工程力学第四章
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工程力学(材料力学部分第四章)
特点：2
qa 1 qa2 2
在刚节点处，弯矩值连续 ;
Q
1 qa 2
1 qa2 2
M
53
特点： 在刚节点处，弯矩值连续; 可以利用刚节点的平衡， 对内力图进行校核。
Q2
X 0 Y 0
M1
N1 Q1
M2 N2
Q2 N1 0
Q1 N2
M 0
M1 54M 2
§4. 6 平面曲杆的弯曲内力
平面曲杆 轴线为平面曲线的杆或梁。
M = 截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和
12
RAx
x
RA
RC
若从D处截开，取右段。 横截面上的内力如图。
RAx
QD
RA
QD
x
N
MD
MD
RC
计算可得QD, MD的数值与取左段所得结果相同。
但从图上看，它们的方向相反。
剪力和弯矩的正负号规则如何？
13
剪力和弯矩的正负号规定
剪力
使其作用的一 段梁产生顺时 针转动的剪力 为正。
(0.6 x 1.2 m)
DB段 取x截面，右段受力如图。
Q(x) q(2.4 x) RB 19 10x (1.2 x 2.247 m)
x
DB段 取x截面，右段受力如图。
Q(x) q(2.4 x) RB19 10x (1.2 x 2.4 m)
M (x)
RA (2.4
x)
1 2
RA
1 2
ql
Pb l
RB
1 2
ql
Pa l
RA1
若梁分别受到这两种载
荷的作用：
RA2
RB RB1 R42B2
约束反力
qa 1 qa2 2
在刚节点处，弯矩值连续 ;
Q
1 qa 2
1 qa2 2
M
53
特点： 在刚节点处，弯矩值连续; 可以利用刚节点的平衡， 对内力图进行校核。
Q2
X 0 Y 0
M1
N1 Q1
M2 N2
Q2 N1 0
Q1 N2
M 0
M1 54M 2
§4. 6 平面曲杆的弯曲内力
平面曲杆 轴线为平面曲线的杆或梁。
M = 截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和
12
RAx
x
RA
RC
若从D处截开，取右段。 横截面上的内力如图。
RAx
QD
RA
QD
x
N
MD
MD
RC
计算可得QD, MD的数值与取左段所得结果相同。
但从图上看，它们的方向相反。
剪力和弯矩的正负号规则如何？
13
剪力和弯矩的正负号规定
剪力
使其作用的一 段梁产生顺时 针转动的剪力 为正。
(0.6 x 1.2 m)
DB段 取x截面，右段受力如图。
Q(x) q(2.4 x) RB 19 10x (1.2 x 2.247 m)
x
DB段 取x截面，右段受力如图。
Q(x) q(2.4 x) RB19 10x (1.2 x 2.4 m)
M (x)
RA (2.4
x)
1 2
RA
1 2
ql
Pb l
RB
1 2
ql
Pa l
RA1
若梁分别受到这两种载
荷的作用：
RA2
RB RB1 R42B2
约束反力
【2024版】工程力学课件-第四章-平面一般力系
擦均不计。试求A和B处的支座约束力。
y
q
q
Me
A
BA
C
D
2a
a
FAx FAy 2a
C a
4a
4a
Me Bx
D
FNB
(a)
(b)
解：(1) 选AB梁为研究对象。 (2) 画受力图如右图所示。 (3) 取坐标如图。
课程：工程力学
例题 4-4 (4) 列平衡方程
第4章 平面一般力系 38
矢。 FR′的大小和方向等于主矢，作用点在O点。 由此可见，主矢与简化中心的位置无关。
MO M1 M2 Mn
MO (F1) MO (F2 ) MO (Fn ) MO (F )
(4-2)
由此可见，MO一般与简化中心的位置有关，它反映 了原力系中各力的作用线相对于O点的分布情况， 称为原力系对O点的主矩。
例题 4-3 解：(1) 取AB梁为研究对象。
(2) 画受力图。
y FT
未知量三个：FAx、FAy、FT ，FAx A 独立的平衡方程数也是三个。
FAy
(3) 列平衡方程，选坐标如图所示。
300
B
DE x
PF
Fx 0
FA x FT cos 300 0
(1)
Fy 0
FA y FT sin 300 P F 0 (2)
且主矢和主矩都不为零，问是否可能？
F1
F2
A
B
Fn
FR
A
B
答：合力与两点连线平行时可能。
课程：工程力学
思考题 4-2
第4章 平面一般力系 17
在什么情况下，一平面力系向一点简化所得 的主矩为零？
F1
《工程力学》第四章 杆件的应力与强度计算
3.内力的分布(The distribution of internal force)
正应力均匀分布 F
FN
4.应力的计算公式：
拉压杆横截面上各点处只产生正应力，且正应力在截面上均匀分布 。
F
FN
A
——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式。
FN
式中：
为横截面上的正应力； FN为横截面上的轴力； A为横截面面积。
解:作出砖柱的轴力图 AB段柱横截面上的正应力
BC段柱横截面上的正应力 最大工作应力为
二、轴向拉压杆斜截面上应力的计算
1.斜截面上应力确定
(1) 内力确定：
F
F
FNa= F
(2)应力确定：
F
①应力分布——均布 ②应力公式——
F
a
x
a
FNa
pa FNa
pa
FNa Aa
F A
F cosa cosa
b
问题：正应变是单位长度的线变形量？
三、应力与应变关系(胡克定律 )
一点的应力与该点的应变之间存在对应的关系。
1.单向受力试验表明：在正应力作用下，材料沿应
力作用方向发生正应变，若在弹性范围内加载，正
应力与正应变存在线性成正比：
E ——胡克定律
E 称为材料的弹性模量或杨氏模量。 钢的弹性模量： E 200 GPa 铜的弹性模量： E 120 GPa
直角的改变量。
切应变的特点：
1.切应变为无量纲量;
2.切应变单位为弧度（rad）。
K 3.单元体受力最基本、最简单的两种形式:
单向应力状态：单元体仅在一对互相平行的截面上承受正应力； 纯剪切应力状态：单元体仅承受切应力。
正应变与切应变：
正应力均匀分布 F
FN
4.应力的计算公式：
拉压杆横截面上各点处只产生正应力，且正应力在截面上均匀分布 。
F
FN
A
——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式。
FN
式中：
为横截面上的正应力； FN为横截面上的轴力； A为横截面面积。
解:作出砖柱的轴力图 AB段柱横截面上的正应力
BC段柱横截面上的正应力 最大工作应力为
二、轴向拉压杆斜截面上应力的计算
1.斜截面上应力确定
(1) 内力确定：
F
F
FNa= F
(2)应力确定：
F
①应力分布——均布 ②应力公式——
F
a
x
a
FNa
pa FNa
pa
FNa Aa
F A
F cosa cosa
b
问题：正应变是单位长度的线变形量？
三、应力与应变关系(胡克定律 )
一点的应力与该点的应变之间存在对应的关系。
1.单向受力试验表明：在正应力作用下，材料沿应
力作用方向发生正应变，若在弹性范围内加载，正
