通信网性能分析基础参考答案

s −1
s!
k
s!
+ (1 − a / s )∑ a
k =0
s −1
k
k!
a = as 1 p0 = C ( s, a ) s! 1− a / s
a s −1 ( s − 1)!
3-3
在例 3.3 中，如果呼叫量分别增加 10％，15％，20％，请计算呼损增加的
幅度。
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话务量 s=30 增加的幅度
a=21.9 0.020
24.09 0.041 103%
25.185 0.054 170%
26.28 0.069 245%
话务量 s=10 增加的幅度
a=5.08 0.020
5.588 0.031 55%
5.842 0.038 90%
6.096 0.046 130%
3-4
3-2
证明： （1） C ( s, a) =
sB( s, a ) , s − a[1 − B( s, a )]
s>a
（2） C ( s, a ) = （1）证：
1 1 + ( s − a )[aB( s − 1, a )] −1
B(0, a ) = 1，且s > a
as ∑ k! sB ( s , a ) s! k =0 = = s s −1 s k k k a s −1 a k s − a[1 − B ( s , a )] a a a s−a∑ − k! s ∑ k! k! ∑ k! ∑ k =0 k =0 k =0 k =0 s ak = as s!
3-6
对 M/M/s 等待制系统，如果 s>a，等待时间为 w，对任意 t>0。
− ( sµ − λ ) t 请证明： P { w > t } = C ( s , a ) e 。
证：s>a P{w > t} = ∑ Pk {w > t} pk = ∑ Pk {w > t} pk
k =0 k =s ∞ ∞
t t
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第三章习题答案
3-1 证明： B( s, a ) = aB( s − 1, a ) s + aB( s − 1, a ) a
s −1 k a s −1 as a as ∑ aB( s − 1, a) ( s − 1)! k = 0 k ! ( s − 1)! 证： = = s −1 = s s ! = B ( s, a ) s −1 s s −1 k a a s + aB( s − 1, a ) ak ak s+a s∑ a + ∑ ∑ k ! ( s − 1)! k =0 k ! ( s − 1)! k =0 k ! k =0
( µx) k − µx µe k!
x>=0
∫
∞
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
−∞
f X ( x ) fY ( z − x ) dx 。
k + 1 阶 Erlang 分布是指 k + 1 个彼此独立的参数为 µ 的负指数分布的和。
用归纳法。 当 k = 1 时，需证 2 阶 Erlang 分布的概率密度为 x µ 2 e − µ x
Pk {w > t} = ∑
k −s
( sµt ) r − sµt a s a k −s e ( ) p0 ， pk = s! s r! r =0
k≥s 令k − s = l
P{w > t} = ∑∑ =
∞ k −s ( sµt ) r − sµt a s a k − s ( sµt ) r a k − s as ( ) ] p 0 e − sµt [∑∑ e . ( ) p0 = s! s s! r! s r! k = s r =0 k = s r =0 ∞ k −s
e
= e ( λ1 + λ2 )T ( x −1)
2-7 求 k+1 阶爱尔兰（Erlang）分布 Ek +1 的概率密度。
可以根据归纳法验证， Ek +1 的概率密度为 证明： 利用两个随机变量的和的概率密度表达式：求 Z = X + Y 的分布，当 X 和 Y 相互独立时， 且边缘密度函数分别为 f X ( x ) 和 fY ( y ) ，则 f Z ( z ) =
(
)
所以 g(Z)=g(X)g(Y) 对于两个独立的 Poisson 流，取任意一个固定的间隔 T，根据 Poisson 过程性质，到达 k 个 呼叫的概率分别为：
pk (T ) =
(λiT ) k − λiT e k!
i=1,2 这两个分布独立
分布列的母函数分别为：
∑ pk (T )x k = ∑
1 as p0e − ( sµ −λ )t = C ( s , a )e − ( s µ − λ ) t s! 1− a / s
3-12 考虑 Erlang 拒绝系统，或 M/M/s（s）系统，a＝λ/μ。一个观察者随机观察 系统并且等待到下一个呼叫到来。 请证明：到来的呼叫被拒绝的概率为： p = 证： 随机观察系统， 下一个到来的呼叫被拒绝的必要条件为系统在随机观察时处于状 态 s，其概率为 B(s,a)。 其次，下一个到来的呼叫被拒绝必须在到达间隔 T 内，正在服务得 s 个呼叫没有 离去，这个事件的概率为 P。 T 服从参数为 λ 的负指数分布，在 T 内没有呼叫离去的概率为： e − sµT ，
( µ x )k − µ x − µ (t − x ) µe µe f k +1 ( t ) = ∫ f k ( x ) f ( t − x )dx = ∫ dx −∞ −∞ k! µ k +2 − µt t k ( µ t )k +1 − µt = µe e ∫ x dx = −∞ k! ( k + 1)!
f1 ( t ) = ∫ µ e − µ x µ e − µ (t − x )dx = ∫ µ 2 e − µt dx = t µ 2e − µt
−∞ −∞
t
t
令 n = k 时成立，即 f k ( t ) = 则当 n = k + 1 时，
( µ t ) k − µt µe k!
