非线性有限元法(1)素材
非线性有限元介绍1
非线性有限元介绍1.为什么使用FEA解决有限元问题（1）理解设计的意图。
有限元分析（FEA）是研究不同力学设计的有力工具。
（2）降低产品成本和开发周期。
1) FEA通过以下方式降低产品成本和开发周期；2) 在模具制造前识别成型问题；3) 使模具制造返工成本最低；4) 提前识别设计中缺陷减小样机的成本；5) 使用最少的材料；（3）获得结果的唯一办法。
1) FEA可以用来预测产品在极端工况下的性能，这些在实验中无法复现；2) 能在设计阶段提前考虑这些工况。
（4）很多工况在设计阶段无法预料。
2.收敛定义（1）在有限元中收敛有多重意义：1) 网格收敛；2) 时间积分精度；3) 非线性程序收敛；4) 求解精度；（2）网格收敛1) 增加模型单元数量会使仿真解趋于解析解。
网格收敛对线性和非线性问题都适用；在Abaqus中使用H网格自适应技术；2)进一步加密网格时，结果变化很小或不变时，认为网格达到收敛。
3)网格收敛规则的例外：网格奇异解；材料损伤累计在模型特定区域的局部问题；在Abaqus中使用H自适应网格技术；Abaqus提供特殊技术来减小网格依赖性，解决材料软化局部影响。
4)Abaqus提供评估网格收敛工具。
在打印输出文件（.dat）和结果文件（.fil）输出的节点（SJP）处应变跳变。
5)Abaqus后处理云图设置。
应力云图；不连续云图。
6)自适应网格误差设计。
见Abaqus/Standard 自适应网格课程介绍。
（3）瞬态问题时间积分精度。
对于具有物理时间尺度的瞬态问题，Abaqus提供用户定义参数，以控制对相关方程的积分精度：半增量容差。
1)评估当前增量中途点的最大不平衡力；2)一个增量中允许的最高温度变化；3)增量中根据开始和结束速率条件计算出的蠕变应变增量的最大容差。
（4）非线性求解收敛：见后续。
（5）求解精度。
获得精确解需要满足以下条件：准确解需要工程经验来建立合适有限元模型：材料、载荷、边界和求解程序。
非线性有限元讲义1
非线性有限元讲义1老师上课用的课件,觉得很实用,理论总结到位,是很好的学习资料第二章变分法的基本知识简例§2-1变分法问题的简例第一节第二节第三节第四节第五节第六节变分法问题的简例函数与泛函的比较变分的若干运算变分学中的若干基本定理几类泛函的驻值问题Euler方程简例1、过两点连线长度最短问题。
简例2、弹性基础梁问题。
简例3、重力场下最速降落问题。
研究泛函极值(驻值)的问题，称为变分问题；研究泛函极值(驻值)的近似方法，称为变分方法；变分的命题实质上就是求泛函的极值或驻值问题。
条件驻值与无条件驻值问题Lagrange Multiplier Method第二章变分法的基本知识泛函的定义第二节函数与泛函的比较自变函数的变分§2-2函数与泛函的比较1、泛函的定义2、泛函自变函数的变分定义y (x )在y1 ( x)附近的增量为变分：I= I[ y(x)]δy(x)= y(x) y1(x); y ( x )∈ R1(函数集合)定义域I∈ R2根据y (x )与y1 ( x)的接近情况有不同的接近度：0阶接近度：δy (x)很小，而δy ' ( x),δy“ ( x), ,δy ( n ) ( x)并不很小。
(实数集合)值域泛函是函数空间到实数空间的映射。
简称泛函就是函数的函数。
1阶接近度：δy ( x)=εη ( x),δy '( x)=εη ' ( x) n阶接近度：δy ( x)=εη ( x), ,δy ( n ) ( x)=εη ( n ) ( x)ε→ 0第二节函数与泛函的比较泛函的连续性第二节函数与泛函的比较线性泛函3、泛函的连续性泛函I= I[ y (x )]在y ( x)= y1 ( x)处的k阶接近度地连续，即：当y(x) y (x)δ 14、线性泛函1) I[α y ( x )]=α I[ y ( x )] 2) I y1(x)+ y2 (x)= I y1(x)+ I y2 (x)y' (x) y1' (x)δ y(k) (x) y(1k) (x)δ时，I[ y( x)] I[y ( x)]ε .1[][][]老师上课用的课件,觉得很实用,理论总结到位,是很好的学习资料第二节函数与泛函的比较泛函的变分第二节函数与泛函的比较泛函的驻值与极值5、泛函的变分ΔI= I[ y ( x )+δ y ( x )] I[ y ( x )]6、泛函的驻值与极值1)若泛函I= I[ y (x)]可变分，在y= y0 ( x)处达到极值时，则：= L[ y ( x ),δy ( x )]+β[ y ( x ),δy ( x )] maxδy ( x)当δy ( x)→ 0时，有：maxδy ( x)→ 0,β[ y ( x),δy ( x)]→ 0δI= L[ y ( x),δy ( x )]= 0称y= y0 ( x)为极值函数(或曲线)。
