ppt4-最优化模型
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最优化理论与算法完整版课件 PPT
Bazaraa, J. J. Jarvis, John Wiley & Sons, Inc.,
1977.
组合最优化算法和复杂性
Combinatorial
Optimization 蔡茂诚、刘振宏
Algorithms and Complexity
清华大学出版社，1988 I运nc筹.,学19基82础/1手99册8
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
2021/4/9
• 算法
5
绪论---运筹学（Operations Research -
运筹学O方R）法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
2021/4/9
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
最优化理论与算法
2021/4/9
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
2021/4/9
2
其他参考书目
最优化方法PPT
共117页第8页
同时太阳系这个"整体"又是它所属的"更大整 体"--银河系的一个组成部分。世界上的具体系统是 纷繁复杂的，必须按照一定的标准，将千差万别的 系统分门别类，以便分析、研究和管理，如：教育 系统、医疗卫生系统、宇航系统、通讯系统等等。 如果系统与外界或它所处的外部环境有物质、能量 和信息的交流，那么这个系统就是一个开放系统， 否则就是一个封闭系统。开放系统具有很强的生命 力，它可能促进经济实力的迅速增长，使落后地区 尽早走上现代化。如改革开放以来已大大增强了我 们的综合国力。而我国的许多边远山区农村，由于 交通不便，相对封闭，还处于比较落后的状态。
会科学和思维科学的相互渗透与交融汇流，产生了 具有高度抽象性和广泛综合性的系统论、控制论和 信息论。
系统论是研究系统的模式、性能、行为和规律 的一门科学。它为人们认识各种系统的组成、结构、 性能、行为和发展规律提供了一般方法论的指导。 系统论的创始人是美籍奥地利理论生物学家和哲学 家路德维格·贝塔朗菲。系统是由若干相互联系的 基本要素构成的，它是具有确定的特性和功能的有 机整体。如太阳系是由太阳及其围绕它运转的行星 （金星、地球、火星、木星等等）和卫星构成的。
从数学上比较一般的观点来看，所谓最优化问题可 以概括为这样一种数学模型：给定一个“函数”，F(X)， 以及“自变量”X应满足的一定条件，求X为怎样的值时， F(X)取得其最大值或最小值。这里在函数和自变量两个 词上之所以打上引号，是想强调它们的含意比中学数学 和大学微积分中函数的定义要广泛得多。通常，称F(X) 为“目标函数”，X应满足的条件为“约束条件”。约 束条件一般用一个集合D表示为：X∈D。求目标函数 F(X)在约束条件X∈D下的最小值或最大值问题，就是一 般最优问题的数学模型，它还可以利用数学符号更简洁 地表示成：Min F(X)或Max F(X)。
最优化 PPT课件
• 另外也可用学术味更浓的名称：“运筹 学”。由于最优化问题背景十分广泛，涉 及的知识不尽相同，学科分枝很多，因此 这个学科名下到底包含哪些分枝，其说法 也不一致。
• 比较公认的是：“规划论”（包括线性和
非线性规划、整数规划、动态规划、多目
标规划和随机规划等），“组合最优化”，
“对策论”及“最优控制”等等。
j
1, 2,L
,n
(5)
14
nn
min
cij xij
i 1 j 1
n
xij 1, i 1, 2,L
,n
s.t.
j 1 n
(5)
xij 1, j 1, 2,L , n
i1
xij
0
或 1 ,i,
j
1, 2,L
,n
(5)的可行解既可以用一个矩阵(称为解矩阵)表示，其每行每列均有且只
mn
min
cij xij
i 1 j 1
n
xij ai ,
i 1, , m
j 1
s.t.