应力与正应变存在线性成正比：
E ——胡克定律
E 称为材料的弹性模量或杨氏模量。 钢的弹性模量： E 200 GPa 铜的弹性模量： E 120 GPa
直角的改变量。
切应变的特点：
1.切应变为无量纲量;
2.切应变单位为弧度（rad）。
K 3.单元体受力最基本、最简单的两种形式:
单向应力状态：单元体仅在一对互相平行的截面上承受正应力； 纯剪切应力状态：单元体仅承受切应力。
正应变与切应变：
工程力学理论力学第4章
———合力矩定理
M O ( R ) mO ( Fi )
n i 1
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。 即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和。
§4-2
平面任意力系的平衡条件与平衡方程
由于 F ' =0 为力平衡 R MO=0 为力偶也平衡 所以平面任意力系平衡的充要条件为：
解得：
qa m 200.8 16 RB 2 P 220 12( kN) 2 a 2 0.8 Y A P qa RB 20 200.81224(kN)
§4-4 物体系统的平衡、静定与超静定问题的概念
一、静定与超静定问题的概念 我们学过： 平面汇交力系 X 0 Y 0 力偶系 两个独立方程，只能求两个独立 未知数。 一个独立方程，只能求一个独立未知数。
主矩MO =0
所以 平面平行力系的平衡方程为：
Y 0
mO ( Fi ) 0
mA ( Fi ) 0
实质上是各力在x 轴上的投影 恒等于零，即
X 0
一矩式
二矩式
mB ( Fi ) 0
条件：AB连线不能平行 于力的作用线
恒成立
的未知数。
，所以只有两个
独立方程，只能求解两个独立
mi 0
X 0 平面 Y 0 任意力系
三个独立方程，只能求三个独立未知数。 mO ( Fi ) 0
当：独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
[例]
M
静定（未知数三个）
超静定（未知数四个）
超静定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移 谐调条件来求解。
M O ( R ) mO ( Fi )
n i 1
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。 即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和。
§4-2
平面任意力系的平衡条件与平衡方程
由于 F ' =0 为力平衡 R MO=0 为力偶也平衡 所以平面任意力系平衡的充要条件为：
解得：
qa m 200.8 16 RB 2 P 220 12( kN) 2 a 2 0.8 Y A P qa RB 20 200.81224(kN)
§4-4 物体系统的平衡、静定与超静定问题的概念
一、静定与超静定问题的概念 我们学过： 平面汇交力系 X 0 Y 0 力偶系 两个独立方程，只能求两个独立 未知数。 一个独立方程，只能求一个独立未知数。
主矩MO =0
所以 平面平行力系的平衡方程为：
Y 0
mO ( Fi ) 0
mA ( Fi ) 0
实质上是各力在x 轴上的投影 恒等于零，即
X 0
一矩式
二矩式
mB ( Fi ) 0
条件：AB连线不能平行 于力的作用线
恒成立
的未知数。
，所以只有两个
独立方程，只能求解两个独立
mi 0
X 0 平面 Y 0 任意力系
三个独立方程，只能求三个独立未知数。 mO ( Fi ) 0
当：独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
[例]
M
静定（未知数三个）
超静定（未知数四个）
超静定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移 谐调条件来求解。
工程力学第4章
（３） 列平衡方程，求解未知量。列力矩方程时，通常 选未知力较多的交点为矩心。
（４） 结果分析或校核。
第4章 平面任意力系
例4-2 摇臂吊车如图4-9（a）所示。横梁AB的A端为固定 铰链支座，B端用拉杆BC与立柱相连。已知梁的重力G1＝4kN, 载荷G2＝12 kN，横梁长l＝６ｍ，α＝30°，求当载荷距A端距 离x＝4 ｍ时， 拉杆BC的受力和铰支座A的约束反力。
第4章 平面任意力系
3. 平面力偶系是特殊的力系，根据力偶的性质，在基本方程 中的投影方程自然满足，所以只有一个方程，
MO (F) 0
第4章 平面任意力系
4.2.3
（１） 根据题意，选取适当的研究对象；对所选研究对 象进行受力分析并画受力图。
（２） 选取适当的直角坐标系。坐标轴应与较多的未知 反力平行或垂直。一般情况下，水平和垂直的坐标轴可以不画， 但其它特殊方向的坐标轴必须画出。
第4章 平面任意力系
（3） 该力系上述的三种简化结果，从形式上是不同的， 但都与原力系等效。所以，三种情况的简化结果是等效的。
第4章 平面任意力系
4.1.3 固定端约束
固定端约束是工程中一种常见的约束。如图4-6所示，夹紧 在卡盘上的工件（图(a)），固定在刀架上的车刀（图(b)）， 嵌入墙中的雨罩（图(c)）等都属于固定端约束。由约束的性质 可知， 固定端约束能限制物体沿任何方向的移动，也能限制物 体在约束处的转动。所以，固定端Ａ处的约束反力可用两个正
主矢FR′的大小和方向分别为：
FR' (FRx )2 (FRy )2 2002 1502 250N
tan FRy 150 0.75
FRx 200
第4章 平面任意力系
（４） 结果分析或校核。
第4章 平面任意力系
例4-2 摇臂吊车如图4-9（a）所示。横梁AB的A端为固定 铰链支座，B端用拉杆BC与立柱相连。已知梁的重力G1＝4kN, 载荷G2＝12 kN，横梁长l＝６ｍ，α＝30°，求当载荷距A端距 离x＝4 ｍ时， 拉杆BC的受力和铰支座A的约束反力。
第4章 平面任意力系
3. 平面力偶系是特殊的力系，根据力偶的性质，在基本方程 中的投影方程自然满足，所以只有一个方程，
MO (F) 0
第4章 平面任意力系
4.2.3
（１） 根据题意，选取适当的研究对象；对所选研究对 象进行受力分析并画受力图。
（２） 选取适当的直角坐标系。坐标轴应与较多的未知 反力平行或垂直。一般情况下，水平和垂直的坐标轴可以不画， 但其它特殊方向的坐标轴必须画出。
第4章 平面任意力系
（3） 该力系上述的三种简化结果，从形式上是不同的， 但都与原力系等效。所以，三种情况的简化结果是等效的。
第4章 平面任意力系
4.1.3 固定端约束
固定端约束是工程中一种常见的约束。如图4-6所示，夹紧 在卡盘上的工件（图(a)），固定在刀架上的车刀（图(b)）， 嵌入墙中的雨罩（图(c)）等都属于固定端约束。由约束的性质 可知， 固定端约束能限制物体沿任何方向的移动，也能限制物 体在约束处的转动。所以，固定端Ａ处的约束反力可用两个正
主矢FR′的大小和方向分别为：
FR' (FRx )2 (FRy )2 2002 1502 250N
tan FRy 150 0.75
FRx 200