非线性 元法 几何非线性PPT
从该式可以看出,一阶Piola-Kirchoff应力量
提3供、了以大参变考状形态表的示应实际力力的测形式度,但是,直
接应用一阶Piola-Kirchoff应力量可能存在以下
两个困难：
2、一阶Piola-Kirchoff应力量
Ni (参考面积法向矢量)
相 与1同 C、a一变等使u从阶形的c用h能Py后基,应i因量o状础l力为a角态上-K量T度下,ii即rj与乘c上柯h：小以o,T西f在应Gfij应不应r参变e力适力e考量n量合量应状相的与相变态同定G同量下的r义的e不该能e是力n会应量应建,产力密变立生量度量在与能,共总给力出
a
V
V
S
提醒：上式给出的虚功方程是从变形后状态下的虚功方程转换 而来,因此是准确的,但是已经完全定义在初始状态下了,
５、几何非线性有限元方程的建立
在利用增量法 修正拉格朗日列式法 求解时,为了分析的方便,在 量符号的左侧引入上下标,分别该量对应时刻以及定义该量的构形：
代表定义该量所对应的构形：1 为初始状态构形,2为变形后状 态构形；如该标识缺省,则为初 始状态构形,
I3deFtijJ
Ni (初始面积法向矢量)
映射Fij
变形前面积dA’ ni(变形后面积法向矢量)
逆映射F-1ij
变形后面积dA
体积映射: dV de F id jtVJV d 面积映射： njdA JN iFij1dA
３、应变与变形测度
由于变形梯度量Fij中包含了刚体运动,因此不能直接用于定义应 变测度,而材料方向矢量则不包含刚体运动,因此它的平方值可以作
第六章 非线性有限元法 几何非线性
1、变几形何非体线性的的有运限动元方描程一述 般采用T.L或U.L列式法建立
非线性有限元-国科大
第一篇 物理非线性有限元的一般解法第一节 概述从数学角度考虑，对于偏微分方程边值问题或初值问题，如果域内的控制方程是线性方程，边界条件也是给定的线性条件，就是线性问题。
线性问题的适定性提法可保证问题的解存在、唯一而且稳定。
线性问题具有一系列重要特性，例如其解具有比例特性，求解中可用叠加原理等等。
线性有限元法就是这样一类问题，它最后归结为一个线性代数方程组的求解。
只要力学建模过程处理合理，其解不仅唯一，而且具有很高的可靠性，因此已在工程界得到了广泛的应用，并已成为必不可少的一种辅助设计手段，在不少行业中，已正式成为设计规范的一个组成部分而强制性执行。
工程中所有的问题都是非线性的，为适应工程问题的需要，在解决某些具体问题时，往往忽略一些次要因素，将它们近似地作为线性问题处理，这也是完全合理的。
但是我们不能因此认为一切问题均可以简化为线性问题。
必须注意到有许多工程问题，应用非线性理论才能得到符合实际的结果。
为适应工程应用的需要，非线性有限元是目前进行非线性问题数值计算中最有效的方法之一。
因此，有必要对非线性有限元的基础知识作较为全面的阐述，以使读者有足够的基础知识，能够理解非线性有限元的各种基本方法，选择和比较不同近似计算方法，正确处理建模和计算分析中所遇到的困难。
本篇主要介绍材料非线性有限元的一般数值解法。
所谓材料非线性指的是材料的物理定律是非线性的。
材料非线性问题可以分为二类。
第一类是非线性弹性问题，例如橡皮、塑料、岩石、土壤等材料是属于这一类，它的非线性性质是十分明显的。
第二类是非线性弹塑性问题，材料超过屈服极限以后就呈现出非线性性质，各种结构的弹塑性分析就是这类问题。
若在加载过程，这两类材料非线性问题在本质上相同的，只要写出非线性物理定律而在计算方法上是完全一样。
但是卸载过程中就会出现不同的现象，非线性弹性问题是可逆过程，卸载后结构会恢复到加载前的位置；非线性弹性问题是不可逆的，它将会出现残余变形。
第五章非线性有限元法
5.5 动力学问题有限元法
1
Non-linear behaviour of solids: ◆ material non-linearity ◆ Geometric non-linearity ■Material non-linearity: ●the loading and unloading response of the material is different. ● Typical here is the case of classical elastic–plastic and viscoelastic behavior, nonlinear ■ Finite deformation: Geometric non-linearity 大变形
(λ ) n +1 = (∆λ ) n +1 + (λ ) n
Softening range
u
土，混凝土，岩石等材 料，表现出软化现象。 混凝土开裂后的分析
