-(6π-α)=2π,∴32π-α=2π+(6π-α). ∴sin(32π-α)=sin ［6π+(6π-α)］=cos(6π-α)=m.点评:(1)当两个角的和或差是的整数倍时，它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来；(2)化简已知与所求，然后探求联系，这是解决问题的重要思想方法. 3.(1)已知f(cosx)=cos17x,,求证:f(sinx)=sin17x;(2)对于怎样的整数n,才能由f(sinx)=sinnx 推出f(cosx)=cosnx?(1)证明:f(sinx)=f ［cos(2π-x)］=cos ［17(2π-x)］=cos (8π+2π-17x)=cos(2π-17x)=sin17x, 即f(sinx)=sin17x. (2)解:f(cosx)=f ［sin(2π-x)］=sin ［n(2π-x)］=sin(2πn -nx) =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+=-∈+=∈+=∈=-).,34,cos ,,24,sin ,,14,cos ,,4,sin Z k k n nx Z k k n nx Z k k n nx Z k k n nx 故所求的整数n=4k+1(k ∈Z ).点评:正确合理地运用公式是解决问题的关键所在.对诱导公式的应用需要较多的思维空间，要善于观察题目特点，灵活变形.观察本例条件与结论在结构上类似,差别在于一个含余弦,一个含正弦,注意到正弦、余弦转化可借助sinx=cos(2π-x)或cosx=sin(2π-x).要善于观察条件和结论的结构特征,找出它们的共性与差异;要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移. 知能训练课本练习2 1—4. （三）、课堂小结先由学生回顾本节进程，然后教师与学生一起归纳总结：本节与上节一样，都是利用单位圆推导诱导公式，并应用这些公式进行三角函数的求值、化简及证明的.这里诱导公式比较多，不可死记硬背，要通过练习来记忆它，再结合公式特征，利用歌诀记忆法记忆诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”，角的运算总原则是：“负化正，大化小、化到锐角再查表”. （四）、作业1.课本习题1—4 A 组7、8.2.B 组1、2、3. 七、板书设计：八、关键词：九、教学反思：。

学案3：5.3 诱导公式(一)

