10道典型例题掌握初中数学最值问题

10道典型例题掌握初中数学最值问题

解决几何最值问题的通常思路：

两点之间线段最短；

直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；

三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）

是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．

1．如图：点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，OP =PMN 的周长的最小值为 ．

【分析】作P 关于OA ，OB 的对称点C ，D ．连接OC ，OD ．则当M ，N 是CD 与OA ，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD 的长．根据对称的性质可以证得：△COD 是等腰直角三角形，据此即可求解．

【解答】解：作P 关于OA ，OB 的对称点C ，D ．连接OC ，OD ．则当M ，N 是CD 与OA ，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD 的长．

∵PC 关于OA 对称，

∴∠COP =2∠AOP ，OC =OP

同理，∠DOP =2∠BOP ，OP =OD

∴∠COD =∠COP +∠DOP =2（∠AOP +∠BOP ）=2∠AOB =90°，OC =OD ．

∴△COD 是等腰直角三角形．

则CD OC ．

【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN 周长最小的条件是解题的关键．

2．如图，当四边形PABN 的周长最小时，a = ．

【分析】因为AB ，PN 的长度都是固定的，所以求出PA +NB 的长度就行了．问题就是PA +NB 什么时候最短．

把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而确定N点位置，此时PA+NB最短．

设直线AB″的解析式为y=kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得a的值．

【解答】解：将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B′（2，﹣1），

作B′关于x轴的对称点B″，根据作法知点B″（2，1），

设直线AB″的解析式为y=kx+b，

则

12

3

k b

k b

=+

⎧

⎨

-=+

⎩

，解得k=4，b=﹣7．

∴y=4x﹣7．当y=0时，x=7

4

，即P（

7

4

，0），a=

7

4

．

故答案填：7

4

．

【题后思考】考查关于X轴的对称点，两点之间线段最短等知识．

3．如图，A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的距离BN=1，且MN=4，P为直线上的动点，|PA﹣PB|的最大值为．

【分析】作点B于直线l的对称点B′，则PB=PB′因而|PA﹣PB|=|PA﹣PB′|，则当A，B′、P在一条直线上时，|PA﹣PB|的值最大．根据平行线分线段定理即可求得PN和PM的值然后根据勾股定理求得PA、PB′的值，进而求得|PA﹣PB|的最大值．

【解答】解：作点B于直线l的对称点B′，连AB′并延长交直线l于P．

∴B′N=BN=1，

过D点作B′D⊥AM，

利用勾股定理求出AB′=5

∴|PA﹣PB|的最大值=5．

【题后思考】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．4．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为．

【分析】本题关键在于找到两个极端，即BA′取最大或最小值时，点P或Q的位置．经实验不难发现，分别求出点P与B重合时，BA′取最大值3和当点Q与D重合时，BA′的最小值1．所以可求点A′在BC边上移动的最大距离为2．

【解答】解：当点P与B重合时，BA′取最大值是3，

当点Q与D重合时（如图），由勾股定理得A′C=4，此时BA′取最小值为1．

则点A′在BC边上移动的最大距离为3﹣1=2．

故答案为：2

【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．

5．如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF 翻折，点A的落点记为P．当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于．

【分析】如图，经分析、探究，只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小；根据勾股定理求出BD的长度，问题即可解决．

【解答】解：如图，

∵当点P落在梯形的内部时，∠P=∠A=90°，

∴四边形PFAE是以EF为直径的圆内接四边形，

∴只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小，

此时E与点B重合；

由题意得：PE =AB =8，

由勾股定理得：

BD 2=82+62=80，

∴BD =

∴PD =8．

【题后思考】该命题以直角梯形为载体，以翻折变换为方法，以考查全等三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动．

6．如图，∠MON =90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB =2，BC =1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为 ．

【分析】取AB 的中点E ，连接OD 、OE 、DE ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE =AB ，利用勾股定理列式求出DE ，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD 过点E 时最大．

【解答】解：如图，取AB 的中点E ，连接OD 、OE 、DE ，

∵∠MON =90°，AB =2

∴OE =AE =12

AB =1， ∵BC =1，四边形ABCD 是矩形，

∴AD =BC =1，

∴DE

根据三角形的三边关系，OD ＜OE +DE ，

∴当OD 过点E ．

+1．

【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出OD 过AB 的中点时值最大是解题的关键．

7．如图，线段AB 的长为4，C 为AB 上一动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作等腰直角△ACD 和等腰直角△BCE ，那么DE 长的最小值是 ．

【分析】设AC =x ，BC =4﹣x ，根据等腰直角三角形性质，得出CD x ，CD 4﹣x ），根据勾股定理然后用配方法即可求解．

【解答】解：设AC =x ，BC =4﹣x ，

∵△ABC ，△BCD ′均为等腰直角三角形，

∴CD =2x ，CD ′=2

（4﹣x ）， ∵∠ACD =45°，∠BCD ′=45°，

∴∠DCE =90°，

∴DE 2=CD 2+CE 2=12x 2+12

（4﹣x ）2=x 2﹣4x +8=（x ﹣2）2+4， ∵根据二次函数的最值，

∴当x 取2时，DE 取最小值，最小值为：4．

故答案为：2．

【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．

8．如图，菱形ABCD 中，AB =2，∠A =120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK +QK 的最小值为 ．