高中数学解三角形题型完整归纳-解三角形题型归纳总结
(完整版)解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳、知识点归纳(★☆注重细节，熟记考点☆★)1正弦定理及其变形a sin A变式： b c —— — 2R (R 为三角形外接圆半径)sin B sin C (1 a 2RsinA,b 2Rsin B,c 2RsinC (边化角公式) (2) si nA,si nB ,si nC (角化边公式)2R 2R2R(3 a: b: c sin A:si nB:si nC一、a sin A a sin A b sin Bb sin Bc sin C c sin C2 •正弦定理适用情况：(1) 已知两角及任一边；(2) 已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况) 3 •余弦定理及其推论2 22ab c 2bccosAb ac 2accosB 222cab 2abcosC4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角;注.解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作 用)，统一成边的形式或角的形式•7. 实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角b 22c 2 a2bc222ac b2ac2.22ab c (2)已知三边.5. 常用的三角形面积公式1(1) S ABC 底2 1(2) S 二一 absi nC26. 三角形中常用结论 1 1 acsin B bcsin A 24c R 为ABC 外接圆半径(两边夹一角)；(1) a b c, b c (2) 在 ABC 中, A (3) 在 ABC 中，A Ba, a ③ tan A B tanC ；b(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边) b si nA si n B(即大边对大角，大角对大边) ，所以 ① sin A B sinC :② cos A B cosC ；A B C AB. C ④ sin cos ,⑤ cos sin2 2 2 2cos AcosB cosC 2ab在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图 ①）从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为a （如图②） 注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
高考数学(理)总复习：解三角形(解析版)
高考数学（理）总复习：解三角形题型一 利用正、余弦定理解三角形 【题型要点解析】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．【例1】△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2，(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .【解析】 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎪⎭⎫ ⎝⎛+17151 ＝4.所以b ＝2.题组训练一 利用正、余弦定理解三角形1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC＝2，则b 的值为( )A.3B.322 C ．2 2D ．2 3【解析】 ∵在锐角△ABC 中，sin A ＝223，S △ABC ＝2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，12bc sin A ＝12bc ·223＝2，∴bc ＝3①，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴(b ＋c )2＝a 2＋2bc (1＋cos A )＝4＋6×⎪⎭⎫⎝⎛+311＝12， ∴b ＋c ＝23②.由①②得b ＝c ＝3，故选A. 【答案】 A2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.若C ＝2π3，则ab＝________.【解析】 ∵sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1，∴sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B . 由正弦定理可得ab ＋bc ＝2b 2，即a ＋c ＝2b ，∴c ＝2b －a ，∵C ＝2π3，由余弦定理可得(2b －a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 2π3，可得5a ＝3b ，∴a b ＝35. 【答案】 353．已知△ABC 是斜三角形，内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c .若c sin A ＝3a cos C .(1)求角C ；(2)若c ＝21，且sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，求△ABC 的面积．【解析】 (1)根据a sin A ＝c sin C，可得c sin A ＝a sin C ， 又∵c sin A ＝3a cos C ，∴a sin C ＝3a cos C ， ∴sin C ＝3cos C ，∴tan C ＝sin Ccos C ＝3，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，sin C ＝sin (A ＋B )， ∴sin (A ＋B )＋sin (B －A )＝5sin 2A ， ∴2sin B cos A ＝2×5sin A cos A . ∵△ABC 为斜三角形， ∴cos A ≠0，∴sin B ＝5sin A . 由正弦定理可知b ＝5a ，① ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴21＝a 2＋b 2－2ab ×12＝a 2＋b 2－ab ，②由①②解得a ＝1，b ＝5，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×5×32＝534.题型二 正、余弦定理的实际应用 【题型要点解析】应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．【例2】某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE .为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD ＝∠CDE ＝2π3，∠BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝910km.(1)求道路BE 的长度；(2)求生活区△ABE 面积的最大值．【解析】 (1)如图，连接BD ，在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝27100，∴BD ＝3310km.∵BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝π－2π32＝π6，又∠CDE ＝2π3，∴∠BDE ＝π2.∴在Rt △BDE 中， BE ＝BD 2＋DE 2＝335(km)． 故道路BE 的长度为335km.(2)设∠ABE ＝α，∵∠BAE ＝π3，∴∠AEB ＝2π3－α.在△ABE 中，易得AB sin ∠AEB ＝BE sin ∠BAE ＝335sinπ3＝65，∴AB ＝65sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32，AE ＝65sin α.∴S △ABE ＝12AB ·AE sin π3＝9325sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32·sin α ＝9325⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-4162sin 21πα≤9325⎪⎭⎫ ⎝⎛+4121 ＝273100(km 2)． ∵0<α<2π3，∴－π6<2α－π6<7π6.∴当2α－π6＝π2，即α＝π3时，S △ABE 取得最大值，最大值为273100km 2，故生活区△ABE面积的最大值为273100km 2题组训练二 正、余弦定理的实际应用1．如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.【解析】设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h ，在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，∴由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2×3h ×h 3×⎪⎭⎫⎝⎛-21，解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m.【答案】 10392．如图，在第一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求P 到海防警戒线AC 的距离． 【解析】 (1)依题意，有P A ＝PC ＝x ， PB ＝x －1.5×8＝x －12. 在△P AB 中，AB ＝20， cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x ，同理，在△P AC 中，AC ＝50，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ， ∴3x ＋325x ＝25x，解得x ＝31. (2）作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠P AD ＝2531，得sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131， ∴PD ＝P A sin ∠P AD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米． 题型三 三角函数与解三角形问题 【题型要点】解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理．【例3】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A －sin C b ＝sin A －sin Ba ＋c .(Ⅰ)求C ；(Ⅱ)若cos A ＝17，求cos(2A －C )的值．【解析】 (Ⅰ)由sin A －sin C b ＝sin A －sin B a ＋c 及正弦定理得a －c b ＝a －ba ＋c ，∴a 2－c 2＝ab －b 2，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，所以C ＝π3.(Ⅱ)由cos A ＝17知A 为锐角，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin A ＝1－cos 2A ＝437，故cos2A＝2cos 2A －1＝－4749，sin2A ＝2sin A cos A ＝2×437×17＝8349，所以cos(2A －C )＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＝cos2A cos π3＋sin2A sin π3＝－4749×12＋8349×32＝－2398.题组训练三 三角函数与解三角形问题已知函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知f (A )＝32，a ＝2，B ＝π3，求△ABC 的面积．【解析】 (1)f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 2cos 232sin 21 ＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx . 令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π⇒－5π12＋k π≤x ＋π3≤π12＋k π，k ∈Z .f (x )的单调递增区间为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 12,125，k ∈Z .(2)由f (A )＝32，sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πA ＝12， 又0<A <2π3，π3<2A ＋π3<5π3，因为2A ＋π3＝5π6，解得：A ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝6，又由A ＝π4，B ＝π3可得：sin C ＝6＋24.故S △ABC ＝12ab sin C ＝3＋32.题型四 转化与化归思想在解三角形中的应用 【题型要点】利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意图如下：【例4】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积． 【解析】 (1)证明：a cos 2C 2＋c cos 2A2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ，即a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b . ①由正弦定理得：sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝3sin B ， ② 即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sinB.