第4章 平面任意力系
第四章工程力学
13
4.2 横截面上的正应力
1638年：材料力学的开端 《关于两种新科学的对话》
伽利略像
开创了用实验观察——假 设——形成科学理论的方 法
14
研究方法： 实验观察
4.2 横截面上的正应力
作出假设
理论分析
实验验证
1、实验观察
F
a a b b
c c
F
d d
变形前： ab // cd
变形后： ab / /cd
22
低碳钢的拉伸试验
4.3 常温静载下材料的力学性能
试验原理：将试件两端安装在试验机的夹具中，然后缓慢加
载，试件逐渐伸长，直至拉断为止。记下一系列载荷 F 的数
值和与它对应的工作段的伸长量ΔL值。
23
4.3 常温静载下材料的力学性能
低碳钢的拉伸试验
拉伸图（F—ΔL曲线）：以ΔL为横坐标、F为纵
坐标，万能试验机上附有自动绘图设备。
F—ΔL曲线不能反映材料的力学性能：F与ΔL的
对应关系与试件尺寸L有关。
σ—ε曲线（应力—应变曲线）：以F/A=σ作为 纵坐标、ΔL/L=ε作为横坐标。
σ—ε曲线与试件的尺寸无关，反映材料本身的
力学性能。
σ—ε曲线应与F—ΔL曲线相似：A及L均为常数。
– 3kN
9
例 1：图(a)所示杆件在A、C、D三处受力，B处为固定端约束。试求此杆各段的
轴力，并绘出轴力图。
解 ：分别计算AC、CD、DB段的轴力。
AC段：取左段为研究对象，设其上轴力为正 方向。AC段的轴力为 FN1 = F(拉力)
CD段：取左段为研究对象，设其上轴力为正方 向。CD 段的轴力为 FN2=－2F (压力)
4.2 横截面上的正应力
1638年：材料力学的开端 《关于两种新科学的对话》
伽利略像
开创了用实验观察——假 设——形成科学理论的方 法
14
研究方法： 实验观察
4.2 横截面上的正应力
作出假设
理论分析
实验验证
1、实验观察
F
a a b b
c c
F
d d
变形前： ab // cd
变形后： ab / /cd
22
低碳钢的拉伸试验
4.3 常温静载下材料的力学性能
试验原理：将试件两端安装在试验机的夹具中，然后缓慢加
载，试件逐渐伸长，直至拉断为止。记下一系列载荷 F 的数
值和与它对应的工作段的伸长量ΔL值。
23
4.3 常温静载下材料的力学性能
低碳钢的拉伸试验
拉伸图（F—ΔL曲线）：以ΔL为横坐标、F为纵
坐标，万能试验机上附有自动绘图设备。
F—ΔL曲线不能反映材料的力学性能：F与ΔL的
对应关系与试件尺寸L有关。
σ—ε曲线（应力—应变曲线）：以F/A=σ作为 纵坐标、ΔL/L=ε作为横坐标。
σ—ε曲线与试件的尺寸无关，反映材料本身的
力学性能。
σ—ε曲线应与F—ΔL曲线相似：A及L均为常数。
– 3kN
9
例 1：图(a)所示杆件在A、C、D三处受力，B处为固定端约束。试求此杆各段的
轴力，并绘出轴力图。
解 ：分别计算AC、CD、DB段的轴力。
AC段：取左段为研究对象，设其上轴力为正 方向。AC段的轴力为 FN1 = F(拉力)
CD段：取左段为研究对象，设其上轴力为正方 向。CD 段的轴力为 FN2=－2F (压力)
工程力学第4章 力系的平衡
2
即空间一般力系平衡的解析条件是力系中所有各力 在任一轴上投影的代数和为零，同时力系中各力对任一 轴力矩的代数和为零。式（4.2）称为空间一般力系的平 衡方程（equationsofequilibrium ofthreedimensionalforcesystem inspace）。 应当指出，由空间一般力系平衡的解析条件可知， 在实际应用平衡方程时，所选各投影轴不必一定正交， 且所选各力矩轴也不必一定与投影轴重合。此外，还可 用力矩方程取代投影方程，但独立平衡方程总数仍然是 6个。
30
4.3.1 有主次之分物体系统的平衡 有主次之分的物体系统，其荷载传递规律是：作用 在主要部分上的荷载，不传递给相应的次要部分，也不 传递给与它无关的其他主要部分；而作用在次要部分上 的荷载，一定要传递给与它相关的主要部分。
31
32
据此，先分析次要部分BD，其受力图如图4.11（b） 所示。建立图示参考系Oxy，列平衡方程并求解。由于 本题只要求出D处的约束反力，而不必要求出B处的约 束反力，故
12
13
建立参考系 Bxy，列平衡方程，求未知力。
14
15
例4.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 图4.5所示为一管道支架，其上搁有管道，设 每一支架所承受的管重G1=12kN，G2=7kN，且架重不计。 求支座A和C处的约束反力，尺寸如图所示。
16
17
解 取刚架AB为研究对象，其上所受力有：已知的 集中力F、集度为q的均布荷载，集中力偶；未知的3个 约束反力FAx，FAy，MA。刚架AB的受力图如图4.6（b） 所示。各力组成一平面一般力系。建立图示Oxy坐标系， 列平衡方程求解
9
2.平面一般力系平衡方程的其他形式 （1）二矩式平衡方程
工程力学第四章PPT课件
力的平衡
总结词
力的平衡条件与平衡状态
详细描述
力的平衡是指物体在受到力的作用时，处于静止或匀速直线 运动的状态。平衡状态下的物体所受的合力为零，即合力矩 为零。在工程实践中，通过合理布置支撑、加强结构等措施 ，可以保证物体的平衡状态。
力的合成与分解
总结词
力的合成法则与力的分解法则
VS
详细描述
力的合成是指两个或多个力共同作用在物 体上，可以用一个等效的力来代替它们。 力的合成遵循平行四边形法则或三角形法 则。力的分解则是将一个力分解为两个或 多个等效的分力。力的合成与分解在解决 工程实际问题中具有重要意义。
案例三：建筑结构的抗震设计
总结词
抗震设计是确保建筑物在地震中保持稳定的关键因素 ，通过合理的抗震设计，可以减少建筑物在地震中的 损坏和人员伤亡。
详细描述
建筑结构的抗震设计主要考虑建筑物在地震作用下的动 态响应和稳定性。通过建立建筑物的动力学模型，可以 模拟建筑物在不同等级地震下的变形、应力和破坏情况 。这有助于工程师优化建筑物的结构设计、地基处理和 材料选择，提高建筑物的抗震性能和安全性。同时，抗 震设计还需要考虑建筑物的使用功能和成本效益等因素 ，以满足实际需求。
静力学还涉及到工程中的许多问题， 如物体的稳定性、压杆的稳定性等， 这些问题都需要通过静力学分析来解 决。
静力学在桥梁、建筑、机械等领域都 有广泛应用，例如建筑设计时需要计 算建筑结构的受力情况，以确保结构 的稳定性。
动力学应用
动力学主要研究物体运动状态的变化规律，包括运动物体的速度、加速度、力等物理量的分 析。
材料力学在土木工程、机械、航空航天等领域有广泛应用，例如桥梁和 建筑结构需要承受各种载荷的作用，机械零件也需要承受各种应力和应
工程力学第4章.ppt
静摩擦力Ff是个有界值，所以也是有界值，即0≤φ≤φm。 φm ， φm为物块处于临界平衡状态时，全反力与接触面法线夹角的最 大值，称为摩擦角，显然
tanm
Ff max FN
fs
即摩擦角的正切等于静摩擦系数。可见摩擦角与静摩擦系数一
样，也是表示摩擦性质的物理量。
第4章 摩 擦 图4-2
第4章 摩 擦 2.自锁
4.1.2 摩擦角与自锁现象
1. 摩擦角
在图4-1中，将支承面对物块的法向反力FN和切向反力Ff合 成，得到一个合力FR，称为全反力；将主动力G和FT合成一个力 FQ， 即