12Biblioteka n (∆u ) = [k (u n )]{u n } − λ{ f E }n = R n [ k ]T n
写成矢量形式 F(u , λ ) = [k (u )] u − λ ⋅ f E
n n n n n
n
0
把u和λ作为未知量，一阶Taylor展开
n
F(u
n +1
n
,λ
n +1
∂F ∂k ( u ) n = → [ k ] T ∂ u ∂ u
n n n n
∂F ∂F n ) ≈ F(u , λ ) + ∆u + ∆λn ∂u ∂λ n n n
第八章几何非线性问题的有限元法
且，不少作者得出结论，一些中等非线性的屈曲状态，可以用线性屈曲问题特征向量的线性
组合近似得到。因此线性屈曲理论还是有其实际价值。
屈曲的含义可简述为：结构处于一种平衡状态，载荷增量为一个微量，其位移增量很大。用方程来表达这种物理现象，则由总体拉格朗日列式法建立的结构刚度方程（8.21）变成为
无关，因此对节点位移的微分等于零，对于一个确定的有限元分析模型，式（第一项可一般地写成
in
vv
上式中k二称为单元的初应力矩阵或几何刚度矩阵，它表示单元中存在的应力对单元刚度矩
阵的影响。
由上式（8.16）和式（8.13），并考虑到式（8.14）和（8.15）的关系，有
（
若记
kJ-kJ-■ kJ（8.18）
个平衡位置。图8.1（a）为线性屈曲的示意图。■为裁荷比例因子，其含义稍后会讲到，它与位移「.在屈曲前为线性关系，当载荷达到极限值（图中分枝点）时结构失稳，•一「.曲线改
变，结构平衡转向另一模态。这就是线性屈曲也称分枝屈曲。
严格说来，结构的平衡实际上是在结构发生变形之后达到的，因此，从加载一开始就出
刚度矩阵，即KoI"k01。
（2）对结构施加参考载荷｛，并求解有限元方程KoHF/，进而可求得各单
元节点应力。
（3）对有膜应力存在的单元按式（8.16）形式初应力矩阵k；H,并组装成结构初应力矩阵，即Kkr」。
（4）求解广义特征值问题，即式（8.27），得到最低几阶特征值時及对应的特征模态。
理论上它们都是平衡模态，当载荷达到分枝载荷’：Fr时，平衡由一种模态“跳列”另一种
在线性屈曲情况下，屈曲前结构处于原始位形的线性平衡状态，因此上式中的大位移矩
非线性有限元(河海教授-任青文)
一点的位移f = [u v w]T与单元结点位移δ e 之间的关系：
f = Nδ e
(1-3)
Ni反映了单元内位移的分布形状，所以又称形函数。对于d个结点的三维单元，
⎡N1 0 0 N2 0 0
Nd 0 0 ⎤
N=
⎢ ⎢
0
N1
0
0 N2
0 "" 0 N d
0
⎥ ⎥
(1-4)
⎢⎣ 0 0 N1 0 0 N 2
x e =[x1 y1 z1 x2 y2 z2……xd yd zd]T 为单元各结点的整体坐标。
(1-7)
（2）单元的结点荷载 R e
[ ] [ ] 作 用 在 单 元 上 的 集 中 力 P = Px Py Pz T ， 体 力 p = X Y Z T 及 面 力
[ ] p = X Y Z T 必须转换成等效的单元结点荷载列阵 Re ，
其中 δ1,δ 2 ,",δ n 是未知量，ψ1,ψ2 ,",ψn 是 δ1,δ 2 ,",δ n 的非线性函数，现引用矢量记号 δ = [δ1 δ 2 " δ n ]T ψ = [ψ1 ψ 2 " ψ n ]T
上述方程组可表示为
ψ(δ) = 0
还可以将它改写为
ψ(δ) ≡ F (δ) − R ≡ K (δ)δ − R = 0 K (δ) 是一个 n × n 的矩阵，其元素 kij 是矢量 δ 的函数，R 为已知矢量。在位移有限元中, δ 代表未知的结点位移， F (δ) 是等效结点力， R 为等效结点荷载，方程 ψ(δ) = 0 表示结点
式中
4
∫ U e = 1 εT σdv V2
(1-25)
∫ ∫ V e = − f T P − f T pdv − f T pds
第10章(非线性有限元) (1)
第10章 非线性动力有限元法 (1)10.1 几何非线性问题的有限元法 (2)10.1.1 几何非线性问题的牛顿迭代法 ........................................................................... 2 10.1.2 典型单元的切线刚度矩阵 ................................................................................. 4 10.2 材料非线性问题的有限元法 (8)10.2.1 弹/粘塑性问题的基本表达式 .............................................................................. 