由正弦定理得，a ＋c ＝2b ， ③ 故a ，b ，c 成等差数列．(2)由∠B ＝60°，b ＝4及余弦定理得： 42＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，∴(a ＋c )2－3ac ＝16， 又由(1)知a ＋c ＝2b ，代入上式得4b 2－3ac ＝16. 又b ＝4，所以ac ＝16， ④∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝4 3.题组训练四 转化与化归思想在解三角形中的应用 如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．【解析】 (1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝7＋1－427＝277. (2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD . 因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝217，sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝32114. 于是sin ∠BAC ＝sin (∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD ·sin ∠CAD ＝32114×277－⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1417×217＝32. 在△ABC 中，由正弦定理得，BC ＝AC ·sin ∠BACsin ∠CBA＝7×32216＝3. 【专题训练】 一、选择题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则内角C 等于( )A.π6 B.π4 C.3π4D.π4或3π4【解析】 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2－b 2＝c 2－2bc cos A ，由已知，得a 2－b 2＝－bc ，则c 2－2bc cos π6＝－bc ，即c ＝(3－1)b ，由正弦定理，得sin C＝(3－1)sin B ＝(3－1)sin ⎪⎭⎫⎝⎛-C 65π， 化简，得sin C －cos C ＝0，解得C ＝π4，故选B.【答案】 B2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.3＋1B.3－1 C ．4 D ．2【解析】 法一 由余弦定理可得(22)2＝22＋a 2－2×2×a cos π4，即a 2－22a －4＝0，解得a ＝2＋6或a ＝2－6(舍去)，△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×2×(2＋6)sin π4＝12×2×22×(6＋2)＝3＋1，选A.法二 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝12，又c >b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1.【答案】 A3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43C ．－43D ．－34【解析】 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，则结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)，故选C.【答案】 C4．如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24 C.64D.63【解析】 依题意得：BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中， BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，则4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64，选C.【答案】 C5．如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则该建筑物的高度为( )A ．(30＋303) mB ．(30＋153) mC ．(15＋303) mD ．(15＋153) m【解析】 设建筑物高度为h ，则h tan 30°－h tan 45°＝60，即(3－1)h ＝60，所以建筑物的高度为h ＝(30＋303)m.【答案】 A6．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则三角形ABC 中最小角的正弦值等于( )A.45B.34C.35D.74【解析】 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0.∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴三角形ABC 中最小角为角A ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ＝169a 2＋259a 2－a 22×43×53a 2＝45，∴sin A ＝35，故选C. 【答案】 C 二、填空题7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________.【解析】 因为(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝－12，所以sinC ＝32，由余弦定理得(3)2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，即ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．所以S △ABC ＝34. 【答案】348．已知△ABC 中，AB ＝1，sin A ＋sin B ＝2sin C ，S △ABC ＝316sin C ，则cos C ＝________. 【解析】 ∵sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理可得a ＋b ＝2c .∵S △ABC ＝316sin C ，∴12ab sin C ＝316sin C ，sin C ≠0，化为ab ＝38.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab－2ab cos C ，∴1＝(2)2－2×38(1＋cos C )，解得cos C ＝13.【答案】139．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ， 即(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3. 【答案】310．如图，△ABC 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝∠D ＝60°，若△ADC 是锐角三角形，则DA ＋DC 的取值范围是________．【解析】 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝12，即AC ＝2 3.设∠ACD ＝θ(30°<θ<90°)，则在△ADC 中，由正弦定理得23sin 60°＝DA sin θ＝DCsin (120°－θ)，则DA ＋DC ＝4[sin θ＋sin(120°－θ)]＝4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθcos 23sin 23＝43sin(θ＋30°)，而60°<θ＋30°<120°，43sin 60°<DA ＋DC ≤43sin 90°，即6<DA ＋DC ≤4 3.【答案】 (6,43] 三、解答题11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35. (1)求b 和sin A 的值；(2)求sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA 的值． 【解析】 (1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA ＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226. 12．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长．【解析】(1)∵AD ∶AB ＝2∶3，∴可设AD ＝2k ，AB ＝3k .又BD ＝7，∠DAB ＝π3，∴由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，∴AD ＝2，AB ＝3，sin ∠ABD ＝AD sin ∠DABBD＝2×327＝217.(2)∵AB ⊥BC ，∴cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217，∴sin ∠DBC ＝277，∴BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠DBC，∴CD＝7×27732＝433.。
五类解三角形题型--新高考数学大题秒杀技巧(解析版)
五类解三角形题型解三角形问题一般分为五类：类型1：三角形面积最值问题；类型2：三角形周长定值及最值；类型3：三角形涉及中线长问题；类型4：三角形涉及角平分线问题；类型5：三角形涉及长度最值问题。
类型1：面积最值问题技巧：正规方法：面积公式+基本不等式①S=12ab sin Ca2+b2−c2=2ab cos C⇒a2+b2=2ab cos C+c2≥2ab⇒ab≤c221−cos C②S=12ac sin Ba2+c2−b2=2ac cos B⇒a2+c2=2ac cos B+b2≥2ac⇒ac≤b221−cos B③S=12bc sin Ab2+c2−a2=2bc cos A⇒b2+c2=2bc cos A+a2≥2bc⇒bc≤a221−cos A秒杀方法：在ΔABC中，已知B=θ，AC=x则：SΔABC max=AB+BC2max8⋅sin B其中AB+BCmax=2R⋅m2+n2+2mn cosθm,n分别是BA、BC的系数2R=x sinθ面积最值问题专项练习1△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，c=2a cos C-b，c2+a2=b2+3ac，b=2.(1)求A；(2)若M,N在线段BC上且和B,C都不重合，∠MAN=π3，求△AMN面积的取值范围.【答案】(1)2π3(2)33,3 2【详解】(1)由c=2a cos C-b得2a cos C=c+2b，由正弦定理得2sin A cos C=sin C+2sin B=sin C+2sin A+C=sin C+2sin A cos C+2cos A sin C，所以2cos A sin C+sin C=0，又因为C∈0，π，所以sin C≠0，所以cos A=-12，又A∈0，π，所以A=2π3，(2)由c2+a2=b2+3ac，得c2+a2-b2=3ac，由余弦定理知cos B=c2+a2-b22ac =32，又因为B∈0，π，所以B =π6，所以C =π-A -B =π6，所以b =c =2，如图，设∠BAM =α,则∠CAN =π3-α,∠BMA =5π6-α,∠CNA =π2+α，在△ABM 中，由正弦定理可知AM =c sin B sin ∠BMA =2sin π6sin 5π6-α =1sin π6+α ，在△ANC 中，由正弦定理可知AN =b sin C sin ∠CNA =2sin π6sin π2+α =1cos α，故S △AMN =12AM ⋅AN ⋅sin ∠MAN =12⋅1sin α+π6 ⋅1cos α⋅sin π3=34sin α+π6cos α=323sin α+cos α cos α=323sin αcos α+2cos 2α=33sin2α+cos2α+1=32sin 2α+π6 +1，因为α∈0，π3 ，所以π6<2α+π6<5π6，所以12<sin 2α+π6 ≤1，所以2<2sin 2α+π6 +1≤3，所以33≤32sin 2α+π6 +1<32，即S △AMN ∈33，32.2已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3c sin B =a -b cos C .(1)求B ；(2)若DC =AD ，BD =2，求△ABC 的面积的最大值.【答案】(1)π6(2)8-43【详解】(1)由题意，在△ABC 中，3c sin B =a -b cos C ，∵a sin A=b sin B =csin C ，A +B +C =π∴3sin C sin B =sin A -sin B cos C ,即3sin C sin B =sin B +C -sin B cos C ，∴3sin B -cos B sin C =0，∵sin C ≠0，0<B <π∴3sin B -cos B =0，可得tan B =33，解得：B =π6.(2)由题意及(1)得在△ABC 中，B =π6，DC =AD ，BD =2，∴D 为边AC 的中点，4BD2=4×22=16∴2BD =BA +BC ,∴4BD 2=BA +BC 2=BA 2+2BA ⋅BC +BC 2，即4BD 2=BA 2+2BA BC cos B +BC 2=16，设BA =c ，BC =a ，则a 2+c 2+2ac cos π6=a 2+c 2+3ac =16≥2+3 ac ，所以ac ≤162+3=32-163，当且仅当a =c 时，等号成立.∴S △ABC =12ac sin B =14ac ≤8-43，当且仅当a =c 时，等号成立，∴△ABC 的面积的最大值为8-4 3.3在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A =2b -c sin B +c 2sin C -sin B ．