FR＝FN+Ff FQ=G+FT
第4章 摩 擦 图4-1
第4章 摩 擦
设FQ与接触面法线的夹角为，全反力FR与接触面法线的夹 角为，于是物块在全部主动力的合力FQ和全反力FR的作用下平 衡，此时，α＝φ ，如图4-2（a）所示。根据（4-2）式可知，
φ ，所以
0≤α ≤φ m
（4-4）
式（4-4）表明，作用于物体上的全部主动力的合力FQ，不论 其大小如何，只要其作用线与接触面法线的夹角α小于或等于
摩擦角（即FQ作用在摩擦角之内），则物体保持静止。这种现 象称为自锁。 式（4-4）称为自锁条件。
第4章 摩 擦 反之，当作用于物体上的全部主动力的合力FQ的作用线位
列平衡方程及静摩擦力的补充方程：
Fx 0
FNB FA 0
Fy 0
FB FNA G 0
第4章 摩 擦
MB(F) 0
FNA 2a cos FA 2a sin G a cos 0
FA f s FNA
联立上述方程，解得
FB f s FNB
tanm
Ff max FN
fs
即摩擦角的正切等于静摩擦系数。可见摩擦角与静摩擦系数一
样，也是表示摩擦性质的物理量。
第4章 摩 擦 图4-2
第4章 摩 擦 2.自锁
4.1.2 摩擦角与自锁现象
1. 摩擦角
在图4-1中，将支承面对物块的法向反力FN和切向反力Ff合 成，得到一个合力FR，称为全反力；将主动力G和FT合成一个力 FQ， 即
FR＝FN+Ff FQ=G+FT
第4章 摩 擦 图4-1
第4章 摩 擦
设FQ与接触面法线的夹角为，全反力FR与接触面法线的夹 角为，于是物块在全部主动力的合力FQ和全反力FR的作用下平 衡，此时，α＝φ ，如图4-2（a）所示。根据（4-2）式可知，
φ ，所以
0≤α ≤φ m
（4-4）
式（4-4）表明，作用于物体上的全部主动力的合力FQ，不论 其大小如何，只要其作用线与接触面法线的夹角α小于或等于
摩擦角（即FQ作用在摩擦角之内），则物体保持静止。这种现 象称为自锁。 式（4-4）称为自锁条件。
第4章 摩 擦 反之，当作用于物体上的全部主动力的合力FQ的作用线位
列平衡方程及静摩擦力的补充方程：
Fx 0
FNB FA 0
Fy 0
FB FNA G 0
第4章 摩 擦
MB(F) 0
FNA 2a cos FA 2a sin G a cos 0
FA f s FNA
联立上述方程，解得
FB f s FNB
工程力学第4章
M Fd M B ( F )
即力向一点平移时所附加力偶的力偶矩 等于原力对平移点之矩。
图4-1
力的平移定理是力系向一点简化的理论依据,它不仅给出了 平移作用于刚体上的一个力的等效条件,而且可直接用来分 析和解决工程实际中的力学问题。
例如,用丝螺纹攻螺纹时,必须两手同时用力,且等值反向。若仅在扳手的 一端作用力F(图4-2a),则这个力与作用在中心处的一个力F'和一个矩为M 的力偶等效(图4-2b),这个力偶使丝螺纹转动,而这个力F'却往往容易使丝 螺纹折断。又如图4-3所示转轴上的齿轮受有周向力F作用,将力F平移至 轴心点O,则力F'使轴弯曲,而矩为M的力偶将使轴产生扭转效应。
图4-2
图4-3
4.2
平面一般力系向作用面内一点简化
设刚体受一个平面力系(F1、F2、…、Fn)作用,现将该力系进行简化。为 简单起见,以三个力F1、F2、F3作用在刚体上(图4-4a)为例说明。在力系 作用平面内任选一点O,将该力系向点O简化,点O称为简化中心。应用 力的平移定理,将各力平移至点O,同时加上相应的附加力偶。这样,原 力系变为作用在点O的平面汇交力系(F' 1、F' 2、F' 3),以及力偶矩为 M1=MO(F1)、M2=MO(F2)、M3=MO(F3)的附加力偶系(图4-4b)。
图4-6
4.3
简化结果分析
平面一般力系向简化中心简化,其主矢F'R和对简化中心的主矩MO 可能有四种情况 1)F'R=0,MO=0 主矢和主矩都等于零。说明简化后的平面汇交力 系和平面力偶系都处于平衡状态,因而原平面一般力系是一个平 衡力系。 2)F'R=0,MO≠0 主矢等于零,主矩不等于零。说明原力系简化为一个 合力偶,其力偶矩等于原力系对简化中心的主矩。若将力系再向其 他简化中心简化,其主矩应等于此合力偶对新简化中心之矩,由力偶 理论知,两者是相同的。说明原力系与一个同平面内的力偶等效。 此时,力系的主矩与简化中心的选择无关。
工程力学第四章
O O
Z
C
Z
y
a yC
dA
ZC
y
2
ZC
截面对Z轴的惯性矩为：
I Z y dy ( yC a) dy
2 A A
y
yC
IZ
A
2 yC dA 2a
yC dA a A
2 A
截面对形心轴 ZC轴的惯性矩
由ZC轴通过截面 形心，其值为0
2
O
即：I Z I ZC a A
1400 16
50
（2）由平行移轴公式计算惯性矩
Iy
I I I yc 2
(0.24 0.211)m 0.029 m
4
4
0.86m 1.4m3 a A1 (0.7 0.51)2 1.204 m4 z 12 0.24 m 4 A B a b 3 II II 16 16 I yc I y 0 a 2 A2 0.828m 1.334 m yc 12 1.334 ( 0.05 0.51) 2 1.105m 4 c z d 2 y o 4 0.211m C D 430 860
b3
12 0.02m 0.14m3 (0.08 0.0467 )2 m2 2.8 103 m2 12 7.68 106 m4
z A1
2
20
0 100
II
yC
y
140
z
20
II II I yc I y 0 a 2 A2
C
z b 3 2 A2 z 0 12 100 3 (0.01m)(0.02m) 0.0467 mm2 2.0 103 mm2 12
100
Z
C
Z
y
a yC
dA
ZC
y
2
ZC
截面对Z轴的惯性矩为：
I Z y dy ( yC a) dy
2 A A
y
yC
IZ
A
2 yC dA 2a
yC dA a A
2 A
截面对形心轴 ZC轴的惯性矩
由ZC轴通过截面 形心，其值为0
2
O
即：I Z I ZC a A
1400 16
50
（2）由平行移轴公式计算惯性矩
Iy
I I I yc 2
(0.24 0.211)m 0.029 m
4
4
0.86m 1.4m3 a A1 (0.7 0.51)2 1.204 m4 z 12 0.24 m 4 A B a b 3 II II 16 16 I yc I y 0 a 2 A2 0.828m 1.334 m yc 12 1.334 ( 0.05 0.51) 2 1.105m 4 c z d 2 y o 4 0.211m C D 430 860
b3
12 0.02m 0.14m3 (0.08 0.0467 )2 m2 2.8 103 m2 12 7.68 106 m4
z A1
2
20
0 100
II
yC
y
140
z
20
II II I yc I y 0 a 2 A2
C
z b 3 2 A2 z 0 12 100 3 (0.01m)(0.02m) 0.0467 mm2 2.0 103 mm2 12
100
工程力学课程第4章
