拉普拉斯反变换

L1 F(s) L1 F1(s) L1 F2(s) ... L1 Fn(s)
f1(t) f2 (t) ... fn (t) 部分分式展开法的优点是当F(s)展开成部分分式形式后，它的每一 个单项都是s的非常简单的函数。但是，在应用部分分式展开法求 F(s)=B(s)/A(s)的拉普拉斯反变换时， 必须先求出分母多项式A(s)的 根。就是在对分母多项式进行因式分解之前，不能应用这种方法。
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2.5 拉普拉斯反变换
2.只包含不同极点的F(s)的部分分式展开
如果A(s)的根具有共轭复根，为了方便，可不必将F(s)展成通常的 部分分式，而是将其展成阻尼正弦函数与阻尼余弦函数之和
例：求下列函数的拉氏反变换
求F(s)的拉氏反变换
F(s)
20(s 1)(s 3)
(s 1 j)(s 1 j)(s 2)(s 4)
解：F (s) A1 A2 A3 A4 s 1 j s 1 j s 2 s 4
A1
F (s)(s
1
j) s1 j
20( j)(2 j) (2 j)(1 j)(3
j)
43j
A2
(n m)
K (s-z1)(s-z2 )...(s-zm ) (s-p1)(s-p2 )...(s-pn )
其中A(s)和B(s)是s的多项式，p1 、p2、…pn和z1 、z2、…zm分别
F(s)的极点和零点。在是F(s)=B(s)/A(s)展开成部分分式的形式时， A(s)中s的最高阶次应大于B(s)中s的最高阶次。如果情况不是这样， 则必须用分母A(s)去除分子B(s) ，从而得到一个 s 的多项式与余式 之和，该余式仍是 s 的多项式之比，但其分子的阶次低于分母的阶 次。
3.包含多重极点的F(s)的部分分式展开
若 A(s)=(s – p1)n, 令 n=3
F(s)可展开成
F (s) A1 A2 A3 (s p1)3 (s p1)2 s p1
A1 (s p1)3 F(s) s p1
A2
d [(s ds
p1)3 F (s)]
s p1
A3
1 2!
d2 ds2
L1
(s
A1 p1)n
e
p1t
(n
A1 t 1)!
n1
求得所有系数后，F(s)的反变换为
f
(t)
A1 2
t 2e p1t
A2t
e p1 t
A3e p1t
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2.5 拉普拉斯反变换
3.包含多重极点的F(s)的部分分式展开
20
应用拉氏变换性质求反变换
已知
F
(
s)
1
e s
S
2
，求 拉氏反变换 f (t)。
解：
F
(s)
1
2e
S
s2
e
2
S
1 s2
2 s2
eS
1 s2
e2S
应用时移性质：
f (t) t 2(t 1) (t 2)
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s2 s 2 s 2 ss 3 s 2
4 5
s2
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2.5 拉普拉斯反变换
2.只包含不同极点的F(s)的部分分式展开
则
Fs
11 8 1 4 1 3 s 15 s 3 5 s 2
f t L1 F s L1 4 1 5s 2
2s 12 Fs
s2 2s 5
分母多项式可以进行下列因式分解：
s2 2s 5 (s 1 j2)(s 1 j2) F(s)有一对共轭极点。注意到 s2 2s 5 (s 1)2 22
并且参考 e at sin t 和 e at cos t 的拉氏变换
L 1 e at cos t
sa (s a)2 2
L 1 e at sin t
式中p1 、p2、…pn ，是A(s)=0的根，也是F(s)的极点，
采用部分分式法求解F(s)的拉氏反变换时，按照这些根 的性质，可分为以下两种情况来研究。
F(s)只有不同极点的情况 F(s)有多重极点的情况
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2.5 拉普拉斯反变换
2.只包含不同极点的F(s)的部分分式展开
F(s) 4 3 j 4 3 j 5 3 s 1 j s 1 j s 2 s 4
所以
f (t) L1[F (s)] (4 3 j)e(1 j)t (4 3 j)e(1 j)t 5e2t 3e4t et [4(e jt e jt ) 3 j(e jt e jt )] 5e2t 3e4t et[8cost 6sin t] 5e2t 3e4t
[(s
p1)3 F (s)]
s p1
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2.5 拉普拉斯反变换
3.包含多重极点的F(s)的部分分式展开
L[tn ]
n! s n 1
,
L1[
1 sn
]
(n
1 t n1 1)!
