质点和质点系动力学
§3.3 质点系的动力学方程(YBY

m1a1 F1 f12 ,
f12 f21
m2a2 F2 f21
m1a1 m2a2 F1 F2
推广到质点组 (1) m a F F ii i (1)称为质点组的动力学方程。 2、质点系质心动力学方程
(5)
质点系的质心运动定理在直角坐标系中投影式为
Fx Fix maCx , Fy Fiy maCy , Fz Fiz maCz (6)
质心运动定理给出质心加速度,描述了质点系整体运动的重要 特征.并未对质点系运动作全面描述,更全面描述质点系的运 动,还应进—步研究各质点相对质心的运动.
d 2 ri F Fi mi ai mi 2 dt
2 2
d d mi ri 2 mi ri m 2 dt dt m
(2)
m r ii m
具有长度的量纲,描述与质点系相关的某一空间点的位置 m r ii (3) 引入质心的概念 rC m 在直角坐标系
m1r1 m2 r2 rc (t ) m1 m2 r2 (t ) r1 (t ) r (t )
m2 r1 (t ) rc (t ) m m r (t ) 1 2 m1 r r (t ) 2 (t ) rc (t ) m1 m2
m x ,
i i
xc
m
yc
m y ,
i i
m
大学物理——第2章-质点和质点系动力学

a1 = cot α 方 向: tanθ = ax g
由式④得:
ay
θ 为 a 与 x 正向夹角
FN = m(g + a1) cosα
10
例2-2 阿特伍德机 (1)如图所示滑轮和绳子的质量均不计,滑 轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力 均不计.且 m > m2 . 求重物释放后,物体 1 的加速度和绳的张力. 解: 以地面为参考系 画受力图,选取坐标如图
ar
ar
m1 m2
a
m g FT = m a1 1 1 m2g + FT = m2a2
a1 = ar a
FT 0
a2 = ar + a
m1 m2 ar = m + m (g + a) 1 2 a1 FT = 2m1m2 (g + a) P 1 m1 + m2
a2
y FT
y
P0 2
12
8
桥梁是加速度 a
例2-1 升降机以加速度a1上升,其中光滑斜面上有一物体m沿 斜面下滑. 求:物体对地的加速度 a ? y 斜面所受正压力的大小? 解: 由于升降机对地有加速度,为一非惯性 系,故选地面为参考系,设坐标如图.
FN
a1
a2
a = a2 + a1
在 x , y 方向上有:
G
α
x
ax = a2 a1 sin α a = a cosα 1 y
m1 m2
FT 0
m g FT = m a 1 1 m2 g + FT = m2a
m1 m2 a= g m1 + m2
2m m2 1 FT = g m + m2 1
理论力学第10章 质点动力学

y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m,忽略摩擦及连 杆AB的质量,试求当 t 0 和 时,连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解:
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象,当φ=ωt 时,受力 如图。连杆应受平衡力系作用,由于不计连 杆质量,AB 为二力杆,它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解: 以弹簧未变形处为坐标原点O,物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ,弹簧 力大小为 F k x ,并指向点O,如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连,如图所示。物块
质量为 m ,弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时, 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程,可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题:已知质点的运动,求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程,通过其对时间微分两次得到质 点的加速度,代入质点运动微分方程,就可得到作用在质点 上的力。
大学力学质点系的功能原理

大学力学质点系的功能原理大学力学中,质点系是指由多个质点组成的系统。
质点系的功能原理可以通过牛顿第二定律和牛顿的引力定律来阐述。
首先,根据牛顿第二定律,当作用在质点上的合外力不为零时,质点会产生加速度。
这表明质点的运动状态与其所受的外力密切相关。
在质点系中,每个质点都受到诸多作用力,这些作用力可能来自于其他质点的引力、弹簧的弹性力、接触力等。
因此,质点系中每个质点的加速度都与其所受的合外力有关。
其次,对于质点系中的每个质点,根据牛顿的引力定律,其与其他质点之间存在着引力。
牛顿的引力定律表明,两个质点之间的引力与它们的质量和距离有关。
具体而言,两个质点之间的引力与质点质量的乘积成正比,与质点之间的距离的平方成反比。
质点系中的每个质点都会受到其他质点的引力作用,这些引力作用将影响质点系的整体运动状态。
根据以上原理,我们可以得出质点系的功能原理:1. 动力学原理:质点系的运动状态受到作用在每个质点上的合外力的影响。
根据牛顿第二定律,合外力与质点的加速度成正比,质点系中的每个质点都会受到作用力的影响而产生加速度。
因此,通过分析质点系中每个质点所受的外力,可以预测整个质点系的运动状态。
2. 引力相互作用原理:质点系中的每个质点都会受到其他质点的引力作用。
根据牛顿的引力定律,引力与质量的乘积和距离的平方成正比和反比。
因此,质点系中的每个质点都会受到其他质点的引力作用,并产生相应的加速度。
这些引力作用将影响质点系的整体运动状态。
3. 系统的平衡和稳定性分析:质点系中的平衡状态和稳定状态是分析质点系功能的重要内容。
平衡状态是指当质点系内的每个质点都不受合外力的作用时,质点系保持静止或作匀速直线运动的状态。
稳定状态是指当质点系受到微小扰动后能够回到原来的平衡状态。
通过对质点系的平衡和稳定性进行分析,可以了解质点系的功能特性和响应能力。
总的来说,质点系的功能原理可以通过动力学原理和引力相互作用原理进行解释。
质点系中的每个质点受到外力和引力的影响,其运动状态与所受的作用力密切相关。
《理论力学》第九章质点动力学

