求矩阵初等变换化为行最简行形的技巧T
3-1.初等变换化简矩阵
为零. m r O F O O mn 此标准形由m , n, r 三个数唯一确定，其中r 就是
行阶梯形矩阵中非零行 的行数.
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换
化为行最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换 化为标准形矩阵. 下面我们还是通过例子来说明该定理.
Ex1：将以下矩阵化为行最简形
1 0 2 1 2 0 3 1 1 3 0 4 3
1 3 3 2 3 1 3 2 3 3 5 3 4 4 3 4 1 2 0 2 1
0 2 3 1 2 0 3 4 3 0 4 7 1
克莱姆法则中，要求：
１．未知量的个数
方程的个数
２．系数行列式 det A 0 而线性方程组的一般形式为 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm 如 x1 2 x2 6 x3 2 x4 3 7 x1 0.5 x2 x3 x4 1
若( A) 若( A)
i
i
k k
j
( B ), 则( B ) ( B ), 则( B )
i
i
k ( A); k
j
( A).
由于三种变换都是可逆的, 所以变换前的方程组与 变换后的方程组是同解的. 故这三种变换是同解变换. 因为在上述变换过程中, 未知量并未参与本质性 运算, 仅仅只对方程组的系数和常数进行运算.
行 最 简 形
利用矩阵的初等行变换将矩阵化为行阶梯形和 行最简形是解决矩阵问题的主要方法之一. 同学们应该熟练掌握.
求矩阵初等变换化为行最简行形的技巧T
求矩阵初等变换化为行最简行形的技巧T在线性代数中，矩阵初等变换是指用一些特殊的线性运算，如行交换、行乘以非零常数、行减去另一行的倍数等，将一个矩阵转换为另一个矩阵的过程。
矩阵初等变换重要的一个特性是，变换后的矩阵能够保留原矩阵的秩。
一个矩阵初等变换能够将一个矩阵化为行最简型有多种方法，这些方法称为行最简化算法，它们主要包括：(1)将一个矩阵化为行最简型的一个传统方法是高斯-约当消去法。
首先，我们将矩阵的第一列除以该列中主元素的系数，使其变成1。
接下来，我们用第一列的1乘以其它行的系数，减去其它行中的主元素，使之变成0.接着，我们将矩阵的第二列除以该列中第一个非零元素的系数，使其变成1，并用第二列的1乘以其它行的系数，减去其它行中的第二个非零元素，使之变成0.同理，我们可以将矩阵的其他列除以各列中第一个非零元素的系数，乘以其它行的系数，减去其它行中的非零元素，使之变成0.通过这样的方法，我们可以把矩阵化为行最简型。
(2)另一种将矩阵化为行最简型的方法是小列式消去法，这种方法的基本思想是对一个小列式求导，从而获得化简该矩阵的一系列消元操作。
具体来说，首先将矩阵分解为一系列小列式，每个小列式由矩阵中的某些行、某些列的元素组成。
然后针对每个小列式求导，并根据求导结果，应用初等变换将矩阵中的其他元素消去，直到矩阵变成行最简型。
(3)Schönhage-Arne方法是一种更先进的方法，现在已有许多文献报道了Schönhage-Arne方法可以有效地将一个矩阵化为行最简型，并且在大多数情况下可以较快地实现。
具体而言，Schönhage-Arne方法基于一种新技术——位运算（bit-operation），以一种新的方式标记每个数，使用户可以通过位运算快速地将某个矩阵化为行最简型。
总之，矩阵初等变换化为行最简型的技巧大致可以分为高斯-约当消去法、小列式消去法和Schönhage-Arne方法等，它们都可以有效地将矩阵化为最简型，而且在实践中也都非常有效。
线性代数矩阵的初等变换
r2 （ 2） 1
r3
（
1）
0 0
0 1 0
0 0 1
3 2 1
23 ， 3
3 2 X 2 3.
1 3
如果要求Y CA1,则可对矩阵 A作初等列变换， C
A 列变换 E
C
CA1
,
即可得Y CA1.