m xij bj ,
j 1,2, , n
i 1
xij
0
11
对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：
n
bj
j1
m
i1
n xij
j1
n m
j1 i1
xij
费的总时间最少？
引入变量 xij ，若分配 i 干 j 工作，则取 xij 1，否则取 xij 0 。上
述指派问题的数学模型为
nn
min
cij xij
i 1 j 1
n
xij 1,i 1, 2,L
,n
j1
最优化问题数学模型
• 飞机飞行的方向角调整幅度不应超过30 ； • （因飞机飞行的速度变化不大）所有飞机的飞行 速度 v 均为800km/h;
• 进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内 飞机的距离应在60km以上；
根据当年竞赛题目给出的数据，可以验证 新进入的飞机与区域内的飞机的距离超过 60公里。
• 最多需考虑六架飞机；
cij xij 表示该队员的成 目标函数：当队员i入选泳姿j时， 绩，否则 cij xij 0 。于是接力队的成绩可表示为
f cij xij .
j 1 i 1
4
5
约束条件：根据接力队要求， xij 满足约束条件
a. 每人最多只能入选4种泳姿之一，即
x
j 1
4
ij
1.
b. 每种泳姿必须有1人而且只能有一人入选，即
分析，对实际问题进行合理的假设、简化，首先考虑用
线性规划模型，若线性近似误差较大时，则考虑用非线 性规划.
例题讲解
例1 1995年全国数学建模A题：飞行管理问题 在约1万米的高空的某边长为160km的正方 形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行，区 域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记 录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入 该区域的飞机到达区域边缘时，计算机记录其 数据后，要立即计算并判断是否会发生碰撞。 若会发生碰撞，则应计算如何调整各架飞机 （包括新进入的飞机）飞行的方向角，以避免 碰撞，且使飞机的调整的幅度尽量小，
目标：求函数极值或最值，求取得极值时变量的取值。
x
1.线性规划
问题：某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已 知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消 耗，如下表所示
I 设备 1 II 2 8台时
• 进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内 飞机的距离应在60km以上；
根据当年竞赛题目给出的数据，可以验证 新进入的飞机与区域内的飞机的距离超过 60公里。
• 最多需考虑六架飞机；
cij xij 表示该队员的成 目标函数：当队员i入选泳姿j时， 绩，否则 cij xij 0 。于是接力队的成绩可表示为
f cij xij .
j 1 i 1
4
5
约束条件：根据接力队要求， xij 满足约束条件
a. 每人最多只能入选4种泳姿之一，即
x
j 1
4
ij
1.
b. 每种泳姿必须有1人而且只能有一人入选，即
分析，对实际问题进行合理的假设、简化，首先考虑用
线性规划模型，若线性近似误差较大时，则考虑用非线 性规划.
例题讲解
例1 1995年全国数学建模A题：飞行管理问题 在约1万米的高空的某边长为160km的正方 形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行，区 域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记 录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入 该区域的飞机到达区域边缘时，计算机记录其 数据后，要立即计算并判断是否会发生碰撞。 若会发生碰撞，则应计算如何调整各架飞机 （包括新进入的飞机）飞行的方向角，以避免 碰撞，且使飞机的调整的幅度尽量小，