第4章教学方案——空间力系第4章 空间力系作用在物体上的力系，若其作用线在空间分布，称为空间力系。
空间力系是最一般的力系，平面力系只是它的特例。
在工程实际中遇到的空间力系有各种形式，当力系中各力作用线汇交于一点时称为空间汇交力系；当力系中的力全部构成空间力偶时称为空间力偶系；当力系中各力作用线在空间任意分布时称为空间任意力系。
4.1 空间汇交力系4.1.1 力在空间直角坐标轴上的投影和分力空间力系的研究方法与平面力系基本相同，只是将平面问题中的概念、理论和方法推广和引伸到空间问题中。
若已知力F 与空间直角坐标系Oxyz 的x 、y 、z 轴正向的夹角分别为α、β、γ，如图4.1所示，则力在三个坐标轴上的投影分别为⎪⎭⎪⎬⎫===γβαcos cos cos F Z F Y F X （4-1） 若已知力F 与z 轴正向的夹角γ和力作用线与z 轴所构成的平面与Oxz 坐标平面的夹角φ，如图4.2所示，则可以先将F 力投影到Oxy 平面上，然后再向x 、y 轴投影。
力在三个坐标轴上的投影分别为⎪⎭⎪⎬⎫===γϕγϕγcos sin sin cos sin F Z F Y F X （4-2）若以F x 、F y 、F z 表示力F 在坐标轴方向的分力，则k j i F F F F Z Y X z y x ++=++= （4-3）其中，i 、j 、k 分别为x 、y 、z 坐标轴方向的单位矢量。
可见，分力的大小就等于同方向的投影的绝对值。
若已知力F 在三个直角坐标轴上的投影X 、Y 、Z ，则力F 的大小和方向余弦为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===++=F ZFY F XZ Y X F γβαcos cos cos 222 （4-4）4.1.2 空间汇交力系的合成与平衡条件●空间汇交力系可以合成为一个合力，该合力等于力系各分力的矢量和，合力作用线过汇交点。
即∑==+++=ni i n 121R F F F F F （4-5）根据（4-3）式可得∑∑∑++=k j i F i i i Z Y X R （4-6）可见，合力F R 在x 、y 、z 坐标轴上的投影为∑X i 、∑Y i 、∑Z i 。
工程力学第四章平面一般力系
详细描述
平面一般力系简化的目的是将复杂的力系简化为更简单的形式，以便分析刚体的平衡状 态。通过力的平移定理，我们可以将平面一般力系简化为一个合力和一个力矩，或者一 组力和力矩的代数和。这个合力或力和力矩的代数和代表了原力系对刚体的作用效果。
简化后的力系更易于理解和分析，有助于解决工程实际问题。
Part
平衡条件的推导
根据力的平移定理，将平面力系中的所有力平移到同一点， 然后根据合力矩为零和合力为零的条件，推导出平面力系的 平衡条件。
Part
04
平面力系的平衡方程
平衡方程的推导
01
02
03
力的合成与分解
根据力的平行四边形法则， 将力进行合成或分解为多 个分力。
力的投影
将力投影到坐标轴上，得 到力在x轴和y轴上的分量。
STEP 01
分析受力情况
解决静力学问题
利用平衡方程，求解平面 内物体的受力情况，解决 静力学问题。
STEP 03
验证结构稳定性
利用平衡方程，验证结构 的稳定性，确保结构在各 种工况下的安全可靠。
通过平衡方程，分析物体 在平面内的受力情况，判 断物体的运动状态。
Part
03
平面力系的平衡条件
平衡条件的概念
平衡条件是一个物理概念，描述的是物 体在力系作用下保持静止的状态，而平 衡方程是一个数学表达式，用于描述这
一状态。
平衡条件是定性描述，而平衡方程则是 定量描述。平衡方程通过数学符号和运 算，将平衡条件的定性描述转化为可求
解的定量关系。
平衡条件是解决平衡问题的前提，而平 衡方程则是解决问题的工具。通过建立 平衡方程，可以求解未知量，得出物体
平衡条件与平衡方程的联系
平面一般力系简化的目的是将复杂的力系简化为更简单的形式，以便分析刚体的平衡状 态。通过力的平移定理，我们可以将平面一般力系简化为一个合力和一个力矩，或者一 组力和力矩的代数和。这个合力或力和力矩的代数和代表了原力系对刚体的作用效果。
简化后的力系更易于理解和分析，有助于解决工程实际问题。
Part
平衡条件的推导
根据力的平移定理，将平面力系中的所有力平移到同一点， 然后根据合力矩为零和合力为零的条件，推导出平面力系的 平衡条件。
Part
04
平面力系的平衡方程
平衡方程的推导
01
02
03
力的合成与分解
根据力的平行四边形法则， 将力进行合成或分解为多 个分力。
力的投影
将力投影到坐标轴上，得 到力在x轴和y轴上的分量。
STEP 01
分析受力情况
解决静力学问题
利用平衡方程，求解平面 内物体的受力情况，解决 静力学问题。
STEP 03
验证结构稳定性
利用平衡方程，验证结构 的稳定性，确保结构在各 种工况下的安全可靠。
通过平衡方程，分析物体 在平面内的受力情况，判 断物体的运动状态。
Part
03
平面力系的平衡条件
平衡条件的概念
平衡条件是一个物理概念，描述的是物 体在力系作用下保持静止的状态，而平 衡方程是一个数学表达式，用于描述这
一状态。
平衡条件是定性描述，而平衡方程则是 定量描述。平衡方程通过数学符号和运 算，将平衡条件的定性描述转化为可求
解的定量关系。
平衡条件是解决平衡问题的前提，而平 衡方程则是解决问题的工具。通过建立 平衡方程，可以求解未知量，得出物体
平衡条件与平衡方程的联系
第四章工程力学
，
M
A
(F ) 0
，
5 FB 1.5P 3.5P 1 0
，
M
B
(F ) 0
M
解得
5 FAx 1.5P 3.5P 1 0
D
(F ) 0
3.5FAy 5FB (3.5 1.5) P 0
FB 31kN
FAx 31kN FAy 50kN
广泛应用：
2
说明：
①力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力
力+力偶 （例绕把、丝锥）
②力平移的条件是附加一个力偶M，且M与d有关， M=F•d
③力的平移定理是力系简化的理论基础。 把未知力系（平面任意力系）变成已知力系
（平面汇交力系和平面力偶系）
二、 平面任意力系向一点简化 主矢和主矩
O 称为简化中心。
注意：对于平面任意力系 ，不论采用哪种形式的平 衡方程 ，其独立的平衡方程的个数只有三个 ，对一个研 究对象来讲，只能解三个未知量,不得多列！
P 10kN , P , 尺寸如图； 例4-4 已知： 1 40kN
求： 轴承A、B处的约束力. 解： 取起重机，画受力图.
F 0
x
FAx FB 0
F1 F1 M1 Fd 1 1 M 0 (F 1) F2 F2 M2 M0 (F2 ) Fn Fn
M o M i M o (Fi )
FR Fi Fi
Mn M0 (Fn )
向一点简化
两个独立的平衡方程！
例4-7 已知： P 1 200kN , P 2 700kN , AB 4m 求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3； （2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。 解：取起重机，画受力图.
