工程力学第四章

A B
A
B
F”
A
B
F
F
d
F’
F’
m
F
F F” F’
m = Fd =mB(F) F’
若Hale Waihona Puke Baidu将一个力平行移到刚体内的任一点，而不改变对刚体 的作用，则必须在该力和新的作用点所决定的平面内附加 一力偶，其力偶矩等于原来的力对新的作用点之矩。
逆定理：可以将一个作用在B点的力和一个作用在同平面 内的力偶合成为一个作用在A点的力。
Q
FBx
B FBY
FAY
曲柄连杆机构
XO m O YO
A
B
A
FB’
B NB
P
O
FOY
FA’
B
FB
静定问题－－未知量数目NR不超出独立平衡方程的数目NE N = NE - NR NR NE 自由度数 静不定问题－－未知量数目NR超出独立平衡方程的数目NE NR>NE I = NR -NE 静不定次数
注意：FR'与简化中心O点的位置选取无关。
力偶系可合成为一个合力偶， 合力偶之矩 MO是各力偶之矩的代数和。即: MO=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)+MO(M)=MO(Fi) MO称为原力系对简化中心O的主矩， 显然， MO与简化中心O点的位置有关。
力 平面 简化 主矢FR 平移 一般 力？ 力偶 力系 主矩MO
例2. 轮轴AD, A为止推轴承,C为圆柱轴承，轮B重W=40k外伸 端D的齿轮直径为d，受径向力P=20kN和轴向力 Q=40kN。 L=20cm. 求两轴承的约束力。 解：研究对象： 轮轴 分析力：W, P, Q, FC , FAX , FAY 选轴列平衡方程：
y FAY A L B FAX W FC L C L D d P Q x
FR'
O
FR
h=M0/FR
M0
A
四、简化结果的讨论
(1) F’R = 0 (2) F’R 0 (3) F’R 0
Mo o
Mo 0 Mo =0 Mo 0 F’R F’’R
力偶 合力 F’R FR
o d o’
d Mo FR
FR
o
o’
(4) F’R = 0
Mo = 0
平衡
平面力系简化的最终结果，只有三种可能： 一个力；一个力偶；或为平衡力系。
o x
F 0 mo (F ) 0
M F 0 M F 0
A B
附加条件：
A、B两点的连线不 平行力的作用线
（3）平面任意力系平衡方程的其他形式
)0 M A (F MB (F ) 0
两矩式
附加条件：
F
x
0
X 轴不垂直于AB 连线
三矩式
固定端（插入端）约束
P P FAY mA A FAX
mA
FAR
A
固定端约束的作用为一个大小方向待定的约 束力FAR和一个约束力偶mA，可用三个未知量 FAY, FAX , mA 表示。
例1：求图示力系的合力。 解：力系向O点简化，有：
F4=8kN
y(m)
F3 =15kN
2
F’Rx=Fx=F1+4F2/5-3F3/5 h MO 4 2 4 x (m) O 2 =6+8-9=5 kN 2 F’Ry=Fy=-3F2/5M=12kN.m F F =6kN R' 1 4F3/5+F4 =-6-12+8=-10 kN Mo=2F1-3(4F2/5)+4(3F3 /5)-4F4+M=12 kN.m
P2 G 2 A B d MA FR FR’
1.5 G1
x
力系简化的主矩
M A m A ( F ) G11.5 G2 3.9 P1 3 2355 kNm
MA 2355 d 3.32m FR 709
力系的最终简化结果为一合力FR
h
FR
补充： 同向分布平行力系合成 设载荷集度为q(x)，在距O点x 处取 微段dx, 微段上的力为q(x)dx。
FAY W + P Fc 15 kN
例3. 已知：图示L形杆AOBC自重不计，O处挂一重物重为P， A、B、C三处均为光滑接触面约束。求：三接触点A、 B、 Nc C上的约束力。 解：研究对象： L形杆AOBC 分析力：P, NA , NC , NB 列平衡方程： MB (F ) PLsin Nc 2L sin 0
y B L/2 M P D L/2FAY A m FAX A L/2 q C
F
F
Y
x
FAX + P 0
FAY L q 0 2
FAX P
x
FAY
qL 2
L LL m A (F ) P 2 q 2 4 + M + m A 0
1 2 1 m A qL + PL M 8 2
Mo = mo(F) = 0
三个独立方 程解三个未 知量
(1)平面汇交力系 FR 0 F 0 平衡条件 解析形式
F
X
0
F
Y
0
这就是平面汇交力系的平衡方程：力系的各力分别在二个 坐标轴上的投影之代数和等于零。两个独立方程可解二个 末知量。 y （b）多矩式 (2)平面平行力系 （a）基本形式 FX = 0 FY = 0 mo(F) = 0
Y
NA
4.3 物体系统的平衡问题 静定与静不定问题
一、 刚体系统静定与静不定的概念 外力－－系统以外的物体对系统的作用力。 内力－－系统内各物体之间的相互作用力。 三铰拱
P FAx A C Q P B FBY FAx A FAY FA P NB FOX m A C FCY FCX
FCY’
FCX’ C FBx
Fy G1 G2 P FRy .1kN 2 sin 670
9
P1
2 + FRy 2 232.82 + (670.1) 2 709kN FR FRx
cos FRx 232.8 0.328 FR 709
3
7051
q=0.8 kN/m 1
x F FR1 RFR3
3 2
FR2
0.2
x
O
2m
3m
设合力FR距O点为x，由合力矩定理有： -FRx=-FR1-3.5FR2-3FR3=-(1.6+2.1+2.7)=-6.4kN.m 得到 x=6.4/3.1=2.06m 故合力为3.1kN，作用在距O点2.06m处，向下。
qo
O
q(x)
x
dx l
x
以O点为简化中心，主矢和主矩为：
FR=q(x)dx= 0 q ( x ) dx；MO=xq(x)dx= 0 xq ( x ) dx
l
l
FR'0，MO0；故可合成为一个合力，且 FR= FR'= 0 q ( x ) dx FR大小等于分布载荷图形的面积 合力FR的作用线到O的距离为： l l xq ( x ) dx h=MO/FR'= / q (x ) dx
二、平面汇交力系与平面力偶系的简化结果
F
Fi
i 1
n
Fx Fix
n
Fy Fiy
i 1
i 1 n
h1 h2
F1 F2
M Mi Mo ( Fi )
i 1 i 1
n
n
三、平面一般力系向一点简化
F1 o F3 F2 m3 F3 o m1 m2 F1 Mo o
4.1 平面一般力系的简化 平面一般力系：
若作用于物体上所有的力（包括力偶）都在同 一平面内，则力系称为平面一般（任意）力系。
y
M1
M2
y
y
M3
x 平行力系 x
A 汇交力系
特例
一般力系
x
平行力系: 各力作用线相互平行(可包含力偶) 汇交力系: 各力作用线汇交于同一点(不含力偶)
一、力系简化的基础----力线的平移定理
主矢 F’R= F R2x + F R2y = 125 kN； 指向如图。
合力FR=FR=11.1kN； 作用线距O点的距离h为： h=M0 /FR=1.09 (m) ； 位置由Mo 的正负确定，如图。
F2 =10kN
例2. 重力坝受力情况如图，长度单位为m, AB = 5.7m, G1 = 450kN, G2 = 200kN, P1=300kN, P2 = 70kN, =16o40’。 求力系向A点简化的结果,以及力系的最终简化结果。 y 解： 先求力系向A点简化的主矢 3 Fx P FRx .8kN 1 P 2 cos 300 70 0.958 232 3.9
0 0
l
FR的作用线通过分布载荷图形的形心。
同向分布平行力系可合成为一个合力，合力的 大小等于分布载荷图形的面积，作用线通过图形的 形心，指向与原力系相同。 例 求梁上分布载荷的合力。 解：载荷图形分为三部分，有 FR1=1.6kN; 作用线距O点1m。 FR2=0.6kN; 作用线距O点3.5m。 FR3=0.9kN; 作用线距O点3m。 合力 FR=FR1+FR2+FR3=3.1kN。
N c 0 .5 P
C 2L A B