又有L[e-at f (t)]=F (s+a),
由于f(t)是一个实函数，若 p1、p2 是一对共轭 复数极点，那么相应的系数 A1 和A2 也是共轭复数，
只要求出A1和A2中的一个值，另一值即可得。
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2.5 拉普拉斯反变换
2.只包含不同极点的F(s)的部分分式展开
F (s)(s 1
j) s1 j
2
20 j(2 j) j(1 j)(3
j)
43j
A3
F (s)(s
2)
s 2
20 (1) 1 (1 j)(1 j)
2
5
A4
F (s)(s
4)
s 4
20 (3) (1) (3 j)(3 j) (2)
3
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2.5 拉普拉斯反变换
1.求拉普拉斯反变换的部分分式展开法
如果F(s)被分解成下列分量
F (s) F1(s) F2 (s) ... Fn (s) 并且 F1(s), F2 (s),..., Fn (s) 的拉普拉斯变换可以容易得到，则
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2.5 拉普拉斯反变换
1.求拉普拉斯反变换的部分分式展开法
在分析控制系统问题时， f(t)的拉氏变换F(s) ，常以下列形式出现
F(S)
B(s) A(s)
bmsm an s n
bm1sm1 b0 an1sn1 a0
说明：对于分母包含较高阶次多项式的复杂函数，进行部分分式 展开可能会相当费时间。此时，建议采用MATLAB。
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2.5 拉普拉斯反变换
1.求拉普拉斯反变换的部分分式展开法
F (S) B(s) K (s-z1)(s-z2 )...(s-zm ) (n m) A(s) (s-p1)(s-p2 )...(s-pn )
s1
5 (s
1)2
22
2 (s
1)2
22
由此得：
f (t) L 1 F(s)
5L 1 (s
2 1)2
22
2L 1 (s
s1 1)2 22
5e t sin 2t 2e t cos 2t
t0
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2.5 拉普拉斯反变换
1 8 e3t 3 15
L1 1 1 3s
4 e 2t t 0 5
L1 8
1
15 s 3
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2.5 拉普拉斯反变换
2.只包含不同极点的F(s)的部分分式展开
注意：当F(s)的某个极点等于零，或为共轭复数时， 同样可用上述方法。
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2.5 拉普拉斯反变换
2.只包含不同极点的F(s)的部分分式展开
A2
s p2 F s s p2
Ai
s pi F s s pi
求得各个系数后，F(s)可用下式表示
Fs
A1
A2
s p1 s p2
An s pn
n Ai i 1 s pi
2.5 拉普拉斯反变换
2.只包含不同极点的F(s)的部分分式展开
如果A(s)的根是各不相同的实数，可将F(s)分解为
Fs
A1
A2
s p1 s p2
An s pn
n Ai i 1 s pi
pi (i 1,2n) 为 A(s)的n个不相等的单根。
式中A1﹑A2﹑ ﹑An－待定系数，
A1
s p1 F s s p1
(s a)2
2
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2.5 拉普拉斯反变换
2.只包含不同极点的F(s)的部分分式展开
给定的F(s)可以写成阻尼正弦函数与阻尼余弦函数之和
F s 2s 12 10 2(s 1) s2 2s 5 (s 1)2 22
2
求下列函数的拉氏反变换
s3 F s (s 2)2 (s 1)
解：将F(s)写成部分分式形式
Fs
A01
A02
A3
(s 2)2 (s 2) (s 1)
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2.5 拉普拉斯反变换
3.包含多重极点的F(s)的部分分式展开
L1[F (s)]＝f (t)＝ 1 j F (s)estds
2 j j
计算反演积分相当复杂，在控制工程中，不推荐采用这种 方法求常用函数的拉普拉斯反变换。
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2.5 拉普拉斯反变换
已知象函数F(s)，求原函数f(t)的方法有： 查表法：直接在拉氏变换表中查出相应的原函数，这个适 用于比较简单的象函数。 有理函数法：根据拉氏反变换公式求解，由于公式中的被 积函数是一个复变函数，需要复变函数中的留数定理求解， 本节不做介绍。 部分分式法：通过代数运算，先将一个复杂的象函数化为 数个简单的部分分式之和，再分别求出各个分式的原函数， 总的原函数既可求到。
A01
s
s3 22 s
Hale Waihona Puke Baidu
s 1
22
23 1 21
s2
A02
d ds
s
s3 22 s
s 1
22
2
s2
s3
A3
s
22 s
s 1
1
2
s1
则：F s
1
2
2
s 22 s 2 s 1
查拉氏变换表，得
ft
te 2t 2e 2t 2e t t 0
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应用拉氏变换性质求反变换
例 ：已知 F (s) s es ，求拉氏反变换 s2 5s 6
解： F (s) ( K1 K2 )es s2 s3
s
K1 s 3
2
s 2
K2
s
s
2
3
s 3
应用时移性质：
f (t) 2e 2(t1) 3e3(t1)
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因为L 1[ 1 ]=e pit 从而可求得F(s)的原函数为 s-pi
n
f t L1 F s
Aie pit
i1
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2.5 拉普拉斯反变换
2.只包含不同极点的F(s)的部分分式展开
例 求F s
s2 s 2 的拉氏反变换。
s s2 s 6
解：首先将F(s)写成部分分式的形式，可得
Fs
s2 s 2
s2 s 2
A1 A2
A3
s s2 s 6 s s 3 s 2 s s 3 s 2
A1
F ss s0
s2 s 2 s ss 3 s 2
1 3
s0
s2 s 2
8
A2
Fs s 3 s3
s3 ss 3 s 2
15
s3
A3
Fs s 2 s2
机械工程控制基础
第2章 拉普拉斯变换
---拉氏反变换
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2.5 拉普拉斯反变换
从Laplace变换F(s)求时间函数f(t)的反变换过程称为Laplace 反变换。Laplace 反变换的符号是 L1 可以通过下列反演 积分，从 F(s) 求得 Laplace 反变换