M
A
(F ) 0
，
5 FB 1.5P 3.5P 1 0
，
M
B
(F ) 0
M
解得
5 FAx 1.5P 3.5P 1 0
D
(F ) 0
3.5FAy 5FB (3.5 1.5) P 0
FB 31kN
FAx 31kN FAy 50kN
广泛应用：
2
说明：
①力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力
力+力偶 （例绕把、丝锥）
②力平移的条件是附加一个力偶M，且M与d有关， M=F•d
③力的平移定理是力系简化的理论基础。 把未知力系（平面任意力系）变成已知力系
（平面汇交力系和平面力偶系）
二、 平面任意力系向一点简化 主矢和主矩
O 称为简化中心。
注意：对于平面任意力系 ，不论采用哪种形式的平 衡方程 ，其独立的平衡方程的个数只有三个 ，对一个研 究对象来讲，只能解三个未知量,不得多列！
P 10kN , P , 尺寸如图； 例4-4 已知： 1 40kN
求： 轴承A、B处的约束力. 解： 取起重机，画受力图.
F 0
x
FAx FB 0
F1 F1 M1 Fd 1 1 M 0 (F 1) F2 F2 M2 M0 (F2 ) Fn Fn
M o M i M o (Fi )
FR Fi Fi
Mn M0 (Fn )
向一点简化
两个独立的平衡方程！
例4-7 已知： P 1 200kN , P 2 700kN , AB 4m 求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3； （2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。 解：取起重机，画受力图.
工程力学4第四章弯曲内力
M=±ΣM(Fi)左或右
例1： 已知 q=2 kN / m，求 1-1，2-2，3-3
截面上的内力。
y MA FA
1 1 2m 2 2
q
3
1m 31m
x
1-1 截面：FS = 2×2 = 4 kN，M = -2 ×2 ×3 = - 12 kN.m
2-2 截面：FS = 2×2 = 4 kN， M = -2 ×2 ×1 = - 4 kN.m 3-3 截面：FS = 2×1 = 2 kN， M = -2 ×1 ×0.5 = - 1 kN.m
第四章 弯曲内力
主讲:符春生
§4-1 概述
一、平面弯曲
外力特点:外力是垂直于杆轴线的 力,或作用在包含轴线在 内的平面内力偶。
变形特点:轴线弯成曲线。横截面 轴线
绕垂直于轴线的轴作相 对转动。
轴线
以弯曲为主要变形的杆——梁。
若外力或外力偶作用在纵向对称
面内，杆的轴线在此平面内弯成一平
面曲线——平面弯曲（对称弯曲）。
MA
q0
A
q(x)
B
( 2)
画剪力图和弯矩图
FA
x
l
q0 1 FS ( x) q( x)(l x) (l x)2 2 2l
q0l/2 Fs q0l2/6 +
1 1 q0 M ( x) q( x)(l x) (l x) (l x)3 2 3 6l
M
§4－4剪力、弯矩与荷载集度之间的关系
FS=－FB+F2 ＝ΣFi右
B
M
m
C
F2 FB
FS m
M=FB(l-x)－F2(l-x-b)
＝ΣM(Fi)右
工程力学(静力学部分第四章)
仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与 前面基本相同。
几个新特点
1 画受力图时，必须考虑摩擦力；
2 严格区分物体处于临界、非临界状态；
3因
，问题的解有时在一个范围内。
§4-4 滚动摩阻（擦）的概念
静滚动摩阻（擦）
最大滚动摩阻（擦）力偶
滚动摩阻（擦）系数，长度量纲 的物理意义
使圆轮滚动比滑动省力的原因 处于临界滚动状态，轮心拉力为
第四章 摩擦
摩擦
滑动摩擦 滚动摩擦
静滑动摩擦 动滑动摩擦
静滚动摩擦 动滚动摩擦
干摩擦 摩擦
湿摩擦
《摩擦学》
§ 4-1滑动摩擦
静滑动摩擦力的特点
1 方向：沿接触处的公切线，
与相对滑动趋势反向；
2 大小：
3
（库仑摩擦定律）
动滑动摩擦的特点 1 方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向； 2 大小：
（对多数材料，通常情况下）
§ 4-2 摩擦角和自锁现象
1 摩擦角 全约束力
物体处于临界平衡状态时， 全约束力和法线间的夹角。 摩擦角
全约束力和法线间的夹角的 正切等于静滑动摩擦系数。 摩擦锥（角）
2 自锁现象
3 测定摩擦系数的一种简易方法，斜面与螺纹自锁条件
斜面自锁条件 螺纹自锁条件
§4-3 考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
处于临界滑动状态，轮心拉力为 ，
一般情况下，
则
或
某型号车轮半径
混凝土路面
或 。
，
例4-1 已知： 求： 使物块静止，水平推力 的大小。 解：使物块有上滑趋势时，推力为 ，
画物块受力图
(1) (2)
(3)
解得： 设物块有下滑趋势时，推力为 ， 画物块受力图：
工程力学课件第4章
主矢
F R
F i
主矩
M O
M
O
(
F i
)
若选取不同的简化中心，对主矢、主矩有无影响？
如何求出主矢、主矩?
F Rx
F ix
F ix
F x
FRy Fiy Fiy Fy
主矢大小 FR ( Fix )2 ( Fiy )2
方向 作用点
cos( FR, i
)
Fix FR
cos( FR,
j)
若为O1点，如何?
§4-3 平面任意力系的平衡条件
平面任意力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
即 F 0 M 0
R
o
因为 有
FR ( Fx )2 ( Fy )2
Fx Fy
0 0
Mo 0
M O M O (Fi ) (4 4)
平面任意力系的平衡方程（一般式） 平面任意力系的平衡方程有三种形式: 一般式 二矩式 三矩式
AC
FR'x Fix F1 F2 cos 232.9kN
FR'y Fiy P1 P2 F sin 670.1kN
FR' 大小
FR'
2
F ix
2
F 709.4kN iy
FR' 的方向余弦
cos FR' ,i
Fix FR'
0.3283
cos FR' , j
平面任意力系平衡方程的三种形式
一般式
Fx 0
F y
0
M A 0
二矩式
Fx 0 M A 0
M B 0
A, B 两个取矩点连线，不得与投影轴垂直
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0 0
l
FR的作用线通过分布载荷图形的形心。
同向分布平行力系可合成为一个合力，合力的 大小等于分布载荷图形的面积，作用线通过图形的 形心，指向与原力系相同。 例 求梁上分布载荷的合力。 解：载荷图形分为三部分，有 FR1=1.6kN; 作用线距O点1m。 FR2=0.6kN; 作用线距O点3.5m。 FR3=0.9kN; 作用线距O点3m。 合力 FR=FR1+FR2+FR3=3.1kN。
F F Q 0 F F + F W P 0 d m ( F ) Q P 3L W L + F 2 L 0 2
X AX
FAX Q 40 kN
Y
AY
c
A
c
6 PL + 2WL Qd Fc 45 kN 4L
将Fc 代入第二式解得
例：求图中分布力系的合力。
解： FR1=2q1=1 kN; FR2=3q2/2=6 kN;
FR1
q1=0.5 KN/m
FR
合力的大小： FR=FR2-FR1=5 kN 方向同FR2 ，如图。
A
q2=4 KN/m 2m
x
3m
FR2