目标：求函数极值或最值，求取得极值时变量的取值。
x
1.线性规划
问题：某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已 知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消 耗，如下表所示
I 设备 1 II 2 8台时
《最优化理论》课件
机器学习中的应用
介绍最优化理论在神经网络训练 中的作用。
工程优化中的应用
应用最优化理论优化机械设计和 自动化控制系统。
总结
通过本课程的学习，您掌握了最优化理论的基本知识和应用方法，为实际问 题的解决提供了有力工具和支持。期待您在未来能够更好地应用这些知识， 为创新和发展做出更大的贡献。
凸优化问题的定义
详细讲解凸优化问题的定义和常用求解方法。
对偶问题
讲解凸优化问题的对偶问题和应用案例。
其他优化问题
1
整数规划
讲解整数规划在实际问题中的应用及其求解方法。
2
半正定规划
介绍半正定规划的定义和求解方式。
3
非线性规划
学习非线性规划问题的求解方法和应用案例。
应用案例
Hale Waihona Puke 经济学中的应用讲解最优化理论在竞争市场模型 中的应用。
数学符号与常用概念
介绍数学符号的含义和常用概念，为后 续学习内容打下基础。
一元函数的最优化问题
讲解一元函数求极值的方法，如牛顿法 和梯度下降法等。
无约束优化问题
一维搜索法
介绍线性搜索和二分搜索等一维 搜索算法。
牛顿法
讲解牛顿法的动机和实现方式。
梯度下降法
详细介绍梯度下降法的原理和特 点。
共轭梯度法
《最优化理论》PPT课件
最优化理论是数学中一项重要的领域，涉及到许多实际问题的求解，如经济 学、机器学习和工程优化等。本课程将为您介绍最优化理论的基础知识和应 用案例，帮助您深入了解这个精彩的领域。
优化理论的基础知识
1
函数的极值
2
学习函数的最值概念和求解方法。
3
多元函数的最优化问题
最优化方法全部ppt课件
解法：Lagrange乘子法
1.2 实例
数据拟合问题 原料切割问题 运输问题 营养配餐问题 分配问题
1.3 基本概念
1. 最优化问题的向量表示法
设 xvx1,x2,L,xnT 则
m i n fx 1 ,x 2 ,L ,x n m i n fx v （1）
以向量为变量的实值函数 定义向量间的序关系(定义1.1)：
②取 c0,1,4,9,L并画出相应的曲线（称之为等值线）.
③确定极值点位置，并用以往所学方法求之。
易知本题的极小值点 xv* 2,1T。
再复杂点的情形见P13上的例1.7。 虽然三维及以上的问题不便于在平面上画图，图解 法失效，但仍有相应的等值面的概念，且等值面具有以 下性质：
①有不同函数值的等值面互不相交（因目标函数是单值 函数的缘故）；
其中
g1 xv0
x1
g2 xv0
x1
L
gv
xv0
g1 xv0
x2
g2 xv0
x2
L
M
g1 xv0
xn
M
g2 xv0
xn
称为向量值函数 gv xv 在点
L
xv 0
g
m xv0
x1
g
m
xv0
x2
g
M
m xv0
xn
处的导数，
而gv xv0 T 称为向量值函数 gv xv 在点 xv 0 处的Jacobi矩阵。
称为最优化方法。最优化方法是在第二次世界大战前后，
在军事领域中对导弹、雷达控制的研究中逐渐发展起来 的。
最优化方法解决问题一般步骤： （1）提出需要进行最优化的问题，开始收集有关资 料和数据； （2）建立求解最优化问题的有关数学模型，确定变 量，列出目标函数和有关约束条件； （3）分析模型，选择合适的最优化方法； （4）求解方程。一般通过编制程序在电子计算机上 求得最优解； （5）最优解的验证和实施。 随着系统科学的发展和各个领域的需求，最优化方 法不断地应用于经济、自然、军事和社会研究的各个领 域。
1.2 实例
数据拟合问题 原料切割问题 运输问题 营养配餐问题 分配问题
1.3 基本概念
1. 最优化问题的向量表示法
设 xvx1,x2,L,xnT 则
m i n fx 1 ,x 2 ,L ,x n m i n fx v （1）
以向量为变量的实值函数 定义向量间的序关系(定义1.1)：
②取 c0,1,4,9,L并画出相应的曲线（称之为等值线）.