8 10.2.2 粘塑性应变增量和应力增量 ............................................................................... 9 10.2.3 弹/粘塑性平衡方程 ............................................................................................ 10 10.3 材料非线性问题的动力有限元法 ................................................................................ 11 10.4 应用举例 (14)10.4.1 粘弹粘塑性动力有限元分析举例 ................................................................... 14 习题.. (15)第10章 非线性动力有限元法当机械结构受到较大的外载荷，或受到持续时间较短的冲击载荷作用时，结构会产生过大的变形, 以至于必须考虑结构几何大变形对结构整体刚度及固有频率的影响，即所谓的几何非线性影响。
【资料】非线性有限元法(1)剖析汇编
有限元法的发展史
1956年 Turner，Clough，Martin和Topp将刚架分析中 的位移法推广到弹性力学平面问题
“Stiffness and deflection analysis of complex structures”, Journal of Aeronautical Sciences, Vol.23, pp.805-824,1956
非线性有限元法(1)剖析
有限元法的发展史
1941年Hrenikoff用线单元网格求解连续体中的应力
“Solution of problem in elasticity by frame work method”, Journal of Applied Mechanics, Vol. 8,pp.169-175, 1941
有限元法在数学方面的研究 Zienkiewicz、Babuska、Oden，冯康（1960s）
有限元法的发展史
有限元程序的发展
从六十年代末、七十年代初出现了广泛应用的有限元 分析程序 ANSYS，Abaqus，MSC/NASTRAN,Algor,Cosmos,Adina… 各种专业的分析软件Dynaform，Autoform，Deform， Autodyn，Sysweld，FemFat，Procast… 新型的多场分析软件Comsol，Fegen
1960年Clough命名了“Finite Element Method”
“The finite element method in plan stress analysis”, Proceedings of 2nd ASCE Conference on Electric Computation, Pittsburgh, pp.345-378, 1960
非线性有限元解法
(9)
(10 )
•在增量方法中通常引入载荷因子λ,用 R R表示载荷， 于是非线性有限
元方程可写成： ( u, ) P( u ) R 0
(1)
用载荷因子λ系列： 0 0 1 2 M 1
(2)
相应于不同的载荷。
若相应于载荷因子 n 的解已经求得，记为 u un ，则 ( un ,n ) P( un ) n R 0
KT n
KT ( un
)
un
(8)
un1 un un
其收敛判据与直接迭代法的收敛判据雷同。
非线性有限元方程组的解法（增量法）
•求解非线性方程组的另一类方法是增量方法。使用增量方法的一个优点是 可以得到整个载荷变化过程的一些中间的数值结果。当问题的性质与加载的 历史有关时，例如弹塑性问题，则必须采用增量方法。
u1 ( K1 )1 R
据此容易写出直接迭代法的迭代公式：
Kn K( un )
un1 ( K n )|1 R
(2)
按照这种迭代公式可以得到一个解数列 { un } ，当这个数列收敛时停止计
算，其数列收敛值就是方程（1）的解。
非线性有限元方程组的解法（直接迭代法）
关于数列收敛的判据，可以采用各种各样的范数定义和收敛判据。若设第 n
( un ) K( un )un R 0
(7)
该值可作为对偏离平衡的一种度量（称为失衡力），收敛判据可相应地取为：
( un ) R
(8)
（失衡力收敛判据）
非线性有限元方程组的解法（牛顿法）
把非线性有限元方程记为： ( u ) P( u ) R 0 (1)
郑州大学《有限元原理》课件：第五章非线性有限元法
satisfies
the
κ an isotropic hardening parameter.