(1)求A ；(2)点D 在边BC 上，且BD =3DC ，AD =4，求△ABC 面积的最大值．【答案】(1)A =π3(2)6439【详解】(1)∵2a sin A =2b -c sin B +c 2sin C -sin B ，∴2a 2=2b -c b +2c -b c ，即a 2=b 2+c 2-bc ，∴cos A =b 2+c 2-a 22bc =12，∵A ∈0,π ∴A =π3．(2)根据题意可得AD =AB +BD =AB +34BC =14AB +34AC，所以平方可得16=116c 2+916b 2+38bc cos π3．又256=c 2+9b 2+3bc ≥9bc ，所以bc ≤2569，当且仅当b =1639，c =1633时，等号成立，所以S =12bc sin π3≤12×2569×32=6439，即△ABC 面积的最大值为6439．4△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知c =2a cos C -b ，c 2+a 2=b 2+3ac ，b =2．(1)求A ；(2)若M 是直线BC 外一点，∠BMC =π3，求△BMC 面积的最大值．【答案】(1)2π3(2)33【详解】(1)由c =2a cos C -b 得2a cos C =c +2b ，由正弦定理得2sin A cos C=sin C+2sin B，因为sin B=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C，所以2cos A sin C+sin C=0．又因为C∈(0,π)，所以sin C≠0，所以cos A=-1 2 .因为A∈(0,π)，所以A=2π3．(2)由c2+a2=b2+3ac得c2+a2-b2=3ac，故cos B=c2+a2-b22ac=32．因为B∈(0,π)，所以B=π6，所以C=π-A-B=π6，可得b=c=2.根据正弦定理asin A=bsin B可得，a=b sin Asin B=2×3212=2 3.设BM=m，CM=n，在△BMC中，∠BMC=π3，由余弦定理可得a2=m2+n2-2mn cos π3=m2+n2-mn=12.所以12=m2+n2-mn≥2mn-mn=mn，当且仅当m=n=23时取等号，所以mn≤12.所以S△MBC=12mn sinπ3=34mn≤34×12=33．故△BMC面积的最大值为33．5在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，(sin A+sin B)(a-b)=c(sin C-sin B)，D为BC边上一点，AD平分∠BAC,AD=2．(1)求角A；(2)求△ABC面积的最小值．【答案】(1)A=π3；(2)433【详解】(1)由(sin A+sin B)(a-b)=c(sin C-sin B)，可得(a+b)(a-b)=c(c-b)，整理得b2+c2-a2=bc，则cos A=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，又0<A<π，则A=π3 .(2)过点D 作DE ⊥AC 于E ，作DF ⊥AB 于F ，又∠DAC =∠DAB =π6,AD =2，则DF =DE =1，则S △ABC =12bc sin A =12b +c ⋅1，则3bc =2b +c ，又b +c ≥2bc (当且仅当b =c 时等号成立)，则3bc ≥4bc ，则bc ≥163，则S △ABC =12bc sin A ≥433(当且仅当b =c 时等号成立)，则△ABC 面积的最小值为433．6在①m =2a -c ,b ，n =cos C ,cos B ，m ⎳n ；②b sin A =a cos B -π6 ；③a +b a -b =a -c c 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，且满足．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求角B ；(2)若b =2，求△ABC 面积的最大值．【答案】(1)π3(2)3【详解】(1)解：选①：因为m =2a -c ,b ，n=cos C ,cos B 由m ⎳n ，可得(2a -c )cos B -b cos C =0，由正弦定理得:(2sin A -sin C )cos B -sin B cos C=2sin A cos B -sin C cos B +sin B cos C =2sin A cos B -sin (B +C )=0，因为B +C =π-A ，可得sin B +C =sin A ，所以2sin A cos B -sin A =0，又因为A ∈(0,π)，可得sin A >0，所以cos B =12，因为B ∈(0,π)，所以B =π3.选②：因为b sin A =a cos B -π6，由正弦定理得sin B sin A =sin A ⋅32cos B +12sin B，又因为A ∈(0,π)，可得sin A >0，则sin B =32cos B +12sin B ，即12sin B =32cos B ，可得tan B =3，因为B ∈(0,π)，所以B =π3.选③：因为a +b a -b =a -c c ，可得a 2+c 2-b 2=ac ，由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac =ac 2ac =12，又因为B ∈(0,π)，所以B =π3.(2)解：因为B =π3，且b =2，由余弦定理知b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，即4=a 2+c 2-2ac cos π3，可得a 2+c 2-ac =4，又由a 2+c 2-ac ≥2ac -ac =ac ，当且仅当a =c 时，等号成立，所以ac ≤4，所以△ABC 的面积S △ABC =12ac sin B ≤12×4×sin π3=3，即△ABC 的面积的最大值为 3.类型2：三角形周长定值及最值类型一：已知一角与两边乘积模型第一步：求两边乘积第二步：利用余弦定理求出两边之和类型二：已知一角与三角等量模型第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三边的长度最值步骤如下：第一步：先表示出周长l =a +b +c第二步：利用正弦定理a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C 将边化为角第三步：多角化一角+辅助角公式，转化为三角函数求最值周长定值及最值问题专项练习7在锐角三角形△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，CD 为CA 在CB方向上的投影向量，且满足2c sin B =5CD.(1)求cos C 的值；(2)若b =3，a =3c cos B ，求△ABC 的周长.【答案】(1)23(2)2+23【详解】(1)由CD 为CA 在CB 方向上的投影向量，则CD=b cos C ，即2c sin B =5b cos C ，根据正弦定理，2sin C sin B =5sin B cos C ，在锐角△ABC 中，B ∈0,π2，则sin B >0，即2sin C =5cos C ，由C ∈0,π2 ，则cos 2C +sin 2C =1，整理可得cos 2C +54cos 2C =1，解得cos C =23.(2)由a =3c cos B ，根据正弦定理，可得sin A =3sin C cos B ，在△ABC 中，A +B +C =π，则sin B +C =3sin C cos B ，sin B cos C +cos B sin C =3sin C cos B ，sin B cos C =2sin C cos B ，由(1)可知cos C =23，sin C =1-cos 2C =53，则sin B =5cos B ，由sin 2B +cos 2B =1，则5cos 2B +cos 2B =1，解得cos B =66，sin B =306，根据正弦定理，可得b sin B =c sin C，则c =sin C sin B b =2，a =62c =3，故△ABC 的周长C △ABC =a +b +c =23+ 2.8如图，在梯形ABCD 中，AB ⎳CD ，∠D =60°．(1)若AC =3，求△ACD 周长的最大值；(2)若CD =2AB ，∠BCD =75°，求tan ∠DAC 的值．【答案】(1)9(2)3+3．【详解】(1)在△ACD 中，AC 2=AD 2+DC 2-2AD ⋅DC cos D =AD 2+DC 2-AD ⋅DC =(AD +DC )2-3AD ⋅DC ≥(AD +DC )2-3AD +DC22=(AD +CD )24，即9≥(AD +CD )24，解得：AD +DC ≤6，当且仅当AD =DC =3时取等号．故△ACD 周长的最大值是9．(2)设∠DAC =α，则∠DCA =120°-α，∠BCA =α-45°．在△ACD 中，CD sin α=AC sin60°，在△ACB 中，AB sin α-45° =AC sin105°，两式相除得，2sin α-45° sin α=sin105°sin60°，因为sin105°=sin 45°+60° =sin45°cos60°+cos45°sin60°=6+24，∴(6-2)sin α=26cos α，故tan ∠DAC =tan α=266-2=3+3．9已知△ABC 的面积为S ，角A ,B ,C 所对的边为a ,b ,c ．点O 为△ABC 的内心，b =23且S =34(a 2+c 2-b 2)．(1)求B 的大小；(2)求△AOC 的周长的取值范围．【答案】(1)B=π3(2)43,4+23【详解】(1)因为S=34(a2+c2-b2)=12ac sin B，所以34×2ac cos B=12ac sin B，即3cos B=sin B，可得tan B=3，因为B∈(0,π)，所以B=π3．(2)设△AOC周长为l，∠OAC=α，如图所示，由(1)知B=π3，所以0<∠BAC<2π3，可得0<α<π3，因为点O为ΔABC的内心，OA，OC分别是∠A，∠C的平分线，且B=π3，所以∠AOC=2π3，在△AOC中，由正弦定理可得OAsinπ3-α=OCsinα=23sin2π3，所以l=OA+OC+AC=4sinα+4sinπ3-α+23=4sinα+432cosα-12sinα+23=2sinα+23cosα+23=4sinα+π3+23，因为α∈0,π3，所以α+π3∈π3,2π3，可得sinα+π3∈32,1，可得△AOC周长l=4sinα+π3+23∈43,4+23．10在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知sin A-sin B3a-c=sin Ca+b．(1)求角B的值；(2)若a=2，求△ABC的周长的取值范围．【答案】(1)π6(2)3+3,2+23【详解】(1)sin A-sin B3a-c=sin Ca+b，由正弦定理得：a-b3a-c=ca+b，即a2+c2-b2=3ac，由余弦定理得：cos B=a2+c2-b22ac=3ac2ac=32，因为B∈0,π，所以B=π6；(2)锐角△ABC中，a=2，B=π6，由正弦定理得：2sin A =bsinπ6=csin C，故b=1sin A,c=2sin Csin A=2sin A+π6sin A=3sin A+cos Asin A，则b+c=3sin A+cos A+1sin A=3+1+1cos Atan A=3+1+1+tan2Atan A=3+1tan A +1tan2A+1，因为锐角△ABC中，B=π6，则A∈0,π2，C=π-π6-A∈0,π2，解得：A∈π3,π2 ，故tan A∈3,+∞，1tan A ∈0,33，则1tan2A+1∈1,233,3+1tan A+1tan2A+1∈1+3,23，故b+c∈1+3,23，a+b+c∈3+3,2+23所以三角形周长的取值范围是3+3,2+23.11在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，a-ca+c+b b-a=0．(1)求C；(2)若c=3，△ABC的面积是32，求△ABC的周长．【答案】(1)π3.(2)3+3.【详解】(1)由题意在△ABC中，a-ca+c+b b-a=0，即a2+b2-c2=ab，故cos C=a2+b2-c22ab=12，由于C∈(0,π)，所以C=π3 .(2)由题意△ABC的面积是32，C=π3，即S△ABC=12ab sin C=34ab=32,∴ab=2，由c=3，c2=a2+b2-2ab cos C得3=a2+b2-ab=(a+b)2-6,∴a+b=3，故△ABC的周长为a+b+c=3+ 3.类型3：三角形涉及中线长问题①中线长定理：(两次余弦定理推导可得)+(一次大三角形一次中线所在三角形+同余弦值)如：在ΔABC与ΔABD同用cos B求ADAB2+AC22=AD2+CD2②中线长常用方法cos∠ADB+cos∠ADC=0③已知AB+AC，求AD的范围∵AB+AC为定值，故满足椭圆的第一定义∴半短轴≤AD＜半长轴三角形涉及中线长问题专项练习12在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=7，c=5.(1)若sin B=78，求cos C的值；(2)若BC边上的中线长为21，求a的值.【答案】(1)39 8(2)8(1)由正弦定理bsin B =csin C，∴sin C=c sin Bb=5×787=58又b>c，若C为钝角，则B也为钝角，与三角形内角和矛盾，故C∈0,π2∴cos C>0，即cos C=1-sin2C=1-58 2=1-2564=3964=398 (2)取BC边上的中点D，则AD=21，设BD=x在△ABD中，利用余弦定理知：cos∠ADB=AD2+BD2-AB22AD⋅BD =21+x2-52221x=-4+x2221x在△ACD 中，利用余弦定理知：cos ∠ADC =AD 2+CD 2-AC 22AD ⋅CD =21+x 2-72221x =-28+x 2221x又∠ADB +∠ADC =π，则cos ∠ADB +cos ∠ADC =0即-4+x 2221x +-28+x 2221x =0，即2x 2-32=0，解得x =4又a =2x =8故a 的值为8.13在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =2,b =5,c =1．