③确定极值点位置，并用以往所学方法求之。
易知本题的极小值点 xv* 2,1T。
再复杂点的情形见P13上的例1.7。 虽然三维及以上的问题不便于在平面上画图，图解 法失效，但仍有相应的等值面的概念，且等值面具有以 下性质：
①有不同函数值的等值面互不相交（因目标函数是单值 函数的缘故）；
其中
g1 xv0
x1
g2 xv0
x1
L
gv
xv0
g1 xv0
x2
g2 xv0
x2
L
M
g1 xv0
xn
M
g2 xv0
xn
称为向量值函数 gv xv 在点
L
xv 0
g
m xv0
x1
g
m
xv0
x2
g
M
m xv0
xn
处的导数，
而gv xv0 T 称为向量值函数 gv xv 在点 xv 0 处的Jacobi矩阵。
称为最优化方法。最优化方法是在第二次世界大战前后，
在军事领域中对导弹、雷达控制的研究中逐渐发展起来 的。
最优化方法解决问题一般步骤： （1）提出需要进行最优化的问题，开始收集有关资 料和数据； （2）建立求解最优化问题的有关数学模型，确定变 量，列出目标函数和有关约束条件； （3）分析模型，选择合适的最优化方法； （4）求解方程。一般通过编制程序在电子计算机上 求得最优解； （5）最优解的验证和实施。 随着系统科学的发展和各个领域的需求，最优化方 法不断地应用于经济、自然、军事和社会研究的各个领 域。
最优化计算方法PPT课件
0.91
0.91
3 (x 5)2 ( y 3)2 18 (x 1)2 ( y 1)2
0.91
0.91
8 (x 3)2 ( y 1)2 6 (x 5)2 ( y 1)2 ] / 84
▪ 问题为在区域0=<x=<6, 0=<y=<6上求z=f(x,y)的 最小值。
•15
绘制目标函数图形
xnew=a+(b-a)*rand(1); ynew=c+(d-c)*rand(1); znew=subs(z,[x,y],[xnew,ynew]); if znew<zmin
xmin=xnew; ymin=ynew; zmin=znew; fprintf('%4.0f %1.6f %1.6f %1.6f\n', n, xmin, ymin, zmin); end end
•16
16/5+...+17/140 (x2-10 x+26+y2-2 y)91/200
20
15
10
5
5 0
5 0
-5
-5
y
x
•17
绘制等值线图
ezcontourf(z,[0 6 0 6])
colorbar, grid on
16/5+...+17/140 (x2-10 x+26+y2-2 y)91/200 6
据的统计分析给出：对离救火站r英里打来
的求救电话，需要的响应时间估计
为
。下图给出了从消3.防21管.7r0员.91 处得到
的从城区不同区域打来的求救电话频率的
估计数据。求新的消防站的最佳位置。
•13
最优化理论与算法ppt
x 为的严格局部极小值点（极大值）
Page 17
凸集、凸函数与凸优化问题
凸组合：已知 D ，Rn任取k个点，如果存在常 数
k
使得ai
0
(i 1则, 2称,, k为) ai i 1
1
如果函数在点P(x, y) 是可微分的，那末函数在该点沿任意 方向L的方向导数都存在，且有
f f cos f sin
l x
y
其中为x轴到方向L的转角
Page 11
函数的方向导数与极值问题
梯度
函数在一点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最 大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值。
(2) 若 f (x0)T P 0，则P的方向是函数在点x0 处的上升方向。
方向导数的正负决定了函数值 的升降，而升降的快慢就由它的 绝对值大小决定．绝对值越大， 升降的速度就越快
Page 14
结论：
(1)梯度方向是函数值的最速上升方向； (2)函数在与其梯度正交的方向上变化率为零； (3)函数在与其梯度成锐角的方向上是上升的，而在与其梯度
以 f (x) 的n个偏导数为分量的向量称为在处的梯度，
记为
f
(
x)
f (x) x1
,