This yield condition can be visualized as a surface in an n-dimensional space of stress with the position and size of the surface dependent on the instantaneous value of the parameters k.
sx
sx y
sx
z
J3 syx
sy
sy
z
s1
s2 s3
sz x
sz y
sz
(1,2,3)
2
3p
Q r 1 等压线
O’ 偏平面
纯剪应力
Q’
qe
1 2
1
2
2 2 3
2 3 1
2 1/2
1
O
3
3J2
OO’通过原点与三个坐标轴夹角相等的线---等压线。
与OO’垂直的平面称为偏平面，方程 123 3r
9
5.1.3 Modified Newton’s method
the variable jacobian matrix KT by a constant approximation
[k]Tn [k]0T
1. KT can be chosen as the
u n [k ]0 T 1 (u n )
12
5.2 Stress and strain theory
i j m i j i jm i j m i j s ij
m sij ij
非线性有限元解法
现在设
u un
是方程（1）的第 n 次近似解。一般地，这时
( un ) P( un ) R 0
该值可作为对偏离平衡的一种度量（称为失衡力）。设修正值为 此时新的近似解为：
(2)
un
(3)
，
u un1 u n un
将（3）代入（1）中并在 u un 附近将 ( un un ) 泰勒（Taylor)展开： (4) ( un un ) ( un ) un un (5) n 若记 K K (u )
un un1 u n
范数的定义可取 或
(3) (4)
un max{ un }
un [{ un }t { un } ] 1/ 2
于是收敛判据可取为： un un （位移收敛判据） 在这里注意到，对于非线性方程（1），将 un 代入一般不是严格满足的，即
(5) (6)
( u ) K ( u )u R 0
非线性有限元方程组的解法
• 对于线弹性小变形问题，其有限元方程组是线性的
Ku R 0
• 其解答利用直接方法很容易得到 u K 1R • 但是对于非线性有限元方程组则不能利用直接方法 得到其解答。 • 一般地说，不能期望得到非线性方程组的精确界。 • 通常利用各种数值方法，用一系列的线性方程组去 逼近非线性方程组的解。
现在来求相应于载荷因子为1 n 时的解。 设 un1 un u 为其解， n 于是有 ( un u,n ) P( un u ) ( n )R 0 (4)
将 ( un u,n ) 在 un , n 处泰勒展开得
T T n
可得 n 1 n 1 从而可解出修正量 un 为 un ( K T ) ( un ) ( K T ) ( R P( un ))
非线性有限元
（三）混合法 如对同一非线性方程组混合使用增量
法和迭代法，则称为混合法或逐步迭代法。 一般在总体上采用Euler增量法，而在
同一级荷载增量内，采用迭代法。
Ki-1
刚度的取值可根据给定的应力-应变曲 线导出。若每级计算都采用上一级增量计算 终了时的刚度值，则称为始点刚度法。
Ki-1
始点刚度法类似于解微分方程初值问题 的欧拉(Euler)折线法，计算方法简单但计算 精度较低，容易“漂移”。
若采用中点刚度法则可以提高精度。该 法类似于解常微分方程初值问题的龙格-库塔 （Runge-Kutta）法，包括中点切线刚度法 和中点平均刚度法。
(1) 直接迭代法 对非线性方程组
设其初始的近似解为 ，由此确定近似的
矩阵
可得出改进的近似解
重复这一过程，以第i次近似解求出第i＋1 次近似解的迭代公式为直接迭代法
对非线性方程组
直到 变得充分小，即近似解收敛时，终止迭代。
在迭代过程中,得到的近似解一般不会满足 作为对平衡偏离的一种度量，称为失衡力。
q-Newton—Raphson迭代法的计算过程
（2）初应力法 如果在弹性材料内确实存在初应力 ，则材料的应力应变关系为
由上式及虚功原理可导出单元的结点力为
集合单元得出以下的有限元方程 式中， 为由初应力 引起的等效结点荷载
初应力法就是将初应力看作是变化的， 以此来反映应力和应变之间的非线性关系。 通过不断地调整初应力，使线弹性解逼近非 线性解。
接触非线性 由于接触体的变形和接触边界的摩擦作用，
使得部分边界条件随加载过程而变化，且不 可恢复。这种由边界条件的可变性和不可逆 性产生的非线性问题，称为接触非线性。
材科非线性有限元法 材料非线性是由本构关系的非线性引
非线性有限元1_非线性方程求解及收敛控制
2014-12-3
18
2.1 非线性方程组的解法－－增量法
增量法：就是将荷载分成一系列的荷载增量，即ANSYS中的 荷载步或荷载子步。 要点：在每一个荷载增量求解完成后，继续进行下一个荷载 增量之前，调整刚度矩阵以反映结构刚度的变化。