目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点,没有大小和形状 ,是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统, 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移,表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率,表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律(惯性定律)
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比,与质量成反比,即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法,常用于分析曲线运动。在自然坐标系中,质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中,质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述, 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中,质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量,以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出,质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L,其中M为合外力矩,t为时间,L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律,公式表示为L=Iω,其中L为动量矩,I为转动惯量,ω
质点动力学的相关概念

质点的动量定理:质点在运动过程中,所受合外力在给定时间内的冲量等于质点在此时间内动量的增量。
质点系的动量定理:在一段时间内,作用于质点系的外力的矢量和的冲量等于质点系总动量的增量。
动量守恒定律:当系统不受合外力或受合外力的矢量和为零时,系统的总动量不变,即恒矢量==0p p 以及力与位移、力作用点位移的大小等于力的大小功:力对物体所做的功s F , 的乘积。
之间夹角余弦θcos当n 个力同时作用于质点上时,这些力在某一过程中分别对质点做功的代数和,等于这n 个力的合力在同一过程中对质点所做的功。
即n F F F F +++= 21 , ⎰∙=BL A dr F W )(功率:力在单位时间内所做的功瞬时功率:瞬时功率等于力在速度方向上的投影和速度大小的乘积,或者说瞬时功率等于力矢量与速度矢量的标量。
重力弹性力 非保守力:摩擦力万有引力质点的动能定理:合外力对质点所做的功,等于质点动能的增量。
动能反应了运动物体的做功本领。
质点系动能定理:作用于质点系的合力所做的功,等于质点系的动能增量。
(合力是指内力+外力)(质点系的动量定理中的合外力是指物体所受的外力,不包括内力)质点系的动能增量,等于作用于质点系各质点的外力和内力做功之和。
即∑∑∑+=外内W W W i i质点系内所有内力做功之和并不一定为零,因此可以改变系统的总动能。
质点系的功能原理:外力和非保守力所做功之和等于质点系机械能的增量。
E E E E E E E W p k p k p k ∆=+∆=+-+=+∑∑)()(W 1122)(非保内外质点系的机械能守恒定律:仅当外力和非保守内力都不做功或其元功的代数和为零时,质点系内各质点间动能和势能可以相互转化,但它们的总和(即总机械能)保持不变。
机械能守恒定律只适用于惯性参考系,并且物体的位移、速度必须相对同一惯性参考系。
能量守恒定律:对于一个封闭性系统来说,系统内的各种形式的能量可以相互转换,也可以从系统的一部分转移到另一部分,但无论发生任何变换,能量既不能产生也不能消失,能量的总和是一个常量。
理力12(动力学)-动量矩定理

