高等数学 平面及其方程

M2
x
例2 求过三点M 1(2，1，4)、M 2(1，3，2)和M 3(0，2，3) 的平面的方程．
解 先求出这平面的法线向量 n ．
M 1M 2 {3，4，6}，

M 1M 3 {2，31}，

可取
n M 1 M 2 M 1 M 3 3 4 6 14i9jk， 2 3 1
点到平面的距离： 设P 0(x 0，y 0，z 0)是平面A x B yC zD0外一点，求P 0 到 这平面的距离． 在平面上任取一点P 1(x 1，y 1，z 1)， 并作一法线向量 n ， 则P 0到这平面的距离为

d|Prj n P1 P0 |．
设 n为与向量同向的单位向量，则有
n
Prj n P1 P0 P1 P0 ·n，
P1


P0
N
1 n {A，B，C}， P1 P0 {x0x1，y0y1，z0z1}， |n| 1 Prj n P1 P0 P1 P0 ·n， {A(x0x1)B(y0y1)C(z0z1)} |n| 1 {Ax0By0Cz0( Ax1By1Cz1)}， |n|
2 2 2
．
例7 求点(2，1，1)到平面xyz10的距离． 解
| Ax 0 By0 Cz 0 D | d A2 B 2 C 2 | 1 2 11 (1) 1 1 | 12 12 (1) 2 3 3． 3
所以点到平面的距离d
M 0 M {xx 0，yy 0，zz 0}，


所以 A(xx 0)B(yy 0)C(zz 0)0． 这就是平面的方程． 此方程叫做平面的点法式方程．
M0
O x
M
y
例1 求过点(2，3，0)且以
n{1，2，3}为法线向量的平
面的方程．
解 根据平面的点法式方程，得所求平面的方程为 (x2)2(y3)3z0， 即 x2y3z80．
n{A，B，C} 来确定， 平面的点法式方程是三元一次方程
A(xx 0)B(yy 0)C(zz 0)0． 反过来，设有三元一次方程A xB yC zD0． 任取满足该
方程的一组数x0，y0，z0，即A x0 B y0C z0D0．
则有A(xx0)B(yy0)C(zz0)0， 这是平面的点法式方程． 由于方程A xB yC zD0与方程A(xx0)B(yy0)C(zz0)0同解， 所以任一三元一次方程A xB yC zD0的图形总是一个平面． 方程A xB yC zD0称为平面的一般方程． 平面的法线向量为 n{A，B，C}．
根据平面的点法式方程，得所求平面的方程为
14(x2)9(y1)(z4)0， 即 14x9yz150．


i
j
k
方法二：设平面方程为A（x-2）+B（y+1）+C（Z-4）=0 点M 2、M 3满足方程，代入方程： 3 A 4 B 6C 0 解之得： 2 A 3B C 0
§7．7 平面及其方程
一、平面的点法式方程
法线向量、平面的点法式方程
二、平面的一般方程
平面的一般方程、特殊的平面、 截距式方程
三、两平面的夹角
两平面的夹角、两平面夹角的余弦 两平面平行与垂直的条件 点到平面的距离公式
一、平面的点法式方程
法线向量： 如果一非零向量垂直于一平面， 这向量就叫做该平面的法线向量． 或者叫法矢 n z
例5 求两平面xy2z60和2xyz50的夹角．
解
n1{A 1，B 1，C 1} {1，1，2}，
n2{A 2，B 2，C 2}{2，1，1}，
cos q

| A1 A2 B1 B2 C1C2 | 2 2 2 A12 B12 C12 A2 B2 C2
例如，方程3x4yz90表示一个平面， n{3，4，1} 是这平面的一个法线向量． 讨论： 考察下列特殊的平面，指出法线向量与坐标面、坐标轴的关 系，平面与坐标面、坐标轴的关系，平面通过的特殊点或线． D=0：A xB yC z0． A=0：B yC zD0． B=0：A xC zD0． C=0：A xB y D0． A=B=0：C zD0． B=C=0：A xD0． A=C=0：B y D0．
M0 y
法向量 n {A，B，C}的平面只有一个．
一、平面的点法式方程
法线向量：
如果一非零向量垂直于一平面， z n
这向量就电做该平面的法线向量．
唯一确定平面的条件： 过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面 有无穷个． 过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)并有确定 x O
M0 y
三、两平面的夹角
两平面的夹角： 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的平角． n1 n2
q 2
1
设平面 1和 2的法线向量分别为 n1{A 1，B 1，C 1}， n2{A 2，B 2，C 2}． 那么平面 1和 2的夹角q 应是(n1,^ n2)和(n1,^ n2)=p(n1,^ n2) 两者中的锐角， 因此，cos q |cos (n1,^ n2)|． 按两向量夹角余弦的坐标表示式，平面 1和 2的夹角q 可由 cos q 来确定．
例2 求过三点M 1(2，1，4)、M 2(1，3，2)和M 3(0，2，3) 的平面的方程． z 解 先求出这平面的法线向量 n ．
M 1M 2 {3，4，6}，