5.3 诱导公式(一)【课程标准】(1)借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式⎝⎛⎭⎫α±π2，α±π的正弦、余弦、正切. (2)掌握六组诱导公式并能灵活运用．【新知初探】知识点状元随笔诱导公式一～四的理解(1)公式一～四中角α是任意角．(2)公式一概括为：终边相同的角的同名三角函数值相等．(3)公式一、二、三、四都叫诱导公式，它们可概括如下：①记忆方法：2k π＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“函数名不变，符号看象限”．②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α的终边在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sin α.[教材解难]利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：【基础自测】1．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是( )A ．α一定是锐角B ．0≤α<2πC ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角2．sin 600°的值是( )A.12B ．－12 C.32 D ．－323．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是( ) A ．－12B.12 C ．－32D.32 4．化简：cos (－α)tan (7π＋α)sin (π＋α)＝________. 【课堂探究】题型一给角求值问题[经典例题]例1 (1)sin 43π·cos 56π·tan ⎝⎛⎭⎫－43π的值是( ) A.－343 B.343 C ．－34 D.34(2)求下列三角函数式的值：①sin(－330°)·cos 210°. ②3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)．状元随笔负角化正角，大角化小角，直到化为锐角求值．方法归纳利用诱导公式解决给角求值问题的方法(1)“负化正”；(2)“大化小”，用公式一将角化为0°到360°间的角；(3)“小化锐”，用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；(4)“锐求值”，得到锐角的三角函数后求值．跟踪训练1 (1)sin 4π3＋tan 7π6的值为( ) A.36 B ．－33 C ．－36D.33 (2)sin 2120°＋cos 180°＋tan 45°－cos 2(－330°)＋sin(－210°)＝________.解题要点首先利用诱导公式把角化为锐角再求值．题型二已知三角函数值求相关角的三角函数值[经典例题]例2 若sin(π＋α)＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(π－α)等于( ) A.－12 B ．－32C ．－ 3 D.33状元随笔将已知条件利用诱导公式化简，建立要求的因式与已知条件的联系从而求值．方法归纳解决条件求值问题的方法(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．跟踪训练2 已知α为第二象限角，且sin α＝35，则tan(π＋α)的值是( ) A.43B.34 C ．－43 D ．－34解题要点先由正弦求余弦时，注意α的范围，最后利用诱导公式求值．题型三三角函数式的化简与证明例3 化简cos (180°＋α)sin (α＋360°)tan (－α－180°)cos (－180°＋α).状元随笔用诱导公式消除角的差异→用同角三角函数关系消除名称差异方法归纳利用诱导公式一～四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．跟踪训练3 证明：sin (α－2018π)cos (α＋2019π)sin (－α)cos (α－2π)cos (α＋2018π)sin (α＋2018π)＝tan α.解题要点证明三角恒等式时，要针对恒等式左、右两边的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异. 能用诱导公式的先用诱导公式将不同角化为相同角，再统一函数名称，从而实现左右统一．思路方法分类讨论思想在三角函数中的应用例证明：2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z .点评：解答此类题目的关键在于正确应用诱导公式化简，如果被化简式子中的角是k π±α (k ∈Z )的形式，往往对参数k 进行讨论．常见的一些关于参数k 的结论有sin(k π＋α)＝ (－1)k sin α(k ∈Z )；cos(k π＋α)＝(－1)k cos α(k ∈Z )；sin(k π－α)＝(－1)k ＋1sin α(k ∈Z )； cos(k π－α)＝(－1)k cos α(k ∈Z )等．【学业达标】一、选择题1．sin 480°的值为( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32 2．已知sin(π＋θ)＝45，则角θ的终边在( ) A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第四象限D ．第三或第四象限3．下列各式不正确的是( )A ．sin(α＋180°)＝－sin αB ．cos(－α＋β)＝－cos(α－β)C ．sin(－α－360°)＝－sin αD ．cos(－α－β)＝cos(α＋β)4．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( ) A.12B ．±32 C.32 D ．－32 二、填空题5．求值：(1)cos 29π6＝________；(2)tan(－225°)＝________.6．若sin(－α)＝13，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则cos(π＋α)＝________. 7．若f (n )＝sinn π3(n ∈Z )，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝________. 三、解答题8．求下列各三角函数值：(1)sin 1 200°；(2)cos 476π；(3)sin ⎝⎛⎭⎫－7π3； (4)tan(－855°)．9．若cos α＝23，α是第四象限角，求 sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．10．求sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋2π3·cos ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3(n ∈Z )的值．【参考答案】【新知初探】知识点sin α cos αtan α －sin α－cos α tan α －sin αcos α －tan α sin α－cos α －tan α 同名锐角原函数值【基础自测】1．解析：诱导公式中的角α是使公式有意义的任意角．答案：D2．解析：sin 600°＝sin(600°－720°)＝sin(－120°)＝－sin 120°＝－sin 60°＝－32. 答案：D3．解析：∵sin(π＋α)＝－12，∴sin α＝12，sin(4π－α)＝－sin α＝－12. 答案：A4．解析：原式＝cos αtan α－sin α＝－sin αsin α＝－1. 答案：－1【课堂探究】题型一给角求值问题[经典例题]例1【解析】 (1)sin 43π·cos 56π·tan ⎝⎛⎭⎫－43π ＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3cos ⎝⎛⎭⎫π－π6tan ⎝⎛⎭⎫－2π＋2π3 ＝－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6tan ⎝⎛⎭⎫π－π3 ＝－32·⎝⎛⎭⎫－32·(－3)＝－334. (2)①sin(－330°)·cos 210°＝sin(30°－360°)cos(180°＋30°) ＝sin 30°·(－cos30°)＝12×⎝⎛⎭⎫－32＝－34.②3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°) ＝－3sin 1 200°·⎝⎛⎭⎫－33－cos(720°－135°)·tan(－9×180°－45°) ＝sin(1 080°＋120°)－cos 135°·tan(－45°)＝32－⎝⎛⎭⎫－22×(－1)＝3－22. 答案：(1)A (2)①－34 ②3－22 跟踪训练1解析：(1)原式＝－sin π3＋tan π6＝－32＋33＝－36.故选C. (2)原式＝sin 260°＋(－1)＋1－cos 230°＋sin 30°＝⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫322＋12＝12. 答案：(1)C (2)12题型二已知三角函数值求相关角的三角函数值[经典例题]例2【解析】因为sin(π＋α)＝－sin α，根据条件得sin α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以cos α＝ 1－sin 2α＝32. 所以tan α＝sin αcos α＝－13＝－33. 所以tan(π－α)＝－tan α＝33.故选D. 【答案】 D跟踪训练2解析：因为sin α＝35且α为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.所以tan(π＋α)＝tan α＝－34.故选D. 答案：D题型三三角函数式的化简与证明例3解析：tan(－α－180°)＝tan[－(180°＋α)]＝－tan(180°＋α)＝－tan α，cos(－180°＋α)＝cos [－(180°－α)]＝cos(180°－α)＝－cos α，所以原式＝－cos αsin α(－tan α)(－cos α)＝－cos α. 跟踪训练3解析：证明：sin (α－2018π)cos (α＋2019π)sin (－α)cos (α－2π)cos (α＋2018π)sin (α＋2018π)＝sin α(－cos α)(－sin α)cos αcos αsin α＝tan α.思路方法分类讨论思想在三角函数中的应用例证明：当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈Z ，左边＝2sin (α＋2k π)cos (α－2k π)sin (α＋2k π)＋sin (α－2k π)＝2sin αcos αsin α＋sin α＝2sin αcos α2sin α＝cos α. 右边＝(－1)2k cos α＝cos α，∴左边＝右边．当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈Z ，左边＝2sin (α＋2k π－π)cos (α－2k π＋π)sin (α＋2k π－π)＋sin (α－2k π＋π)＝2sin (α－π)cos (α＋π)sin (α－π)＋sin (α＋π)＝2(－sin α)(－cos α)(－sin α)＋(－sin α)＝2sin αcos α－2sin α＝－cos α. 右边＝(－1)2k －1cos α＝－cos α，∴左边＝右边．综上所述，2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z 成立．【学业达标】一、选择题1．解析：sin 480°＝sin(360°＋120°)＝sin 120°＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝32. 答案：B2．解析：∵sin(π＋θ)＝45＝－sin θ，∴sin θ<0，结合三角函数的定义，可知角θ的终边在第三或四象限，故选D.答案：D3．解析：由诱导公式知cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B 不正确．答案：B4．解析：由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，故sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－32(α为第四象限角)．答案：D二、填空题5．解析：(1)cos 29π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋5π6＝cos 5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (2)tan(－225°)＝tan(360°－225°)＝tan 135°＝tan(180°－45°)＝－tan 45°＝－1.答案：(1)－32(2)－1 6．解析：∵sin(－α)＝13，∴sin α＝－13.∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴cos α＝1－⎝⎛⎭⎫－132＝223，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－223. 答案：－223 7．解析：f (1)＝sin π3＝32，f (2)＝sin 2π3＝32，f (3)＝sin π＝0，f (4)＝sin 4π3＝－32， f (5)＝sin 5π3＝－32，f (6)＝sin 2π＝0，f (7)＝sin 7π3＝sin π3＝f (1)，f (8)＝f (2)，……， ∵f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (6)＝0，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＋336×0＝ 3. 答案：3三、解答题8．解：(1)sin 1 200°＝sin[120°＋3×360°]＝sin 120°＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝32. (2)cos 476π＝cos ⎝⎛⎭⎫116π＋6π＝cos 116π＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π6＝cos π6＝32. (3)sin ⎝⎛⎭⎫－7π3＝－sin 7π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π3 ＝－sin π3＝－32. (4)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝－tan(－45°)＝tan 45°＝1.9．解：由已知cos α＝23，α是第四象限角得sin α＝－53，故sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α(1－cos α)cos α(－1＋cos α)＝－sin αcos α＝52. 10．解：方法一 ①当n 为奇数时，原式＝sin 2π3·(－cos 4π3) ＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3·⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34. ②当n 为偶数时，原式＝sin 2π3·cos 4π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3·cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3 ＝sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π3＝32×⎝⎛⎭⎫－12＝－34. 综上可知，原式＝(－1)n ＋134. 方法二原式＝sin 2π3·(－1)n cos 4π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3·(－1)n cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3 ＝sin π3·(－1)n ·(－cos π3)＝(－1)n ×32×⎝⎛⎭⎫－12＝(－1)n ＋134.。