f (x) ,
x2
,
f (x)T
xn
梯度也可以称为函数关于向量的一阶导数。
Page 12
Hesse矩阵
2 f (x)
x12
2 f (x)
2
f
( x)
H (x)
x2x1
2 f (x)
2c 0
xnx1
目标函数的等值面（线） 对于简单的问题，可用等值线或等值面来描述函数的
工程最优化设计理论、方法和应用PPT课件
∆Xk = αk dk 即 Xk+1=Xk+αk dk 满足f(Xk+1) < f(Xk)
于是 变成求
f(Xk+1)=f(Xk+αk dk )
的极值点问题
这里的核心问题是确定
?dk ?αk
1.解析法:可以确定dk(目标函数的负梯度方向)，也可求出
一元函数的极值确定一最佳搜索步长αk，即φ(αk ) = f(Xk+αk dk )，应有φ’(αk )=0
min f (x1,..., xn )
s.t. gk (x1,..., xn ) 0 k 1,..., n
Eular,Lagrange, Problems in infinite dimensions, calculus of variations
1950s－, 数学规划法， 即：数值计算法(迭代法)—通过计算求得最优解。
供应量
360
300
200
？
分析：设每天生产甲产品 x1 件， 乙产品 x2 件，于是该生产计划问题可归结为
求变量 x1， x2 使函数 f(x1,x2)=60x1+120x2 极大化
需满足条件
g1(x1, x2 ) 9x1 4x2 360
g2 (x1, x2 ) 3x1 10x2 300
g3 (x1, x2 ) 4x1 5x2 200
Fe
2EI
L2
其中，I钢管截面惯性矩
I (R4 r4 ) A (T 2 D2 )
4
8
1
刚好满足强度约束条 件 时，有
F1 A
F(B2 h2 ) 2
TDh
y
其中 A是钢管截面面积 A=π(R2-r2)= πTD
于是 变成求
f(Xk+1)=f(Xk+αk dk )
的极值点问题
这里的核心问题是确定
?dk ?αk
1.解析法:可以确定dk(目标函数的负梯度方向)，也可求出
一元函数的极值确定一最佳搜索步长αk，即φ(αk ) = f(Xk+αk dk )，应有φ’(αk )=0
min f (x1,..., xn )
s.t. gk (x1,..., xn ) 0 k 1,..., n
Eular,Lagrange, Problems in infinite dimensions, calculus of variations
1950s－, 数学规划法， 即：数值计算法(迭代法)—通过计算求得最优解。
供应量
360
300
200
？
分析：设每天生产甲产品 x1 件， 乙产品 x2 件，于是该生产计划问题可归结为
求变量 x1， x2 使函数 f(x1,x2)=60x1+120x2 极大化
需满足条件
g1(x1, x2 ) 9x1 4x2 360
g2 (x1, x2 ) 3x1 10x2 300
g3 (x1, x2 ) 4x1 5x2 200
Fe
2EI
L2
其中，I钢管截面惯性矩
I (R4 r4 ) A (T 2 D2 )
4
8
1
刚好满足强度约束条 件 时，有
F1 A
F(B2 h2 ) 2
TDh
y
其中 A是钢管截面面积 A=π(R2-r2)= πTD
第八讲网络最优化模型【共61张PPT】
第八讲 网络最优化模型
最短路模型
最短路模型的求解
求解最短路问题实际上就是找一条总长度最短的路 线，对于这样的最短路问题，可以建立0-1整数规划数学
模型求解（如下图）。
第八讲 网络最优化模型
最短路模型
最短路模型的求解
为简化求解过程，可以建立专门的最短路求解模型 ，用计算机求解：可以将图中各条边和每条边是的权数 直接录入到求解模型中，直接得到结果。因此可以称下 图就是一个最短路问题的数学表述模型。
条路，使两点间的总距离为最短。
第八讲 网络最优化模型
最短路模型
例8.1 如下图所示，某人每天从住处S开车到工作地T上
班，图中各弧旁的数字表示道路的长度（千米），试问 他从家出发到工作地，应选择哪条路线，才能使路上行 驶的总距离最短？
第八讲 网络最优化模型