(1)求sin A ,sin B ,sin C 中的最大值；(2)求AC 边上的中线长．【答案】(1)最大值为sin B =22(2)12【详解】(1)∵5>2>1，故有b >a >c ⇒sin B >sin A >sin C ，由余弦定理可得cos B =(2)2+12-(5)22×2×1=-22，又B ∈(0,π)，∴B =3π4，故sin B =22．(2)设AC 边上的中线为BD ，则BD =12(BA +BC )，∴(2BD )2=(BA +BC )2=c 2+a 2+2ca cos B =12+(2)2+2×1×2×cos 3π4=1，∴|BD |=12，即AC 边上的中线长为12．14在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足3b sin A =a cos B +a .(1)求角B 的值；(2)若c =8，△ABC 的面积为203，求BC 边上中线AD 的长.【答案】(1)π3(2)7【详解】(1)解：由正弦定理得3sin B sin A =sin A cos B +sin A ，A ∈0,π ，sin A ≠0∴3sin B =cos B +1，则sin B -π6 =12，B ∈0,π ，∴B =π3；(2)∵S =12ac sin B =203，c =8，∴a =10，由余弦定理AD2=c2+a22-2×12ac cos B=64+25-40=49，得AD2=49，∴AD=7，15如图，在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知b=3，c=6，sin2C=sin B，且AD 为BC边上的中线，AE为∠BAC的角平分线．(1)求cos C及线段BC的长；(2)求△ADE的面积．【答案】(1)cos C=14，BC=6(2)3158【详解】(1)∵sin2C=sin B，∴2sin C cos C=sin B，∴2c cos C=b，∴cos C=1 4由余弦定理得cos C=a2+9-366a=14⇒a=6(负值舍去)，即BC=6.(2)∵cos C=14>0，C∈0,π2，∴sin C=154，∴S△ABC=12CA⋅CB⋅sin C=9154，∵AE平分∠BAC，sin∠BAE=sin∠CAE，由正弦定理得：BEsin∠BAE =ABsin∠AEB,CEsin∠CAE=ACsin∠AEC，其中sin∠AEB=sin∠AEC，∴AB AC =BECE=2⇒S△AEC=13S△ABC，∵AD为BC边的中线，∴S△ADC=12S△ABC，∴S△ADE=S△ADC-S△AEC=16S△ABC=3158.16在△ABC中，∠A=2π3，AC=23，点D在AB上，CD=32.(1)若CD为中线，求△ABC的面积；(2)若CD平分∠ACB，求BC的长.【答案】(1)9-33(2)6(1)解：由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2⋅AC⋅AD⋅cos A，∴322=232+AD2-2×23×AD×-12，解得AD=-3±3(负值舍).所以，AB=2AD=6-23，故S△ABC=12AB⋅AC⋅sin A=12×6-23×23×32=9-33.(2)解：由正弦定理得CDsin A=ACsin∠ADC，即3232=23sin∠ADC，解得sin∠ADC=22.又∠A=2π3，则∠ADC∈0,π3，∴∠ADC=π4，∴∠ACD=π-2π3-π4=π12.又CD平分∠ACB，则∠ACB=2∠ACD=π6 .所以，∠B=π-2π3-π6=π6，则∠B=∠ACB，故AB=AC=2 3.由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB⋅AC⋅cos A=232+232-2×23×23×-1 2=36.因此，BC=6.17在①3b=a sin C+3cos C；②a sin C=c sin B+C2；③a cos C+12c=b，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求角A；(2)若b=1，c=3，求BC边上的中线AD的长.注：若选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答进行计分.【答案】(1)任选一个，答案均为π3(2)132．(2)在△ABD和△ACD中分别应用余弦定理后相加可得AD．【详解】(1)选①3b=a sin C+3cos C，由正弦定理得3sin B=sin A(sin C+3cos C)，3sin(A+C)=sin A sin c+3sin A cos C，3(sin A cos C+cos A sin C)=sin A sin C+3sin A cos C，3cos A sin C=sin A sin C，三角形中sin C≠0，所以tan A=3，又A∈(0,π)，所以A=π3；选②a sin C=c sin B+C 2由正弦定理得sin A sin C=sin C sin B+C2=sin C cos A2，三角形中sin C≠0，所以2sin A2cos A2=cos A2，又三角形中cosA2≠0，所以sin A2=12，A∈(0,π)，所以A2=π6，即A=π3；选③a cos C+12c=b，由余弦定理得a2+b2-c22b+12c=b，整理得b2+c2-a2=bc，所以cos A=b2+c2-a22bc=12，而A∈(0,π)，A=π3；(2)由(1)a2=b2+c2-2bc cos A=1+9-2×1×3cosπ3=7，a=7，由余弦定理得：b2=AD2+CD2-2AD⋅CD cos∠CDAc2=AD2+BD2-2AD⋅BD cos∠BDA，又BD=CD，cos∠CDA=-cos∠BDA，所以b2+c2=2AD2+BD2+CD2=2AD2+12a2，所以AD2=121+9-12×7=134，AD=132．类型4：三角形涉及角平分线问题张角定理如图，在ΔABC中，D为BC边上一点，连接AD,设AD=l，∠BAD=α,∠CAD=β则一定有sinα+βl=sinαb+sinβc三角形涉及角平分线问题专项练习18设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，sin B-sin Cb=a-csin A+sin C．(1)求角A的大小；(2)从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．①设角A的角平分线交BC边于点D，且AD=1，求△ABC面积的最小值．②设点D为BC边上的中点，且AD=1，求△ABC面积的最大值．【答案】(1)A=π3；(2)①33；②3 3.【详解】(1)∵asin A=bsin B=csin C且sin B-sin Cb=a-csin A+sin C,∴b-cb=a-ca+c，即b2+c2-a2=bc，∴cos A=b2+c2-a22bc =bc2bc=12，又A∈0,π，∴A=π3；(2)选①∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD =12∠BAC =π6，∵S △ABD +S △ACD =S △ABC ，∴12AB ⋅AD ⋅sin ∠BAD +12AC ⋅AD ⋅sin ∠CAD =12b ⋅c ⋅sin A ，即c sin π6+b sin π6=bc sin π3，∴c +b =3bc由基本不等式可得：3bc =b +c ≥2bc ，∴bc ≥43，当且仅当b =c =233时取“=”，∴S △ABC =12bc sin A =34bc ≥33，即△ABC 的面积的最小值为33；②因为AD 是BC 边上的中线，在△ADB 中由余弦定理得cos ∠ADB =a 2 2+12-c 22×a 2×1，在△ADC 中由余弦定理得cos ∠ADC =a 2 2+12-b 22×a 2×1，∵cos ∠ADB +cos ∠ADC =0，∴a 22+2=b 2+c 2，在△ABC 中，A =π3，由余弦定理得a 2=b 2+c 2-bc ，∴4-bc =b 2+c 2∴4-bc =b 2+c 2≥2bc ，解得bc ≤43，当且仅当b =c =233时取“=”，所以S △ABC =12bc sin A =34bc ≤33，即△ABC 的面积的最大值为33.19在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c sin B +33b cos A +B =33b .(1)求角C 的大小；(2)若c =3，角A 与角B 的内角平分线相交于点D ，求△ABD 面积的取值范围.【答案】(1)π3(2)3-34,34【详解】(1)解：∵c sin B +33b cos A +B =33b ，由正弦定理可得：sin C sin B +33sin B cos A +B =33sin B ，∴sin C sin B -33sin B cos C =33sin B ，∵sin B ≠0，∴sin C -33cos C =33，∴sin C -π6 =12，∵C 为锐角，∴C -π6∈-π6,π3 ，∴C -π6=π6，∴C =π3；(2)解：由题意可知∠ADB =2π3，设∠DAB =α，∴∠ABD =π3-α，∵0<2α<π2，又∵B =π-π3-2α0,π2 ，∴α∈π12,π4，在△ABD 中，由正弦定理可得：AB sin ∠ADB =AD sin ∠ABD ，即：3sin 2π3=AD sin π3-α ，∴AD =2sin π3-α ，∴S △ABD =12AB ⋅AD ⋅sin α=12×3×2sin π3-α sin α=32sin αcos α-32sin 2α=32sin 2α+π6 -34，∵α∈π12,π4 ，∴2α+π6∈π3,2π3，∴sin 2α+π6 ∈32,1 ，∴32sin 2α+π6 -34∈3-34,34，∴三角形面积的取值范围为3-34,34.20已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 满足b cos C +c cos B sin B +3b cos A =0.(1)求A ；(2)若c =2，a =23，角B 的角平分线交边AC 于点D ，求BD 的长.【答案】(1)2π3；(2)6.【详解】(1)由正弦定理化边为角可得：sin B cos C +sin C cos B sin B +3sin B cos A =0，即sin B +C sin B +3sin B cos A =0所以sin A sin B +3sin B cos A =0，因为sin B ≠0，所以sin A +3cos A =0即tan A =- 3.因为0<A <π，所以A =2π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，代入数据可得：12=b 2+4-2b ×2×-12 即12=b 2+4+2b .解得：b =2或b =-4(舍).所以b =c =2，所以B =C =π6，在△ABD 中，由BD 是∠ABC 的角平分线，得∠ABD =π12，则∠ADB =π-2π3-π12=π4，在△ABD 中，由正弦定理得：AB sin ∠ADB =BD sin ∠BAD 即2sin π4=BD sin 2π3，可得：BD =2×sin 2π3sin π4=2×3222= 6.21已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对应边分别为a ,b ,c ，且有3cos A c cos B +b cos C +a sin A =0．(1)求A ；(2)设AD 是△ABC 的内角平分线，边b ，c 的长度是方程x 2-6x +4=0的两根，求线段AD 的长度．【答案】(1)A =2π3；(2)AD =23.【详解】(1)由正弦定理得：3cos A sin C cos B +sin B cos C +sin 2A =0，即3cos A sin B +C +sin 2A =0，又sin B +C =sin π-A =sin A ，∴-3sin A cos A =sin 2A ，又A ∈0,π ，∴sin A ≠0，∴sin A =-3cos A ，∴tan A =-3，又A ∈0,π ，∴A =2π3；(2)∵b ,c 为方程x 2-6x +4=0的两根，∴b +c =6，bc =4，由(1)知：A =2π3，∴∠BAD =∠CAD =π3，∵S △ABC =S △ABD +S △ADC ，∴12bc sin 2π3=c 2⋅AD sin π3+b 2⋅AD sin π3=b +c 2⋅AD sin π3，即332AD =3，解得：AD =23.22在①b sin B +c sin C =233b sin C +a sin A ；②cos 2C +sin B sin C =sin 2B +cos 2A ；③2b =2a cos C +c 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 外接圆的半径为1，且.(1)求角A ；(2)若AC =2，AD 是△ABC 的内角平分线，求AD 的长度.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)A =π3；(2)AD =2.【详解】(1)选择①：b sin B +c sin C =233b sin C +asin A ，由正弦定理得：b 2+c 2=233b sin C +a a ，即b 2+c 2-a 2=233ab sin C ，由余弦定理得：2bc cos A =233ab sin C ,所以sin C cos A =33sin A sin C .因为C ∈0,π ,所以sin C >0，所以tan A >3因为A ∈0,π ,所以A =π3.选择②：cos 2C +sin B sin C =sin 2B +cos 2A 得：1-sin 2C +sin B sin C =sin 2B +1-sin 2A ，即sin 2B +sin 2C -sin 2A =sin B sin C ，由正弦定理得：b 2+c 2-a 2=bc .由余弦定理得：cos A =b 2+c 2-a 22bc=12，因为A ∈0,π ,所以A =π3.选择③：由2b =2a cos C +c ，结合正弦定理得：2sin B =2sin A cos C +sin C .