公式（ 4） ui 1 ui ui 1
2014-12-3 6
1.1 非线性行为——材料非线性
非线性的应力－应变关系是产生结构非线性的一个 普遍原因。
应力
应力
应变
应变
钢
橡胶
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1.1 非线性行为——状态改变非线性
许多非线性问题是与状态相关的。例如一段 绳索可以是松驰的或拉紧的。一个装配件的两部分可 能接触或脱离接触。
在这个接触例题中 ，接触面积未知， 它取决与施加载荷 的大小。
2014-12-3
8
1.1 非线性行为——分析方法特点
不能使用叠加原理! 结构响应与路径有关，也就是说加载的顺序可能是重要的。 结构响应与施加的载荷可能不成比例。
2014-12-3
9
第一章 非线性有限元概述
1.1 非线性行为 1.2 非线性分析的应用
2014-12-3 25
2.2 Newton-Raphson迭代法－－力平衡
Newton-Raphson 法需要一个收敛的度量以决定何 时结束迭代。 给定外部载荷（Fa），内部载荷（ Fnr ,由单元应力 产生并作用于节点），在一个体中，外部载荷必须与内 力相平衡。
Fa - Fnr = 0
收是平衡的度量。
载荷
F
收敛半径 如果 ustart 在收敛半径内将收 敛，否则将发散。
ustart ?
非线性有限元法-2009
拉伸与压缩时的应力 -- 应变曲线
低碳钢拉伸时的应力--应变曲线 低碳钢拉伸时的应力--应变曲线 -D
σ σe σp
A
σ 's
B C
σb
P σ= A0
E
ε=
l − l0 l
OB：弹性阶段 ： BC：屈服阶段 ：
ε =
σ
E 塑
性 阶 段
σs
o
ε
A0
CD：强化阶段 ：
P l0 P
DE：局部变形阶段 ：
σ''s
C'
′ ′ σ s′ ≤ σ s ≤ σ s
低碳钢拉伸时的应力--应变曲线 低碳钢拉伸时的应力--应变曲线 -J.Bauschinger效应： 效应： 效应 D
σy
−µ
σz
广 义 虎 克 定 律
[
]
1 εx = σx − µ σ y +σz E 1 εy = σ y − µ (σ z + σ x ) E 1 εz = σz − µ σx +σ y E
[
(
)]
[ [
(
] )]
γ xy = γ yz =
γ zx =
τ xy
−1
∂R 0 n ∆un+1 = − ⋅ψ (u ) ∂u un +1 = un + ∆un+1
−1
第6章 非线性有限元法(几何非线性)分析
FkiFkj ij dxidxi 2eijdxidxi
由于大变形问题有
２、限A元lm方an程sh主i应要变采用张量
T.L列式法或U.L列式 Alm法an建sh立i应，变因张此量应采在用初Eular运动 描述始方状法态，下即定按义当应前变状张态下的构 形定量义，应即变采张用量G。reen应
变ds张2 量d。s2 dxidxi dxidxi
dxidxi dxi Fki1Fkj1dx j
ij Fki1Fkj1 dxidxi 2Eij dxidxi
eij
1 2
FkiFkj ij
式中，eij称为Green应变张量或 Green-Lagrangian应变张量。
Eij
第六章 非线性有限元法（几何非线性）
1、变几形何非体线性的的有运限动元方描程一述 般采用T.L或U.L列式法建立！
变形体上的质点的运动状态 可以随不同的坐标选取以下几 种描述方法：
1、全拉格朗日列式法（T.L列式 法—Total Lagrangian Formulation)：
选取t0=0时刻未变形物体的构 形A0作为参照构形进行分析。
uk xj
ij
ij
式中：
ij
1
ui
2 xj
u j xi
为小变形应变张量；
ij
1 2
uk xi
uk xj
为非线性二次项
2、Green变形张量也可写为：
eij
1 2
Cij
ij
式中，Cij是Cauchy变形张量
Cij FkiFkj
由于Cauchy变形张量是正定对称 阵，因此该张量有三个实特征值； 这些特征值的平方根记为材料的 主轴拉伸。
材料非线性有限元法
第四章 材料非线性有限元法以上三章分别研究了线性弹性有限元法，材料非线性本构方程和非线性方程组解法，本章就可以研究材料非线性有限元法了。
在材料非线性基本方程中，除第二章所述的本构方程外，与线性弹性一样，而非线性有限元法又归结为一系列线性弹性问题。
因此，只要在第一章中改用第二章的本构方程，就可建立材料非线性有限元法的基本内容。
§4-1 非线性弹性有限元法第二章提到，非线性弹性本构方程与形变理论弹塑性本构方程在形式上相同，所以与第二章一样，这里也按塑性力学形变理论，研究非线性弹性有限元法，以便把二者统一起来。
1． 非线性弹性基本方程 为了便于以后直接引用，这里列出全量形式的非线性弹性（或形变理论弹塑性）基本方程，并用矩阵表示。
