数学解答题方法讲解

【分析】 本题第(2)问的求解关键是对新的数列求和并 进行等价转化， 将复杂数列的前 2n－n－1 项和问题转化为等 差数列、等比数列的问题，进而求解．
【解】 因为 a1，a3，a7 成等比数列，{an}是公差 d≠0 的等差数列，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，整理得 a1＝2d. b2 a3 a1＋2d 又 a1＝2， 所以 d＝1， b1＝a1＝2， q＝ ＝ ＝ ＝ 2， b1 a1 a1 － 所以 an＝a1＋(n－1)d＝n＋1， bn＝b1· qn 1＝2n， 所以 anbn＝(n ＋1)· 2n .
∵f(－1)＝2,
2 4 f3＝ ， 27
f(0)＝0, f(1)＝0，
∴f(x)在[－1,1)上的最大值为 2. ②当 1≤x≤e 时， f(x)＝alnx， 当 a≤0 时， f(x)≤0；当 a>0 时， f(x)在[1，e]上单调 递增，∴f(x)在[1，e]上的最大值为 a. ∴当 a≥2 时， f(x)在[－1，e]上的最大值为 a； 当 a<2 时， f(x)在[－1，e]上的最大值为 2.
因为 y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2 2， ③ → → 所以向量OP＋OQ与向量(－ 2，1)共线等价于 x1＋x2＝ － 2(y1＋y2)． 2 将②③代入上式，解得 k＝ ，矛盾， 2 → → 所以不存在常数 k，使得向量OP＋OQ与向量(－ 2，1) 共线．
【规律总结】 整体处理这种策略在求解解析几何问题 时常常被使用，而在解决其他问题时，只要能够利用整体处 理的方法，也应该尽量使用这种策略，这样既可以简化求解 过程，又可以避免繁杂的运算．
美国著名数学教育家波利亚在名著《怎样解题》里，把 数学解题的一般思维过程划分为：弄清问题→拟订计划→实 现计划→回顾．这是数学解题的有力武器，对怎样解答高考 数学题有直接的指导意义．
2．求解解答题的一般步骤 第一步：(弄清题目的条件是什么，解题目标是什么？) 这是解题的开始，一定要全面审视题目的所有条件和答 题要求，以求正确、全面理解题意，在整体上把握试题的特 点、结构，多方位、多角度地看问题，不能机械地套用模式， 而应从各个不同的侧面、角度来识别题目的条件和结论以及 图形的几何特征与数学式的数量特征之间的关系，从而利于 解题方法的选择和解题步骤的设计．
【规律总结】 对于解析几何问题，其求解常常以图形 分析开始，以数式运算结束．因此，求解时要注意数形结合 思想的运用，一开始要抓定义，要注意模式化运算．
三、分类讨论求解解答题 解题过程中，解到某一步时，被研究的数学对象已包含 了多种可能的情形，而不能再以统一的方法、统一的形式继 续进行，这时我们可以选定一个标准，根据这个标准划分成 几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一加以 解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论策略．这种解 题策略体现了化整为零、各个击破、积零为整的思想．
因 T1 在线段 MF 外，T2 在线段 MF 内， 故||MT1|－|FT1||＝|MF|＝2，||MT2|－|FT2||<|MF|＝2. 若 P 不在直线 MF 上，在△MFP 中有||MP|－|FP||<|MF| ＝2. 故||MP|－|FP||只在 T1 点处取得最大值 2， 此时点 P 处的 6 5 2 5 坐标为 ，－ . 5 5
【分析】 本题第(2)问的求解关键是利用“设而不求” 的技巧，进行整体处理，从而简洁、轻松地建立关于参数 k 的关系式，并求得 k 的值．
x2 得 ＋(kx＋ 2)2＝1. 2 1 2 2 整理，得2＋k x ＋2 2kx＋1＝0.