§ 12-2 动量矩定理
动量矩守恒定理
d M O (mv ) M O ( F ) dt
MO (F ) 0
M x (mv ) 恒量 M y (mv ) 恒量 M (mv ) 恒量 z
M O (mv ) 恒矢量
n d LO M O (Fi ( e ) ) dt i 1 n
29
第 十二 章 动量矩定理
§12-3 刚体绕定轴的转动微分方程
n d ( J z ) M z ( Fi ) dt i 1 n d Jz M z (Fi ) dt i 1
J z M z (Fi )
i 1
n d J z 2 M z (Fi ) dt i 1 2
θ W2
FN
例题
第十二章 动量矩定理
例 题 12-1
ω O FN W2t v M FOy
解: 取小车与鼓轮组成质点系,视小车
为质点。以顺时针为正,此质点系对O轴 的动量矩为
FOx W1
LO J m2vR
作用于质点系的外力除力偶M,重力W1 和 W2外,尚有轴承O的反力FOx和FOy ,轨道 对小车的约束力FN 。 其中W1 ,FOx ,FOy 对 O轴力矩为零。将W2 沿轨道及其垂直方向 分解为W2t和W2N, W2N与FN相抵消。
F0
r1
α
r2
LOz J O m1v1r1 m2v2 r2
考虑到 v1 = r1 , v2 = r2 ,则得 m0g
A B
LOz ( J O m1r1 m2 r2 )
2 2
( b)
v1
外力主矩仅由重力 m1g 和 m2g 产生,有
v2 m2g m1 g
第二章--质点动力学2