合力作用位置(合力矩定理): FRx=3×FR2-1×FR1 ; x=(18-1)/5=3.4m
o x
F 0 mo (F ) 0
M F 0 M F 0
A B
附加条件：
A、B两点的连线不 平行力的作用线
（3）平面任意力系平衡方程的其他形式
)0 M A (F MB (F ) 0
两矩式
附加条件：
F
x
0
X 轴不垂直于AB 连线
三矩式
F’R
F2
平面任意力系
平面汇交力系 平面力偶系
一个力 一个力偶
结论：平面任意力系向面内一点的简化，一般 可得一个力和一个力偶。
y F1 M
F2
F4
y M2 M1 F1 M
F2
F3
y FR'
O
O
F3 (a)
F5 x
F4 O M4 M5 F5 x (b)
M3
MO (c)
x
共点力系可合成为一个力FR'（主矢）, 即： FR'=F1+F2+…+Fn=Fi 或用解析法写为: FRx=F1x+F2x+…+Fnx=Fx FRy=F1y+F2y+…+Fny=Fy
Mo = mo(F) = 0
三个独立方 程解三个未 知量
(1)平面汇交力系 FR 0 F 0 平衡条件 解析形式
F
X
0
F
Y
0
这就是平面汇交力系的平衡方程：力系的各力分别在二个 坐标轴上的投影之代数和等于零。两个独立方程可解二个 末知量。 y （b）多矩式 (2)平面平行力系 （a）基本形式 FX = 0 FY = 0 mo(F) = 0
N c 0 .5 P
C 2L A B
E 2L
L NB D
NA
O
MD (F ) P3L sin N A 2L sin tg 0 3P NA 2.6 P 2tg M E ( F ) P3L sin N B 2 L sin sin 0
二、平面汇交力系与平面力偶系的简化结果
F
Fi
i 1
n
Fx Fix
n
Fyห้องสมุดไป่ตู้ Fiy
i 1
i 1 n
h1 h2
F1 F2
M Mi Mo ( Fi )
i 1 i 1
n
n
三、平面一般力系向一点简化
F1 o F3 F2 m3 F3 o m1 m2 F1 Mo o
主矢 F’R= F R2x + F R2y = 125 kN； 指向如图。
合力FR=FR=11.1kN； 作用线距O点的距离h为： h=M0 /FR=1.09 (m) ； 位置由Mo 的正负确定，如图。
F2 =10kN
例2. 重力坝受力情况如图，长度单位为m, AB = 5.7m, G1 = 450kN, G2 = 200kN, P1=300kN, P2 = 70kN, =16o40’。 求力系向A点简化的结果,以及力系的最终简化结果。 y 解： 先求力系向A点简化的主矢 3 Fx P FRx .8kN 1 P 2 cos 300 70 0.958 232 3.9
4.1 平面一般力系的简化 平面一般力系：
若作用于物体上所有的力（包括力偶）都在同 一平面内，则力系称为平面一般（任意）力系。
y
M1
M2
y
y
M3
x 平行力系 x
A 汇交力系
特例
一般力系
x
平行力系: 各力作用线相互平行(可包含力偶) 汇交力系: 各力作用线汇交于同一点(不含力偶)
一、力系简化的基础----力线的平移定理
FAY W + P Fc 15 kN
例3. 已知：图示L形杆AOBC自重不计，O处挂一重物重为P， A、B、C三处均为光滑接触面约束。求：三接触点A、 B、 Nc C上的约束力。 解：研究对象： L形杆AOBC 分析力：P, NA , NC , NB 列平衡方程： MB (F ) PLsin Nc 2L sin 0
y B L/2 M P D L/2FAY A m FAX A L/2 q C
F
F
Y
x
FAX + P 0
FAY L q 0 2
FAX P
x
FAY
qL 2
L LL m A (F ) P 2 q 2 4 + M + m A 0
1 2 1 m A qL + PL M 8 2
Fy G1 G2 P FRy .1kN 2 sin 670
9
P1
2 + FRy 2 232.82 + (670.1) 2 709kN FR FRx
cos FRx 232.8 0.328 FR 709
3
7051
注意：FR'与简化中心O点的位置选取无关。
力偶系可合成为一个合力偶， 合力偶之矩 MO是各力偶之矩的代数和。即: MO=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)+MO(M)=MO(Fi) MO称为原力系对简化中心O的主矩， 显然， MO与简化中心O点的位置有关。
力 平面 简化 主矢FR 平移 一般 力？ 力偶 力系 主矩MO
A B
A
B
F”
A
B
F
F
d
F’
F’
m
F
F F” F’
m = Fd =mB(F) F’
若要将一个力平行移到刚体内的任一点，而不改变对刚体 的作用，则必须在该力和新的作用点所决定的平面内附加 一力偶，其力偶矩等于原来的力对新的作用点之矩。
逆定理：可以将一个作用在B点的力和一个作用在同平面 内的力偶合成为一个作用在A点的力。
q=0.8 kN/m 1
x F FR1 RFR3
3 2
FR2
0.2
x
O
2m
3m
设合力FR距O点为x，由合力矩定理有： -FRx=-FR1-3.5FR2-3FR3=-(1.6+2.1+2.7)=-6.4kN.m 得到 x=6.4/3.1=2.06m 故合力为3.1kN，作用在距O点2.06m处，向下。
y
h C TC A E
d
T x
B b b NB
FX T Tc sin 0 T Tc sin 1.04kN
G
F
N A + NB Tc cos 0 mA (F ) N B 2b Td Tc cosb + Tc sin h 0 Tc sin (h d ) + Tc cos b NB 1.67 kN 2b 代入第二式解得 N A TC cos N B 2.19 kN
P2 G 2 A B d MA FR FR’
1.5 G1
x
力系简化的主矩
M A m A ( F ) G11.5 G2 3.9 P1 3 2355 kNm
MA 2355 d 3.32m FR 709
力系的最终简化结果为一合力FR
h
FR
补充： 同向分布平行力系合成 设载荷集度为q(x)，在距O点x 处取 微段dx, 微段上的力为q(x)dx。
例2. 轮轴AD, A为止推轴承,C为圆柱轴承，轮B重W=40k外伸 端D的齿轮直径为d，受径向力P=20kN和轴向力 Q=40kN。 L=20cm. 求两轴承的约束力。 解：研究对象： 轮轴 分析力：W, P, Q, FC , FAX , FAY 选轴列平衡方程：
y FAY A L B FAX W FC L C L D d P Q x
P
NB
校核：
3P 3P 2 sin
9 3 M ( F ) N L cos + N L N 3 L sin PL + 3 PL PL 0 o A B c 4 4
例4. 已知：图示小车（自重不计）上悬挂重物重G=4kN, 光滑 斜面倾角=15°, b=10cm, h=10cm, d=5cm。求：小车匀速 移动时，缆绳的拉力T 和斜面对前后轮的约束力。 解：研究对象： 小车ABC 分析力： T, TC = G, NA, NB 选轴列平衡方程：
l
FR的作用线通过分布载荷图形的形心。
同向分布平行力系可合成为一个合力，合力的 大小等于分布载荷图形的面积，作用线通过图形的 形心，指向与原力系相同。 例 求梁上分布载荷的合力。 解：载荷图形分为三部分，有 FR1=1.6kN; 作用线距O点1m。 FR2=0.6kN; 作用线距O点3.5m。 FR3=0.9kN; 作用线距O点3m。 合力 FR=FR1+FR2+FR3=3.1kN。
F F Q 0 F F + F W P 0 d m ( F ) Q P 3L W L + F 2 L 0 2