单位圆的对称性与诱导公式

出发，可以得到正（余）弦函数的那些性质？
轴对称点的坐标是什么?
点Px，y关于原点对称点 P1 x， y，关于
x 轴对称点 P2 x，-y ，关于 y 轴对称点P3 x，y
1.以旧引新，提出课题
终边相同的角的同名正(余)弦函数值相同；除此之外还有一些角，已知角正（余）弦函数值，那么，能否用它表示相关角（如，，）的正（余）弦函数值？
p与 P关于原点对称, Pu, v
③ 在单位圆中，用表示点 p 与点 p的坐标。 ④ 写出点 p与点 p 坐标之间的关系（即与
正（余）弦函数值之间的关系）。
3.合作探究，推导公式
公式三
r 1
sin v cos u
P cos ,sin
Pcos ,sin
y
由P(u,v)与P‘(-u,-v)知
任意负角的正（余）弦函数
用公式一或二
任意正角的正(余)弦函数
用公式一
锐角的正（余）用公式
弦函数
三或四
0 ~ 2 正
（余）弦函数
上述过程体现了由未知到已知的化归思想。
6.独立作业，培养能力
作业
（1）必做题 P20 练习1 ，第1题 P23 练习2 第3题（2）选做题
从单位圆关于直线 y x，y x对称性
sin( ) sin cos( ) cos
由此可知，正弦函数y sin x 是奇函数，余弦函数y cos x是偶函数。
3.合作探究，推导公式
问题探究（2）
①角的终边和角的终边有什么关系？
② 在单位圆中，角的终边和单位圆的交点
p，角的终边和单位圆的交点 P，那么，p 和P有什么关系？
3
求 sin 3 的值

1.4.3.2单位圆与诱导公式

单位圆与诱导公式使用说明：1.阅读探究课本2018-p 页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成本学案内容。

【学习目标】1.通过单位圆理解与的三角函数之间的关系.2.掌握诱导公式1.8～1.14,应用诱导公式进行求值,化简.3.通过诱导公式的推导,培养学生主动探索,勇于发现的科学精神。

【重点难点】重点：诱导公式的推导及灵活运用,如三角函数式的求值,化简和证明等. 难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识.一、知识链接1.角α与-α的正弦函数,余弦函数的关系式是2.角α与απ±的正弦函数,余弦函数的关系式是3.角α与πα-的正弦函数,余弦函数的关系式是二.教材助读角α与2πα+的正弦函数,余弦函数的关系:设锐角α的终边与单位圆交于点p (a,b)，则角2πα+的终边与单位圆交于点1p ，由平面几何知识可知，点1p 的坐标为（,b a -）. 所以,点p 的横坐标cos α与1p 的纵坐标sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭相等。

即______________________________________________. 点p 的纵坐标sin α与点1p 的横坐标co s 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的绝对值相等且符号相反，即______________________________________________三、预习自测1．补全下列正弦函数，余弦函数的诱导公式，并熟记。

()sin 2k πα+=_______,()cos 2k πα+=_______(1.8)()sin α-=_______,()cos α-=________(1.9)()sin 2πα-=_______,()cos 2πα-=_____(1.10)()sin πα-=_______,()cos πα-=_______(1.11)()sin πα+=_______()cos πα+=_______(1.12)sin 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭=______cos 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭=_______(1.13) sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=_______,cos 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=________(1.14) 总结：任意负角的正余弦函数用公式1.8或1.9；任意正角的正余弦函数用公式1.8； 0～2π角的正余弦函数用公式1.10～1.14. 2．求下列函数值:(1) 5sin 24ππ⎛⎫+⎪⎝⎭: (2) 55sin 6π⎛⎫-⎪⎝⎭预习案(3) 5115sin cos sin cos 6464ππππ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1.化简: ()()()()()3sin 2cos 3cos 2sin sin 3cos ππαπααπαπααπ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-+---2在单位圆中,已知角的终边与单位圆的交点是34(,)55p --,分别求角α，2πα+，2πα-的正弦函数值，余弦函数值。