也可改为对( AT ,CT ) 作初等行变换，
行变换
（AT , CT )
a23 a33
a11 a12 a13 a14
a21
a22
a23
a24
a31 a32 a33 a34
矩阵 A 的一个 2 阶子式
a12 a13 a22 a23
矩阵 A 的一个 2 阶子块
a12 a13
a22
a23
定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)．
口诀：左行右列. 定理3.2 设A是一个 m×n 矩阵， ✓对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； ✓对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
定理3.3 方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl，使 A = P1 P2 …, Pl ．
r3 3r1 0 2 6 2 12
r1 r2 r3 r2
1 0 2 1 4 0 2 5 1 9 0 0 1 1 3
r1 2r3 1 0 0 3 2
r2 5r3
0 0
2 0 4 6 0 1 1 3
矩阵的初等变换及应用的总结
矩阵的初等变换及应用内容摘要：矩阵是线性代数的重要研究对象。
矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。
一矩阵的概念定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵二矩阵初等变换的概念定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换1.初等行变换矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:(1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作);(2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作);(3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为).1.初等列变换把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:(1) 反身性;(2) 对称性若,则;(3) 传递性若,,则.三矩阵初等变换的应用1.利用初等变换化矩阵为标准形定理：任意一个m×n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形2.利用初等变换求逆矩阵求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A¦E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1)即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时，若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。
设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵，为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即.这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法.同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即.3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R（A）=R(B)为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵解体矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩利用矩阵值得概念，能够讨论线性方程组有解的条件，然后通过研究向量组的线性相关性，向量组的秩等重要概念，讨论线性方程组的结构。
线性代数矩阵的初等变换及其性质
行最简形矩阵：
4. 非零行的第一个非零元为1; 5. 这些非零元所在的列的其它
元素都为零.
1 0 1 0 4
0
0
1 0
1 0
0 1
3 3
B5
0
0
00
0
c3 c4
c4 c1 c2 c5 4c1 3c2 3c3
1 0 0 0 0
0
0
x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
2 4 9
增广矩阵的比较
2 -1 -1 1 2 1 1 -2 1 4 (A b)= 4 -6 2 -2 4 3 6 -9 7 9
1 1 -2 1 4 2 -1 -1 1 2 4 -6 2 -2 4 3 6 -9 7 9
交换(A b) 的第1行与第2行
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
00
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
例 1 用初等行变换化为行简化阶梯形
12 3 45
12 3 45
~ A= 2 4 6 8 10
例2 阶梯形,行简化阶梯形，标准形
1 A 0
0
0 1 0
8 1 0
0 0 1
1
B
0 0 0
0 1 0 0
2 0 0 0
1 0 0 0
0 0 10
0 1 1 0 C 0 0 0 1
0 0 0 0
0 1 2 0 3 D 0 0 0 1 2
0 0 0 0 0
2.6 矩阵的初等变换
Amn (aij )mn :
D
Ir O(mr
)r
Or(nr )
O(mr )(nr )
2 1 2 3 例2 将矩阵 A 4 1 3 5 化为标准形.
2 0 1 2
例3 将下列矩阵化为标准形
1 0 1
A
2
1
0
3 2 5
定义 如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B 等价关系的性质： （1）自反性： A ~ A; （2）对称性： if A ~ B , B ~ A； （3）传递性： if A ~ B , B ~ C A ~ C.
a1n
a2n M amn
Im (i(k))A
a11 L
M
kai1 L
M
am1 L
a1n
M
kain M
(ri
)
amn
a11 L
AIn(i(k ))
M
am1 L
ka1i L M
kami L (ci )
a1n M amn
a11 L AIn(i, j(k )) M am1 L
a1i L M ami L (ci )
Im (i, j(k))A
a11
L
M
ai1 ka j1 L M
a j1
L
M
am1
L
a1 j ka1i L
M
amj kami L (cj )
a1n
M
ain
a jn
(ri
)
M
a jn
(
rj
)
amn
a1n
M amn
推论 如果A为n阶可逆矩阵，则矩阵A可经过有限次的
线性代数课件 矩阵的初等变换
第i列
第 j列
11
(2) 以数 k 0 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。
以数k 0乘单位矩阵的第i行( ri k )，得初等 矩阵E ( i ( k )).
1 1 E ( i ( k )) k 1 1
标准形矩阵
特点：左上角为一个单 位矩阵,其他位置上的元素全 都为 0 .
