三角换元(高二)

三角换元（一）

三角换元是一种用三角函数中的角度θ代替问题中的字母参数，然后利用三角函数之间的关系而达到解题目的的一种换元方法，此方法应用非常广泛，本文主要介绍利用三角恒等式sin2⁡θ+cos2⁡θ=1及其变形形式，来处理多元代数式的最值或取值范围问题．

x=cos θ2,y=tanθ, 其中θ∈[0,π2)，则

|x|−|y|=

cos θ2−tan θ=cos θsin θ-2, 表示点(0,2)与单位圆2x +2y =1,x ∈(0,1]上的点连线的斜率的相反数，如下图：

因此，可计算得斜率的范围为(−∞,−3]，故题中所求

代数式的最小值为3．

例2 设 x,y 为实数，若2

x −xy+2y =1，求x+2y 的取值范围． 分析 联想到θsin 2⁡+θcos 2=1，考虑将题中2

x −xy+2y =1变形，然后用三角换元进行求解．

解 题中等式可化为

22y -x ）（+2y 4

3=1, 进行三角换元，令

x=2y +cos θ,y=sin θ3

2, 其中θ∈[0,2π)，解得

x=31sin θ+cosθ,y=sin θ3

2,, 所以

x+2y=

35sinθ+cosθ=328sin(θ+φ),

其中sinφ=1421,cosφ=14

75． 因此，x+2y 的取值范围为[−3212,3

212]． 总结

(1)常用于三角换元的三角恒等式有

sin 2θ+cos 2θ=1,

αcos 12−tan 2α=1, (2) 利用三角恒等式，可将多元代数式的变元用θ代替，进而使变元减少，然后再结合辅助角公式等方式求最值或范围即可．

(3)三角换元是换元法的一种，换元后一定注意新变元的范围，也就是需要根据题意给出θ的合理范围；

练习

由(x −3)2+(4−x)2=1，可令

x -4=cos ⁡θ, 其中θ∈[0,2

π]，此时题中函数化为 f(θ)=sinθ+3cosθ,

其中θ∈[0,2

π]，结合辅助角公式，得 f(θ)=2sin(θ+3

π), 其中 θ∈[0,2

π]，因此，f(θ)的取值范围为[1,2]，故原函数的值域为[1,2]．

总结

(1)当题中出现两个无理式相加减的形式，且其“平方和”或“平方差”为定值时，可根据三角恒等式进行换元；

(2)三角换元是换元法的一种，换元后一定注意新变元的范围，也