4.4单位圆的对称性与诱导公式

4.4单位圆的对称性与诱导公式教学分析本节教学内容的安排是学生学过的三角函数定义等知识的延续和拓展.根据上一节任意角的正弦、余弦函数的定义，我们知道某角的三角函数值是由该角的终边上点的坐标给出的.我们根据这一点，即三角函数的定义，结合角α的终边与角π+α，-α，π-α的终边的对称性，找出这些角的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系，并利用这些关系求一些角的三角函数值，化简一些三角函数式，即我们不仅要探索出这些关系式，还要掌握并能利用它们解决一些简单的问题.诱导公式是求三角函数值的基本方法，求三角函数值是三角函数中的重要问题之一.诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°-90°角的三角函数值问题.诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力、,掌握数学的思想方法具有重大的意义.在本节诱导公式的学习中，关键是紧紧抓住单位圆这一图形工具，充分利用数形结合思想，将化归思想贯穿始终，这些典型的数学思想，无论在本节中的分析导入,还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，都清晰地得到体现.在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中，让学生了解化归思想，形成初步的化归意识，特别是在本课时的几个转化问题引入后，为什么确定180°+α角为第一研究对象，-α角为第二研究对象，正是化归思想的运用.本节内容的重点是诱导公式的推导及运用，在公式的推导中，首先确定180°+α角、-α角的终边与角α的终边有何位置关系，找出它们与单位圆交点的坐标，由正弦函数、余弦函数的定义得出结论.另外，运用公式进行一般的化简，实际上也是熟悉公式、巩固公式的一种方法，因此它同样属于本课时的重点之一.本节课教学方法主要采用了引导、观察、分析、归纳、讨论、类比发现法，在教案设计过程中，一是立足于知识的发生、发展形成过程，不断创设问题情境，让学生从已有的知识及感知中去观察、分析、总结公式的特点提炼公式的含义；二是力求以学生为主体，对课本上内容进行重新处理，特别是通过设疑和学生间互相讨论，以及画图思考来引导学生发展思维，获取新知识，形成技能.这样既注重学生的认知结构培养，也体现数学教学是数学思维活动过程的教学；三是注重数学思想方法，如数形结合、化归、类比等数学思想方法，把握数学中最本质的东西，为学生进一步学习数学奠定坚实的基础.三维目标1.通过学生的探究，明确三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想.2.通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式，并通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.3.通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识及学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辩证唯物主义思想，提高分析问题和解决问题的能力,体会数学式子的简洁美、对称美以及数学式子变化的无穷魅力.重点难点教学重点：诱导公式的推导及灵活运用，如三角函数式的求值、化简和证明等.教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识.教学过程第1课时一、导入新课(复习引入)我们前面利用单位圆得到了任意角的正弦、余弦函数，周期函数，最小正周期等概念.它在转化任意角的三角函数中所起的作用是什么呢？从周期函数的概念中我们知道正弦、,余弦函数值每隔2π就会重复出现，那么在单位圆中是怎样体现的呢？有什么内在的联系呢？由此引入新课.提出问题1.让学生回忆任意角的正弦、余弦函数是怎样定义的？2.单位园中的三角函数线是怎样定义的？3.角与角之间的三角函数会有怎样的关系？二、推进新课、新知探究诱导公式的推导：1.α与-α的正余弦函数关系：动手：在单位圆中画出α与-α的角的终边：思考：结合三角函数定义，利用单位圆的对称性，你能得到什么结论？结论：sin(-α)= - sinα；cos(-α)=cosα思考：●除了定义，你能否利用单位园中的三角函数线进行推导？学生讨论并推导（略）●从以上定义你如何认识sin 与cos的性质？（提示：奇偶性）2、α与α+π，α-π的正余弦函数关系：动手：在单位圆中画出α与α+π，α-π的角的终边：思考：结合三角函数定义，利用单位圆的对称性，你能得到什么结论？结论：sin(α+π)= - sinα；cos(α+π)= - cosαsin(α-π)= - sin α；cos(α-π)= - cos α思考：●除了定义，你能否利用单位园中的三角函数线进行推导？学生讨论并推导（略）3、α与π-α的三角函数关系：动手：在单位圆中画出α与π-α的角的终边：思考：结合三角函数定义以及三角函数线，再利用单位圆的对称性，你能得到什么结论？结论：sin(π-α)=sinα；cos （π-α)=-cosα.三、应用示例例1 求下列各角的三角函数值： (1)sin(-47π); (2)cos 32π; (3)cos(-631π). 活动:本例是直接运用公式的题目，目的是让学生熟悉公式，初步体会公式的简单应用.通过练习,加深对公式的理解，逐步达到正确熟练的公式应用.解答时可让学生观察题目中角的范围，对照公式找出哪个公式适合解决这个问题，可让学生独立解答，对个别有困难的学生教师对其适时的点拨引导.解:(1)sin(-47π)=-sin 47π=-sin(2π-4π)=-(-sin 4π)=sin 4π=22 (2)cos 32π=cos （π-3π)=-cos 3π=-21 （3)cos(-631π)=cos 631π=cos （4π+π+6π)=cos （π+6π)=-cos 6π=-23. 点评:利用公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般可按下列步骤进行：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→0-2π三角函数→锐角三角函数，这种变化体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.教师应提醒学生注意：这仅仅是一种转化模式或求解思路，不要记诵这个步骤.在实际解题中只要灵活地应用公式求解，明确先用哪个公式、后用哪个公式是没有什么固定要求的，否则就违背了学习的本质要义，解题就成了死解题、解死题，可谓题目解了千千万万，一到考试不得分，其学习当然也就成了死学习，越学越不得要领，结果把自己本来的灵活学成了呆板.如本例(1)完全可以这样来解： sin(-47π)=sin(-2π+4π)=sin 4π=22.变式训练利用公式求下列三角函数值：(1)cos(-510°15′); (2)sin(-317π). 解:(1)cos(-510°15′)= cos510°15′=cos (360°+150°15′)=cos150°15′=cos (180°-29°45′)=-cos29°45′=-0.868 2. sin(-317π)=sin(3π-3×2π)=sin 3π=23四、课堂小结由学生回顾本节课的学习过程，归纳总结本节课所学到的数学知识及数学思想方法.本节的重点是公式的推导过程及应用.在突出重点的同时，要抓住公式结构特点，善于记忆公式.如本节公式：-α,π±α,2π-α的三角函数值等于它的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，也可简单记忆为：“函数名不变，符号看象限”；切实掌握利用单位圆探究问题的数形结合思想，掌握由未知向已知转化的化归思想,并且在合作探究中学会交流，提高我们的合作意识和探究能力.五、作业课本习题1—4 4、5、6.六、设计感想及反思本课的教学设计是依据新课程标准和学生已有知识水平和思维能力，按照“教师为主导，学生为主体，思维为主线”的原则而设计的.教师的主导作用在于激发学生的求知欲，为学生创设探索的情境，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问题. 本教案的设计思路是：采用问题设疑，观察演示，步步深入，层层引发，引导联想、类比，进而发现、归纳的探究式思维训练教学方法.旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程.在教师适时的启发点拨下，学生在类比、归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律(公式)，培养学生的创新意识、创新精神和灵活思维能力.。