最短路模型的基本特征
最短路模型
1、在网络中选择一条路，始于发点（源点）,终于收点（目的
条道路及道路维修。工期和所需劳动力见下表。该公司共 有劳动力120人，任一工程在一个月内的劳动力投入不能超 过80人，问公司应如何分配劳动力以完成所有工程，是否能按
期完成？
工程 A．地下通道 B．人行天桥 C．新建道路 D．道路维修
工期和所需劳动力
工期 5～7月 6～7月 5～8月
8月
需要劳动力（人） 100 80 200 80
赵●
(v1)
e1
e3
钱● (v2)
●孙 (v3) e4
●李 (v4)
第八讲 网络最优化模型
基本概念
图
7、 回路 始点和终点重合的路叫做回路。上图中（v3，v5，v6
，v7，v4 ，v3）就是一条回路。
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【条件设置】 总成本必须是最小值； 月末库存 = 月初库存 + 本月生产量 – 需求量 月初库存 = 上月末库存 储存成本是每月末库存量之和与单位储存成本 之乘积； 各种生产方式每月的产量必须大于等于0； 每月的库存量不能小于0； 各种生产方式的月生产量不能大于其月生产能 力。
【例】 某移动通讯公司准备在一城市建立发射塔，该 城有4个地区，现有4个建塔位置，每个位置对各 地区的覆盖情况和费用如单元格区域 C2:G7 所示 （其中：1表示能覆盖该区域）。 （ 1 ）假设在每个位置都建塔，计算每个地区被 覆盖的次数和建塔总费用。 （ 2 ）用规划求解工具求解最优建塔位置（必须 确给保覆盖所有地区）和总费用的最小值。【发 射塔规划】
200
销地3 6 5
产地A 产地B
【例】 某农场主拥有两个农场，分别有 80 和 100 亩耕 地。他可用两个农场的全部耕地来种植玉米和小 麦。根据高层需求，他今年的生产指标是玉米 20000千克和小麦50000千克。两个农场的产量及 成本如下所示。该农场主应如何合理安排种植面 积。 【规划求解1】
P103
1、最优化问题分类 ▲根据有无约束条件可以分为： 有约束条件的最优化问题 即在资源限定的情况下求解最佳目标。 无约束条件的最优化问题 即在资源无限的情况下求解最佳目标。 ▲根据决策变量在目标函数与约束条件中出现的 形式可分为： 线性规划问题 目标函数与约束条件函数都是线性的。 非线性规划问题 目标函数与约束条件函数都是非线性的。
最优化模型
在生产、经营和管理中，经常遇到求最大值和 最小值的问题，如经济订货量等，这些都属于最 优化问题。 最优化问题是运筹学的一个重要分支，根据其 形式又分为： 数学规划 动态规划 网络规划
一、最优化问题概述 最优化问题就是在给定的条件下寻找最佳方案 的问题。最佳的含义包括两个方面： 在资源给定时寻找最好的目标 在目标确定下使用最少的资源
每亩收成 玉米 小麦 500 400 650 350 每亩成本 玉米 小麦 100 90 120 80
农场1 农场2
【条件设置】 总成本必须是最小值； 玉米与小麦的种植面积必须大于等于0，且是整 数； 两个农场的玉米和小麦产量之和应小于需求量； 各个农场玉米与小麦的种植面积之和必须小于 等于可供面积。
【条件设置】 总成本必须是最小值； 各地区有供应量必须大于等于最低需求，且小 于等于最高需求（地区IV无最高需求）； 各个化肥厂对各个地区的供应量必须大于等于0， 且对各地区供应量之和必须小于等于其年产量。
【例】 某公司对一种产品要制订三个月的生产计划。 公司能以正常班生产、加班生产和外加工三种方 式生产该产品。三种方式的每箱成本分别为： 30 元、40元和45元；三种方式的月生产能力分别为： 450箱、50箱和100箱。在各月需求量不平衡的情 况下可以将后面月份需要的产品提前安排在前面 的月份生产并将产品保存在仓库中，每箱产品每 月的存储成本为 0.5 元。一月初该产品尚有 100 箱 的库存量。现已知该产品这三个月的需求量分别 是：500箱、650箱和700箱。【规划求解3】
【条件设置】 总成本必须是最小值； 可变区域（选择位置）的值为二进制（1表示建 发射塔，0表示不建发射塔），且必须大于等于0； 各地区的覆盖次数必须大于等于1。