因为A +B +C =π，所以sin B =sin A +C ，即2sin A +C =2sin A cos C +sin C ,所以2cos A sin C =sin C .因为C ∈0,π ,所以sin C >0，所以cos A =12因为A ∈0,π ,所以A =π3.(2)在△ABC 中，由正弦定理得：AC sin B=2R =2,所以sin B =22，所以B =π4(因为A =π3，由内角和定理，B 不可能为3π4).在△ABD 中，由正、余弦定理建立方程组得：AD sin B =BD sin A 2cos B =BD 2+AB 2-AD 22×AB ×BD AB sin C =2R ，即AD 22=BD 1222=BD 2+AB 2-AD 22×AB ×BD AB 6+24=2 ，解得：AD =2BD =1AB =6+22，即AD = 2.类型5：三角形涉及长度最值问题秒杀：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值三角形涉及长度最值问题专项练习23设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知△ABC 的面积为34c 2-a 2-b 2 ．(1)求C ；(2)延长BC 至D ,使BD =3BC ，若b =2，求AD AB 的最小值．【答案】(1)2π3(2)3-1．【详解】(1)解：由余弦定理可得c 2-a 2-b 2=-2ab cos C ，因为△ABC 的面积为34c 2-a 2-b 2 ，可得S △ABC =34c 2-a 2-b 2 =-32ab cos C ，又因为S △ABC =12ab sin C ，所以12ab sin C =-32ab cos C ，即tan C =-3，因为0<C <π，所以C =2π3.(2)解：如图所示，因为BD =3BC ，设BC =t ，则CD =2t ，由余弦定理可得AD 2AB 2=4t 2+4-2×2×2t cos π3t 2+4-2×2t cos 2π3=4-12t +1 +3t +1≥4-23当且仅当t =3-1时，等号成立，所以AD AB的最小值为3-1．24在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且a 2-b 2=ac cos B -12bc (1)求A ；(2)若a =6，2BD =DC ，求线段AD 长的最大值.【答案】(1)π3(2)23+2【详解】(1)因为a 2-b 2=ac cos B -12bc ，所以根据余弦定理，可得a 2-b 2=ac ⋅a 2+c 2-b 22ac -12bc ，所以b 2+c 2-a 2=bc ，所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =12.因为A ∈0,π ，所以A =π3.(2)解法一：因为2BD =DC ，所以2AD -AB =AC -AD ，所以AD =23AB +13AC，所以AD 2=194AB 2+AC 2+4AB ⋅AC=19b 2+4c 2+2bc .因为b 2+c 2-a 2=bc ，a =6，所以b 2+c 2-bc =36，则AD 2=4×136b 2+4c 2+2bc =4×b 2+4c 2+2bcb 2+c 2-bc=4×b c 2+4+2×b cb c 2+1-b c.令t =b c ，t >0，则AD 2=4×t 2+4+2t t 2+1-t =4×t 2-t +1 +3t +3t 2-t +1=4+12t +1t 2-t +1.令u =t +1，则u >1，所以AD 2=4+12u u 2-3u +3=4+12u +3u -3≤4+1223-3=16+83，当且仅当u =3u ，即u =3时取等号.所以，AD ≤16+83=23+2，所以，线段AD 长的最大值为23+2.解法二：设△ABC 外接圆的半径为R ，根据正弦定理，可得2R =632，所以R =2 3.当AD 过圆心O 时，AD 的长取得最大值.作OE ⊥BC ，则E 为BC 的中点，因为∠BAC =π3，所以∠BOE =12×2∠BAC =π3，所以OE =OB cos π3= 3.因为BE =3，BD =13BC =2，所以DE =1，所以OD =OE 2+ED 2=2，所以AD =23+2，所以，线段AD 长的最大值为23+2.25锐角△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C =2cos A sin B +π3 .(1)求A ；(2)若b +c =6，求BC 边上的高AD 长的最大值.【答案】(1)A =π3(2)332【详解】(1)因为C =π-(A +B )，所以sin C =sin (A +B )=sin A cos B +cos A sin B ，又sin C =2cos A sin B +π3 =2cos A 12sin B +32cos B=cos A sin B +3cos A cos B ，所以sin A cos B =3cos A cos B ，所以cos B (sin A -3cos A )=0，所以cos B =0或sin A -3cos A =0，若cos B =0，则B =π2，与△ABC 为锐角三角形矛盾，舍去，从而sin A -3cos A =0，则tan A =3，又0<A <π2，所以A =π3；(2)由(1)知cos A =12=b 2+c 2-a 22bc =(b +c )2-2bc -a 22bc =36-2bc -a 22bc ，化简得a2=36-3bc，因为S△ABC=12a⋅AD=12bc sin A，所以AD=3bc2a，所以AD2=3(bc)24a2=3(bc)24(36-3bc)，又b+c≥2bc，所以bc≤9，当且仅当b=c=3时取等号，所以AD2=3(bc)24(36-3bc)=3436(bc)2-3bc≤343692-39=274，所以AD≤332，故AD长的最大值为332.26在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，a sin B+C=b-csin B+c sin C.(1)求A；(2)若D在BC上，a=2，且AD⊥BC，求AD的最大值.【答案】(1)π3(2)3【详解】(1)由a sin B+C=b-csin B+c sin C，得a sin A=b-csin B+c sin C，由正弦定理，得a2=b-cb+c2=b2+c2-bc.由余弦定理，得cos A=b2+c2-a22bc=bc2bc=12.又A∈0,π，所以A=π3 .(2)因为a2=b2+c2-2bc cos A=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，所以bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号，又12bc sin A=12AD⋅a，a=2，所以AD=12bc sin A1=34bc≤3，故AD的最大值为 3.27记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为312b2．(1)若A=π6，求sin B sin C；(2)求a2+c2ac的最大值．【答案】(1)3(2)4【详解】(1)由于S△ABC=12bc sin A=14bc=312b2，所以b=3c，由正弦定理可得sin Bsin C=bc=3．(2)由于S△ABC=12ac sin B=312b2，所以b2=23ac sin B；由余弦定理可得a2+c2=2ac cos B+b2，所以c2+a2ac=23sin B+2cos Bacac=23sin B+2cos B=4sin B+π6，则当B=π3时，c2+a2ac取得最大值4．。
高中数学重难点归纳：解三角形常考题型有三种类型.doc
高中数学重难点归纳：解三角形常考题型有
三种类型
题型一：三角变换与解三角形的综合问题方法归纳：
（1）解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向。
第二步：定工具，即根据条件与所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。
第三边：求结果（2）三角变换与解三角形的综合问题要关注三角形中的隐藏条件，如A+B+C=π，sin（A+B）=sinC，cos（A+B）=-cosC，以及在△ABC中，A＞B→sanA＞sinB等。
题型二：解三角形与平面向量结合解三角形与平面向量综合问题的一般思路
（1）求三角函数值，一般利用向量的相关运算把向量关系转化为三角函数关系。
利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解
（2）求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角。
（3）解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题。
题型三：以平面图形为背景的解三角形问题以平面图形为背景的解三角形问题的一般思路
（1）建联系：在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，通过公共条件形成等式，常常将所涉及的已知几何量与所求几何集中在某一个三角形。
（2）用定理：①“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采取正弦定理②“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采取余弦定理。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1.docx
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， C＝90°，AB＝ c， AC＝ b ， BC＝ a。
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。
（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝ 90 °；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A＝ cos B＝a， cos A＝sin＝b， tan A＝a。
c bc2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， A、 B、 C 为其内角， a、b、 c 分别表示 A、 B、C 的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2 ）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等a b c2R （R为外接圆半径）sin A sin B sin C（ 3 ）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2 ＝b2＋2－ 2bccosA；b2 ＝ 2 ＋a2－ 2cacosB；c2＝ 2 ＋b2－2abcos。
c c a C3．三角形的面积公式：1ah a＝11（1）S＝bh b＝ch c（ h a、 h b、 h c分别表示 a、b、 c 上的高）；22211bc sin A＝1（2）S＝ab sin C＝ac sin B；222求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1 ）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2 ）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角 .第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（ 1）角的变换因为在△ABC 中， A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解：（1）根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理， 0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
(完整版)解三角形题型总结(最新整理)
解三角形题型分类解析1、正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径）12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===（）(角化边公式）3::sin :sin :sin a b c A B C=（）sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C===做题大法：1）边化角：遇到分式或等式如（切记必须为齐次式，高B A b a BA b sin sin ,sin sin a =→=→考常考点）思考：若是否可行C B A bc sin sin sin a 22=−−−→−=是否可化为2）角化边形如这样的分式或等式b a B A bB A =→=→sin sin ,a sin sin 思路总结： 此为以上转换依据sin sin a b A B =2sin c R C ==⇒2、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）；已知a ，b 和A ，不解三角形，求B 时的解的情况:AR sin 2a =B R sin 2b =B Rsin 2c =如果sin A ≥sin B ，则B 有唯一解；如果sin A <sin B <1，则B 有两解；如果sin B =1，则B 有唯一解；如果sin B >1，则B 无解.3、余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C=+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bca cb B aca b c C ab +-=+-=+-=4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角； （2）已知三边。
(完整版)解三角形题型汇总