E 2L
L NB D
NA

O
MD (F ) P3L sin N A 2L sin tg 0 3P NA 2.6 P 2tg M E ( F ) P3L sin N B 2 L sin sin 0
F F Q 0 F F + F W P 0 d m ( F ) Q P 3L W L + F 2 L 0 2
X AX
FAX Q 40 kN
Y
AY
c
A
c
6 PL + 2WL Qd Fc 45 kN 4L
将Fc 代入第二式解得
P
NB
校核：
3P 3P 2 sin
9 3 M ( F ) N L cos + N L N 3 L sin PL + 3 PL PL 0 o A B c 4 4

例4. 已知：图示小车（自重不计）上悬挂重物重G=4kN, 光滑 斜面倾角=15°, b=10cm, h=10cm, d=5cm。求：小车匀速 移动时，缆绳的拉力T 和斜面对前后轮的约束力。 解：研究对象： 小车ABC 分析力： T, TC = G, NA, NB 选轴列平衡方程：
4.2 平面一般力系的平衡条件
一、平面力系的平衡条件与平衡方程 F’R =0 Mo = 0
平面任意力系平衡的必要和充分条件是；力系的主矢 和力系对任一点的主矩都等于零。
平面任意力系平衡方程的基本形式
( FX ) 2 + ( FY ) 2 0 FR
FX = 0
FY = 0 mo(F) = 0
例：求图中分布力系的合力。
解： FR1=2q1=1 kN; FR2=3q2/2=6 kN;
FR1
q1=0.5 KN/m
FR
合力的大小： FR=FR2-FR1=5 kN 方向同FR2 ，如图。
A
q2=4 KN/m 2m
x
3m
FR2
合力作用位置(合力矩定理): FRx=3×FR2-1×FR1 ; x=(18-1)/5=3.4m
)0 M A (F )0 M B (F MC (F ) 0
附加条件：
A、B、C三点不在一直线上
例1. 图示倒L形杆，A端为固定端约束，水平段BC受集度为 q的均布载荷的作用，垂直段AB的中点D受一水平集中力P 和一力偶矩为M的力偶作用。求固定端A的约束力。 解：研究对象： 倒L形杆 分析力： q, P, M, FAX, FAY, mA 选轴列平衡方程：
y
h C TC A E
d
T x
B b b NB
FX T Tc sin 0 T Tc sin 1.04kN

G
F
N A + NB Tc cos 0 mA (F ) N B 2b Td Tc cosb + Tc sin h 0 Tc sin (h d ) + Tc cos b NB 1.67 kN 2b 代入第二式解得 N A TC cos N B 2.19 kN
F’R
F2
平面任意力系
平面汇交力系 平面力偶系
一个力 一个力偶
结论：平面任意力系向面内一点的简化，一般 可得一个力和一个力偶。
y F1 M
F2
F4
y M2 M1 F1 M
F2
F3
y FR'
O
O
F3 (a)
F5 x
F4 O M4 M5 F5 x (b)
M3
MO (c)
x
共点力系可合成为一个力FR'（主矢）, 即： FR'=F1+F2+…+Fn=Fi 或用解析法写为: FRx=F1x+F2x+…+Fnx=Fx FRy=F1y+F2y+…+Fny=Fy