【素材】单位圆的对称性与诱导公式

单位圆的对称性与诱导公式教学设计一、教材分析:“单位圆的对称性与诱导公式”是北师大版必修4第一章第四节，其主要内容是三角函数的诱导公式推导和应用.它是圆的对称性的“代数表示”.利用对称性，探究角的终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，体现“数形结合”的数学思想；诱导公式的主要用途是把任意角的三角函数值问题转化为求锐角的三角函数值，体现“转化”的数学思想.诱导公式学习还反映了从特殊到一般的归纳思维形式，对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力具有积极的作用.本节教学内容为公式2,3,4.二、学情分析:本节课的授课对象是本校高一文科实验班同学，本班学生水平处于中等偏下，但学生具有善于动手的良好学习习惯，并且学生已经掌握了正、余弦函数的定义以及它们的周期，所以采用发现式和启发式的教学方法，学生可以探究出诱导公式.三、教学目标:1.知识与技能借助单位圆，推导出诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，掌握有关三角函数求值问题.2.过程与方法经历诱导公式的探索过程，体验未知到已知、特殊到一般的转化过程，培养化归思想.3.情感、态度与价值观通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度.在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神.四、教学重点和难点1.教学重点理解并掌握诱导公式.2.教学难点探究角α与角-α终边位置的几何关系,发现由终边位置关系导出(与单位圆交点)的坐标关系,运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图,正确运用诱导公式,求三角函数值,化简三角函数式.五、教学过程设计教学环节教师活动预设学生行为设计意图一：课题引入问题1：在单位圆中，任意角α的正弦、余弦函数是怎样定义的？问题2：用已学的知识能不能求下列三角函数值：（1）sin3π，（2）sin(-3π)，（3）sin43π（4）sin23π.1.给学生2分钟左右的时间独立思考，教师请1小组代表回答问题12.抓住学求-3π，43π，23π的三角函数值时产生思维上认识的冲突，引出课题《单位圆的对称性与诱导公式》.1.学生口述三角函数的单位圆定义：sin=y,cos=x.2.学生独立思考，小组内部交流，可能会尝试用定义解答.3.根据教师的引导产生探索新知识的欲望.1.三角函数的定义是学习诱导公式的基础.2.设置问题情境，产生知识冲突，引发思考，既调动学生学习积极性，激发探究欲望，又顺利导入新课.三：自主合作探究公式2 、公式3 1.引导学生回顾刚才探索公式2的过程，明确研究三角函数诱导公式的路线图：角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系.为学生指明探索公式3、公式4的方向.2.探究：（1）角π+a和角a的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？（2）角π-a和角a的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？3.组织学生分组探索角π+a和角a、角π-a和角a的三角函数之间的关系.先让学生先独立思考，然后小组交流.在学生交流时教师巡视，让两个小组拿探究成果展台展示.同时派出优秀学生到其他小组提供帮助.4、汇总成果，并求解sin43π和sin23π值5、归纳出公式的口诀：函数名不变，符号看象限.1.体会研究诱导公式的线路图.画出图形，先独立思考尝试自主解答，一定时间后在组长的带领下展开组内讨论.2. 2至3名中等学生到黑板上展示，其他学生分组讨论.3.观察教师的动画演示，验证讨论的结论.得到公式3：sin（π＋）=-sinα，cos（π＋α）=-cosα公式4：sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，4.学生先自由发言，尝试归纳公式的特征.然后在教师的引导下小组交流讨论形成对公式的正确认识.归纳出公式的特征：的三角函数值，等于 a 的同名函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符合，得到公式1.8～1.12在经历思考问题－观察发现－到一般化结论的探索过程，从特殊到一般，数形结合，学生对知识的理解与掌握以深入脑中，此时以类同问题的提出，大胆的放手让学生分组讨论，重现了探索的整个过程，加深了知识的深刻记忆，对学生无形中鼓舞了气势，增强了自信，加大了挑战.而新知识点的自主探讨，对教师驾驭课堂的能力也充满了极大的挑战.彼此相信，彼此信任，产生了师生的默契，师生共同进步.四：公式运用 1、随堂练习：教材20P 第一题集体核对答案 2、教材20P 的例题：利用公式求下列各三角函数值： (1) 7sin()4π- ; (2)2cos 3π（3）cos （-316π）. （1）让3小组展示解题过程，组织全班学生观察纠错. （2）.引导学生归纳用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数的一般步骤. 3、反馈练习：学生独立完成，组内核对解题方法和步骤，选2组的学习成果展台展示 1.学生独立完成练习.2.观察小组代表投影出的解答过程，提出自己的看法.3.通过例题和反馈练习这的解答体会、叙述用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数的一般步骤：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→0~ 的三角函数→锐角的三角函数.1.巩固所学公式.调整课本例题所求三角函数值，让知识显得更全面.2.观察、欣赏黑板上的解答，形成规范格式，培养敢于质疑的品质.体会化归思想. 学生学习活动评价设计(1)今天所学内容是什么，新的知识我掌握了吗?自己的课前理解与教师讲解后的差别在哪儿?(2)例题涉及哪些数学思维方法、数学思想方法,这些思想方法是怎样应用的,应用的过程有什么特点,这样的方法是否在其它地方应用过.(3)课上不懂的地方,如何弄清楚?另外,还可对学习态度、情绪、意志自我评价. 这样,就给学生在课后理清自己的思想、评价自己的学习情况、自我评价自己的学习过程创造了条件,从而能够逐步培养学生的自我评价习惯.教学反思1、在本节课的教学过程中，本人以学生为主题，以发现为主线，尽力渗透类比、化归、数形结合等数学思想方法，采用提出问题、启发引导、共同探究、综合应用等教学模式，还给学生“时间”、“空间”，由易到难，由特殊到一般，尽力营造轻松的学习环境，让学生体味学习的快乐和成功的喜悦.2、预期效果：本节课预期让学生能正确理解诱导公式的发现、证明过程，掌握诱导公式，并能熟练应用诱导公式了解一些简单的化简问题.3、欠缺之处:备课不仅要备教材还要备足学生.由于对学生的学习习惯和知识水平预判不够，导致在课堂上学生“引而不发”等现象.赣县中学——刘小兰 11.cos(3),4cos παα-=-已知求的值.2.cos(3)sin()sin()cos(3)πααπαππα+⋅+--⋅-化简：。

