清华大学内部线性代数必须熟记的结论

线性代数

1、行列式

1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；

2. 代数余子式的性质：

①、ij A 和ij a 的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-

4. 设n 行列式D ：

将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2

1(1)

n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)2

2(1)n n D D -=-；

将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；

将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2

(1)

n n -⨯ -；

③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2

(1)n n -⨯ -；

⑤、拉普拉斯展开式：

A O A C A

B

C B O B ==、(1)m n C A O A

A B B O B C

==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n

n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；

7. 证明0A =的方法：

①、A A =-； ②、反证法；

③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1. A 是n 阶可逆矩阵：

⇔0A ≠（是非奇异矩阵）；

⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关；

⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E 等价；

⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；

⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；

2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；

3. 1**1

11**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***

111()()()T T T

AB B A AB B A AB B A ---===

4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：

若12

s A A A A ⎛⎫ ⎪

⎪= ⎪ ⎪⎝

⎭

，则： Ⅰ、12s A A A A =；

Ⅱ、11112

1s A A A A ----⎛⎫

⎪

⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

； ②、1

11A O A O O B O B ---⎛⎫

⎛⎫

=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

；（主对角分块） ③、1

11O A O B B O A O ---⎛⎫

⎛⎫= ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B O

B -----⎛⎫

-⎛⎫=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

；（拉普拉斯） ⑤、1111

1A O A O C B B CA

B -----⎛⎫

⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

；（拉普拉斯）

3、矩阵的初等变换与线性方程组

1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：r m n

E O

F O

O ⨯⎛⎫

=

⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ；

2. 行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、若(,)(,)r

A E E X ，则A 可逆，且1X A -=；

②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)c

A B E A B - ~ ；

③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)r

A b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

②、12

n ⎛⎫

⎪

⎪Λ= ⎪ ⎪⎝

⎭

λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，i

λ乘A 的各列元素；

③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1

111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

；

④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11

(())(())E i k E i k

-=，例如：1111(0)11k

k k -⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪

⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

⎝

⎭

； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：1

11

11(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

；

5. 矩阵秩的基本性质：

①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；

②、()()T r A r A =；

③、若A B ，则()()r A r B =；

④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）