n
M1 M3
M 1M 3 {2，31}，

可取
n M 1 M 2 M 1 M 3
O y


O x
y
一、平面的点法式方程
法线向量： 如果一非零向量垂直于一平面， z
这向量就电做该平面的法线向量．
唯一确定平面的条件： 过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面 有无穷个． x O M0 y
一、平面的点法式方程
法线向量：
如果一非零向量垂直于一平面， z
这向量就电做该平面的法线向量．
唯一确定平面的条件： 过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面 有无穷个． x O M0 y
| 1 2 (1) 1 2 1 | 1 ． 2 2 2 2 2 2 2 1 (1) 2 2 1 1
p 因此，所求夹角为q ．
3
例6 一平面通过两点M 1(1，1，1)和M 2(0，1，1)且垂直于 平面xyz0，求它的方程． 解 设所求平面的法线向量为 n{A，B，C}．
例3 求通过 x 轴和点(4，3，1)的平面的方程． 解 由于平面通过 x 轴，从而它的法线向量垂直于 x 轴， 于是法线向量在 x 轴上的投影为零，即A0． 又由于平面通过x轴，它必通过原点，于是D0． 因此可设这平面的方程为
ByCz0．
又因为这平面通过点(4，3，1)，所以有
3BC0，
9 B 14 A C 1 A 14
因此有：
9 1 A( x 2) A( y 1) A( z 4) 0 14 14 14 x 9 y z 15 0
二、平面的一般方程
任一平面都可以用它上面的一点(x0，y0，z0 )及它的法线向量
x
P (a, 0, 0)
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点，求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)． 解 设所求平面的方程为 A x B yC zD0． 因P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点都在这平面上，所以点P、 Q、R的坐标都满足所设方程；即有 aA D 0, bB D 0, cC D 0, D D D 解得 A ， B ， C ． a b c 将其代入所设方程并除以D(D0)，便得所求的平面方程为 x y z 1 ． 此方程称为截距式方程．而a,b,c依次叫做 a b c 平面在x,y,z轴上的截距
或 C3B． y3z0．
将其代入所设方程并除以B(B 0)，便得所求的平面方程为
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点，求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
z R (0, 0, c)
n Q (0, b, 0) O y
一、平面的点法式方程
法线向量：
如果一非零向量百度文库直于一平面， z
这向量就电做该平面的法线向量．
唯一确定平面的条件： 过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面 有无穷个． x O M0 y
一、平面的点法式方程
法线向量：
如果一非零向量垂直于一平面， z n
这向量就电做该平面的法线向量．
唯一确定平面的条件： 过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面 有无穷个． 过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)并有确定 x O
| A1 A2 B1 B2 C1C2 | 2 2 2 A12 B12 C12 A2 B2 C2
从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论：
（1）平面 1和 2互相垂直当且仅当A 1A 2B 1B 2C 1C 20；
（2）平面 1和 2互相平行或重合当且仅当 A1 B1 C1 ． A2 B2 C2
M 1M 2 {1，0，2}．

已知另一平面的法线向量为

n1{1，1，1}．
由已知条件，有n M 1M 2 ， n n1 ． 所以可取
i j k n= M 1M 2 n1 1 0 2 2 i j k ， 1 1 1
从而所求平面方程为2(x1)(y1)(z1)0，即2xyz0．
法向量 n {A，B，C}的平面只有一个．
平面方程的建立： 设M 0(x 0，y 0，z 0)为平面上一点， n{A，B，C} 为平面的 一个法线向量．
那么向量 M 0 M 设M (x，y，z) 是平面上的任一点． 必与平面的法线向量 n 垂直， 即它们的数量积等于零： z n · 0 M 0． M 由于 n n{A，B，C}，
又因Ax1By1Cz1D0，|n| A 2 B 2 C 2 ， 所以
Prj n P1 P0

Ax 0 By 0 Cz 0 D A B C
2 2 2
．
由此得点P 0(x 0，y 0，z 0) 到平面A x B yC zD0的距离公式：
d
| Ax 0 By 0 Cz 0 D | A B C