高一数学《单位圆的对称性与诱导公式》教案

高一数学《单位圆的对称性与诱导公式》教案高一数学《单位圆的对称性与诱导公式》教案【学习目标】1、感受数学探索的成功感，提高学习数学的兴趣；2、经历诱导公式的探索过程，感悟由未知到已知、复杂到简单的数学转化思想。

3、能借助单位圆的对称性理解记忆诱导公式，能用诱导公式进行简单应用。

【学习重点】三角函数的诱导公式的理解与应用【学习难点】诱导公式的推导及灵活运用【知识链接】（1）单位圆中任意角α的正弦、余弦的定义（2）对称性：已知点P(x,y)，那么，点P关于x轴、y轴、原点对称的点坐标【学习过程】一、预习自学阅读书第19页——20页内容，通过对－α、π－α、π＋α、2π－α、α的终边与单位圆的交点的对称性规律的探究，结合单位圆中任意角的正弦、余弦的定义，从中自我发现归纳出三角函数的诱导公式，并写出下列关系：(1)- 407[导学案] 4.4单位圆的对称性与诱导公式与 407[导学案] 4.4单位圆的对称性与诱导公式的正弦函数、余弦函数关系(2)角407[导学案] 4.4单位圆的对称性与诱导公式与角407[导学案] 4.4单位圆的对称性与诱导公式的正弦函数、余弦函数关系(3)角 407[导学案] 4.4单位圆的对称性与诱导公式与角407[导学案] 4.4单位圆的对称性与诱导公式的正弦函数、余弦函数关系(4)角 407[导学案] 4.4单位圆的对称性与诱导公式与角407[导学案] 4.4单位圆的对称性与诱导公式的正弦函数、余弦函数关系二、合作探究探究1、求下列函数值，思考你用到了哪些三角函数诱导公式？试总结一下求任意角的三角函数值的过程与方法。

（1） 407[导学案] 4.4单位圆的对称性与诱导公式（2） 407[导学案] 4.4单位圆的对称性与诱导公式 (3)sin(－1650°)；探究2: 化简： 407[导学案] 4.4单位圆的对称性与诱导公式407[导学案] 4.4单位圆的对称性与诱导公式（先逐个化简）探究3、利用单位圆求满足 407[导学案] 4.4单位圆的对称性与诱导公式的角的集合。

§4.3单位圆与诱导公式(一)

高一年级数学学科编号：26 班级：学生姓名：设计人：史旭龙审核人：安仓娃课题：§4.3单位圆与诱导公式（一）【学习目标】理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简【学习重点】诱导公式的推导及应用；【学习难点】相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识.第一部分【自主学习】1、由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同名三角函数值相等（即角α与2kπ+α的同名三角函数）．即公式一：。

2、角α的终边与角¯α的终边关于x轴对称，α与¯α的三角函数值之间的关系为：公式二：。

3、角2π-α与角α的三角函数值之间关系公式三：.4、、角α的终边与角α±π的终边关于原点对称，α与α±π的三角函数值之间的关系为：公式四：。

5、角α的终边与角π-α的终边关于y称，α与π-α的三角函数值之间的关系为：公式五：。

第二部分【合作探究】1、求下列三角函数值：（1）7sin()4π-；（2）31cos()6π-；（3）2cos()3π2、利用单位圆，求适合cos 22-=α 第三部分【课堂练习】1、完成下列公式sin(2)k πα+= cos(2)k πα+=sin()α-= cos()α-=sin(2)πα-= cos(2)πα-=sin()πα-= cos()πα-=sin()πα+= cos()πα+=2、化简)2cos()2sin()5sin()3cos(αππαπαπα-⋅-⋅+-第四部分【课后反思】相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识；诱导公式的推导及应用。