【例】 某公司接到对于该公司的A、B与C三种产品的 订单，订购量如单元格区域E7:G7所示。产品A只 能使用第1和第2种机器生产，产品B、C可以使用 三种机器中的任一种来生产，但由于在不同机器 上生产时的次品率不同，使用不同机器生产的单 位成本是不同的。这三种机器的生产能力如单元 格区域I2:I5所示，生产A、B、C三种产品时的单 位成本数据如单元格区域D9:G12所示。要求： （ 1 ）试在本工作表中构造一个线性规划模型框 架，利用“规划求解工具”确定一个生产安排， 它在满足订购量的同时使总成本达到极小。 （ 2 ）将规划求解的模型设置保存在从 A2 开始的 单元格区域内。【产品订单】
P169
【例】 某公司从产地 A和产地 B将物品运往销地 1、销 地2、销地3。各产地的产量、各销地的销量和各 产地运往销地的单位运费如下所示。问：应如何 调运可使最运费最小？ 【例7-1】
产量 销量 产地A 产地B 销地1 200 300 150 销地1 6 6 销地2 4 5 销地2 销地3
150
其实经济订货量的计算也可以用规划求解工具 来实现。 【经济订货量】
【例】 某设有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥。 假定等量的化肥在这些地区使用效果相同。各化 肥厂年产量、各地区年需要量及从各化肥厂到各 地区运送单位化肥的运价如单元格区域 I3:I6 及 D3:H8所示。要求： （1）试求出总运费最节省的化肥调拨方案。 （ 2 ）把规划求解模型参数保存在从 A2 开始的单 元格区域。 【规划求解2】
在 Excel 中，可以用以下 3 种方法进行最优化问 题求解： 公式法（仅适用于简单的最优解问题） 分析问题，推导出计算最优的公式。 利用规划求解工具 启动Excel中的规划求解工具进行求解。 查表法 利用模拟运算表工具制作决策变量与目标变量 的对照表。 规划求解工具是最有效和最方便的求解工具。
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2、最优化问题的数学模型 决策变量 每一个规划问题都有一组需要求解的未知数， 称作决策变量。 约束条件 对于规划问题的决策变量通常情况下都有一定 的限制条件，称作约束条件。 目标 每一个问题都有一个明确的目标（利润最大或 成本最低等）。目标通常可以用与决策变量有关 的函数表示。
2、最优化问题的求解方法 求解最优化问题的首要问题是将实际问题数学 化、模型化。即将实际问题通过一组决策变量、 一组用不等式或等式表示的约束条件以及目标函 数来表示。这是求解规划问题的关键。 在Excel中，可以用一些单元格表示决策变量， 用一个单元格代表目标变量；在目标变量中用公 式表示目标函数；在另一些单元格代表约束的条 件。
【条件设置】 总成本必须是最小值； 不同机器生产的不同产品数量必须大于等于0； 产品A不能由机器3生产，即相应单元格的值必 须为0； 各机器的总产量不能超过其生产能力； 各产品的总产量大于等于需求量。
【例】 某公司分别从3个客户（U1、U2、U3）那里得 到了市场调研的项目。目前有 3 个项目经理（ m1 、 m2 、 m3 ）可以承担这些项目，每位经理完成各 项目的可能时间（单位：天），见单元格区域 D4:F6 。如果每个客户项目分配一名项目经理， 每名项目经理可以得到一个客户，该如何分配这 3个项目给各位经理，以便使项目尽快完成？ （ 1 ）在工作表中构造一个线性规划模型框架， 利用“规划求解工具”确定一个最优的分配方案。 （ 2 ）将规划求解的模型设置保存在从 A2 开始的 单元格区域内。【项目安排】
【条件设置】 总天数必须经理及各客户接受的项目数不能超过1。
正确建立最优化模型的关键： 正确构建模型的框架 模型的框架通常包括：目标变量区域、决策变 量区域和约束条件区域。其中决策变量通常有两 个，分别处于行和列的位置；行和列的交叉处即 为可变区域。 正确设置约束条件 约束条件设置得正确与否直接影响求解的结果。 除了以上的各区域外，还需根据建模的要求在 模型框架之外建立已知条件区域，以便进行一些 计算。