《解三角形》知识点归纳及题型汇总1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；②.角平分线性质:角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比. ③.锐角三角形性质：若A>B>C 则6090,060A C ︒≤<︒︒<≤︒.2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin .2222A B C A B C ++== （1）和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m . （2） 二倍角公式sin2α = 2cosαsinα.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221tan 1tan αα-=+. 221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+== （3）辅助角公式（化一公式） )sin(cos sin 22ϕ±+=±=x b a x b x a y 其中a b =ϕtan 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B =2R6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.7、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4 =2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---(海伦公式) 8、余弦定理：在C ∆AB 中，2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 9、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=． 10、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量.②已知三边求角11、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =o ；②若222a b c +>，则90C <o ；③若222a b c +<，则90C >o ．12、三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点外心——三角形三边垂直平分线相交于一点内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点题型之一：求解基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．1.在中，，，，则．2.在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上中线BD =5，求sin A ．题型之二：判断形状：1.在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形2．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形题型之三：解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．1. 在∆ABC 中sin cos A A +=22，AC =2，AB =3，求A tan 和∆ABC 的面积.2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（1）求边AB 的长.（2）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．题型之四：求值问题ABC △4a =5b =6c =sin 2sin A C =1. 在ABC ∆中， 222a bc c b =-+,321+=b c ，求A ∠和B tan2．在锐角ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin 3A =，（1）求22tan sin 22B C A++的值. （2）若2a =，ABC S =△b 的值.题型之五：求最值问题1.在△ABC 中，已知 cos (cos )cos 0C A A B +-=.(1)求角B 的大小.(2)若1a c +=，求b 的取值范围2．△在内角的对边分别为,已知.(1)求.(2)若,求△面积的最大值.。
高三文科数学复习解三角形知识要点及基础题型归纳整理
解三角形知识刚要一．公式与结论1．角与角关系：A +B +C = π；2．边与边关系：（1）大角对大边，大边对大角（2）两边之和大于第三边，两边只差小于第三边解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解3．正弦定理：正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 变形：①角化边 C R c BR b A R a sin 2sin 2sin 2=== ②边化角 R c C Rb B R a A 2sin 2sin 2sin ===③C B A c b a sin :sin :sin ::=①已知两角和一边；解三角形②已知两边和其中一边的对角．如：△ABC 中，①B b A a cos cos =，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形 ②B a A b cos cos =，则△ABC 是等腰三角形。
4.余弦定理：2222cos a b c bc A =+- 222cos 2b c a A bc +-= 2222cos b a c ac B =+- 222cos 2a c b B ac +-= 2222cos c a b ab C =+- 222cos 2a b c C ab +-= 注意整体代入，如：21cos 222=⇒=-+B ac b c a（1）若C =90︒，则cos C = ，这时222c a b =+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．（2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角五.三角形面积5．面积公式 1.B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 2. r c b a S ABC )(21++=∆,其中r 是三角形内切圆半径.注:由面积公式求角时注意解的个数6相关的结论：1．角的变换在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
解三角形题型及解题方法归纳总结精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版解三角形题型及解题方法归纳总结三角形是数学中最基础、最重要的几何图形之一，掌握三角形的结构特征及解题方法对于学生来说非常重要。
下面我们就以三角形的结构特征及解题方法来归纳总结一下。
首先，三角形的基本特征有三边、三角形内心、三条对角线以及三个角。
在三角形的结构特征里，最重要的是三角形的三个角，其中有一些理论概念，如两边之和大于第三边、两边之积等于第三边的高乘以底边的一半等。
其次，根据三角形的特性，学生在解决三角形题目时，应该先领会三角形题目给出的条件，确定出题目给出的条件，然后根据解三角形题目所使用的公式，按照正确的求解步骤求解三角形题目，最后根据求解得到的结果检查答案是否正确。
接下来，我们来看看具体的解三角形的步骤分为三个步骤：1.据三角形的边长确定三角形形状，分为等腰三角形、直角三角形、锐角三角形。
2.据三角形形状确定求解方法，分为直接求解、相似三角形求解、余弦定理求解、正弦定理求解和余切定理求解。
3.据给出的公式求解三角形的边长、角的大小、面积等，并检查答案的正确性。
最后，我们还要重点强调以下几点：1.掌握三角形的特征，如：三条边的关系、三角形的三个角的关系等，并要熟练掌握相应的理论公式，以便能够解决具体的解三角形题目。
2.解决三角形问题时，要根据问题形式确定求解方法，并要求正确掌握解题步骤和运算公式，以便能够准确答题。
3.解决三角形问题时，我们还要特别注意一下两边之和大于第三边及两边之积等于第三边的高乘以底边的一半这两条关系，这些关系在解题中起到很重要的作用。
综上所述，三角形是数学中最基础的几何图形，掌握三角形的结构特征及解题方法对于学生来说至关重要。
要正确掌握解三角形题型与解题方法，首先应学习三角形的基本特征，了解常见的解三角形的方法，熟练掌握解三角形问题所应用的各种理论公式，其次要正确理解具体的解三角形题目给出的条件，按照正确的求解步骤求解三角形题目，最后再检查所得结果的正确性。
高中数学解三角形的知识总结和题型归纳总结
解三角形的知识总结和题型归纳一、知识讲解1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（互余）（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba 。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．主要类型有：（1）正弦定理解三角形的问题：已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）余弦定理解三角形的问题：已知三边求三角.已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换（1）角的变换因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
高中数学解三角形题型及解题方法归纳总结
高中数学解三角形题型及解题方法归纳总结说实话高中数学解三角形这事，我一开始也是瞎摸索。
解三角形的题型里，那种已知两边和夹角求第三边的，就用余弦定理。
我记得我刚学的时候，老是把公式记错。
就像abc这三边和角A的余弦定理吧，公式是a²= b²+ c²- 2bc cosA。
我就老想着那个2后面的东西该咋写，后来我就自己多写几遍这个公式，边写边嘴里念叨，就像和尚念经似的。
然后多做几道这种已知两边一夹角求第三边的题，慢慢地才把这个公式刻在脑子里。
还有那种已知两角和一边求其他边的题型。
这个得先根据三角形内角和是180度求出第三个角。
我一开始就傻，经常忘记先求这个，就直接去用正弦定理，结果算得乱七八糟的。
正弦定理的话，比如说在三角形ABC 里，a比sinA等于b比sinB等于c比sinC这么个关系。
就好比一群小伙伴按照一定的比例排队，这个比例是不能乱的。
用这个定理解题的时候，就是根据已知的角和边之间的比例关系求出未知的。
然后再说说已知三边求角这种类型。
那肯定就是用余弦定理变形啊，这个时候一定要看清楚求的是哪个角对应的余弦值。
我试过有次把角搞错了，算出的结果就全错了。
就像你找错了路，那方向肯定不对呀。
我觉得解三角形最关键的是要把这些定理公式理解透了，然后就是多做题多练习。
有时候遇到那种比较复杂的题，比如说一个三角形被分割成好几个小三角形的情况。
这种就先把能求出来的小三角形的边或者角求出来，就像是先解决容易的小问题，再去搞定大的复杂的问题。
还有一种是在四边形里间接让你解三角形，这个时候就要善于利用四边形的一些性质了，像对边平行啊这些，通过找相等的角或者边转化成解三角形的问题。
反正就是要灵活运用这些知识，细心谨慎才行。
《解三角形》常见题型总结
《解三角形》常见题型总结1。
1正弦定理和余弦定理1。
1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1 在ABC 中，已知A ：B:C=1：2:3，求a :b :c 。
【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化,利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。
解：::1:2:3,A .,,,6321::sin :sin :sin sin:sin:sin::1 2.63222A B C B C A B C a b A B C πππππππ=++=∴===∴====而【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。
例2在ABC 中,已知C=30°,求a+b 的取值范围。
【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数,然后再求解。
解：∵C=30°sin sin sin a b c A B C === ∴sinA ，b=2°-A ）.∴a+b=2[sinA+sin(150°—·2sin75°·cos(75°-A ）=2cos （75°—A ）① 当75°-A=0°,即A=75°时,a+b取得最大值2② ∵A=180°—（C+B)=150°—B ，∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°，∴—75°＜75°-A ＜75°,∴cos75°＜cos(75°-A)≤1，∴＞2cos75°=2×4. 综合①②可得a+b考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC 中,2a ·tanB=2b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。
【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。
高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题
解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备:1.直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C =9０°，AB =c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
(1）三边之间的关系:a ２+ｂ２＝c 2。
（勾股定理） (２)锐角之间的关系：A ＋Ｂ=90°； （３)边角之间的关系:（锐角三角函数定义) s ｉｎA ＝ｃos B =c a ，cos A =sin B =c b ，ｔａn Ａ＝ba。