9
二、初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 1 0 0 r 4r 1 0 4 1 3 例如 E 0 1 0 ~ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
3
定义3 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作A ~ B．
等价关系的性质：
（1）自反性 A A；
（2）对称性 若 A B , 则 B A; （3）传递性 若 A B, B C, 则 A C.
4
行阶梯形矩阵：
特点： （1）可划出一 条阶梯线，线的 下方全为零； （2）每个台阶 只有一行，
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k; k ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .
第三节 矩阵的初等变换
6 3 9 3
(2) A r113
2 0
1 3 1 1 3 4
2 3 9 6
0 (3)A r13r3 0
6 18 21 1 3 4
定义2 矩阵的初等列变换:
设A是m n矩 阵,
(i) 对调A的两列(对调 i, j 两列, 记作 ci cj );
设A是m n矩阵,
(i) 对调A的两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj );
(ii) 以一个非零数 k 乘以A的某一行中的所有元素 (第 i 行乘以 k , 记作 kri );
(iii) 把A的某一行所有元素的 k倍加到另一行 对应的元素上去 (第 j 行的 k倍加到第 i 行上,记作 ri +krj).
定
，
其 中r就 是 行 阶 梯 形 矩 阵 中 非零 行 的 行 数.
(2)所 有与A矩 阵等 价 的 矩阵 组 成 的一 个集 合 ， 称 为一 个 等 价类. 标 准形F 是 这个 等 价 类中 形 状最 简 单 的矩 阵.
(3) 矩阵A可以 只通过初等行变换 化为 行阶梯形、行最简单形. 再通过初等列变换 化 为 标 准 形.
1 6 4 1 4
r2 r4
0 2 3
4 0 2
3 1 0
1 1
5 5
03
1 6 4 1 4
rr43 32rr11
0 0 0
4 12 16
3 9 12
1 7 8
1
1121
1 6 4 1 4
(ii) 以非零数k 乘以A的某一列中的所有元素 (第 i 列乘以 k , 记作 kci );
0301,矩阵的行最简化算法
《线性代数》· 0301· 矩阵的行最简化算法
三. 行最简化算法
定义3 矩阵的左起第一个非零列称为主元列，主元列顶端位置 称为主元位置，主元列中的非零元称为备选主元 . 将某个备选 主元移至主元位置得到主元.
主元列 主元位置
备选主元
《线性代数》· 0301· 矩阵的行最简化算法
第1步 确定矩阵的主元列. 第 2 步 选择主元：从备选 主元选择一个元素将其移 至主元位置. 第3步 利用主元向下消元.
《线性代数》· 0301· 矩阵的行最简化算法
•
1. 盖住第一行，第二列是 子矩阵主元列. 2. 主元位置上的元素是非 零，取该元素为主元. 3. 向下消元. 4. 盖住子矩阵的第一行， 只剩一行，循环结束.
《线性代数》· 0301· 矩阵的行最简化算法
行阶梯形矩阵
第5步 向上消元. 若非零行首元不是 1，用数乘变换将其变为 1. 再从最右边的首元素开始，顺次向左，将每个首元素上面的元素 变为 0.
《线性代数》· 0301· 矩阵的行最简化算法
问题 1 任意给定矩阵，能否利用矩阵的初等行变换，将 其化为行阶梯形或行最简形？
定理 任何矩阵都可以通过初等行变换将其化为行最简 形矩阵，并且行最简形是唯一的.
证明 前半部分用数学归纳法证明，唯一性的证明请参 考[2]中的附录A.
问题 2 将矩阵化成行最简形的具体步骤是什么？
全国高校数学微课程教学设计竞赛
全国高校数学微课程教学设计竞赛
知识点名称：0301 矩阵的初等变换来自一. 行最简化算法简介
•
在线性代数中，该算法不仅用来解决线性方程组解的存在性和 唯一性，也可以求解线性方程组；还可求矩阵的逆矩阵等等.