单位圆的对称性与诱导公式

单位圆的对称性与诱导公式（第一课时）说课稿焦作市第十二中学赵缘山各位评委、各位老师：大家好！今天我说课的题目是《单位圆的对称性与诱导公式》（第一课时）。

下面，我将从教材分析、教法与学法分析、教学过程以及教学评价四个方面进行论述。

一、教学分析教学分析包括四部分：位置作用、学情分析、教学目标、教学重难点。

<一>本节课的位置与作用《单位圆的对称性与诱导公式》位于普通高中课程标准实验教科书北师大版必修四第一章第四节的第四小节，诱导公式的本质是将απ+2k 的三角函数转化为α的三角函数。

本节为第一课时，主要内容是α与α-、πα±、απ-的正余弦函数的诱导公式。

在此之前，我们在第一节刚学习了任意角α在单位圆中正余弦函数的定义及正余弦函数的周期性（即α与παk 2+的诱导公式），在此基础上我们推导出诱导公式，从而可以对三角函数进行求值、化简及证明，也为三角函数的图像与性质的研究打下基础。

所以诱导公式可以认为是三角函数的定义的延伸和应用，体现了三角函数之间的内在联系，在三角函数知识的学习中起到承上启下的作用。

<二>学情分析学生在知识上已掌握了三角函数的定义和各象限的符号和单位圆的相关内容，已具备了一定的逻辑推理能力和抽象思维，但是更善于形象思维，更喜欢借助图形分析问题，所以我们要借助单位圆的几何直观性研究诱导公式，更利于学生理解掌握。

<三>教学目标根据上述位置作用、学情分析和《新课标》“以学生为主体”、“倡导学生动手实践、自主探索和合作交流”要求，制定如下三维目标：知识与技能掌握α与α-、πα±、απ-的正余弦函数的诱导公式，能正确运用这些公式将任意角的正余弦函数化为锐角的正余弦函数，未知化为已知，化简和恒等式的证明等。

过程与方法借助单位圆中的对称关系，让学生经历诱导公式的探索过程，体验从具体形象到抽象概念，从特殊到一般的转化过程，培养学生数形结合和化归思想，体验数学思想的逻辑性和严密性。

4.3单位圆与诱导公式

sin(π－α)＝sin α 诱导公式三 cos(π－α)＝－cos α
tan(π－α)＝－tan α
[π/2, π)转化为[0, π/2)
sin(－α)＝－sin α 诱导公式二 cos(－α)＝cos α [-π/2, 0)转化为[0, π/2)
tan(－α)＝－tan α
负化正
知识点四诱导公式四
1、第三象限角与第一象限角的关系？ 2、角α与角π＋α有怎样的关系？
3、角π＋α的终边与单位圆的交点 P3(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点 P(cos α，sin α)有怎样的关系？
sin(π＋α)＝－sin α 诱导公式四 cos(π＋α)＝－cos α
tan(π＋α)＝tan α
[π, 3π/2)转化为[0, π/2) [π, 2π)转化为[0, π)
但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义.
2.诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用.( × )
题型一、给角求值问题
例1 求下列各三角函数式的值. (1)cos 210°；解 cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝
(4)cos(－1 920°). .
(4)cos(－1 920°). 解 cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(5×360°＋120°) ＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝ .
2、求下列各三角函数式的值. (1)sin 1 320°；
(3)tan(－945°).
解方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝ . 方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝ .

1.4.3.1单位圆与诱导公式——导学案

αα+180x yP(x,y)P′(-x ，-y)MM′O(4-5-1)单位圆与诱导公式（一）使用说明：1.阅读探究课本2017-p 页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成本学案内容。

【学习目标】（1）进一步熟悉单位圆中的正弦线；（2）理解三角函数诱导公式的推导过程；（3）掌握三角函数诱导公式的运用；（4）能了解诱导公式之间的关系，能相互推导。

【重点难点】重点：正弦函数的诱导公式；难点：诱导公式的灵活运用。

一、知识链接我们已经学习了任意角的三角函数定义，以及终边相同的角的正弦函数值也相等，即=︒⋅+)360sin(k α=︒⋅+)360c o s (k α（其中Z ∈k ）这公式体现了求任意角的正弦函数值转化为求0°～360°的角的三角函数值。

如果还能把0°～360°间的角转化为锐角的三角函数，那么任意角的三角函数就可以查表求出。

二.教材助读１．角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系２．角α与α±π的正弦函数、余弦函数的关系３．角α与π－α的正弦函数、余弦函数的关系三、预习自测 1.求下列函数值（1）sin 45π； (2) cos210º(3)sin(－1650︒)； (4)cos （－５１７π)2. 化简：)sin()5cos()4cos()3sin(αππαπααπ--⋅---⋅+预习案 αα-xy P(x,y)P′(x ，-y)M O(4-5-2)基础知识探究在单位圆中，角α的终边与单位圆交于点Ｐ（135-，1312）求－α、α±π与π－α的正弦函数、余弦函数的值。