2.斜三角形中各元素间的关系:在△ABC 中,A 、B 、Ｃ为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、Ｃ的对边。
(１）三角形内角和：Ａ＋B +C =π。
(２)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等R CcB b A a 2sin sin sin ===(R 为外接圆半径） （3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍ａ2=b 2+c 2-2ｂｃcos Ａ； b ２＝ｃ2+a 2-2c ａcos B ; c 2＝a ２＋ｂ２-2ａb c ｏｓC 。
3．三角形的面积公式:(1）∆S =21ah ａ=21bh b ＝21ch c (ｈａ、h b 、h c 分别表示ａ、b 、c 上的高）； （2）∆S =21ab s ｉｎC =21ｂc ｓi ｎA ＝21ac s ｉｎＢ;４．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. (2）两类余弦定理解三角形的问题:第1、已知三边求三角.②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ,0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评:应用正弦定理时(1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形;（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2:三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22,AC =2,3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
高中解三角形题型及解题方法归纳总结
高中解三角形题型及解题方法归纳总结
1.根据角度关系求解三角形：通过已知角度的大小关系，可以确定三角形的形状和大小，常见的题型包括等腰三角形、直角三角形等。
2. 利用三角函数求解三角形：三角函数包括正弦、余弦、正切等，通过已知角度和边长的关系，可以利用三角函数求解三角形。
3. 利用勾股定理求解三角形：勾股定理是指直角三角形斜边的平方等于两个直角边平方和，通过已知两条直角边的长度，可以求出斜边的长度，从而确定三角形的形状和大小。
4. 利用海龙公式求解三角形：海龙公式是指通过三角形三条边的长度求出其面积的公式，通过已知三条边的长度，可以求出三角形的面积和其他相关信息。
解题方法：
1. 画图：在解决三角形问题时，画图是非常重要的，可以帮助我们更好地理解题意和确定解题思路。
2. 建立方程：通过已知条件，可以建立方程，从而求解未知量。
3. 利用三角函数：当已知角度和边长的关系时，可以利用三角函数求解未知量。
4. 应用勾股定理：当已知直角边的长度时，可以应用勾股定理求解斜边的长度和其他相关信息。
5. 应用海龙公式：当已知三条边的长度时，可以应用海龙公式求解三角形面积和其他相关信息。
总结：
解决三角形问题需要掌握一定的基础知识和解题方法，其中画图、建立方程、利用三角函数、应用勾股定理和海龙公式等是常用的解题方法。
此外，需要注意理解题意和确定解题思路，以便正确地解决问题。
解三角形题型大题归纳总结
解三角形题型大题归纳总结在几何学中，三角形是最基本的图形之一，解三角形题型则是我们在学习几何学中必然会遇到的一种题目类型。
解三角形题型可以通过已知的角度、边长或者其他条件来确定三角形的未知量。
本文将对解三角形题型进行大题归纳总结，以便读者对该类型题目有一个全面深入的了解。
一、已知三边求角度当我们已知一个三角形的三边长度时，我们可以通过柯西不等式或余弦定理求解三个角度。
设三角形的三边分别为a、b和c，则可以使用余弦定理公式来求解三个角度，公式如下：cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)cosB = (a² + c² - b²) / (2ac)cosC = (a² + b² - c²) / (2ab)二、已知两边和夹角求第三边当我们已知一个三角形的两边和夹角时，我们可以通过正弦定理、余弦定理或者平面几何知识来求解第三边的长度。
1. 通过正弦定理求解第三边的长度：设三角形的两边分别为a和b，夹角为C，则可以使用正弦定理公式来求解第三边c的长度，公式如下：sinA / a = sinC / cc = a * sinC / sinA2. 通过余弦定理求解第三边的长度：设三角形的两边分别为a和b，夹角为C，则可以使用余弦定理公式来求解第三边c的长度，公式如下：c² = a² + b² - 2ab * cosCc = √(a² + b² - 2ab * cosC)三、已知两边和夹角的三角形的面积计算当我们已知一个三角形的两边和夹角时，我们也可以通过已知两边和夹角的三角形的面积公式来计算三角形的面积。
设三角形的两边分别为a和b，夹角为C，则已知两边和夹角的三角形的面积S可以通过以下公式计算：S = 1/2 * a * b * sinC四、已知三个角度求边长当我们已知一个三角形的三个角度时，我们可以利用正弦定理或余弦定理来求解三个边长。
解三角形方法与技巧例题和知识点总结
解三角形方法与技巧例题和知识点总结一、解三角形的基本概念在平面几何中，三角形是一个非常重要的图形。
解三角形就是通过已知的三角形的一些元素（如边、角），求出其他未知元素的过程。
三角形中的基本元素包括三个角（通常用 A、B、C 表示）和三条边（通常用 a、b、c 表示）。
解三角形的主要依据是三角形的内角和定理（A ＋ B ＋ C ＝ 180°）以及正弦定理和余弦定理。
二、正弦定理正弦定理的表达式为：＼（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼）。
正弦定理可以用于以下两种情况：1、已知两角和一边，求其他两边和一角。
例如：在三角形 ABC 中，已知角 A ＝ 30°，角 B ＝ 45°，边 c ＝10，求边 a 和边 b。
首先，根据三角形内角和定理，角 C ＝ 180° 30° 45°＝ 105°。
然后，利用正弦定理\（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼），可得\（a ＝＼frac{c\sin A}｛＼sin C} ＝＼frac{10\times\sin 30°｝｛＼sin 105°｝＼）。
同样，＼（＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼），＼（b ＝＼frac{c\sin B}｛＼sin C} ＝＼frac{10\times\sin 45°｝｛＼sin 105°｝＼）。
2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和其他边。
例如：在三角形 ABC 中，已知边 a ＝ 6，边 b ＝ 8，角 A ＝ 30°，求角 B。
由正弦定理\（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B}＼），可得\（＼sin B ＝＼frac{b\sin A}｛a} ＝＼frac{8\times\sin 30°｝｛6} ＝＼frac{2}｛3}＼）。
解三角形(总结+题+解析)
解三角形一．正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.正弦定理的如下变形常在解题中用到1.(1) a=2RsinA(2) b=2RsinB(3) c=2RsinC2.(1) sinA=a/2R(2) sinB=b/2R(3) sinC=c/2R3.a ：b ：c=sinA ：sinB:sinC适用类型（1）AAS（2）SSA二．余弦定理：1. a^2 = b^2 + c^2 - 2·b ·c ·cosA2. b^2 = a^2 + c^2 - 2·a ·c ·cosB3. c^2 = a^2 + b^2 - 2·a ·b ·cosC余弦定理的如下变形常在解题中用到1. cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a ·b)2. cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a ·c)3. cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b ·c ）适用类型1.SSA2.SAS3.SSS三．余弦定理和正弦定理的面积公式S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB（常用类型：已知三角形两边及其夹角）判断解的个数判断三角形的形状有两种途径：（1）将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解（2）将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解三．解三角形的实际应用测量中相关的名称术语仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角。
俯角：视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫俯角方向角：从指定方向线到目标方向的水平角测距离的应用测高的应用(一)已知两角及一边解三角形例1已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.∠B=180°-30°-45°=105°a=10sin45°/sin30°=10√2sin105°=sin(60+45)=√2/2(√3/2+1/2)=(√6+√2)/41/sin105=√6-√2b=10sin45°/sin105°=5√2(√6-√2)=10(√3-1)（二）已知两边和其中一边对角解三角形例2在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若a=2√3，b =√6，A=45°，求边长C由余弦定理，得b²+c²-2bccosA-a²=06+c²-2√3c-12=0c²-2√3c-6=0根据求根公式，得c=√3±3又c>0所以c=3+√3（三）已知两边及夹角，解三角形例3△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.解：由余弦定理得∴a2-9a+18=0，得a=3或6当a=3时，A=30°，∴C=120°当a=6时，由正弦定理∴A=90°∴C=60°。
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高中数学解三角形题型目录一．正弦定理1.角角边2.边边角3.与三角公式结合4.正弦定理与三角形增解的应对措施5.边化角6.正弦角化边二．余弦定理1.边边边2.边角边3.边边角4.与三角公式结合5.比例问题6.余弦角化边7.边化余弦角三．三角形的面积公式1.面积公式的选用2.面积的计算3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用四．射影定理五．正弦定理与余弦定理综合应用1.边角互化与三角公式结合2.与平面向量结合3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状4.三角形中的最值问题(1)最大(小)角(2)最长(短)边(3)边长或周长的最值(4)面积的最值(5)有关正弦或余弦或正切角等的最值(6)基本不等式与余弦定理交汇(7)与二次函数交汇六．图形问题1.三角形内角之和和外角问题2.三角形角平分线问题3.三角形中线问题4.三角形中多次使用正、余弦定理5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用6.四边形与正、余弦定理六．解三角形的实际应用1.利用正弦定理求解实际应用问题2.利用余弦定理求解实际应用问题3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题一．正弦定理1.角角边∆=︒=︒=例.在中,解三角形ABC A B a30,45,2,.∆=︒=︒==练习1.在中则ABC A B a c,30,45, .练习2.在中,已知45,,求∆=︒=︒=30.ABC C A a b2.边边角例中，解这个三角形∆===︒ABC a.45,.练习1中,则∆==+==. 1,2,sinABC a b A C B C练习2.中则∆===︒=,3,60,_____ABC c b C A3.与三角公式结合45,,,,,cos ,cos ,1,513例.△的内角的对边分别为若则ABC A B C a b c A C a b ====11.5,45,sin ,______3ABC b B A a ∆====练习在中，则1tan ,150,1. 3ABC A C BC AB ∆==︒==练习2.在中,若,则4.正弦定理与三角形增解的应对措施.ABC b c B C ∆===︒例.在中,已知1,45,求例2．已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( )．A ．有一种情形B ．有两种情形C ．不可求出D ．有三种以上情形.ABC b c B A ∆===︒练习1.在中,已知1,45,求2,30,.ABC a c A C ∆===︒练习2.在中,求5.边化角.::3:2:1,::____________ABC A B C a b c ∆=例已知的三个内角之比为那么对应的三边之比等于.,,.)cos cos ,________.ABC A B C a b c c A a C A ∆-==练习1在中角､､所对的边分别为､若则.,,,,,,2cos(60),.o ABC A B C a b c b c a C A ∆-=+练习2在中设所对的边分别为若求.,,,,,2cos (cos cos ),练习3△的内角的对边分别为已知求ABC A B C a b c C a B b A c C+=6.正弦角化边.,,ABC A B C A B C B ∆==222sin 2sin cos sin sin sin 例在中,若且＋求0sin sin .