《线性代数》· 0301· 矩阵的行最简化算法
线性代数-矩阵的初等变换
求解未知量
根据行最简形式的矩阵，直接求解出未知量 的值。
案例分析：具体求解过程展示
案例一
01
简单线性方程组求解过程展示，包括构造增广矩阵、进行初等
变换和求解未知量等步骤。
案例二
02
复杂线性方程组求解过程展示，涉及更多未知量和更复杂的增
广矩阵，展示如何利用初等变换求解该类问题。
案例三
03
含参数线性方程组求解过程展示，通过引入参数，展示如何对
含参数的线性方程组进行求解和分析。
04 初等变换在矩阵秩计算中 应用
矩阵秩定义及性质
矩阵秩定义：矩阵A中不等 于0的子式的最大阶数称为
矩阵A的秩，记作r(A)。
矩阵秩的性质
矩阵的秩是非负的，且等于 其行秩或列秩。
若矩阵A可逆，则r(A)=n， 其中n为A的阶数。
若矩阵A为0矩阵，则 r(A)=0。
初等变换与矩阵的等价关系
通过初等变换，我们可以得到与原矩阵等价的矩阵。这种等价关系在线性代数中具有重要意义，它揭示了矩 阵之间的一种本质联系。
初等变换在求解线性方程组中的应用
通过对方程组的增广矩阵进行初等变换，我们可以将方程组化为简化阶梯形式，从而方便地求出方程组的解。
对未来研究方向和趋势展望
深入研究初等变换的 性质和应用
条件
01
非零行的首非零元为1；
02
首非零元所在列的其他元素全 为零。
03
性质
最简形矩阵是唯一的；
对于任意行阶梯形矩阵，总可
04
05
以通过初等行变换化为最简形
矩阵。
06
行阶梯形与最简形矩阵，二者都可以通过初等行变换得到。
区别
行阶梯形矩阵只要求非零行的首非零元所在列的上三角元素全为零，而最简形矩阵还要求非零行的首非零元为1， 且所在列的其他元素全为零。因此，最简形矩阵比行阶梯形矩阵具有更简洁的形式。
初等变换
(初等)倍法矩阵
以数k 0乘单位矩阵的第行(ri k )， i 得初等矩阵P(i(k )).
1 1 P(i (k )) k 1 1
第i 行
(初等)消法矩阵
以 k 乘 E 的第 j 行加到第i 行上 (ri krj ) [或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )，
1 12 1 P11 AP11 1 12 1 9 108 9
1 1 1 2 rr3 rr1 1 0 0 1 3 2 0 1 1 1 0 1 0 1 B B3 4 r2 r1 0 0 1 0 0 0 1 0 如果行阶梯形矩阵具有这样的特性：
r3 1 2
(1)非零行向量的第一的非零元素为1， (2)含这些元素的列的其他元素都为零， 则这个矩阵称为矩阵A的行最简形矩阵。 一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的.
例如 : 以 P(i(k )) 左乘矩阵 Amn，
a11 P (i (k )) A kai1 a m1 a12 kai 2 am 2 a1n kain 第i 行 amn
相当于以数 k 乘 A 的第i 行 (ri k )；
类似地，以 P(i(k )) 右乘 矩阵 A，其结果 相当于以数 k 乘 A 的第i 列 (ci k ).
P33， 2，例 : 设 a11 a A 21 a31 0 P 0 1 1 a12 a22 a32 a13 a31 a32 3a33 , B a a23 21 a22 3a23 a11 a12 3a13 a33 a33 a23 a13
初等变换
0 0
5 1
3 1
5
1
r2 r3
0 5r2 r3 0
1 0
1 2
1 0
这个矩阵称为行阶梯形矩阵。
行阶梯形矩阵的特点： （1）可画出一条阶梯线，线的下方元素全为0； （2）每个台阶只有一行。
所有元素为零的行都集中在矩阵最下面
（3）每行左起第一个非零元素称为非零元。
如果行阶梯形矩阵具有这样的特性：
(1)非零行向量的第一的非零元素为1，
(2)含这些元素的列的其他元素都为零， 则这个矩阵称为矩阵A的行最简形矩阵。
( 2)
2x1 x2 x3 1
(3)
解
(2)1 x1 x2 x3 2
2
2
x1
3x2
x3
1
(1) (2)
2x1 x2 x3 1 (3)
(2)(3)
(3)1 x1 x2 x3 2
2
2x1 3x2 x3 1
x2 x3 1
(1) 2(1)(2) x1 x2 x3 2
(2)
5x2 3x3 5
(3)
x2 x3 1
(1) (2) (3)
( 2)(3)
x x x 212源自3 5(2)(3)
x2 x3 1
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是线性代数中 一种重要的分析，计算工具。 不仅可用与求解逆矩阵， 线性方程组，矩阵的秩， 而且在矩阵的一些简化计算中有着广泛的应用
矩阵的初等变换
教学目的：通过本节的教学使学生了解矩阵十分重要 的运算——矩阵的初等变换、初等方阵的概念，掌握初等 变换的方法.