几何方程：{}[]{}u L =ε (1.14)本构方程：{}σ=[D p ε]S{}ε (2.13)平衡方程：[]{}{}{}0=+p L Tσ(在Ω内) (1.20)边界条件：{}{}u u = （在A u 上） （1.22）[]{}{}p N T=σ （在A u 上） (1.23)虚功方程：{}{}{}{}{}0=+Ω+Ω-⎰⎰⎰ΩΩdA p u d u d ATTTδδσδε(1.28)位能变分方程：∏δ=0 (1.31)其中{}(){}{}{}{}dAp u d p u d W TA T⎰⎰∏⎰-Ω-Ω=ΩΩσε (1.32){}(){}{}σεε=∂∂W (4.1) 2． 非线性方程组的建立 由于虚功方程本身不涉及材料性质，所以第一章由虚功方程得到的单元平衡方程（1.48）式和总体平衡方程（1.109）式完全适用于非线性弹性（或形变理论弹塑性）问题。
可见，只要把非线性弹性（或形变理论弹塑性）本构方程代入单元或总体的平衡方程，就可以建立非线性方程组。
（1）割线刚度方程 仿照线性弹性有限元法，把（1.36）式代入（2.13）式后，再把（2.13）代入（1.48）式便得单元割线刚度方程，即()[]{}{}{}eees q f u k +=εε (4.2)其中单元割线刚度矩阵()[][]()[][]dV B D B k s ep Tee sεε⎰= (4.3)而割线本构矩阵[()εep D ]s ，如（2.14）式所示。
第8章 材料非线性问题的有限元法
非线性问题经有限元法离散后，得到如下形式的一组代数方程
Ψ ( ) K ({ }){ } { f } 0
即刚度方程[K]是节点位移向量{δ}的函数。 材料非线性问题是由材料非线性应力应变关系引起的，通常表 现为非线性弹性问题和弹塑性问题，此外还有与时间有关的应 力应变关系。 非线性弹性问题和弹塑性问题的塑性阶段呈现非线性物理性质。 加载过程时，这两类问题的非线性性质是一样的。不同之处在 于两点：一是弹塑性材料有一个从弹性到塑性的折点，二是卸 载过程两者有完全不同的路径。 在常应力状态下，变形随时间变化的特性成为粘性，变形随时 间变化的现象称为徐变（蠕变）。这类问题包括粘弹性问题、 粘弹塑性问题、徐变问题。
＝ [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] / 2
2 2 2 2 ＝ ( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 6( xy yz zx ) 2
则米赛斯屈服条件是 应力偏量 为：
7.1 材料非线性问题的求解方法
前面各章中，我们所讨论的问题都是线弹性力学问题。在线弹 性力学中，位移与应变的关系（几何方程）是线性的，应变与 应力的关系（本构方程）也是线性的。
1 表征材料应力应变关系的本构方程是线性的； 2 描述应变与位移关系的几何方程是线性的； 3 以变形前的状态建立的平衡方程仍适用于变形后的体系． 但是，工程中的许多问题的位移与应变、应变与应力的关系不 满足上述线性关系，呈非线性状态。通常把不满足条件 1 的称 为材料非线性，把不满足条件2，3的称为几何非线性。
因此，非线性方程Y(x)=0在xn附近的近似方程是线性方程
dY Y ( x) Y ( xn ) ( x xn )＝0 dx n
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参考书
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结构的非线性现象
Nonlinear Phenomena in Solid Structures：
1 Geometrical Nonlinearity 2 Physical Nonlinearity 3 Nonlinearity Due to Boundary Conditions
结构的非线性现象 Large Displacements of a Rigid Beam
Applied Mechanics, Vol. 8,pp.169-175, 1941
1943年Courant用三角区域解St.Venant扭转问题
“Variational Methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations”, Bulletin of American Mathematical Society, Vol.49, pp.123,1943
结构的非线性现象
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The process, in which the system changes from one equilibrium state to another instantaneous, is called snap-through. Due to that, point D is called snap-through point.