(1);(2)75,2,,asinA csinC C b B B A b a c∆+-===练习1.在ABC 中,求若求,,,,,sin ,cos _____ABC a b c a c B C A ∆-===练习2.在中角所对的边分别为若则 ,,,,2(2)(sin sin )()sin ,a b c ABC A B C a b A B c b C A ∆=+-=-=练习3.已知分别为的三个内角的对边,,且则________.二．余弦定理 1.边边边.1,2,__________ABC a b c A ====例在三角形中，若则()537254A. B. C. D. 3633ABC AB AC BC A ππππ∆====练习.在中,,,,则2.边角边.,3,30,ABC b c A B C a ∆==∠=例在中已知求角、和边的值.3,1,60,________b c A a ====练习若则3.边边角,,,,2.,,cos ,2,_____3a b ABC A B C c A a c b ∆====例在中已知角所对的边分别为则311cos ,_____4ABC AB BC C AC ∆====练习.在中,，则,3,120,().1.2.3.4练习2在△中若则ABC AB BC C AC A B C D ==∠=︒=30,312,A. 4 B. 8 C. 4,8 D. ABC A a c ∆=︒==练习3.在中,已知且则 的值为或无解4.与三角公式结合1tan ,150,1.3ABC A C BC AB ∆==︒==例.在中,若,则,,,,2,sin cos ABC a b c a b B B A ∆==+=练习1.在中角所对的边分别为若则角的大小为____2,,,,23cos cos 20,7,6,_____ABC a b c A A a c b ∆+====练习2.在锐角中角所对的边分别为若则,,,sin 02,ABC A B C a b c A A a b c∆+===练习3.在中角､､所对的边分别为､､已知求5.比例问题::2:1),.ABC a b c A B C ∆=+例.已知中,求、、,,,,,2,cos _____ABC a b c a b c c a B ∆==练习1.在中角所对的边分别为若、、成等比数列则2,,,___3练习2.在△中则bABC A a c cπ∠===6.余弦角化边cos 2.,,,,cos C a cABC A B C a b c B B b-=例在三角形中,角,,所对的边分别为若求角 22,,,,2sin cos 3cos sin ,.ABC a b c a c b A C A C b ∆-==练习1.在中角所对的边分别为已知且求7.边化余弦角()222,A B C D ABC a c b ab C ∆-+=︒︒︒︒︒例.中,则角大小为.60.45,或135.120.3022210,cos2ABC a c b bc A ∆---==练习1.中,则()222,,,,tan _____,ABC a b c a c b B B ∆+-==练习2.在中角所对的边分别为若则角()()3ABC a b c a b c ab C ∆+++-=练习3.在中,,求.三．三角形的面积公式 1.面积公式的选用6016 ABC ABC A b S c ∆∆=︒===例.在中,,,则1.,1,_____2ABC AB BC B ∆===练习已知的面积是则()()2,,3sin sin sin 6cos cos 13.,,,a ABC A B C a b c ABC AB CB C a ABC ∆∆==∆练习2.在中角､､所对的边分别为､､已知的面积为Ⅰ求Ⅱ若求的周长2.面积的计算30,2,ABC B AC AB ABC ∆∠=︒==∆例.在中,若求的面积.160, ABC ABC AB AC A S ∆∆===︒=练习.在中,,则3.sin cos ,2,3,tan .ABC ABC A A AC AB A S ∆∆+===例.在中,求的值和120,4,.ABC ABC B b a c S ∆∆=︒=+=练习1.在中,若求12.,1,______2ABC AB BC AC ===练习钝角三角形的面积是则()22,,,,6,,3ABC a b c c a b C ABC π∆=-+=∆练习3.在中角所对的边分别为若则的面积为_____30,2,ABC B AC AB ABC ∆∠=︒==∆练习4.在中,若求的面积.四．射影定理.,,,,,2cos (cos cos ),;例△的内角的对边分别为已知求ABC A B C a b c C a B b A c C +=,,.2cos cos cos ,_______ABC A B C a b c b B a C c A B ∆=+=练习1.在中角､､所对的边分别为､若则),,,,cos cos ,cos ______ABC a b c c A a C A ∆-==练习2.在中角所对的边分别为若则五．正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合,,,,cos sin 0,ABC a b c a C C b c A∆+--=例.在中角所对的边分别为求21.,,,,,,2,23,ABC A B C a b c A C B b ac A +==练习在△中内角所对的边分别是求角的大小2.,,,,,.2cos .:2;练习在△中内角所对的边分别是已知证明ABC A B C a b c b c a B A B +==B C3.,,,,,,cos cos sin .:sin sin sin 练习在△中角所对的边分别是且证明ABC A B C a b c A A B Ca b c+==4.sin()sin().2442ABC A b C c B a B C πππ∆=+-+=-=练习在中,cos 求证2.与平面向量结合2.,233ABC AB AC AB AC BC A,B,C ∆⋅=⋅=例在已知,求角的大小3.tan 3tan cos ,5ABC AB AC BA BC B A C A ∆⋅=⋅==练习1.在中,(1)求证(2)若求的值ABC ,,36,3.,,ABC A B C a b c b AB AC S A a ∆∆==-=练习2.在中角､､所对的边分别为､､已知求和,,,,(,),(,) _,//____,ABC a b c p a c b q b a c a p q C ∆=+=--=练习3.在中角所对的边分别为若若则角,,,,(31),(cos ,sin ),cos cos sin ,_____ABC a b c m n A A m n a B b A c C B ∆=-=⊥+==练习4.在中角所对的边分别为向量，若且则角5.(22sin cos sin ),(sin cos ,1sin ),ABC A B C p A A A q A A A p q A ∆=-+=-+练习已知锐角中,三个内角为、、,向量，若与是共线向量,求的大小3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状22sin cos ,cos sin a A BABC ABC b A B∆=∆例.在中,若判断的形状cos sin ABC c a B b a C ∆==练习1.在中,,,判断三角形形状.cos cos ,ABC a A b B ABC ∆=∆练习2.在中,若判断的形状(),,,,,1,cos 1cos ,. ... ABC A B C a b c b a B A A ABC B C D ∆==-∆等腰三角练习3.已知的内角的对边分别为若则的形状为直角三角形形等腰直角三角形等腰或直角三角形4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角_________ABC ∆例.已知,则其最大角的余弦值为::2::1),ABC a b c ABC ∆=+∆练习.已知中,求的最大内角的大小(2)最长(短)边()()13,tan ,tan 45ABC A B C ABC ∆==∆例.在中Ⅰ求角的大小Ⅱ若求最小边的边长1,,tan ,c ,,,os 2,ABC A B C A B ABC a b c ∆==∆练习1.在中若最短边的边长角所对的边分别为求最长边的边长0120ABC ABC ∆∆的一个内角为,并且三边长构成公练习2.已知最长边的差为4的等差数列边长为_,则_____(3)边长或周长的最值3,,,12ABC B C A ABC AB ∆∆例1.在中,角成等差数列且的面积为则边的最小值是_______()()()()()()272cos sin 261? 2,,,,,3,2,2f x x x f x f x x ABC A B C a f A b c a b c π=+=⎛⎫=--⎪⎝⎭∆练习1.已知函数求函数的最大值,并写出取最大值时的取值集合已知中,角的对边分别为若求实数的取值范围060,2_____ABC B AC AB BC ∆==+练习2.在中,则的最大值为,,,,,2cos 2,,ABC A B C a b c c B a b ABC S ab ∆=+∆=练习3.在中,角的对边分别是且若的面积为则的最小值为__________.()()()25,,cos 224121,A A B C ABC B C sin A AB AC BC AD ∆++=⋅=-练习4.设角为的三个内角,已知求角的大小若求边上的高长的最大值()()()()() 5.sin 0,0212223f x p x p f x B ABC AC f C ABC ωωππ=>>⎛⎫∆==∆ ⎪⎝⎭练习函数的最大值为2,其图象相邻两条对称轴之间的距离为求函数的解析式在中,,,求周长的最大值()()()()()6.sin 2cos 2.312,,,,2,.2x f x m x x f x cABC a b c f B b a π==-∆==-练习已知是函数的图象的一条对称轴求函数的单调递增区间；在中角所对的边分别为若且求的取值范围练习7．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C B C C B B cos cos 4)cos sin 3)(cos sin 3(=--．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若C p B sin sin =，且ABC ∆是锐角三角形，求实数p 的取值范围．(4)面积的最值,,,,,2,(2)(sin sin )()sin ,a b c ABC A B C a b A B c b C ABC ∆=+-=-∆例.已知分别为的三个内角的对边且则面积的最大值为______()()1.,,,,cos sin .122,ABC a b c A B C a b C c B B b ABC ∆=+=∆练习在中，分别为所对的边,且求角的大小；若求面积的最大值.()() 2.,,,,cos cos .124,ABC a b c A B C a b C c B C c ABC ∆-==∆练习在中，分别为所对的边,且(2)求角的大小；若求面积的最大值.tan 33,,,,,1,tan .,,2B AB a b c cC B C C A C AB ∆=∆=角所对的边分练习在中的面积最大值为_别为且则____222.,,,,,48,sin 2sin 6sin sin ,ABC A B C a b c b c B C b A C ABC a ∆+=+=∆=练习4在锐角中,内角的对边分别是已知则的面积取最大值时有___.练习5．已知锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知a=3， A=60°,求面积的取值范围；(5)有关正弦或余弦或正切角等的最值222,,,,,2cos a b c ABC A B C a b c C ∆+=例1.已知分别为的三个内角的对边若则的最小值为______sin 2sin ,cos ABC A B C C ∆+=练习1.已知的内角满足则的最小值为______tan tan ,,,,,,2(tan tan ).cos c 2;(2os (1):)cos .练习2.在△中角的对边分别为已知求证求的最小值a b c A BABC A B C a b c A B B AC +++==,sin 2sin sin ,tan tan tan .练习3.在锐角三角形中则的最小值是ABC A B C A B C = ()(),,3cos 2cos ,11tan ,32tan ,,,,ABC A B C a C c a b A A B B c ∆==练习4.在中若若求角角所对的边分求别为的最小值22,,,,sin (1);(2)sin cos .例2.在中角所对的边分别为且求的大小求的取值范围ABC a b c a b C B A B C ∆-==+()()222,,,,,)4sin sin ABC a b c S ABC S a b c C A B ∆∆=+-+练习1.在中角所对的边分别为设为的面积满足Ⅰ求角的大小Ⅱ求的最大值222,.(1);(2)cos .练习2.在△中求的大小的最大值ABC a c b B A C +=+∠+(5)基本不等式与余弦定理交汇()()22,,,,,12ABC A B C a b c tanA a b c ABC ∆=A =+例.已知在锐角中角所对的边分别为且求角的大小当,求的最大值并判断此时三角形的形状()()(),,,,sin sin sin 125,ABC A B C a b c c C b B a b ACc ABC ∆-=-=∆练习.在中,内角所对的边分别为且求角若求的面积的最大值(5)与二次函数交汇()()2.(22sin cos sin ),(sin cos ,1sin ),32()2sin cos2ABC A B C p A A A q A A A p q A C Bf B B B ∆=-+=-+-=+1例已知锐角中,三个内角为、、,向量，若与是共线向量,求的大小函数取最大值时,的大小()()1.ABC ,,(2)cos cos (sin ,cos 2)(4,1)(1)5A B C a b c a c B b CB m A A n k k m n k ∆-===>⋅12练习在中角、、所对的边分别为、、且求的大小设，且的最大值为，求的值 练习2．设函数()cos cos21f x a x b x =++． （1）当1,1b a ==时，求函数()f x 的值域；（2）若1a =，对任意的实数x 函数()0f x ≥恒成立，求实数b 的取值范围；（3）若1b=，存在实数x使得函数()2f x a≥成立，求实数a的取值范围．练习3．ABC∆的三个内角为A B C、、，求当A为何值时，cos2cos2B CA++取得最大值，并求出这个最大值。