将矩阵化为行最简形矩阵的技巧
将矩阵化为行最简形矩阵的技巧矩阵是线性代数中一种重要的数学工具，它在各个领域都有广泛的应用。
在矩阵运算中，将矩阵化为行最简形矩阵是一项常见的操作，它可以简化矩阵的计算和分析过程。
本文将介绍一些技巧，帮助读者将矩阵化为行最简形矩阵，提高矩阵运算的效率。
1. 高斯消元法高斯消元法是一种经典的矩阵化简方法，它通过基本行运算将矩阵化为行最简形矩阵。
具体步骤如下：(1) 将矩阵的第一行作为基准行，将第一行的首个非零元素称为主元素。
(2) 使用倍乘和加减运算，将主元素所在列的其他元素化为零。
(3) 将主元素化为1，称为主元素归一化。
(4) 将下一行的首个非零元素作为新的主元素，重复以上步骤，直到将矩阵化为行最简形矩阵。
2. 列主元高斯消元法列主元高斯消元法在高斯消元法的基础上进行了改进，它每次选择列中绝对值最大的元素作为主元素，可以减少误差的积累，提高计算精度。
3. 列主元高斯-约旦消元法列主元高斯-约旦消元法是一种将矩阵化为行最简形矩阵的高效算法。
它通过选择列中绝对值最大的元素作为主元素，并使用倍乘和加减运算将主元素所在列的其他元素化为零，从而将矩阵化为行最简形矩阵。
4. 初等变换法初等变换法是一种通过初等变换将矩阵化为行最简形矩阵的方法。
初等变换包括三种操作：交换两行、某行乘以非零常数、某行乘以非零常数后加到另一行上。
通过使用这些操作，可以将矩阵化为行最简形矩阵。
5. 矩阵的秩矩阵的秩是判断矩阵是否为行最简形矩阵的重要指标。
矩阵的秩定义为矩阵的非零行数，一般用r表示。
当矩阵的秩等于行数时，矩阵为行最简形矩阵。
6. 矩阵的零空间矩阵的零空间指的是满足Ax=0的所有向量x的集合，其中A为矩阵。
当矩阵为行最简形矩阵时，可以通过观察矩阵的结构来求解零空间。
通过掌握以上技巧，读者可以更加高效地将矩阵化为行最简形矩阵。
在实际应用中，矩阵化简可以简化矩阵的计算和分析过程，提高计算的效率和准确性。
因此，掌握矩阵化简的技巧对于学习和应用线性代数具有重要意义。
矩阵的初等变换_2023年学习资料
方程组的同解变换与增广矩阵的关系-在解线性方程组的过程中，我们可以把一个方程变为另-一个同解的方程，这种变 过程称为同解变换-同解变换有：交换两个方程的位置，把某个方程乘以一个-非零数，某个方程的非零倍加到另一个方 上.-线性方程组与其增广矩阵相互对应，对方程组的变换完-全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换-把方程组的上 三种同解变换移植到矩阵上，就得到矩-阵的三种初等变换，-5
?矩阵初等变换举例-2--1-12-r1←今r2-11-4-1-2-14-3÷2-4-6-2-3--9-3 -7-2'3-2r1-0-5-1-3-r3t>r4--2r3-1-r2-00-.-3-可以证明，对于任何矩 A,总可经过有限次初等行变换-把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵-10