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则： P =
a ⋅ B ( s, a ) 。 a+s
∫
∞
0
e − sµT λe −λT dT =
a λ = λ + sµ s + a a B ( s, a ) s+a
最后，到来的呼叫被拒绝的概率为：
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2-3 对于一个概率分布 {pk } ，令 g ( X ) = p0 + p1 x + p2 x 2 + ... = ∑ pk x k 称为分布
k =0
∞
{pk } 的母函数。
解：对于M/M/1 pk = ρ k (1 − ρ )
利用母函数求M/M/1队长的均值和方差。
k≥0
∴ g ( z ) = (1 − ρ ) + (1 − ρ ) ρ z + ... = (1 − ρ ) ∴ E[k ] = g ' ( z ) / z =1 =
有大小 a＝10erl 的呼叫量，如果中继线按照顺序使用，请计算前 5 条中继
线每条通过的呼叫量。 解： 第一条线通过的呼叫量：a1=a[1-B(1,a)]=10×[1-0.9090]=0.910erl 第二条线通过的呼叫量：a2=a[B(1,a)-B(2,a)]=10×[0.9090-0.8197]=0.893erl 第三条线通过的呼叫量：a3=a[B(2,a)-B(3,a)]=10×[0.8197-0.7321]=0.876erl 第四条线通过的呼叫量：a4=a[B(3,a)-B(4,a)]=10×[0.7321-0.6467]=0.854erl 第五条线通过的呼叫量：a5=a[B(4,a)-B(5,a)]=10×[0.6467-0.5640]=0.827erl
µ∆t + o ( ∆t ) ， µ 为状态 k 的死亡率；
在时间 ( t , t + ∆t ) 内系统发生跳转的概率为 o ( ∆t ) ； 在时间 ( t , t + ∆t ) 内系统停留在状态 k 的概率为 1 − ( λ + µ ) ∆t + o ( ∆t ) ； 故M/M/1排队系统的状态变化为生灭过程。
k =0
∞
(λiT ) k k −λiT x e = e λiTx e − λiT = e λiT ( x −1) k ! k =0
∞ λ1T ( x −1) λ2T ( x −1)
他们母函数之积为合并流分布列的母函数，而母函数之积 = e 所以 合并流为参数 λ1 + λ2 的 Poisson 过程。
第四章习题答案 4.1 解： aR = a + ρaR B( s, aR ) 现 ρ = 0.5, a = 10, s = 10 令
F ( a R ) = a + ρa R B ( s , a R ) ∴ F (a R ) = 10 + 0.5a R B(10, a R )
迭代起点
aR = 10.5 F (10.5) ≈ 10 + 0.5 *10.5 * 0.2373 = 11.25 F (11.25) ≈ 10 + 0.5 *11.25 * 0.270 = 11.51 F (11.51) ≈ 10 + 0.5 *11.51* 0.281 = 11.61 F (11.61) ≈ 10 + 0.5 *11.61* 0.285 = 11.65 F (11.65) ≈ 10 + 0.5 *11.65 * 0.287 = 11.67
s −1 k as + (1 − a / s ) ∑ a k! s! k =0
as s!
s
1 as p0 = = C ( s, a ) 1− a / s s!
（2）证： 1 = 1 + ( s − a)[aB( s − 1, a)] −1 1 1 + ( s − a) = k! as a
s
∑a
k =0
r =0 r =0 r =0
k
k
k
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(p
0
+ p1 x + p 2 x 2 + ...)(q 0 + q1 x + q 2 x 2 + ...) = p 0 q 0 + p 0 q1 + p1 q 0 x + ... + ( p 0 q k + p1 q k −1 + ... + p k q 0 )x k + ...
第二章习题答案
2-2 验证M/M/1的状态变化为一个生灭过程。
解：M/M/1排队系统在有顾客到达时，在时间 ( t , t + ∆t ) 内从状态k转移到k+1（k>=0）的概 率为 λ∆t + o ( ∆t ) ， λ 为状态 k 的出生率； 当有顾客服务完毕离去时，在时间 ( t , t + ∆t ) 内从状态k转移到k-1（k>=1）的概率为
证：设 Z(!!!此处应为 由于 X ???)的分布为： p0 , p1 , p2 ... ，Y 的分布为： q0 , q1 , q2 ...
p{Z = k } = p{X + Y = k } = ∑ p{X = r , Y = k − r } = ∑ p{X = r}p{Y = k − r } = ∑ p r q k − r
∞ l ( sµt ) r a l as ( ) ] p 0 e − sµt [∑∑ s! r! s l =0 r = 0
交换次序，得：
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P{w > t}＝ =
∞ ∞ ∞ as a ( sµ t )r as a 1 (sµt )r p0e − sµ t [∑∑ ( )l ]= p0 e − sµt [∑ ( ) r ] 1− a / s r! s! r! s! r =0 l = r s r =0 s
∞
1 1− ρz
ρ 1− ρ
∞ k =1
Var[k ] = ∑ k 2 pk − [∑ kpk ]2 = g '' ( z ) / z =1 + E[k ] − ( E[k ])2 =
k =1
(1 − ρ )
ρ
2
2-4 两个随机变量 X,Y 取非负整数值，并且相互独立，令 Z=X+Y，证明：Z 的 母函数为 X,Y 母函数之积。根据这个性质重新证明性质 2-1。