X AX
FAX Q 40 kN
Y
AY
c
A
c
6 PL + 2WL Qd Fc 45 kN 4L
将Fc 代入第二式解得
例：求图中分布力系的合力。
解： FR1=2q1=1 kN; FR2=3q2/2=6 kN;
FR1
q1=0.5 KN/m
FR
合力的大小： FR=FR2-FR1=5 kN 方向同FR2 ，如图。
A
q2=4 KN/m 2m
x
3m
FR2
合力作用位置(合力矩定理): FRx=3×FR2-1×FR1 ; x=(18-1)/5=3.4m
o x
F 0 mo (F ) 0
M F 0 M F 0
A B
附加条件：
A、B两点的连线不 平行力的作用线
（3）平面任意力系平衡方程的其他形式
)0 M A (F MB (F ) 0
两矩式
附加条件：
F
x
0
X 轴不垂直于AB 连线
三矩式
F’R
F2
平面任意力系
平面汇交力系 平面力偶系
一个力 一个力偶
结论：平面任意力系向面内一点的简化，一般 可得一个力和一个力偶。
y F1 M
F2
F4
y M2 M1 F1 M
F2
F3
y FR'
O
O
F3 (a)
F5 x
F4 O M4 M5 F5 x (b)
M3
MO (c)
x
共点力系可合成为一个力FR'（主矢）, 即： FR'=F1+F2+…+Fn=Fi 或用解析法写为: FRx=F1x+F2x+…+Fnx=Fx FRy=F1y+F2y+…+Fny=Fy
Mo = mo(F) = 0
三个独立方 程解三个未 知量
(1)平面汇交力系 FR 0 F 0 平衡条件 解析形式
F
X
0
F
Y
0
这就是平面汇交力系的平衡方程：力系的各力分别在二个 坐标轴上的投影之代数和等于零。两个独立方程可解二个 末知量。 y （b）多矩式 (2)平面平行力系 （a）基本形式 FX = 0 FY = 0 mo(F) = 0
N c 0 .5 P
C 2L A B
E 2L
L NB D
NA
O
MD (F ) P3L sin N A 2L sin tg 0 3P NA 2.6 P 2tg M E ( F ) P3L sin N B 2 L sin sin 0
二、平面汇交力系与平面力偶系的简化结果
F
Fi
i 1
n
Fx Fix
n
Fyห้องสมุดไป่ตู้ Fiy
i 1
i 1 n
h1 h2
F1 F2
M Mi Mo ( Fi )
i 1 i 1
n
n
三、平面一般力系向一点简化
F1 o F3 F2 m3 F3 o m1 m2 F1 Mo o
主矢 F’R= F R2x + F R2y = 125 kN； 指向如图。
合力FR=FR=11.1kN； 作用线距O点的距离h为： h=M0 /FR=1.09 (m) ； 位置由Mo 的正负确定，如图。
F2 =10kN
例2. 重力坝受力情况如图，长度单位为m, AB = 5.7m, G1 = 450kN, G2 = 200kN, P1=300kN, P2 = 70kN, =16o40’。 求力系向A点简化的结果,以及力系的最终简化结果。 y 解： 先求力系向A点简化的主矢 3 Fx P FRx .8kN 1 P 2 cos 300 70 0.958 232 3.9
4.1 平面一般力系的简化 平面一般力系：
若作用于物体上所有的力（包括力偶）都在同 一平面内，则力系称为平面一般（任意）力系。
y
M1
M2
y
y
M3
x 平行力系 x
A 汇交力系
特例
一般力系
x
平行力系: 各力作用线相互平行(可包含力偶) 汇交力系: 各力作用线汇交于同一点(不含力偶)
一、力系简化的基础----力线的平移定理
FAY W + P Fc 15 kN
例3. 已知：图示L形杆AOBC自重不计，O处挂一重物重为P， A、B、C三处均为光滑接触面约束。求：三接触点A、 B、 Nc C上的约束力。 解：研究对象： L形杆AOBC 分析力：P, NA , NC , NB 列平衡方程： MB (F ) PLsin Nc 2L sin 0
y B L/2 M P D L/2FAY A m FAX A L/2 q C
F
F
Y
x
FAX + P 0
FAY L q 0 2
FAX P
x
FAY
qL 2
L LL m A (F ) P 2 q 2 4 + M + m A 0
1 2 1 m A qL + PL M 8 2
Fy G1 G2 P FRy .1kN 2 sin 670
9
P1
2 + FRy 2 232.82 + (670.1) 2 709kN FR FRx
cos FRx 232.8 0.328 FR 709
3
7051
注意：FR'与简化中心O点的位置选取无关。
力偶系可合成为一个合力偶， 合力偶之矩 MO是各力偶之矩的代数和。即: MO=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)+MO(M)=MO(Fi) MO称为原力系对简化中心O的主矩， 显然， MO与简化中心O点的位置有关。
力 平面 简化 主矢FR 平移 一般 力？ 力偶 力系 主矩MO
A B
A
B
F”
A
B
F
F
d
F’
F’
m
F
F F” F’
m = Fd =mB(F) F’
若要将一个力平行移到刚体内的任一点，而不改变对刚体 的作用，则必须在该力和新的作用点所决定的平面内附加 一力偶，其力偶矩等于原来的力对新的作用点之矩。
逆定理：可以将一个作用在B点的力和一个作用在同平面 内的力偶合成为一个作用在A点的力。
q=0.8 kN/m 1
x F FR1 RFR3
3 2
FR2
0.2
x
O
2m
3m
设合力FR距O点为x，由合力矩定理有： -FRx=-FR1-3.5FR2-3FR3=-(1.6+2.1+2.7)=-6.4kN.m 得到 x=6.4/3.1=2.06m 故合力为3.1kN，作用在距O点2.06m处，向下。
y
h C TC A E
d
T x
B b b NB
FX T Tc sin 0 T Tc sin 1.04kN
G
F
N A + NB Tc cos 0 mA (F ) N B 2b Td Tc cosb + Tc sin h 0 Tc sin (h d ) + Tc cos b NB 1.67 kN 2b 代入第二式解得 N A TC cos N B 2.19 kN
P2 G 2 A B d MA FR FR’
1.5 G1
x
力系简化的主矩
M A m A ( F ) G11.5 G2 3.9 P1 3 2355 kNm
MA 2355 d 3.32m FR 709
力系的最终简化结果为一合力FR
h
FR
补充： 同向分布平行力系合成 设载荷集度为q(x)，在距O点x 处取 微段dx, 微段上的力为q(x)dx。
例2. 轮轴AD, A为止推轴承,C为圆柱轴承，轮B重W=40k外伸 端D的齿轮直径为d，受径向力P=20kN和轴向力 Q=40kN。 L=20cm. 求两轴承的约束力。 解：研究对象： 轮轴 分析力：W, P, Q, FC , FAX , FAY 选轴列平衡方程：
y FAY A L B FAX W FC L C L D d P Q x
P
NB
校核：
3P 3P 2 sin
9 3 M ( F ) N L cos + N L N 3 L sin PL + 3 PL PL 0 o A B c 4 4
例4. 已知：图示小车（自重不计）上悬挂重物重G=4kN, 光滑 斜面倾角=15°, b=10cm, h=10cm, d=5cm。求：小车匀速 移动时，缆绳的拉力T 和斜面对前后轮的约束力。 解：研究对象： 小车ABC 分析力： T, TC = G, NA, NB 选轴列平衡方程：