?矩阵初等变换举例-2--1-12--21-4--10-14-01--11-3-4-6--24-00-.-7-行最简形矩阵与线性方程组的解-因为有上述等价关系，所以有同解线性方程组-2x-x2-53+x4=2X3-=4-X+x2-2x3+x4=4-X2一X3-=3-4x-6x2+2x-2x4=4-4=-3-3x1 6x2-9x3+7x4=9-0=0-c+4-=x3+4-c+3-其解为x2=x+3,其x3为自由未知数.x -=C-七4=-3-其中c为为矩阵的初等行（列）变换：-对调两行（列）；-以非零数k乘某一行（列）中的 有元素；-3把某一行（列）的k倍加到另一行（列）上去：-初等变换的符号-rcC对调i,两行（列）；-换法变 -rkC×k表示第行（列）乘非零数k,倍法变换-r+krc+kc表示第行（列）的k倍加到第行（列）上.消法 换-这三种变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等-变换。-6
初等行变换技巧
初等行变换技巧初等行变换是矩阵论中的一个基本概念，也是线性代数中的重要内容。
初等行变换可以通过对矩阵的行进行一系列的操作来改变矩阵的形式，使得矩阵更易于计算和分析。
本文将介绍初等行变换的基本技巧和应用。
一、初等行变换的定义和分类初等行变换是指对矩阵的行进行以下三种操作之一：1. 交换任意两行；2. 用一个非零常数乘以一行；3. 把一行加上另一行的若干倍。
这三种操作称为初等行变换。
初等行变换可以改变矩阵的行向量组，但不改变矩阵的列向量组。
初等行变换可以用矩阵的乘法来描述，每一种变换对应一个矩阵。
对于一个n阶方阵A，可以通过一系列的初等行变换把它变成一个特殊的矩阵，称为阶梯形矩阵。
阶梯形矩阵的定义如下：1. 矩阵的第一行非零元素所在的列（称为主元所在列）在矩阵的第一列；2. 第二行非零元素所在的列在第一行主元所在列的右边；3. 第三行非零元素所在的列在第二行主元所在列的右边；4. 以此类推，每一行非零元素所在的列都在前一行主元所在列的右边。
阶梯形矩阵的最后一行可能全是零，也可能存在非零元素。
如果最后一行全是零，则称该矩阵为零矩阵；否则，称该矩阵为行最简矩阵。
二、初等行变换的基本技巧1. 交换任意两行交换任意两行可以通过交换这两行对应的行向量，从而改变矩阵的行向量组。
交换行向量不会改变列向量组，因此矩阵的秩不变。
交换行向量还可以改变矩阵的行列式的符号，因为每交换一次行向量，行列式的符号就要取相反数。
2. 用一个非零常数乘以一行用一个非零常数乘以一行可以通过对这一行对应的行向量进行伸缩变换，从而改变矩阵的行向量组。
用一个非零常数乘以一行不会改变列向量组，因此矩阵的秩不变。
用一个非零常数乘以一行还可以改变矩阵的行列式的值，因为每乘以一个非零常数，行列式的值就要乘以这个常数。
3. 把一行加上另一行的若干倍把一行加上另一行的若干倍可以通过对这两行对应的行向量进行加法运算，从而改变矩阵的行向量组。
把一行加上另一行的若干倍不会改变列向量组，因此矩阵的秩不变。
第二章 矩阵代数 S3_2矩阵的初等变换
1
i列
j列
1
i列
j列
i行
0
1
0
1
E
j行
1
0
1
0
1
1
因此： 类似可得:
(Eij )1 Eij
初等矩阵是可
( Eii
(k ))1
Eii
( 1 ),(k k
0)
逆矩阵，而且 它们的逆矩阵
(Eij (k))1 Eij (k)
也是初等矩阵.
16
几个定理性结论
1. 矩阵A与B等价
有初等矩阵
0
0
mn
17
4. n 阶矩阵A为可逆的 等矩阵的乘积
A Q1Q2 Qt .
它能表成一些初
5. 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单 位矩阵.
