质点和质点系动力学

例如在一个以加速度作直线运动的车箱内，一 质量为m 的小球拴在绳上，取车箱为参照系，小球 受合外力不为零，但却静止不动 。
自然界严格的惯性系是不存在的。在一般精度 范围内，地球也可近似看作惯性系。
地面参考系 地心参考系 太阳参考系
自转加速度： a≈0.034 m/s2 公转加速度： a≈0.006 m/s2 绕银河加速度： a≈3×10－10 m/s2
过程
例 : 如 图 ， 已 知 F 9.8 5t 15t 2 ， m1 4kg ， m2 1kg , 300 , t 0 时系统保持静止，求 t 时刻 m1(m2)
的加速度和速度。
m1
m2
F
图13
m1
解：
F T
m2 g T
m1 g sin
m2a m1a
a F m2 g m1 g sin t 3t 2 (m / s 2 )
a'
(M M
wk.baidu.com
m)g sin m sin 2
a0
mg sin cos M m sin 2
v
N1
av 0
y
θ
O 地面参考系
mvg θ
x
v
N2
v
a0
v
N
' 1
v Mg
va '
二. 惯性力
非惯性系与惯性系之间的加速度变换式为：
a′＝ a － a0
a′：质点相对非惯性系S′的加速度
a ：质点相对惯性系S 的加速度
a0 ：非惯性系S′相对惯性系S 的加速度
在惯性系S中，有牛顿运动定律：
F
ma
ma
ma0
二. 惯性力
将上式改写为：
在惯性系S中，有牛顿运动定律：
F（
F
ma
ma
－ma） ma
ma0
0
若把上式仍视为作用在质点上的合力，则
牛顿第二定律在非惯性系 S’中就依然成立。
为此而加入的修正项称为惯性力：
F
三个定律适用于质点，惯性系
4. 惯性参照系与非惯性参照系
1） 惯性系 牛顿定律成立的参考系。一切相对于惯性系作匀
速直线运动的参考系也是惯性系。 实际的惯性系都是局部的相对的惯性系。
2） 非惯性系 相对于惯性系作加速运动的参考系。
在非惯性系内牛顿定律不成立。
T
y´
a0
F
x
´
mg
非惯性系中牛顿运动定律不适用：
解： mg cos m dv
dt A N mg sin m v2
R
dv dvds v dv
dt dsdt Rd
vdv Rg cos d
n
N
mg
例 2.1 如图，设所有的接触面都光滑，求物体 m 相对于
斜面的加速度和 M 相对于地面的加速度 v
N1
m
y
M
O 地面参考系
mvg
x
v
N2
图13
m1 m2
dv
v
t
a dt dv adt 0 dv 0adt
v T
v
t
(t
3t 2 )dt
1
t2
t 3 (m
/
s)
0
2
m1
θ m1 gv
m2
F
v T'
m2
v F
例 ： 质量为m的小球最初位于A点，然后沿半径为 R的光滑圆弧面下滑。求小球在任一位置时的速度和 对圆弧面的作用。
解：
v
a0
v
N
' 1
v
Mg
va '
例 2.1 如图，设所有的接触面都光滑，求物体 m 相对于
斜面的加速度和 M 相对于地面的加速度 v
N1
m
av0
y
M
物体m相对于 静止的xoy参考系
θ
O 地面参考系
mvg θ
x
解：mNg1
sin
mg
ma
cos
x
ma
y
N
1
sin
Ma0
a
a0
a'
a x a y
－ma
0
在所有参考系中，物理定律的表达式都相同
的特点称为协变成立。
加入惯性力之后，牛顿第二定律是协变的。
二. 惯性力
T
a0
F
ma0
1. 惯性力
F
ma0
2. 非惯性参考系中的牛顿运动定律
mg
F
F
ma'
转动参考系：
an
－ v2 r
rˆ
物体静止在以ω转动的圆盘上
y －（r）2 rˆ
a0 a0
cos sin
a'
v
N2
v
a0
v
N
' 1
v
Mg
va '
mg N1
sin
mg
ma
cos
x
ma
y
N1
sin
Ma0
a a0 a'
ax a0 cos a' a y a0 sin
mg sin m(a0 cos a' ) N1 mg cos ma0 sin N1 sin Ma0
’
r
2rrˆ 2 r
N
地面观察：
r
Fi
存在摩擦力： fs man m 2r
0‘
x’
fs
转动的圆盘上观察：
mg
z’
物体静止
合外力应该为0： fs Fi 0
惯性离心力：
Fi m 2r
一个参照系是不是惯性系只能根据观察和 实验的结果来判断。
目前实用的惯性系是以选定的1535颗恒星平 均静止位形作为基准的参考系：FK4系
5. 牛顿第二定律的应用
1） 牛顿第二定律的数学表达式
矢量式：
F
ma
m
dv
m
d
2
r
dt dt2
分量式： 直角坐标系：
Fx
max
m dvx dt
d 2x m
•
dt
dt
力与运动的定量关系：
a
F
• 质量： 物体惯性大小的量度： a 1/ m
3. 牛顿第三定律
两物体间的相互作用力总是大小相等而方向相反，即
F F
ab
ba
a对b
b对a
• 反映了力的来源：力来自物体与物体间的相互作用 • 作用力和反作用力同时存在。 • 分别作用于两个物体上，不能抵消。 • 属于同一种性质的力。
基本内容：
一、牛顿运动定律
二、惯性系与非惯性系，惯性力
三、功
四、机械能守恒定律 五、动量守恒定律
重点
六、质心
§2.1 牛顿运动定律 和质心运动定理
一. 牛顿运动三定律
1. 牛顿第一定律： 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，除非
作用在物体上的力迫使它改变这种状态。
• 物体的惯性：物体具有保持其运动状态不变的性质。 • 力与运动的关系：
dt 2
Fy
ma y
m dv y dt
d2y m
dt 2
Fz
maz
m dvz dt
m d2z dt 2
自然坐标系：
v2
Fn ma n m
F
ma
m
dv dt
F
ma
m
dv
m
d
2
r
dt dt2
2） 用牛顿第二定律解质点动力学问题
（1) 已知质点的运动和质量，求质点的受力：求导过程 （2) 已知质点的受力和质量，求质点的运动：求积分的
力是使物体运动状态发生变化的物体间的相互作用。
力的作用是改变物体的运动状态（运动速度），而不 是维持物体的运动状态（运动速度）。
2. 牛顿第二定律
物体运动的量（简称动量）的变化率与施加在
该物体上的力成正比，并且发生在该力的方向上。
F
d
(
mv)
dt
若物体质量m是一个常量，则有：
F
d（mv）＝ mdv＝ma