x2 2 【解】 (1)W 的方程为 ＋y ＝1(y≠0)． 2 (2)设直线 l 的方程为 y＝kx＋ 2，代入曲线 W 的方程，
解答题解题方法 1．解题思维的理论依据 针对备考学习过程中，考生普遍存在的共性问题：一听 就懂、一看就会、一做就错、一放就忘，做了大量的数学习 题，成绩仍然难以提高的现象，我们很有必要对自己的学习 方式、方法进行反思，解决好“学什么，如何学，学的怎么 样”的问题． 要解决这里的“如何学”就需要改进学习方式， 学会运用数学思想方法去自觉地分析问题，弄清题意，善于 转化，能够将面对的新问题拉入自己的知识网络里，在最短 的时间内拟定解决问题的最佳方案， 实现学习效率的最优化．
【例 2】 设圆 C 与两圆(x＋ 5)2＋y2＝4，(x－ 5)2＋y2 ＝4 中的一个内切，另一个外切． (1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程； 3 5 4 5 (2)已知点 M ，F( 5，0)，且 P 为 L 上动点， ， 5 5 求||MP|－|FP||的最大值及此时点 P 的坐标．
f－1＝2， 2－b＋c＝2， 由题意得： 2 即 4 4 －3× ＋ ＋b＝0， f′ ＝0， 9 3 3 解得 b＝c＝0.
3 2 － x ＋ x x<1， (2)由(1)知：f(x)＝ alnx x≥1.
①当－1≤x<1 时， f′(x)＝－x(3x－2)， 2 解 f′(x)>0 得 0<x< ； 3 2 解 f′(x)<0 得－1≤x<0 或 <x<1. 3 2 2 ∴f(x)在[－1,0)和3，1上单减，在0，3上单增， 2 由 f′(x)＝－x(3x－2)＝0 得 x＝0 或 x＝ . 3
解答题规范答题 数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是 高考的把关题和压轴题， 具有较好的区分层次和选拔功能． 目 前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法 和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题， 是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是 一项重要内容．本节结合具体的题目类型，来谈一谈解答数 学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的 “答题模板”．
【例 3】
已知函数
3 2 － x ＋ x ＋bx＋c f(x)＝ alnx x≥1
x<1
的
2 图象过点(－1,2)，且在 x＝ 处取得极值． 3 (1)求实数 b，c 的值； (2)求 f(x)在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．
【解】
(1)当 x<1 时， f′(x)＝－3x2＋2x＋b，
【解】
图1
(2)过 M，F 的直线 l 方程为 y＝－2(x－ 5)，将其代入 L 的方程得 15x2－32 5x＋84＝0. 6 5 14 5 解 得 x1 ＝ ， x2 ＝ ，故 l 与 L 的交点为 5 15 6 5 14 5 2 5 2 5 T1 ， T . ，－ ， 2 15 5 15 5
第四步： (反思解题思维过程的入手点、 关键点、 易错点， 用到的数学思想方法，以及考查的知识、技能、基本活动经 验等．) (1)回头检验——即直接检查已经写好的解答过程，一般 来讲解答题到最后得到结果时有一种感觉，若觉得运算挺顺 利则好，若觉得解答别扭则十有八九错了，这就要认真查看 演算过程． (2)特殊检验——即取特殊情形验证，如最值问题总是在 特殊状态下取得的，于是可以计算特殊情形的数据，看与答 案是否吻合．
1
(1)用错位相减法，可求得{anbn}的前 n 项和为 Tn＝n· 2n .