综合应用探究求满足cos α≦21的角的集合。

（提示：可以先利用单位圆作出cos α=21的余弦线，然后再考虑比它小的余弦线对应的角的集合）当堂检测1.求下列函数值（1）sin(－4９π) （2）cos （－４２３π）2.已知A 、B 、C 是ABC ∆的内角，求证：A C B A sin )2sin(-=++。

数学4.3单位圆与诱导公式

4.3 单位圆与诱导公式
一回忆旧知做好准备同学们回忆一下任意角的正弦、 1 同学们回忆一下任意角的正弦、余弦函数的定义？的定义？回忆不起来的翻阅课本相关内容
sin α = y
y P (x,y)
cos α = x
o
x
同学们回忆终边相同的角2kπ 2kπ＋ 2. 同学们回忆终边相同的角2kπ＋α k∈Z）（k∈Z）与α的正弦函数值和余弦函数值之间的关系？数值之间的关系？
sin(2kπ + α ) = sin α
cos( 2 kπ + α ) = cos α
3.你能求sin750° sin930°的值吗？ 3.你能求sin750°和sin930°的值吗？你能求sin750
4.利用上述公式， 4.利用上述公式，可将任意角的三角函利用上述公式数值，转化为0 数值，转化为00～3600范围内的三角函数值. 数值.其中锐角的三角函数可以查表计而对于90 算，而对于900～3600范围内的三角函数如何转化为锐角的三角函数值，值，如何转化为锐角的三角函数值，是我们需要研究和解决的问题. 我们需要研究和解决的问题.
利用公式二、 4 利用公式二、三，你能否得到π-α 与
α的正弦、余弦函数值的关系？的正弦、余弦函数值的关系？的正弦
sin(π −α ) = − sin( − π ) = −(− sinα ) = sinα α
cos( π − α ) = cos( α − π ) = − cos α
5 哪位同学说说，这些公式有什么特点，如哪位同学说说，这些公式有什么特点，何记忆？何记忆？ sin(−α) = − sin α 总结：总结： cos(−α ) = cosα
sin(2kπ + α ) = sin α

高中数学角函数单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式()

解析 ∵x∈－π6，π6，∴结合单位圆知 sin x∈－12，12，即－12 ≤2m＋3≤12.∴－74≤m≤－54. 答案 C
12/13/2021
3．在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称 .若 sin α＝13，则 sin β＝________．
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【预习评价】 1．视α为锐角，则诱导公式中各角所在象限是什么？试完成下
表.
角 2kπ＋α π－α π＋α －α 2π－α
所在象限一
二
三 __四___ __四___
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2.设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？试完成下表.
12/13/2021
2．化简三角函数式的策略 (1)化简时要使函数类型尽量少，角的弧度数(或角度数)的绝对值尽量小，特殊角的正弦、余弦函数要求出值． (2)要认真观察有关角之间的关系，根据需要合理选择诱导公式变角.
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课堂达标
1．sin 585°的值为( )
A．－
2 2
2 B. 2
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知识点2 2kπ±α，－α，π±α(k∈Z)的诱导公式
对任意角α，有下列关系式成立：
sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α. (1.8)
sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.
(1.9)
sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α. (1.10)
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题型二正弦函数、余弦函数的值域问题【例2】求下列函数的值域：

5.单位圆与诱导公式

第5讲单位圆与诱导公式考点1诱导公式组一口诀：函数名不变，符号看象限.1. ()sin 2sin k παα+=， ()cos 2cos k παα+=． ① 求值：sin 390= ；cos 420= .2. ()sin sin αα-=-， ()cos cos αα-=．如图，角α的终边与单位圆的交点为P ,则点P 的坐标为，角α-的终边与单位圆的交点为Q ,则点Q点P 与点Q 关于x 轴对称，则(sin -()cos α-= .②求值：sin(390)-=；cos(函数()sin f x x =是（奇偶性）；函数()cos f x x =是（奇偶性）； 3. ()sin sin παα+=-， ()cos cos παα+=-．如图，角α的终边与单位圆的交点为P ,则点P 的坐标为，角πα+的终边与单位圆的交点为Q ,则点Q 的坐标为 . 点P 与点Q 关于原点对称，则()sin πα+= ，()cos πα+= .③求值：sin 210= ；cos(210)-= . 4. ()sin sin παα-=， ()cos cos παα-=-． ④求值：sin150= ；cos120= . 考点2 诱导公式组二口诀：函数名称变，符号看象限．5.sin()cos 2παα-= cos()2πα-=6.sin()2πα+= cos()sin 2παα+=-π7. sin()2πα-= cos()2πα-=考点3 诱导公式的应用考法1 求任意角的三角函数 1.求下列三角函数值（1）0cos945 （2）35sin6π （3）100sin()3π-考法2 给值求值1.已知1sin()32πα-=，则cos()6πα+= ；2.已知cos()6πα-=，则5cos()6πα+= .考法3 灵活多变1.已知,,A B C 是三角形ABC 的三个内角，求证：（1）sin()sin A B C += （2）cos()cos A B C +=-，（3）sincos 22A B C+= （4）cos sin 22A B C+= 2.已知0sin10k =，则0cos620= . 3.已知()sin f x x =，则下列式子成立的是 A. ()sin f x x π+= B. (2)sin f x x π-=C. ()cos 2f x x π-=- D. ()()f x f x π-=-4.如果1cos 5α=，且α是第四象限的角，那么cos()2πα+= .5.已知函数()cos 2xf x =，则下列等式成立的是A. (2)()f x f x π-=B. (2)()f x f x π+=C. ()()f x f x -=-D. ()()f x f x -= 6.已知()sin()cos()4f x a x b x παπβ=++++（,,,a b αβ均为非零实数），(2015)5f =，则(2016)f = .。