【可逆矩阵总可以经过一系列初等列变换化成 单位矩阵.】
18
三、用初等变换求逆矩阵
设An可逆，则存在一系列初等矩阵 P1 ,
使
E Pm P1 A
所以 于是 Pm
1 2
1 0
0
0
1
1
0
1
2
2
0
0
1
1
0
1
2
2
29
5 1
即
2 A 1
1
1 2
0
易求得 |A|=1/2, 故
1 2 0 1 2
5 1 1 5 2 1
A
1
|
A A|
2
2 1
1 2
1 0
2 0 1
2
2 1
2 0
0
1
30
§2.4.1转置矩阵
行阶梯与行最简形矩阵在线性代数中的应用及其在MATLAB中的实现
行阶梯与行最简形矩阵在线性代数中的应用及其在MATLAB中的实现杜美华【摘要】线性代数是一门很有实用价值的学科,矩阵是线性代数中的一个基础性工具,矩阵的行阶梯形矩阵与行最简矩阵在解决线性代数的基本问题中起了关键的作用.本文中讨论了两者在线性代数中的应用,并且展示了其使用MATLAB软件在计算机上实现的过程.【期刊名称】《齐齐哈尔大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(031)003【总页数】5页(P90-94)【关键词】行阶梯形矩阵;行最简形矩阵;应用;MATLAB【作者】杜美华【作者单位】青岛理工大学琴岛学院基础部,山东青岛266106【正文语种】中文【中图分类】O151线性代数作为一门基础实用课程在现实生活中的应用越来越广泛，尤其是在计算机广泛使用的现代社会，线性代数在我们的社会实践应用中扮演了越来越重要的角色。
矩阵是线性代数的一个重要工具，而矩阵的行阶梯形矩阵与行最简矩阵在线性代数中解决一些基本问题中起了关键的作用，因而有必要对行阶梯形矩阵与行最简矩阵在线性代数中的应用进行深入而全面的探讨。
线性代数的概念理论较多，对于初学者来说是一门较为抽象的学科，其实线性代数在理解了其本质内容之后，线性代数中的那些基本问题都可以归结为矩阵的行阶梯形矩阵与行最简矩阵的求解，这也是线性代数学习的重点与难点。
本文主要从两者在线性代数中的应用进行全面深入的探讨，并结合实际案例给出了行最简形矩阵的MATLAB实现过程。
定义1 设为矩阵，中的任一非零行中的第一个非零元素称为首非零元，若矩阵满足：（1）每个零行（如果有的话）位于任一非零行的下方；（2）若的非零行的首非零元分别为（设有个非零行），则首非零元所在的列满足[1]；则称为行阶梯形矩阵。
行阶梯形矩阵的特点：可以画出一条阶梯线，此线的下方和左方元素全为零；每个台阶只有一行，台阶数即为非零行的行数，阶梯线的竖线后面第一个元素即为首非零元[[1]]。
例如其中，称为行最简矩阵，其特点是（1）非零行首非零元是1；（2）1所在列的其余元素为0。
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求矩阵初等变换化为行最简行形的技巧T.T
用初等行变换化行最简形的技巧
1. 一般是从左到右,一列一列处理
2. 尽量避免分数的运算
具体操作:
1. 看本列中非零行的首非零元
若有数a是其余数的公因子, 则用这个数把第本列其余的数消成零.
2. 否则, 化出一个公因子
给你个例子看看吧.
例:
2 -1 -1 1 2
1 1 -
2 1 4
4 -6 2 -2 4
3 6 -9 7 9
--a21=1 是第1列中数的公因子, 用它将其余数化为0 (*)
r1-2r2, r3-4r2, r4-3r2 得
0 -3 3 -1 -6
1 1 -
2 1 4
0 -10 10 -6 -12
0 3 -3 4 -3
--第1列处理完毕
--第2列中非零行的首非零元是:a12=-3,a32=10,a42=3 -- 没有公因子, 用r3+3r4w化出一个公因子
-- 但若你不怕分数运算, 哪就可以这样:
-- r1*(-1/3),r2-r1,r3+10r1,r4-3r1
-- 这样会很辛苦的^_^
r1+r4,r3+3r4 (**)
0 0 0 3 -9
1 1 -
2 1 4
0 -1 1 6 -21
0 3 -3 4 -3
--用a32把第2列中其余数化成0
--顺便把a14(下次要处理第4列)化成1
r2+r3, r4+3r3, r1*(1/3)
0 0 0 1 -3
1 0 -1 7 -17
0 -1 1 6 -21
0 0 0 22 -66
--用a14=1将第4列其余数化为0
r2-7r1, r3-6r1, r4-22r1
0 0 0 1 -3
1 0 -1 0 4
0 -1 1 0 -3
0 0 0 0 0
--首非零元化为1
r3*(-1), 交换一下行即得
1 0 -1 0 4
0 1 -1 0 3
0 0 0 1 -3
0 0 0 0 0
注(*): 也可以用a11=2 化a31=4 为0
关键是要看这样处理有什么好处
若能在化a31为0的前提下, a32化成了1, 那就很美妙了. 注(**): r1+r4 就是利用了1,4行数据的特点,先处理了a12. 总之, 要注意观察元素的特殊性灵活处理.。