＋
(2)新的数列{cn}的前 2n－n－1 项和为数列{an}的前 2n－1 2n－12＋2n 项和减去数列{bn}的前 n 项和， 所以 S2n－n－1＝ － 2 21－2n － － － ＝(2n－1)(2n 1－1)，所以 S2n－n－1－22n 1＋3· 2n 1＝1. 1－2
“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数 学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序 和答题格式分步解答，即化整为零．强调解题程序化，答题 格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答 题效率的最优化．
模板一
三角函数求值及单调性
2
3 【例 1】 设函数 f(x)＝ 3cos x＋sinxcosx－ . 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期 T， 并求出函数 f(x)的单调递 增区间； (2)求在[0,3π]内使 f(x)取得最大值的所有 x 的值．
【分析】 本题考查圆与圆的位置关系、直线与双曲线 的位置关系，主要考查数形结合思想与方程思想的运用．解 决本题需要考生掌握双曲线的简单性质、灵活运用两点间的 距离公式及三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第 三边的性质．
(1)设 C 的圆心的坐标为(x，y)，由题设条件知 2 x 2 2 2 2 x＋ 5 ＋y － x－ 5 ＋y 化简得 L 的方程为 － ＝4， 4 y2＝1.
【规律总结】 在应用等价转化策略去解决数学问题时， 没有一个统一的模式去套用，它可以在数与数、形与形、数 与形之间进行转换， 也可以在宏观上进行等价转化(如在分析 和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的转化)，还 可以在符号系统内部实施转换．因此，应用等价转化策略解 决数学问题，要合理地设计好转化的途径和方法，避免生搬 硬套．
一、整体处理策略求解解答题 整体处理，就是利用问题中整体与部分的关系，通过整 体代入、 整体运算、 整体消元、 整体合并等方法来处理问题． 它 常常可以简化运算过程， 提高解题速度． 在解析几何中， “设 而不求”的技巧就是整体处理的最好体现．
【例 1】 已知点 A(－1,0)，B(1,0)，△ABC 的周长为 2 ＋2 2.记动点 C 的轨迹为曲线 W. (1)直接写出 W 的方程(不写过程)； (2)经过点(0， 2)且斜率为 k 的直线 l 与曲线 W 有两个 → → 不同的交点 P 和 Q，是否存在常数 k，使得向量OP＋OQ与 向量(－ 2，1)共线？如果存在，求出 k 的值；如果不存在， 请说明理由．
二、数形结合求解解答题 数形结合是一种数学思想方法，包含“以形助数”和 “以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一 种是借助于形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以 形作为手段，数作为目的；另一种是借助于数的精确性和规 范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目 的．因此，解题中的数形结合，就是对题目的条件和结论既 要分析其代数含义又要分析其几何意义，力图在代数与几何 的结合上找出解题思路． 运用数形结合策略时要注意特殊性， 否则解题会出现漏洞．
①
直线 l 与曲线 W 有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 Δ＝8k2 1 2 2 2 2 －4 2＋k ＝4k －2>0，解得 k<－ 或 k> . 2 2 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， → → 则OP＋OQ＝(x1＋x2，y1＋y2)， 4 2k 由①得 x1＋x2＝－ . ② 1＋2k2
四、等价转化求解解答题 等价转化策略就是把未知解的问题转化到在已有知识范 围内可解的问题的一种重要的思想方法．通过不断地转化， 把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至百度文库式 化、简单的问题．
【例 4】 已知各项均为正数的等差数列{an}的公差 d 不 等于 0.a1＝2，设 a1，a3，a7 是公比为 q 的等比数列{bn}的前 三项． (1)求数列{anbn}的前 n 项和 Tn； (2)将数列{an}中与{bn}中相同的项去掉， 剩下的项依次构 成新的数列{cn}， 设其前 n 项和为 Sn， 求 S2n－n－1－22n－1＋3· 2n －1 (n≥2，n∈N*)的值．
第二步： (探究问题已知与未知、 条件与目标之间的联系， 构思解题过程．) 根据审题从各个不同的侧面、不同的角度得到的信息， 全面地确定解题的思路和方法． 第三步：(形成书面的解题程序， 书写规范的解题过程．) 解题过程其实是考查学生的逻辑推理以及运算转化等能 力．评分标准是按步给分，也就是说考生写出哪步，分数就 给到哪步，所以卷面上讲究规范书写．