W W1 W2
o
r
r1 dr r2
(3)功是过程量:功总是和质点旳某个运
动过程相联络
W dW F dr F cos d r
2、重力、引力、弹性力旳功
(1)重力作功
物体m沿途径 A 过B程中重力
旳功
W
B
dW
B mg dr
y2 mgdy
W
A
mgy2A
mgy1
y1
t1
i1 若 Fi合 0
i 1 n
则 P
mivi
恒矢量
i 1
动量守恒定律:
当系统合外力为零时,系统
旳总动量保持不变。t2
nn
讨论:
Fi合dt mivi mivi0
t1
i 1
i 1
(1)合外力为零或不受外力作用系统总
动量保持不变。
(2)合外力不为零,但合力在某方向分量 为零,则系统在该方向上旳动量守恒。
W mgy2 mgy1 重力势能 Ep mgh
W
G
m'm rB
G
m'm rA
W
1 2
kx22
1 2
kx12
引力势能 弹性势能
Mm
Ep G r
Ep
1 2
kx2
所以能够得到保守力旳功与势 能旳关系式
W Ep2 Ep1 Ep
(2)势能旳讨论 势能是属于存在保守内力旳系统旳, 具有保守力才干引入势能旳概念。 势能是状态旳函数。 势能值旳相对性与势能差旳绝对性。
式
(2)直角坐标系中,定理分量式 t2
I x Fxdt px2 px1
t1 t2
I y Fydt py2 py1
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a'
(M M
m)g sin m sin 2
a0
mg sin cos M m sin 2
v
N1
av 0
y
θ
O 地面参考系
mvg θ
x
v
N2
v
a0
v
N
' 1
v Mg
va '
二. 惯性力
非惯性系与惯性系之间的加速度变换式为:
a′= a - a0
a′:质点相对非惯性系S′的加速度
a :质点相对惯性系S 的加速度
a0 :非惯性系S′相对惯性系S 的加速度
在惯性系S中,有牛顿运动定律:
F
ma
ma
ma0
二. 惯性力
将上式改写为:
在惯性系S中,有牛顿运动定律:
F(
F
ma
ma
-ma) ma
ma0
0
若把上式仍视为作用在质点上的合力,则
牛顿第二定律在非惯性系 S’中就依然成立。
为此而加入的修正项称为惯性力:
F
三个定律适用于质点,惯性系
4. 惯性参照系与非惯性参照系
1) 惯性系 牛顿定律成立的参考系。一切相对于惯性系作匀
速直线运动的参考系也是惯性系。 实际的惯性系都是局部的相对的惯性系。
2) 非惯性系 相对于惯性系作加速运动的参考系。
在非惯性系内牛顿定律不成立。
T
y´
a0
F
x
´
mg
非惯性系中牛顿运动定律不适用:
’
r
2rrˆ 2 r
N
地面观察:
r
Fi
存在摩擦力: fs man m 2r
0‘
x’
fs
转动的圆盘上观察:
mg
z’
物体静止
合外力应该为0: fs Fi 0
惯性离心力:
Fi m 2r
解: mg cos m dv
dt A N mg sin m v2
R
dv dvds v dv
dt dsdt Rd
vdv Rg cos d
n
N
mg
例 2.1 如图,设所有的接触面都光滑,求物体 m 相对于
斜面的加速度和 M 相对于地面的加速度 v
N1
m
y
M
O 地面参考系
mvg
x
v
N2
dt 2
Fy
ma y
m dv y dt
d2y m
dt 2
Fz
maz
m dvz dt
m d2z dt 2
自然坐标系:
v2
Fn ma n m
F
ma
m
dv dt
F
ma
m
dv
m
d
2
r
dt dt2
2) 用牛顿第二定律解质点动力学问题
(1) 已知质点的运动和质量,求质点的受力:求导过程 (2) 已知质点的受力和质量,求质点的运动:求积分的
一个参照系是不是惯性系只能根据观察和 实验的结果来判断。
目前实用的惯性系是以选定的1535颗恒星平 均静止位形作为基准的参考系:FK4系
5. 牛顿第二定律的应用
1) 牛顿第二定律的数学表达式
矢量式:
F
ma
m
dv
m
d
2
r
dt dt2
分量式: 直角坐标系:
Fx
max
m dvx dt
d 2x m
基本内容:
一、牛顿运动定律
二、惯性系与非惯性系,惯性力
三、功
四、机械能守恒定律 五、动量守恒定律
重点
六、质心
§2.1 牛顿运动定律 和质心运动定理
一. 牛顿运动三定律
1. 牛顿第一定律: 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态,除非
作用在物体上的力迫使它改变这种状态。
• 物体的惯性:物体具有保持其运动状态不变的性质。 • 力与运动的关系:
解:
v
a0
v
N
' 1
v
Mg
va '
例 2.1 如图,设所有的接触面都光滑,求物体 m 相对于
斜面的加速度和 M 相对于地面的加速度 v
N1
m
av0
y
M
物体m相对于 静止的xoy参考系
θ
O 地面参考系
mvg θ
x
解:mNg1
sin
mg
ma
cos
x
ma
y
N
1
sin
Ma0
a
a0
a'
a x a y
过程
例 : 如 图 , 已 知 F 9.8 5t 15t 2 , m1 4kg , m2 1kg , 300 , t 0 时系统保持静止,求 t 时刻 m1(m2)
的加速度和速度。
m1
m2
F
图13
m1
解:
F T
m2 g T
m1 g sin
m2a m1a
a F m2 g m1 g sin t 3t 2 (m / s 2 )
-ma
0
在所有参考系中,物理定律的表达式都相同
的特点称为协变成立。
加入惯性力之后,牛顿第二定律是协变的。
二. 惯性力
T
a0
F
ma0
1. 惯性力
F
ma0
2. 非惯性参考系中ຫໍສະໝຸດ 牛顿运动定律mgF
F
ma'
转动参考系:
an
- v2 r
rˆ
物体静止在以ω转动的圆盘上
y -(r)2 rˆ
图13
m1 m2
dv
v
t
a dt dv adt 0 dv 0adt
v T
v
t
(t
3t 2 )dt
1
t2
t 3 (m
/
s)
0
2
m1
θ m1 gv
m2
F
v T'
m2
v F
例 : 质量为m的小球最初位于A点,然后沿半径为 R的光滑圆弧面下滑。求小球在任一位置时的速度和 对圆弧面的作用。
力是使物体运动状态发生变化的物体间的相互作用。
力的作用是改变物体的运动状态(运动速度),而不 是维持物体的运动状态(运动速度)。
2. 牛顿第二定律
物体运动的量(简称动量)的变化率与施加在
该物体上的力成正比,并且发生在该力的方向上。
F
d
(
mv)
dt
若物体质量m是一个常量,则有:
F
d(mv)= mdv=ma
a0 a0
cos sin
a'
v
N2
v
a0
v
N
' 1
v
Mg
va '
mg N1
sin
mg
ma
cos
x
ma
y
N1
sin
Ma0
a a0 a'
ax a0 cos a' a y a0 sin
mg sin m(a0 cos a' ) N1 mg cos ma0 sin N1 sin Ma0
例如在一个以加速度作直线运动的车箱内,一 质量为m 的小球拴在绳上,取车箱为参照系,小球 受合外力不为零,但却静止不动 。
自然界严格的惯性系是不存在的。在一般精度 范围内,地球也可近似看作惯性系。
地面参考系 地心参考系 太阳参考系
自转加速度: a≈0.034 m/s2 公转加速度: a≈0.006 m/s2 绕银河加速度: a≈3×10-10 m/s2
•
dt
dt
力与运动的定量关系:
a
F
• 质量: 物体惯性大小的量度: a 1/ m
3. 牛顿第三定律
两物体间的相互作用力总是大小相等而方向相反,即
F F
ab
ba
a对b
b对a
• 反映了力的来源:力来自物体与物体间的相互作用 • 作用力和反作用力同时存在。 • 分别作用于两个物体上,不能抵消。 • 属于同一种性质的力。