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Force versus rotation:
结构的非线性现象 Large Displacements of an Elastic System
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结构的非线性现象 Snap-Through Problem
－－ 目前工程中应用最广泛的数值计算方法
有限元法的三个特点 1）以一组几何上简单的子域表示一个几何上复杂的域 2）对每一个子域运用基本概念推导近似函数 3）利用相关的物理原理或数学方法建立联立方程组
有限元法的发展史 1941年Hrenikoff用线单元网格求解连续体中的应力
“Solution of problem in elasticity by frame work method”, Journal of
Berlin: Springer Verlag, 2008
MIT相关课程介绍
有限元法的发展史
1956年 Turner，Clough，Martin和Topp将刚架分析中 的位移法推广到弹性力学平面问题
“Stiffness and deflection analysis of complex structures”,
Journal of Aeronautical Sciences, Vol.23, pp.805-824,1956
有限元法在数学方面的研究
Zienkiewicz、Babuska、Oden，冯康（1960s）
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有限元程序的发展
从六十年代末、七十年代初出现了广泛应用的有限元 分析程序 ANSYS，Abaqus，MSC/NASTRAN,Algor,Cosmos,Adina…
各种专业的分析软件Dynaform，Autoform，Deform，
Mixed Finite Element
唐立民，陈万吉，刘迎曦（1980）基于广义变分原理的拟协调元 Quasi-conforming finite element
有限元法的发展史 有限元列式更一般的方法－－加权余量法
Szabo和Lee（1969）推导了结构分析的弹性有限元方程 Zienkiewicz和Parekh（1970）推导了瞬态问题的有限元方程 Hughes（1979）应用到流体力学的Navier－Stokes方程求解
1960年Clough命名了“Finite Element Method”
“The finite element method in plan stress analysis”,
Proceedings of 2nd ASCE Conference on Electric
Computation, Pittsburgh, pp.345-378, 1960
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1954-1960年Argyris出版了能量原理与结构分析书，从 能量原理建立了矩阵结构分析方法，为有限元法找到了 理论基础
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1961年Melosh建立了平面矩形板弯曲单元
1963年Grafton和Strome建立了轴对称壳单元 Martin（1961），Gallagher（1962），Melosh（1963） 建立了四面体单元将有限元法推广到三维问题 Clough等（1965），Wilson（1965）建立了轴对称单元
3. M A Crisfield. Non-linear Finite Element Analysis of Solids and
Structures: Vol. 2 Adanced Topics, John Wiley and sons, 1997
参考书 Peter Wriggers. Nonlinear Finite Element Methods.
非线性有限元法
Nonlinear Finite Element Methods
主讲：潘亦苏
西南交通大学 SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY
力学与工程学院
School of Mechanics and Engineering
绪论
什么是有限元法
－－ 一种求解场问题的数值方法
Autodyn，Sysweld，FemFat，Procast… 新型的多场分析软件Comsol，Fegen
有限元的应用
有限元法起源于结构力学的计算方法，现已应用到各
种领域，包括固体力学、流体力学、传热分析、电场、 电磁场，甚至纳米材料，交通规划和经济学领域 由于商业软件的推广，加速了在工程问题中的应用 由于计算机硬件和CAD、CAE软件的迅速发展，使得复 杂的工程问题的建模和求解问题得到解决，目前报道的 有限元计算的规模达到10亿DOF
有限元法的发展史 六十年代初人们认识到有限元的理论基础是变分原理
Pian（1964）基于最小余能原理建立了杂交应力有限元法 Hybrid Finite Element de Veubeke(1964)基于最小余能原理建立了平衡元列式方法 Herrmann（1965）基于Reissner变分原理建立了混合有限元法
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Turner等（1960）将应用到大挠度和热应力分析Gallag源自er等（1962）考虑了材料非线性
Gallagher等（1963）首次分析了屈曲问题
Zienkiewicz等（1968）应用到粘弹性问题 Archer（1965）建立了一致质量矩阵，进行了动力分析 1960s中后期开始有限元法应用到场问题和流体问题 Belystchko(1976)考虑了与大位移非线性动力分析问题